Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 13.\ Juli 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}
\begin{multicols}{2}

%
\begin{flushleft}
{\bf 5) Schallabstrahlung von Oberflächen}
\end{flushleft}


%
\begin{flushleft}
{\bf 5.1)
Formale Darstellung von bewegten Flächen}
\end{flushleft}
%


Das Vorhandensein von Körpern fordert bei der Lösung der
Wellengleichung die Erfüllung von Randbedingungen an deren
Oberfläche.
Bei festen undurchlässigen Körpern
ist dies eine sogenannte Nichtdurchflussbedingung.
Eine solche Bedingung wurde auch bei der Behandlung der atmenden
Kugel angewendet.
Die formale Beschreibung der Randbedingung bei der atmenden oder vibrierenden
Kugel war auf Grund der Symmetrie relativ einfach.
Ebenso konnten die Lösungen der Wellengleichung für diese Fälle
durch ``Raten'' gefunden werden.
Bei einem beliebig geformten Körper, der sich irgendwie verformt, kann
allein die formale Beschreibung der Oberflächenbewegung schon eine größere
Schwierigkeit darstellen.
Entsprechend ist die Lösung der Wellengleichung viel aufwendiger.
In jedem Fall ist jedoch eine formale Darstellung notwendig.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,4.5) \thicklines
\put(1,0.4){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=vol00.eps,width=4.0cm}}}
\put(4.5,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\small $S$}}
\put(5.1,2.45){\makebox(0,0)[lb]{\small $\vec{n}$}}
\put(2.0,1.5){\makebox(0,0)[lb]{\small $f(\vec{x},t) < 0$}}
\put(2.0,3.5){\makebox(0,0)[lb]{\small $f(\vec{x},t) > 0$}}
\end{picture}
Abbildung 1: Volumen $V$ mit Oberfläche $S$
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Im Folgenden soll eine spezielle Methode vorgestellt werden,
um eine beliebig bewegte Fläche im Raum zu beschreiben.
Ein naheliegender Ansatz ist es, die Fläche zu parametrisieren.
Dann kann die Position der Punkte auf der Oberfläche in Abhängigkeit
der Parameter und der Zeit mit Funktionen dargestellt werden.
Für allgemeine Herleitungen ist jedoch ein ganz anderer Ansatz viel
besser geeignet.
Dazu wird eine Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$ auf spezielle Weise definiert.
Gegeben sei ein zeitlich veränderliches Volumen mit der
Oberfläche $S$.
Zur formalen Beschreibung
der Oberfläche wird
die Hilfsfunktion so konstruiert, dass
folgende Bedingungen erfüllt sind:
%
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
f(\vec{x},t) < 0 & \hbox{falls $\vec{x}$ innerhalb von $V$}\\
f(\vec{x},t) > 0 & \hbox{falls $\vec{x}$ außerhalb von $V$}\\
f(\vec{x},t) = 0 & \hbox{auf der Oberfläche $S$}\\
\end{array}
\end{equation}
%
Die Verhältnisse sind in Abbildung 1 veranschaulicht.
Die Hilfsfunktion soll stetig und fast überall differenzierbar sein.
Zusätzlich soll
die Bedingung
%
\begin{equation}
\hbox{grad}f(\vec{x},t) \neq 0 \quad \hbox{auf der Oberfläche $S$}
\label{eq:g02}
\end{equation}
%
gelten.
Dabei ist zu bemerken, dass der Gradient von $f(\vec{x},t)$ nicht
immer überall definiert sein kann.
Der Gradient von $f(\vec{x},t)$ zeigt auf $S$ in Richtung
des Normalenvektors $\vec{n}$.
An Stellen, an denen die Oberfläche eine Kante besitzt, ist die
Normalenrichtung nicht eindeutig festgelegt.
Entsprechend ist dort $f(\vec{x},t)$ nicht differenzierbar und
der Gradient ist nicht definiert.
Die Bedingung (\ref{eq:g02}) kann an diesen Stellen nicht gelten.
Um die Betrachtungen nicht unnötig kompliziert zu machen, soll
im Weiteren von diesen Schwierigkeiten abgesehen werden.
Es wird angenommen, die Oberfläche sei ``gutmütig'' in dem Sinn,
dass sie keine Kanten besitzt und eine differenzierbare Hilfsfunktion
erlaubt.

