Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\documentclass[a4paper,12pt]{ltnews}

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{exscale}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{epic}
\usepackage{eepic}
\usepackage{rotating}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{array}

\setlength{\hoffset}{-0.75in}
\setlength{\voffset}{-1in}

\setlength{\textwidth}{17.0cm}
\setlength{\textheight}{24.0cm}
\setlength{\topmargin}{1.0cm}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\,\partial #2}}
\newcommand{\dd}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d} #1}{\,\hbox{d} #2}}
%\newcommand{\dqq}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d^2} #1}{\hbox{d} #2^2}}
\newcommand{\zz}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
\newcommand{\bix}[1]{\fbox{\parbox[c]{8cm}{#1}}}
\newcommand{\doso}[2]{{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\hdoso}[2]{\widehat{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\rhoo}{\rho_{\scriptscriptstyle 0}}
\newcommand{\sdoso}[2]{{#1}_{\hbox{\tiny #2}}}
\newcommand{\mittel}[1]{\big< #1 \big>}
\newcommand{\vektor}[1]{\begin{array}{c} #1 \end{array}}
\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}
\newfont{\axa}{cmss10}
%\newcommand{\iraum} {\int \limits_{\hbox{\axa I\!R}^3}}
\newcommand{\iraum} {\int \limits_{{\mathbb{R}}^3}}
\newcommand{\ivq} {\int \limits_{\sdoso VQ}}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 17.\ Juli 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{16}

\begin{multicols}{2}

%
\begin{flushleft}
{\bf zu 5.2) Die Gleichung von Ffowcs Williams und Hawkings}
\end{flushleft}
%

Gleichung (15) ist eine inhomogene Wellengleichung für den Ausdruck
%
\begin{equation}
(\rho - \rho_0) \cdot H(f) = \rho' \cdot H(f)
\end{equation}
%
mit Quelltermen auf der rechten Seite
dar.
Sie folgt ohne Näherungen aus den nichtlinearen
Erhaltungsgleichungen.
Vereinfacht kann Gleichung (15) als
%
\begin{equation}
\Big(
\ff{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \Delta
\Big)
\Big\{
\rho' H(f)
\Big\}
=
q(\vec{x},t)
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Der Ausdruck auf der linken Seite ist linear.
Alle Nichtlinearitäten sind in dem Quellterm $q(\vec{x},t)$
enthalten.

Für den Fall, dass überall $f(\vec{x},t) > 0$ und damit
$H(f)=1$ gilt, reduziert sich
(15) auf die Lighthill-Gleichung
%
\begin{equation}
\Big(
\ff{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \Delta
\Big)
\rho'
=
\ff{\partial^2}{\partial x_i x_j} \,
T_{ij}
\end{equation}
%
Damit stellt Gleichung (15) eine Erweiterung
der Lighthill-Gleichung dar.
Die Lighthill-Gleichung gilt nur innerhalb des Fluids.
Befinden sich Körper im Strömungsfeld müssen entsprechend
Randbedingungen erfüllt werden.
Dagegen gilt die erweiterte Gleichung überall.
Dies hat den Vorteil, dass die Lösung dieser Wellengleichung
immer als einfaches Integral über die Quellen
%
\begin{equation}
\{\rho' H(f)\}(\vec{x},t) =
\ff{1}{4 \pi}
\iraum
\ff{q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
dargestellt werden kann.
Diese einfache Form der Lösung ist
bei der Lighthill-Gleichung
nur möglich, falls sich keine Körper
im Strömungsfeld befinden.

Die erweiterte Form (15) der Lighthill-Gleichung geht auf
die Überlegungen von Ffowcs-Williams und Hawkings zurück.
Allerdings wurde zunächst von ihnen
nicht die erweiterte
Differenzialgleichung hergeleitet, sondern
sie gingen von der Lösung der Lighthill-Gleichung aus und
erweiterten diese auf den Fall mit festen Körpern im Feld.
Es wurde also zuerst eine spezielle Lösung der Gleichung (15)
gefunden, bevor die Differenzialgleichung später in der
dargestellten Weise abgeleitet wurde.
So wird meistens diese spezielle Lösung
und nicht die Differenzialgleichung
als Ffowcs Williams und Hawkings-Gleichung bezeichnet.
Die spezielle Lösung wird erst in einem der folgenden Abschnitte
vorgestellt.

