Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 10.\ Juli 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}

\begin{multicols}{2}
%
\begin{flushleft}
{\bf 4.4) Bewegte Massen- und Impulsquelle}
\end{flushleft}
%

Die bisher betrachtete, bewegte Punktquelle war durch
%
\begin{equation}
q \left(\vec{x}, t \right) = Q(t) \; \delta
\big( \vec{x} -  \vec{x}_s(t) \big)
\label{eq:qxt1}
\end{equation}
%
gegeben.
Dies ist formal der einfachste Ansatz.
Er entspricht jedoch nicht direkt einer physikalischen
Quelle wie etwa einer bewegten, punktförmigen Massenquelle.
Dies wird klar, wenn man die linearisierte Kontinuitätsgleichung
für diesen Fall betrachtet.
Für eine ruhende Quelle wurde dies bereits in einem früheren Kapitel
durchgeführt.
Bei Bewegung gilt
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \; \hbox{div} \, \vec{v}\,' =
\rho_0 \dot{\beta}(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\label{eq:lin_kg1}
\end{equation}
%
Die rechte Seite ergibt sich durch die Massenquelle.
Vereinfachend wurde angenommen, dass die zugeführte Masse
die gleiche Dichte $\rho_0$ wie das vorhandene Medium besitzt.
Mit $\beta(t)$ wird der Volumenanteil der zugeführten Masse zur Zeit $t$
bezeichnet.
Damit stellt $\rho_0 \, \beta$ die bereits zugeführte Masse pro Volumen
dar, und
$\rho_0 \, \dot{\beta}$ entspricht der zugeführten Masse pro Zeit und
pro Volumen.
Die Masse wird jedoch nur an einem Ort $\vec{x}_s(t)$ zugeführt.
Die $\delta$-Funktion sorgt dafür, dass sich
bei Integration über ein Volumen um die Quelle herum ein endlicher
Massenstrom (Masse pro Zeit) ergibt.

Wenn die zugeführte Masse keinen Impuls besitzt, dann hat
die Massenquelle keinen Einfluss auf die Impulserhaltung.
Die linearisierte Euler-Gleichung gilt in der gewohnten Form
%
\begin{equation}
\rho_0 
\pp{\vec{v}\,'}{t} + \hbox{grad} \, p' = 0
\label{eq:lin_euler1}
\end{equation}
%
Um einer Wellengleichung zu erhalten,
differenziert man (\ref{eq:lin_kg1})
nach der Zeit und bildet die Divergenz von (\ref{eq:lin_euler1}).
Die resultierenden Gleichungen werden subtrahiert und
noch $\rho' = p'/c^2$ ersetzt.
Es ergibt sich die inhomogene Wellengleichung
%
\begin{equation}
\left(
\ff{1}{c^2}\, \ff{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta
\right)
p'
=
\underbrace{\rho_0
\ff{\partial}{\partial t}
\left\{
\dot{\beta}(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\right\}}_{\displaystyle q(\vec{x},t)}
\label{eq:welle1}
\end{equation}
%
Die rechte Seite entspricht einer Quellverteilung $q (\vec{x}, t)$.
Es zeigt sich, dass die hergeleitete Quellverteilung
nicht der einfachen Punktquelle
in (\ref{eq:qxt1}) entspricht.
Durch die Zeitableitung auf der rechten Seite ergibt
sich eine grundsätzlich andere Form.

Analog kann eine bewegte, punktförmige Impulsquelle betrachtet werden.
Für diesen Fall erhält man statt Gleichung (\ref{eq:lin_euler1})
die linearisierte Euler-Gleichung mit Quellterm in der Form
%
\begin{equation}
\rho_0 
\pp{\vec{v}\,'}{t} + \hbox{grad} \, p' = \vec{f}(t) \,
\delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\label{eq:lin_euler2}
\end{equation}
%
Der Vektor $\vec{f}(t)$ gibt die Richtung und Stärke des zugeführten
Impulses pro Volumen zur Zeit $t$ an.
Wird ausschließlich Impuls und keine Masse zugeführt, dann gilt die
linearisierte Kontinuitätsgleichung
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \; \hbox{div} \, \vec{v}\,' = 0
\label{eq:lin_kg2}
\end{equation}
%
Aus (\ref{eq:lin_euler2}) und  (\ref{eq:lin_kg2}) kann in der üblichen
Weise wieder eine Wellengleichung abgeleitet werden.
Es folgt
%
\begin{equation}
\left(
\ff{1}{c^2}\, \ff{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta
\right)
p'
=
\underbrace{-\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
f_i(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\Big\}}_{\displaystyle q(\vec{x},t)}
\label{eq:welle2}
\end{equation}
%
Auch durch die Impulsquelle erhält man keine
Quellverteilung, die Gleichung (\ref{eq:qxt1}) entspricht.
Hier ergibt sich durch die räumliche Ableitung ein prinzipieller
Unterschied zur einfachen Form.