Anschaulich ist klar, dass für alle möglichen Bewegungen der
Oberfläche $S$ eine solche Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$ gefunden werden kann.
Die Hilfsfunktion ist natürlich nicht eindeutig.
Umgekehrt wird jedoch durch die Hilfsfunktion die Bewegung
von $S$ eindeutig festgelegt.

Als Beispiel soll $f(\vec{x},t)$ für eine einfache Geometrie angegeben werden.
Betrachtet wird die Oberfläche einer atmenden Kugel, deren
momentaner Radius mit $a(t)$ vorgegeben ist.
Der Kugelmittelpunkt befindet sich an der Stelle $\vec{x}_0$.
Eine mögliche Wahl der Hilfsfunktion lautet
%
\begin{equation}
f(\vec{x},t) = |\vec{x} - \vec{x}_0|^2 - a^2(t)
\end{equation}
%
Die Quadrate dienen dazu, die Funktion auch an der Stelle $\vec{x}_0$
differenzierbar zu machen.

Das Konzept der Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$
soll bei einigen Herleitungen verwendet werden.
Dabei ist nicht die konkrete Form der  Hilfsfunktion im Einzelfall
wichtig, sondern die Existenz und einige allgemeine Relationen,
die im Folgenden betrachtet werden.
Da der Normalenvektor $\vec{n}$
parallel zum Gradient von $f(\vec{x},t)$ ist
gilt auf $S$ bei $f(\vec{x},t)=0$ die Beziehung
%
\begin{equation}
\vec{n}(\vec{x},t)
=
\ff{\hbox{grad} \, f(\vec{x},t)}
{|\hbox{grad} \, f(\vec{x},t)|}
\end{equation}
%
Damit kann $\vec{n}$ direkt aus $f(\vec{x},t)$ berechnet werden.

Bei Bewegung der Oberfläche muss
%
\begin{equation}
\pp{f}{t} \neq 0
\qquad
\hbox{bei}
\qquad
f(\vec{x},t) = 0
\end{equation}
%
gelten.
Ist die Hilfsfunktion bei $S$ zeitlich konstant, so liegt keine
Bewegung vor.
Neben diesen grundsätzlichen Aussagen, kann auch eine quantitative
Beziehung zwischen der Bewegung und $f(\vec{x},t)$ gefunden werden.
Dazu wird die Normalengeschwindigkeit $\vec{u}$ eingeführt.
Dies ist die Geschwindigkeit mit der sich Punkte auf $S$
in Richtung von $\vec{n}$ bewegen.
Wie in der Abbildung 2 zu sehen ist, steht $\vec{u}$ definitionsgemäß
immer senkrecht auf $S$.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(4.0,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=normalv00.eps,width=4.0cm}}}
\put(3.1,0.5){\makebox(0,0)[lb]{$S$}}
\put(3.0,3.5){\makebox(0,0)[lb]{$\vec{u}$}}
\end{picture}\\
Abbildung 2: Zur Definition der Normalengeschwindigkeit
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Um eine formale Beziehung zu erhalten, wird das totale Differenzial
%
\begin{equation}
\hbox{d} f =
\Big(\pp{f}{t}\Big) \, \hbox{d}t +  \Big(\pp{f}{x_i}\Big) \, \hbox{d} x_i
\end{equation}
%
betrachtet.
Wählt man sich einen Punkt auf der Oberfläche $S$ aus, so wird
dieser bei Bewegung der Oberfläche ebenfalls verschoben.
In einem infinitesimalen Zeitabschnitt $\hbox{d}t$ ergibt sich
die Verschiebung $\hbox{d} x_i^{(S)}$.
Das hochgestellt $S$ soll kennzeichnen, dass es sich um einen Punkt auf
$S$ handelt.
Da auf $S$ die Hilfsfunktion immer gleich Null ist, ergibt sich
$\hbox{d} f = 0$ für diesen Punkt.
Es gilt damit
%
\begin{equation}
\Big(\pp{f}{t}\Big) \, \hbox{d}t +  \Big(\pp{f}{x_i}\Big) \, \hbox{d} x_i^{(S)}
=
0
\label{eq:g7}
\end{equation}
%
Allerdings ist die Veschiebung des Punktes auf der Oberfläche nicht
eindeutig, da die Punkte auf der Oberfläche bei der gegebenen Methode
im Gegensatz zu einer Parametrisierung nicht gekennzeichnet sind.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(2.5,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=vorw00.eps,width=2.5cm}}}
\put(1.4,0.25){\makebox(0,0)[lb]{$t$}}
\put(2.1,0.5){\makebox(0,0)[lb]{$t + \hbox{d}t$}}
\put(2.0,3.0){\makebox(0,0)[lb]{$\vec{u}$}}
\end{picture}\\
Abbildung 3: Verschiebung der Punkte auf $S$ bei Bewegung
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

In Abbildung 3 sind drei mögliche Verschiebungen dargestellt.
Die durchgezogenen Linien repräsentieren die Oberfläche $S$ zu
zwei Zeitpunkten, zwischen denen die infinitesimale Zeit $\hbox{d}t$
vergangen ist.
Die hell gefüllten Punkte stellen mögliche neue Positionen des
schwarz gefüllten Punktes dar.
Für alle Verschiebungen gilt (\ref{eq:g7}).