\setcounter{equation}{0}

%
\begin{flushleft}
{\bf 5.3) Quellen auf festen Körpern}
\end{flushleft}
%

Zur sinnvollen Anwendung der erweiterten Light\-hill-Gleichung
muss die Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$ und damit die Oberfläche $S$
geeignet gewählt werden.
Wenn $S$ mit der Oberfläche eines undurchlässigen Körpers
übereinstimmt, ergeben sich einige Vereinfachungen, die im Folgenden
vorgestellt werden sollen.
Dazu wird nur der flächenhafte Anteil
%
\begin{equation}
\begin{array}{@{\,}r@{\,}l}
q(\vec{x},t)
=
&
+
\ff{\partial}{\partial t}
\Bigg(
\Big\{
\rho (v_i - u_i) + \rho_0 u_i
\Big\}
\pp{f}{x_i}
\,
\delta(f)
\Bigg)
\\[16pt]
&
-
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Bigg(
\Big\{
\rho v_i (v_j - u_j) + P_{ij}
\Big\}
\pp{f}{x_j}
\,
\delta(f)
\Bigg)
\end{array}
\label{eq:g01}
\end{equation}
%
der Quellverteilung betrachtet.
Dieser ist ausschließlich auf der Oberfläche $S$ aktiv, da
sonst überall $\delta(f) = 0$ gilt.

%
\begin{minipage}{8.2cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(5.5,5.0) \thicklines
\put(0.5,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=surf01.eps,width=5.0cm}}}
\put(2.1,3.6){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{u}$}}
\put(1.0,4.2){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{n}$}}
\put(1.4,1.8){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{v}$}}
\put(1.2,0.35){\makebox(0,0)[cc]{$f(\vec{x},t)=0$}}
\put(0.7,2.6){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{v} - \vec{u}$}}
\end{picture}\\
Abbildung 1: Zur Randbedingung an einer bewegten undurchlässigen Wand
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

In dem mit der Körperoberfläche mitbewegten Bezugssystem
darf die Geschwindigkeit des Fluids keine Komponente senkrecht
zur Oberfläche besitzen,
um die Bedingung der undurchlässigen festen Wand zu erfüllen.
Ist $\vec{u}$ die Normalengeschwindigkeit der Oberfläche
und $\vec{v}$ die Geschwindigkeit des Fluids, so ist
die Geschwindigkeit im mitbewegten System durch
die Differenz $\vec{v} - \vec{u}$ gegeben.
Dieser Differenzvektor muss senkrecht zum dem Normalenvektor
sein.
Es gilt
%
\begin{equation}
(v_i - u_i) \, n_i = 0
\label{eq:g02}
\end{equation}
%
Mit dieser Beziehung zusammen mit
%
\begin{equation}
\pp{f}{x_i}
=
n_i
\,
|\hbox{grad} f|
\label{eq:g03}
\end{equation}
%
lassen sich die Oberflächenquellterme
deutlich vereinfachen, da einige Anteile herausfallen.
Einsetzen von (\ref{eq:g03}) in (\ref{eq:g01}) ergibt
die Beziehung
%
\begin{equation}
\begin{array}{@{\,}r@{\,}l}
q(\vec{x},t)
=
&
+
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
\rho_0 u_i
n_i \, |\hbox{grad} \, f|
\,
\delta(f)
\Big\}
\\[16pt]
&
-
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
P_{ij} \,
n_j \, |\hbox{grad} \, f|
\,
\delta(f)
\Big\}
\end{array}
\label{eq:g04}
\end{equation}
%
Dabei sind wegen (\ref{eq:g02}) die Terme
mit $(v_i - u_i)$ herausgefallen.