Im nächsten Schritt soll untersucht werden, wie sich die
Unterschiede in der Quellverteilung auf das entstehende Schallfeld
auswirken.
Dazu wird die Lösung der inhomogenen Wellengleichung berechnet.
Im freien Raum ohne Begrenzungen ergibt sich die Druckverteilung
durch das Integral
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{4 \pi}
\iraum
\ff{q (\vec{y}, \tau)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\label{eq:ps2}
\end{equation}
%
mit der Abkürzung
%
\begin{equation}
\tau = t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}
\label{eq:tau1}
\end{equation}
%
für die retardierte Zeit.
Betrachtet man die Lösung für eine bewegte
Massenquelle, so muss die rechte Seite von (\ref{eq:welle1})
als Quellverteilung $q(\vec{x},t)$
in (\ref{eq:ps2}) eingesetzt werden.
Die Quellverteilung hat die Form
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t)
=
\pp{B}{t}
(\vec{x},t)
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
B(\vec{x},t)
=
\rhoo \dot{\beta}(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\end{equation}
%
Hier ist $\vec{x}$ der Quellort und $t$ die Quellzeit.
In  (\ref{eq:ps2}) hat $\vec{x}$ und $t$
eine andere Bedeutung. 
Es ist $\vec{x}$ der Beobachtungsort und $t$ die Beobachtungszeit.
Der Quellort ist mit $\vec{y}$ und die Quellzeit mit $\tau$
bezeichnet.
Entsprechend erhält man für den Schalldruck
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{4 \pi} \, 
\iraum
\ff{\pp{B}{\tau}(\vec{y},\tau)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\label{eq:ps3}
\end{equation}
%
Die Ableitung nach der Quellzeit $\tau$ kann
durch die Ableitung nach der Beobachtungszeit $t$
ersetzt werden.
Nach (\ref{eq:tau1}) ist die Quellzeit eine Funktion
von Beobachtungsort, Beobachtungszeit und Quellort:
$\tau(\vec{x},\vec{y},t)$.
Es gilt
%
\begin{equation}
\pp{\tau}{t}
=
1
\end{equation}
%
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\pp{B}{\tau}(\vec{y},\tau)
=
\pp{}{t} \big\{ B \big( \vec{y},\tau(\vec{x},\vec{y},t) \big) \big\}
\end{equation}
%
Damit ergibt sich schließlich
für die bewegte Massenquelle die Druckverteilung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{4 \pi} \, \rho_0 \, 
\ff{\partial}{\partial t}
\iraum
\ff{\dot{\beta}(\tau) \, \delta \big( \vec{y} - \vec{x}_s(\tau) \big)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\label{eq:pint_mass}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Ableitung nach der
Beobachtungszeit $t$ mit der Integration
vertauscht.
Dies ist ohne weiteres möglich, da die
Integrationsgrenzen nicht von $t$ abhängen.

Analog kann auch die Lösung für die 
Quellverteilung aus (\ref{eq:welle2})
als Integral dargestellt werden.
Die Quellverteilung hat die Form
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t)
=
\pp{B_i}{x_i}
(\vec{x},t)
\label{eq:quelle2}
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
B_i(\vec{x},t)
=
- f_i(t) \, \delta \big( \vec{x} - \vec{x}_s(t) \big)
\end{equation}
%
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{4 \pi} \, 
\iraum
\ff{
\pp{}{y_i}\Big|_{\tau}
B_i (\vec{y}, \tau)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\label{eq:bint1}
\end{equation}
%
Genauso wie in (\ref{eq:quelle2}) die Ableitung nach $x_i$
bei festem $t$ durchgeführt wird, tritt nun
die Ableitung nach $y_i$ bei festem $\tau$ auf.
Da $\tau$ nach (\ref{eq:tau1}) auch von $y_i$ abhängt, wurde die
Ableitung mit der Schreibweise
$\pp{}{y_i}\Big|_{\tau}$ dargestellt, um Verwechslungen zu vermeiden.
Zu beachten ist außerdem, dass nach der Summationskonvention über den
Index $i$ summiert wird.