Betrachtet man ausgewählt nur die Verschiebung in Richtung von
$\vec{n}$, so gilt
%
\begin{equation}
\dd{x_i^{(S)}}{t}
=
u_i
\end{equation}
%
Aus (\ref{eq:g7}) folgt daher
%
\begin{equation}
\pp{f}{t} + u_i \, \pp{f}{x_i} = 0
\end{equation}
%
oder in vektoriellen Schreibweise
%
\begin{equation}
\pp{f}{t} + \vec{u} \; \hbox{grad}\,f = 0
\end{equation}
%
Diese Beziehung zwischen den Ableitungen der Hilfsfunktion 
$f$ und der Normalengeschwindigkeit wird im folgenden Abschnitt
verwendet.

\setcounter{equation}{0}
%
\begin{flushleft}
{\bf 5.2) Die Gleichung von Ffowcs Williams und Hawkings}
\end{flushleft}
%

Für eine gegebene Quellverteilung kann die Lösung der
Wellengleichung im freien Raum einfach als ein Integral über den
Raum dargestellt werden.
Dies ist nicht mehr so einfach möglich,
wenn sich feste Körper im Raum befinden.
An den Oberflächen der Körper müssen Randbedingungen erfüllt werden.
Dadurch wird die Bestimmung des Schallfeldes deutlich erschwert.
Es existiert jedoch ein Weg auch in diesem Fall, das Schallfeld
durch Integration zu berechnen.
Dies ist mit der Gleichung von Ffowcs Williams und Hawkings möglich.
Hier soll diese Gleichung zunächst abgeleitet werden.
Da die Darstellung der historischen Herleitung
zu umfangreich wäre, wird hier ein rein formaler Weg gewählt.
Die Überlegungen gehen von einem Volumen $V$ mit einer Oberfläche $S$
aus.
Die Oberfläche wird durch eine Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$, wie sie im
letzten Abschnitt eingeführt wurde, beschrieben.

Die Herleitung entspricht in weiten Teilen der Herleitung der
Lighthill-Gleichung.
Es wir jedoch noch eine kleine Vorbereitung benötigt.
Für die
Heaviside-Funktion $H(x)$
gilt allgemein
%
\begin{equation}
H(x) =
\left\{
\begin{array}{c@{\qquad\hbox{für}\quad}l}
1 & x > 0\\
0 & x < 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Wird die Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$
als Argument der
Heaviside-Funktion eingesetzt, ergibt sich ein
Ausdruck, der innerhalb des
Volumens $V$ verschwindet
und außerhalb gleich Eins ist.
Das bedeutet, es ist
%
\begin{equation}
H(f(\vec{x},t)) =
\left\{
\begin{array}{c@{\qquad\hbox{für}\quad}l}
1 & \vec{x} \notin V \, ; \,f(\vec{x},t) > 0\\
0 & \vec{x} \in V \, ; \,f(\vec{x},t) < 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Die weiteren Überlegungen basieren nun wesentlich auf den Eigenschaften
des Ausdrucks $H(f)$.