Üblicherweise werden die Quellverteilungen
noch kompakter dargestellt, in dem
die Abkürzungen
%
\begin{equation}
u_n = |\vec{u}| = u_i n_i
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
l_i = P_{ij} n_j = (p - p_0) \, n_i - \tau_{ij} n_j
\end{equation}
%
eingeführt werden.
Es ergibt sich dann
%
\begin{equation}
\begin{array}{@{\,}r@{\,}l}
q(\vec{x},t)
=
&
+
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
\rho_0 u_n
\, |\hbox{grad} \, f|
\,
\delta(f)
\Big\}
\\[16pt]
&
-
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
l_i \,
|\hbox{grad} \, f|
\,
\delta(f)
\Big\}
\end{array}
\label{eq:g07}
\end{equation}
%
Der Vektor $l_i$
entspricht einer lokalen Kraft pro Fläche, die von dem Körper
auf das Fluid ausgeübt wird.
Dabei sind Anteile aus dem Druck und
der Scherung enthalten.
Durch eine Kraft wird ein Impuls auf das Medium übertragen.
Für eine bewegte punktförmige Impulsquelle ergab sich in
Abschnitt 4.4 eine Quellverteilung der Form
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t) =
-\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
f_i(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\Big\}
\end{equation}
%
Dabei war $f_i$ eine Kraft pro Volumen.
Der $l_i$-Term in (\ref{eq:g07}) stellt damit das flächenhafte
Gegenstück zu der punktförmigen Quellverteilung dar.
Er repräsentiert sozusagen eine flächenhafte 
Impulsquelle, die bewegt sein kann.

Analog kann auch der erste Quellterm auf der rechten Seite
in (\ref{eq:g07}) physikalisch gedeutet werden.
Die Größe $\rhoo u_n$ entspricht einer verdrängten
Masse pro Fläche und pro Zeit.
Für eine 
bewegte punktförmige Massenquelle ergab sich
eine Quellverteilung
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t)
=
\ff{\partial}{\partial t}
\left\{
\rhoo
\dot{\beta}(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\right\}
\end{equation}
%
Dabei war $\rhoo \dot{\beta}(t)$ eine verdrängte Masse
pro Volumen und pro Zeit.
Der  $\rhoo u_n$-Term in (\ref{eq:g07}) kann somit
als bewegte flächenhafte Massenquelle angesehen werden.

Anscheinend kann die Randbedingung an
einem festen Körper im Strömungsfeld gerade durch
eine Überlagerung aus Massen- und Impulsquelle auf der
Körperoberfläche ersetzt werden.
Anstatt die Randbedingung zu erfüllen, werden die
zusätzlichen Quellterme mit berücksichtigt.

Zu bemerken ist, dass bisher keine Näherungen -- wie
etwa eine Linearisierung -- in die Überlegungen
mit eingeflossen ist.
Die abgeleiteten Beziehungen einschließlich der
Ausdrücke auf der rechten Seite
sind direkte Folgen der Kontinuitäts-
und der Navier-Stokes-Gleichung.
Sie wurden lediglich im akustischen Sinn
als Quellterme interpretiert.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 5.4) Integration der Quellen auf einer bewegten Fläche}
\end{flushleft}
%

Betrachtet wird eine Modellquellverteilung, die
bis auf die Ableitungen den in der erweiterten
Lighthill-Gleichung auftretenden
Oberflächenquelltermen entspricht.
Auch bei der bewegten punktförmigen Quelle wurde
zunächst eine Modellquelle ohne direkte
physikalische Entsprechung untersucht.
Die Ergebnisse für die Modellquelle konnten dann
auf die physikalischen Fälle über\-tragen werden.