Hier kann die Ableitung nach der Quellposition $y_i$
durch eine Ableitung nach der Beobachtungsposition $x_i$
ersetzt werden.
Man erhält aus (\ref{eq:bint1}) unter 
der Bedingung (\ref{eq:tau1}) nach einigen Zwischenschritten
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{4 \pi} \, 
\pp{}{x_i}
\iraum
\ff{
B_i (\vec{y}, \tau)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\label{eq:bint2}
\end{equation}
%
Die Umformungen sind im Einzelnen recht umfangreich
und können hier aus
Platzgründen nicht gegeben werden.
Eine Herleitung wurde auch bereits in einem früheren
Kapitel über Dipolverteilungen vorgestellt.
Zu beachten ist, dass die Abhängigkeit
von $\tau$ in der Form (\ref{eq:tau1}) für
die Gleichung (\ref{eq:bint2})
eine Voraussetzung ist.

Für die bewegte Impulsquelle erhält man 
schließlich das Druckfeld
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
-
\ff{1}{4 \pi} \, 
\ff{\partial}{\partial x_i}
\iraum
\ff{f_i(\tau) \, \delta \big( \vec{y} - \vec{x}_s(\tau) \big)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\label{eq:pint_imp}
\end{equation}
%
Die in den Gleichungen (\ref{eq:pint_mass})
und (\ref{eq:pint_imp}) auftretenden Integrale besitzen
die gleiche Form, wie das Integral in der Lösung
für die einfache Quellverteilung (\ref{eq:qxt1}).
Der prinzipielle Unterschied zwischen den Lösungen
besteht demnach in den Ableitungen nach $t$ beziehungsweise
$x_i$, die in (\ref{eq:pint_mass}) und
(\ref{eq:pint_imp}) vorkommen.

In Abschnitt 4.1 konnte die Lösung für die
einfache Quelle, die auch einen Ausdruck mit
$\delta \big( \vec{y} - \vec{x}_s(\tau) \big)$
im Integral enthält, in eine Summe umgewandelt werden.
Auf analoge Weise können die hier
auftretenden Integrale umgeformt werden.
Die Ableitungen nach $x_i$ und $t$, die 
vor den Integralen stehen, bleiben von den Operationen 
unberührt.
Mit den Ergebnissen aus Abschnitt 4.1 folgt
für die bewegte Massenquelle
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
= \rho_0
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
\sum \limits_{n=1}^N
\,
\ff{\dot{\beta}(\tau^\ast_n)}{4 \pi r |1 - M_r|}
\Big\}
\label{eq:sum_mass}
\end{equation}
%
Die bewegte Impulsquelle hat als Lösung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
-
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
\sum \limits_{n=1}^N
\,
\ff{f_i(\tau^\ast_n)}{4 \pi r |1 - M_r|}
\Big\}
\label{eq:sum_imp}
\end{equation}
%
Dabei müssen die retardierten Zeitpunkte $\tau_n^\ast$
die Bedingung
%
\begin{equation}
c (t - \tau_n^\ast) = |\vec{x} - \vec{x}_s(\tau_n^\ast) |
\label{eq:retart1}
\end{equation}
%
erfüllen.
Mit $N$ ist die Anzahl aller Lösungen $\tau_n^\ast$ gegeben, die
die Bedingung (\ref{eq:retart1}) erfüllen.
In  (\ref{eq:sum_mass}) und  (\ref{eq:sum_imp}) ist zu
beachten, dass
der Abstand mit 
%
\begin{equation}
r = r (\vec{x}, \tau_n^\ast) = |\vec{x} - \vec{x}_s(\tau_n^\ast) |
\label{eq:g24}
\end{equation}
%
und die Beobachtungsmachzahl mit
%
\begin{equation}
M_r = M_r (\vec{x}, \tau^\ast_n)
\label{eq:g25}
\end{equation}
%
wie $\dot\beta$ und $f_i$ auch zu den
Quellzeiten $\tau_n^\ast$ zu nehmen sind.