Ausgangspunkt für die Herleitung ist die Kon\-tinuitätsgleichung
und die Navier-Stokes-Glei\-chung.
Zuerst wird die Kontinuitätsgleichung
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{t} +
\ff{\partial}{\partial x_i}(\rho v_i) = 0
\label{eq:b3}
\end{equation}
%
mit dem Ausdruck $H(f)$ multipliziert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\Big\{
\ff{\partial}{\partial t}
(\rho - \rho_0)
+
\ff{\partial}{\partial x_i}
(\rho v_i)
\Big\} \,
H(f)
= 0
\end{equation}
% -- 4 --
Dabei ist mit $\rho_0$ eine frei wählbare Konstante eingeführt worden,
deren zeitliche Ableitung gleich Null sein muss.
Der Ausdruck $H(f)$ kann in die Ableitungen hineingezogen werden.
Es folgt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
(\rho - \rho_0) H(f)
\Big\}
+
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
(\rho v_i)
H(f)
\Big\}
\\[12pt]
\quad
=
(\rho - \rho_0) \,
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
H(f)
\Big\}
+
(\rho v_i) \,
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
H(f)
\Big\}
\end{array}
\label{eq:b5}
\end{equation}
% -- 5 --
Es ist zu bemerken, dass die Ableitung der Heaviside-Funktion nur als
verallgemeinerte Funktion -- die $\delta$-Funktion -- definiert ist.
Für die Zeitableitung auf der rechten Seite folgt
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
H(f(\vec{x},t))
\Big\}
=
\pp{H}{f} \cdot
\pp{f}{t}
=
\delta(f) \,
\pp{f}{t}
\label{eq:b6}
\end{equation}
%
Nützt man die vorigen Abschnitt hergeleitete Beziehung
zwischen Normalengeschwindigkeit $\vec{u}$ und den
Ableitungen von $f(\vec{x},t)$ aus, so folgt
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
H(f(\vec{x},t))
\Big\}
=
- u_i \pp{f}{x_i} \,
\delta(f)
\label{eq:b7}
\end{equation}
% -- 6 --
Für die räumliche Ableitung ergibt sich entsprechend
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
H(f(\vec{x},t))
\Big\}
=
\delta(f) \,
\pp{f}{x_i}
\label{eq:b8}
\end{equation}
% -- 7 --
Setzt man (\ref{eq:b7}) und (\ref{eq:b8})
in (\ref{eq:b5}) ein, ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r}
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
(\rho - \rho_0) H(f)
\Big\}
+
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
(\rho v_i)
H(f)
\Big\}
\\[12pt]
=
\Big\{
\rho (v_i - u_i)
+
\rho_0 u_i
\Big\} \,
\pp{f}{x_i} \, \delta(f)
\end{array}
\label{eq:b9}
\end{equation}
% -- 8 --
Diese Gleichung ist eine direkte Folge der
Kontinuitätsgleichung.
Die rechte Seite von (\ref{eq:b9})
ist nur bei $f(\vec{x},t)=0$
-- also auf der Oberfläche $S$ --
von Null verschieden.
Die linke Seite ist innerhalb von $V$ gleich Null.
Dies bedeutet, dass sich innerhalb von $V$ die Gleichung (\ref{eq:b9}) 
auf die Trivialität $0 = 0$ reduziert.
Die Kontinuitätsgleichung in der Form (\ref{eq:b3})
gilt nur im Fluid selbst.
Sie gilt natürlich nicht innerhalb von Körpern, die sich im 
Strömungsfeld befinden.
Daher müssen, falls Körper vorhanden sind, 
auf den Oberflächen zusätzlich Randbedingungen
erfüllt werden.
Dies kann zum Beispiel bei festen Oberflächen eine Nichtdurchflussbedingung
sein.

Im Gegensatz dazu kann Gleichung (\ref{eq:b9}) im gesamten Raum angewendet
werden, auch wenn sich Körper im Strömungsfeld befinden.
Es muss nur die Hilfsfunktion $f(\vec{x},t)$ so gewählt werden, dass
sich die Körper innerhalb des Volumens $V$ befinden.
Dabei ist auch der Spezialfall erlaubt, dass $S$
mit den Körperoberflächen übereinstimmt.
Dann ist das Volumen $V$ genau das Körpervolumen.
Im Körper gilt $f(\vec{x},t) < 0$
und Gleichung (\ref{eq:b9}) wird zu $0 = 0$.
Das bedeutet, Gleichung (\ref{eq:b9}) gilt im gesamten Raum
und geht sozusagen ``durch Körper durch''.
Es brauchen keine Randbedingungen erfüllt werden.
Die Randbedingungen wurde sozusagen gegen den Term auf der
rechten Seite von (\ref{eq:b9}) ``eingetauscht''.