Die flächenhafte Modellquellverteilung
lautet
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t) = Q(\vec{x},t) \, |\hbox{grad} f| \, \delta(f)
\end{equation}
%
Es wird angenommen, die Quellverteilung sei bekannt, und es soll dafür
die Lösung der Wellengleichung
%
\begin{equation}
\Big(
\ff{1}{c^2} \, \ff{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta
\Big)
\,
p'
=
q(\vec{x},t)
\label{eq:gc01}
\end{equation}
%
ermittelt werden.
Es sei angemerkt, dass es hier für die rein formale Untersuchung
zunächst keine Rolle spielt, ob die Wellengleichung für den
Druck $p'$ und oder für die Größe $\rho' H(f)$ 
betrachtet wird.
Hier wurde $p'$ statt $\rho' H(f)$ gewählt, um die Darstellung
übersichtlicher zu machen.
Es muss nur angenommen werden, dass die Gleichung -- wie die
erweiterte Lighthill-Gleichung -- im gesamten Raum gilt.
Dann ergibt sich für (\ref{eq:gc01}) die Lösung
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x},t)
\\[12pt]
\quad
= 
\ff{1}{4 \pi}
\iraum
\ff{1}{r}
\,
Q(\vec{y},\tau) \, |\hbox{grad} f(\vec{y},\tau)| \,
\delta \big(f(\vec{y},\tau)\big)
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\label{eq:gc03}
\end{equation}
%
Dabei ist die retardierte Zeit mit
%
\begin{equation}
\tau(\vec{x},\vec{y},t) = t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}
\label{eq:gc04}
\end{equation}
%
und der Abstand zwischen Beobachter und Quellpunkt mit
%
\begin{equation}
r(\vec{x},\vec{y}) = |\vec{x} - \vec{y}|
\end{equation}
%
gegeben.
Gleichung (\ref{eq:gc03})
lässt sich in kompakterer Schreibweise auch
als
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = 
\ff{1}{4 \pi}
\iraum
\ff{1}{r}
\,
\Big[
Q\, |\hbox{grad} f| \,
\delta \big(f \big)
\Big]_{\hbox{ret}}
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
darstellen.
Dabei sind die Terme in den eckigen Klammern $[ \,\cdot\, ]_{\hbox{ret}}$
zur retardierten Zeit am Quellort auszuwerten.
Das bedeutet, in (\ref{eq:gc03}) sind die Funktionswerte
$Q(\vec{y},\tau)$ und $f(\vec{y},\tau)$ im Integrand
zu einer bestimmten -- nach (\ref{eq:gc04}) von $\vec{y}$ abhängigen --
retardierten Zeit $\tau$ zu nehmen.
Dies erschwert jedoch die praktische Anwendung von (\ref{eq:gc03}) erheblich.
Der Integrand ist für ein festes $\vec{x}$ und $t$
nur an Stellen $\vec{y}$ mit
%
\begin{equation}
f\Big(\vec{y},t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}\Big)
=
\big[
f
\big]_{\hbox{ret}}
=
0
\label{eq:gc07}
\end{equation}
%
von Null verschieden.
Gleichung (\ref{eq:gc07})
definiert eine Fläche im ${\mathbb{R}}^3$, die im
Folgenden $\Sigma$ genannt wird.
Das heißt, $\Sigma$ ist die Menge aller Punkte $\vec{y}$ für die
bei gegebenen $\vec{x}$ und $t$ Gleichung (\ref{eq:gc07}) erfüllt ist.
Theoretisch kann das Raumintegral in (\ref{eq:gc03}) in ein Integral über die
Fläche $\Sigma$ umgeformt werden.
Die Fläche ist jedoch nicht direkt gegeben, und
im Folgenden wird gezeigt, dass
ihre Berechnung relativ aufwendig werden kann.

Um eine praktischere Form des Integrales zu erhalten, wird
analog zu dem Vorgehen bei der bewegten Punktquelle
mit der Definition der $\delta$-Funktion Gleichung (8) erweitert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = 
\ff{1}{4 \pi}
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
\,
\iraum
\ff{1}{r}
\,
Q \, |\hbox{grad} f| \,
\delta \big(f \big) \,
\delta \big(g \big) \,
\;
\hbox{d}^3 \vec{y} \;
\hbox{d} \tau
\label{eq:gc08}
\end{equation}
%
In (\ref{eq:gc08}) wird über die Größe $\tau$ integriert.
Die auftretende Integrationsvariable $\tau$ entspricht jedoch nicht mehr
der speziellen retardierten Zeit aus Gleichung (9).
Die Größe
$\tau$ in (\ref{eq:gc08}) ist nun von $\vec{y}$ unabhängig,
und die Integrationen können vertauscht werden.
Die Funktionen $Q$ und $f$ sind wie gehabt von $\vec{y}$ und
$\tau$ abhängig, und es tritt die neue Funktion
%
\begin{equation}
g(\vec{x},t,\vec{y},\tau) = \tau - t + \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}
\end{equation}
%
auf.
Diese entspricht der Differenz aus der Integrationsvariablen $\tau$
und der in (\ref{eq:gc04}) gegebenen speziellen retardierten Zeit.
Für eine feste Beobachtungsposition $\vec{x}$ und
Beobachtungszeit $t$ ist die Funktion $g$ nur von $\vec{y}$ und $\tau$
anhängig.