Durch die Ableitungen vor der
Summe kann die Richtungsabhängigkeit
des abgestrahlten Schalls
in den beiden Lösungen
für Massen- und Impulsquelle
nicht direkt angegeben werden.
Es müssen erst
die Ableitungen nach $t$ beziehungsweise $x_i$
berechnet werden.
Zunächst sollen 
zwei nützliche
Beziehungen vorgestellt werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\pp{ \tau^\ast}{t\;\;} = \ff{1}{1 - M_r}
\label{eq:tau2}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\pp{ \tau^\ast}{x_i\;\,} = - \,
\ff{x_i - x_{si}(\tau^\ast)}
{c \; r  \, \big(1 - M_r\big)}
\label{eq:tau3}
\end{equation}
%
Die beiden Gleichungen ergeben sich durch
Differenzieren von (\ref{eq:retart1})
nach $t$ beziehungsweise $x_i$ und
einigen Umformungen.
Auf den Index $n$ an der Größe $\tau^\ast$ wurde verzichtet.
Die erste Gleichung
wurde bereits im Abschnitt 4.2 hergeleitet
und bei der Berechnung der Dopplerverschiebung verwendet.

Zuerst soll die Lösung für die bewegte Massenquelle
untersucht werden.
In (\ref{eq:sum_mass}) kann die Ableitung 
mit der Summe vertauscht werden.
Betrachtet man einen einzelnen Summanden, so ist
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left\{
\dot{\beta}(\tau^\ast)
\cdot
\ff{1}{ r (\vec{x}, \tau^\ast)}
\cdot
\ff{1}{|1 - M_r (\vec{x}, \tau^\ast)|}
\right\}
\label{eq:ausdruck1}
\end{equation}
%
zu berechnen.
Durch Differenzieren des Ausdrucks ergibt sich nach der Produktregel
eine Summe.
Bei exakter Rechnung erhält man jedoch ein relativ
unübersichtliches Resultat.
Es zeigt sich, dass unter bestimmten Bedingungen zwei der Summanden
mit $1/r^2$ skalieren und einer mit $1/r$.
Für die Richtungsabhängigkeit im Fernfeld $r \rightarrow \infty$
ist es ausreichend
nur den Anteil zu betrachten, der am schwächsten mit $r$ abfällt.

Um eine Näherungslösung für große Abstände $r$ zu bestimmen, werden
zunächst die Ableitungen der einzelnen Faktoren in
(\ref{eq:ausdruck1}) untersucht.
Es gilt
%
\begin{equation}
\pp{}{t} \; \dot\beta (\tau^\ast)
=
\pp{\dot\beta}{\tau^\ast}
\cdot
\pp{\tau^\ast}{t\;\;}
\end{equation}
%
Mit der Schreibweise
%
\begin{equation}
\ddot\beta
=
\pp{\dot\beta}{\tau^\ast}
\end{equation}
%
folgt daraus
%
\begin{equation}
\pp{}{t} \; \dot\beta (\tau^\ast)
=
\ddot\beta (\tau^\ast) \,
 \ff{1}{1 - M_r}
\label{eq:ab_fak1}
\end{equation}
%
Dieser Ausdruck fällt offensichtlich nicht mit dem Abstand $r$ ab.
Nach der Produktregel ist das Ergebnis noch mit dem zweiten und
dritten Faktor in (\ref{eq:ausdruck1}) zu multiplizieren.
Insgesamt ergibt sich dann ein Ausdruck, der wegen des
zweiten Faktors mit $1/r$ skaliert.