Analog zur Kontinuitätsgleichung kann auch die Navier-Stokes-Gleichung
umgeformt werden.
Dabei wird von der Form
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial t}
(\rho v_i)
+
\ff{\partial}{\partial x_j}
(P_{ij} + \rho v_i v_j)
=
0
\end{equation}
%
mit der Abkürzung
%
\begin{equation}
P_{ij} = (p - p_0) \delta_{ij} - \tau_{ij}
\end{equation}
%
ausgegangen.
Die Größe $\tau_{ij}$ bezeichnet den Spannungstensor.
Es wurde auch hier wieder eine frei wählbare Konstante
$p_0$ eingeführt, deren räumliche Ableitung verschwindet.
Die Umformung für die Navier-Stokes-Gleichung liefert das Ergebnis
%
\begin{equation}
\begin{array}{r}
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
(\rho v_i)
H(f)
\Big\}
+
\ff{\partial}{\partial x_j}
\Big\{
(P_{ij} + \rho v_i v_j)
H(f)
\Big\}
\\[12pt]
=
\Big\{
\rho v_i (v_j - u_j) + P_{ij}
\Big\}
\,
\pp{f}{x_j}
\,
\delta(f)
\end{array}
\label{eq:b12}
\end{equation}
% -- 11 --
Genau wie (\ref{eq:b9}) gilt Gleichung (\ref{eq:b12}) immer
im gesamten Raum und auch in Körpern,
wenn $f(\vec{x},t)$ geeignet gewählt wird.
Aus der speziellen Kontinuitätsgleichung (\ref{eq:b9})
und Navier-Stokes-Gleichung (\ref{eq:b12})
kann eine Wellengleichung hergeleitet werden.
Dazu wird (\ref{eq:b9})
partiell nach der Zeit abgeleitet
und die Divergenz von (\ref{eq:b12}) gebildet.
Die Ergebnisse werden voneinander abgezogen.
Der zweite Term auf der linken Seite von (\ref{eq:b9}) und
der erste Term auf der linken Seite von (\ref{eq:b12}) heben sich
dann gerade auf.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{\partial^2}{\partial t^2}
\Big\{
(\rho - \rho_0) H(f)
\Big\}
\\[16pt]
-
\ff{\partial^2}{\partial x_i x_j}
\Big\{
(P_{ij} + \rho v_i v_j) H(f)
\Big\}
\\[16pt]
\qquad
=
\ff{\partial}{\partial t} \,
\Bigg(
\Big\{
\rho (v_i - u_i)
+
\rho_0 u_i
\Big\} \,
\pp{f}{x_i} \, \delta(f)
\Bigg)
\\[16pt]
\qquad
\quad
-
\ff{\partial}{\partial x_i} \,
\Bigg(
\Big\{
\rho v_i (v_j - u_j) + P_{ij}
\Big\}
\,
\pp{f}{x_j}
\,
\delta(f)
\Bigg)
\end{array}
\label{eq:b13}
\end{equation}
% -- 12 --
Das Resultat hat allerdings noch nicht die Form einer Wellengleichung.
Um dies zu erreichen wird -- wie bei der Herleitung der
Lighthill-Gleichung --
auf beiden Seiten der Ausdruck
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
c^2 \, \Delta
\Big\{ (\rho - \rho_0) H(f) \Big\}
\\[12pt]
\qquad
=
c^2 \, \ff{\partial^2}{\partial x_i x_j} \,
\Big\{ (\rho - \rho_0) \delta_{ij} H(f) \Big\}
\end{array}
\end{equation}
%
subtrahiert.
Dabei ist $c$ zunächst eine frei wählbare Konstante,
die für sinnvolle Anwendungen gleich der Schallgeschwindigkeit
gesetzt wird.
Zusätzlich wird der zweite Term auf der linken Seite von
(\ref{eq:b13}) durch Addition auf die rechte Seite gebracht.
Es ergibt sich die Gleichung
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\Big(
\ff{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \Delta
\Big)
\Big\{
(\rho - \rho_0) H(f)
\Big\}
\\[12pt]
\quad
=
\ff{\partial^2}{\partial x_i x_j} \,
\Big\{
T_{ij} H(f)
\Big\}
\\[12pt]
\qquad
+
\ff{\partial}{\partial t} \,
\Bigg(
\Big\{
\rho (v_i - u_i)
+
\rho_0 u_i
\Big\} \,
\pp{f}{x_i} \, \delta(f)
\Bigg)
\\
\qquad
-
\ff{\partial}{\partial x_i} \,
\Bigg(
\Big\{
\rho v_i (v_j - u_j) + P_{ij}
\Big\}
\,
\pp{f}{x_j}
\,
\delta(f)
\Bigg)
\end{array}
\end{equation}
%
mit den Lighthillschen Spannungstensor
%
\begin{equation}
T_{ij} = \rho v_i v_j + P_{ij} - c^2 (\rho - \rho_0) \delta_{ij}
\end{equation}
%

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------