Die Integration in (\ref{eq:gc08}) erfolgt im vierdimensionalen
($\vec{y},\tau$)-Raum.
Der Integrand in (\ref{eq:gc08}) ist nur an Stellen mit $f(\vec{y},\tau)=0$
und $g(\vec{y},\tau)=0$
von Null verschieden.
Die Bedingungen $f=0$ und $g=0$ definieren
zwei Hyperflächen im vierdimensionalen ($\vec{y},\tau$)-Raum.
Die Schnittmenge der Flächen gibt wieder eine Hyperfläche in diesem Raum.
Die Projektion dieser Schnittmenge auf den dreidimensionalen
$\vec{y}$-Raum ist die durch Gleichung (\ref{eq:gc07})
gegebene Fläche $\Sigma$.


Zu Veranschaulichung wird die geometrische Situation zunächst
für einen eindimensionalen $y$-Raum betrachtet.
Dieser Fall wurde im Prinzip bereits in Abschnitt 4.1 behandelt.
Abbildung 1 zeigt die Darstellung in der $(y,\tau)$-Ebene nochmal auf.
Die Fläche $g=0$ entspricht zwei geraden Strahlen, die sich
im Beobachtungspunkt treffen.
Alle Ereignisse auf diesen Strahlen werden vom Beobachter gleichzeitig
empfangen.
Die Oberfläche $S$ reduziert sich im eindimensionalen Raum zu einem Punkt.
Die Bahn des Punktes ist durch $f=0$ gegeben.
Die Fläche $\Sigma$ würde im eindimensionalen Fall
einem Punkt auf der $y$-Achse unterhalb
des Schnittpunktes der $f=0$ Kurve mit den $g=0$ Linien entsprechen.

\end{multicols}

%
\begin{minipage}{8.2cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,6.0) \thicklines
\put(0.5,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=raumzeitd1.eps,width=7.0cm}}}
\put(7.4,0.8){\makebox(0,0)[tr]{$y$}}
\put(7.2,3.6){\makebox(0,0)[tr]{$g=0$}}
\put(4.6,0.8){\makebox(0,0)[tc]{$x$}}
\put(5.0,1.9){\makebox(0,0)[cc]{$f=0$}}
\put(0.65,5.5){\makebox(0,0)[cc]{$\tau$}}
\put(0.7,4.85){\makebox(0,0)[cr]{$t$}}
\put(0.8,3.4){\makebox(0,0)[cr]{$\tau^{\ast}$}}
\put(2.5,4.15){\makebox(0,0)[cc]{Schnittpunkt}}
\put(4.5,5.15){\makebox(0,0)[lc]{Beobachter}}
\end{picture}
Abbildung 1: Eindimensionale Betrachtung der Mengen $f = 0$ und $g = 0$
\end{center}
\vspace{5pt}
\end{minipage}
%
\hfill
%
\begin{minipage}{8.2cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,7.0) \thicklines
\put(0.5,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kegelsch00.eps,width=7.0cm}}}
\put(7.3,0.6){\makebox(0,0)[tr]{$y_1$}}
\put(3.7,5.1){\makebox(0,0)[tr]{$g=0$}}
\put(2.4,3.7){\makebox(0,0)[tc]{$y_2$}}
\put(7.6,4.6){\makebox(0,0)[cc]{$f=0$}}
\put(7.5,2.1){\makebox(0,0)[cc]{\small Schnitt-}}
\put(7.5,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small linie}}
\put(0.3,6.3){\makebox(0,0)[cc]{$\tau$}}
\put(4.3,6.7){\makebox(0,0)[lc]{Beobachter}}
\end{picture}
Abbildung 2: Zweidimensionale Betrachtung der Mengen $f = 0$ und $g = 0$
\end{center}
\vspace{5pt}
\end{minipage}
%

\begin{multicols}{2}

Für einem zweidimensionalen $\vec{y}$-Raum
wird die Menge $g=0$
zu einem Kegelmantel im dreidimensionalen $(\vec{y},\tau)$-Raum.
In der Spitze des Kegelmantels liegt der Beobachtungspunkt $(\vec{x},t)$.
In der Abbildung 2 ist $f=0$ für einen bewegten
Kreis -- als Oberfläche im 2D-Raum -- dargestellt.
Durch die Bewegung ergibt sich für $f=0$ eine Art Schlauch,
der den Kegelmantel schneidet.
Die Projektion der entstehenden Schnittlinie
auf die Ebene $\tau = 0$ würde der
Fläche $\Sigma$ entsprechen.

Für den dreidimensionalen $\vec{y}$-Raum ist die
Veranschaulichung nicht so einfach wie im ein- und zweidimensionalen
Fall.
Es ist jedoch möglich, wenn
als vierte Dimension die Zeit mit benutzt wird.
Konstruiert man sich für eine feste
retardierte Zeit $\tau$ eine Kugel mit dem
Radius $c \cdot (t - \tau)$ um den Beobachtungspunkt,
so gilt auf der Kugeloberfläche die
Bedingung $g(\vec{y},\tau)=0$.
Alle Ereignisse, die zu dieser Zeit $\tau$
auf der Kugeloberfläche stattfinden,
werden vom Beobachter zur Zeit $t$ registriert.
Mögliche Ereignisse sind die Quellen, die sich auf der
Oberfläche eines Rotors befinden.
Für alle Punkte auf der Rotoroberfläche gilt
$f(\vec{y},\tau)=0$.
Zur betrachteten Zeit $\tau$ schneidet die Rotoroberfläche
die Kugeloberfläche, und es ergibt sich eine Schnittlinie,
die mit $\Gamma(\tau)$ bezeichnet wird.
In Abbildung 3 wird diese Schnittlinie veranschaulicht.
Für eine geringfügig frühere Zeit $\tau'$ ergibt sich
eine etwas größere Kugel und die Rotorposition ist
um einen entsprechend kleinen Winkel in der Zeit
zurückgedreht.
Dadurch erhält man eine entsprechend andere 
Schnittlinie $\Gamma(\tau')$.

\end{multicols}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(10.5,6.5) \thicklines
\put(0.5,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=gamma00b.eps,width=10.0cm}}}
\put(5.0,5.1){\makebox(0,0)[tr]{$g(\vec{y},\tau)=0$}}
\put(1.3,1.9){\makebox(0,0)[cc]{$f(\vec{y},\tau)=0$}}
\put(5.8,0.7){\makebox(0,0)[cc]{Schnittlinie $\Gamma(\tau)$}}
\put(4.7,6.0){\makebox(0,0)[lc]{Beobachter}}
\end{picture}\\
Abbildung 3: Zur Erklärung der Schnittlinie $\Gamma(\tau)$
\end{center}
%\vspace{10pt}
\end{minipage}

%
\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(14.5,6.75) \thicklines
\put(0.5,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=rotor00.eps,width=14.0cm}}}
\put(0.6,6.2){\makebox(0,0)[cc]{$y_3,\eta_3$}}
\put(8.4,6.2){\makebox(0,0)[cc]{$y_3,\eta_3$}}
\put(6.2,0.6){\makebox(0,0)[cc]{$y_1,\eta_1$}}
\put(13.8,0.6){\makebox(0,0)[cc]{$y_1$}}
\put(6.8,4.3){\makebox(0,0)[cc]{$y_2,\eta_2$}}
\put(14.4,4.3){\makebox(0,0)[cc]{$y_2$}}
\put(14.1,2.0){\makebox(0,0)[cc]{$\eta_1$}}
\put(12.4,5.2){\makebox(0,0)[cc]{$\eta_2$}}
\put(11.2,2.6){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{\eta}_\ast$}}
\put(14.2,5.4){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{x}_s(\vec{\eta}_\ast,\tau_1)$}}
\end{picture}
Abbildung 4: Zur Erläuterung des körperfesten Koordinatensystems
\end{center}
\vspace{1pt}
\end{minipage}
%

\begin{multicols}{2}

%\goodbreak

Denkt man sich nun die retardierte Zeit $\tau$ variable,
und lässt $\tau$ von der Beobachtungszeit $t$ beginnend
gegen $-\infty$ laufen, so entspringt dem Beobachtungspunkt
eine Kugel, die immer größer wird.
Dabei wird von der Kugeloberfläche $g(\vec{y},\tau)=0$
der gesamte Raum einmal ``abgetastet'', wobei
unendlich viele Schnittlinien $\Gamma(\tau)$ entstehen können.
Die Vereinigungsmenge der Schnittlinien bildet die
durch Gleichung (\ref{eq:gc07}) gegebene Fläche $\Sigma$.
Die Form dieser Fläche weicht unter Umständen deutlich
von der Rotorgeometrie ab.
Bewegt sich der Rotor am äußeren Blattende mit Überschall,
so ist $\Sigma$ nicht mehr einfach zusammenhängend 
und besteht aus mehreren separierten Teilen.

Durch die bisherigen Überlegungen konnten zwar grundsätzliche
Erkenntnisse über das Integral in (\ref{eq:gc08}) gewonnen werden,
jedoch ist die praktische Berechnung der Fläche $\Sigma$
schwierig.
Unter bestimmten Umständen lässt sich das Problem umgehen, und
das Integral in (\ref{eq:gc08}) kann durch ein Integral über die Oberfläche
des Körpers ersetzt werden.
Dies soll im Folgenden erläutert werden.

Betrachtet wird der Fall, das die durch $f=0$ beschriebene
Oberfläche eine starre Form besitzt.
Dies ist zum Beispiel gegeben,
wenn $f=0$ die Oberfläche eines Körpers darstellt,
der sich weder verbiegt noch gestreckt oder gestaucht wird.
%Auch die freien Oberflächen aus Abschnitt 6.2.5 können entsprechend
%gewählt werden.
Es liegt dann lediglich eine Translation der Fläche $S$
im Raum und eventuell eine Rotation vor.
Dadurch lässt sich die Integration in Gleichung (\ref{eq:gc08}) vereinfachen,
wenn man sie in einem mitbewegten Bezugssystem durchführt.
Es wird ein mit der Oberfläche (bzw.\ dem Körper) fest verbundenes
Bezugssystem mit $\vec{\eta}$-Koordinaten eingeführt.
In diesem Koordinatensystem ist die Hilfsfunktion
$f$ nicht mehr von der Zeit abhängig.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird angenommen,
das die $\vec{\eta}$-Koordinaten mit den
$\vec{y}$-Koordinaten zur Zeit $\tau = 0$ übereinstimmen.
Die beiden Koordinaten sind durch
%
\begin{equation}
\vec{y} = \vec{\eta} + \vec{x}_s (\vec{\eta},\tau)
\end{equation}
%
miteinander verknüpft.
Dabei ist
%
\begin{equation}
\vec{x}_s  (\vec{\eta},\tau) =
\int \limits_{0}^{\tau}
\vec{U} (\vec{\eta},\tau') d \tau'
\end{equation}
%
der Verschiebungsvektor der Punktes mit der Koordinate $\vec{\eta}$
zur Zeit $\tau$.
Der Vektor $\vec{U} (\vec{\eta},\tau')$ ist die Geschwindigkeit
im $\vec{y}$-System, die
der Punktes mit der Koordinate $\vec{\eta}$ besitzt.
Bei reiner Translation ist $\vec{U}$ konstant für alle $\vec{\eta}$.
Bei Rotation um einen Punkt ist  $\vec{U}=0$ in diesem Punkt und
nimmt mit dem Abstand von diesem Punkt betragsmäßig zu.

In der Abbildung 4 ist das Beispiel eines mit einem
Rotorblatt rotierenden Bezugssystem mit $\vec{\eta}$-Koordinaten
veranschaulicht.
Die Drehachse stimmt mit der $y_3$-Achse überein.
Im linken Teil ist die Situation zum Zeitpunkt $\tau = 0$
dargestellt.
Die $\vec{y}$ und $\vec{\eta}$-Koordinaten stimmen überein.
Etwas später zur Zeit $\tau_1 > 0$ hat sich der Rotor um einen
kleinen Winkel gedreht. Die $\eta_1$ und $\eta_2$-Achsen
fallen nicht mehr mit den $y_1$ und $y_2$-Achsen zusammen.
Für einen Punkt mit der  Koordinate $\vec{\eta}_\ast$
(im Beispiel direkt der Achse durch das Rotorblatt liegend)
%als Beispiel dargestellt,
gibt $\vec{x}_s(\vec{\eta}_\ast,\tau_1)$ die momentane Verschiebung
des Punktes an.


\end{multicols}


\end{document}

% -------- FIN ----------------