Für die Ableitung des zweiten Terms in (\ref{eq:ausdruck1}) folgt
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left\{
\ff{1}{r}
\right\}
=
-
\ff{1}{r^2} \,
\pp{r}{\tau^\ast}
\pp{\tau^\ast}{t\;\;}
\end{equation}
%
Die Ableitung $\pp{r}{\tau^\ast}$ gibt die Änderung des
Beobachtungsabstandes bei Variation der Quellzeit $\tau^\ast$ an.
Sie entspricht damit der Komponente der Geschwindigkeit der Quelle
in Richtung des Beobachters.
Das heißt, es ist
%
\begin{equation}
\pp{r}{\tau^\ast}
=
c \, M_r
\end{equation}
%
Dieser Ausdruck skaliert nicht mit dem Abstand $r$.
Man erhält die Proportionalität
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left\{
\ff{1}{r}
\right\}
\sim
\ff{1}{r^2}
\end{equation}
%
Damit liefert die Ableitung des zweiten Faktors in
 (\ref{eq:ausdruck1}) nur einen $1/r^2$-Anteil an der Gesamtlösung.

Zuletzt wird die
Ableitung des dritten Faktors betrachtet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\pp{}{t}
\left\{\ff{1}{|1 - M_r|}\right\}
&=
\ff{1 - M_r}{|1 - M_r|^3} \; \pp{M_r}{t\;}
\\[18pt]
&=
\ff{1 - M_r}{|1 - M_r|^3} \; \pp{M_r}{\tau^\ast} \, \pp{\tau^\ast}{t\;\;}
\end{array}
\end{equation}
%
Mit der Schreibweise
%
\begin{equation}
\dot{M}_r = \pp{M_r}{\tau^\ast}
\end{equation}
%
und der Gleichung (\ref{eq:tau2})
folgt
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left\{\ff{1}{|1 - M_r|}\right\}
=
\ff{\dot{M}_r}{|1 - M_r|^3}
\label{eq:g37}
\end{equation}
%
Es stellt sich die Frage, wie dieser Ausdruck mit dem Abstand skaliert.
Die Antwort darauf ist nicht so einfach zu geben, da
$\dot{M}_r$ entscheidend von der Bewegung der Quelle
abhängt.
Im Spezialfall der gleichförmig, gradlinigen Bewegung gilt
%
\begin{equation}
M_r
=
M_s \, \cos \big(\theta(\vec{x}, \tau^\ast)\big)
\label{eq:gerade1}
\end{equation}
%
und die Machzahl der Quellbewegung $M_s$ ist eine Konstante.
Damit hängt $M_r$ nur von dem Beobachtungswinkel $\theta$ ab.
Anschaulich ist klar, dass sich dieser Winkel für große Abstände $r$
nicht so schnell ändert wie bei kleinen Abständen.
%wenn sich die
%Quelle am Beobachter vorbeibewegt.
Damit skaliert $\dot{M}_r$ irgendwie mit $r$.
Für die folgenden Überlegungen wird sich auf den Spezialfall beschränkt
und eine gleichförmig, gradlinigen Bewegung angenommen.
Es folgt
%
\begin{equation}
\dot{M}_r
=
- M_s \, \sin (\theta) \; \pp{\theta}{\tau^\ast}
\end{equation}
%
Betrachtet man die zeitliche Änderung des Beobachtungswinkels,
ergibt sich aus geometrischen Überlegungen
%
\begin{equation}
\pp{\theta}{\tau^\ast}
=
\ff{\sin \theta}{2 \pi r} \; |\vec{v}_s|
\label{eq:geome1}
\end{equation}
%
Die Winkeländerung ist am größten, wenn sich die Quelle gerade
tangential zum Beobachter bewegt.
Vergrößert sich der Abstand so fällt $\pp{\theta}{\tau^\ast}$
mit $1/r$ ab.
Offensichtlich gilt für eine Quelle mit gleichförmig, gradliniger
Bewegung
%
\begin{equation}
\dot{M}_r \sim \ff{1}{r}
\label{eq:g41}
\end{equation}
%
Daraus folgt insgesamt
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left\{\ff{1}{|1 - M_r|}\right\}
\sim
\ff{1}{r}
\end{equation}
%
Durch Multiplikation dieses Ausdrucks mit dem ersten und zweiten
Faktor in (\ref{eq:ausdruck1}) ergibt sich damit ein Anteil, der mit
$1/r^2$ skaliert.

Somit fällt nur der Anteil, der durch
Differenzieren des ersten Faktors
entsteht, mit $1/r$ ab.
Alle anderen Anteile sind proportional $1/r^2$.
Aus (\ref{eq:ab_fak1}) folgt
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial t}
\Big\{
\ff{\dot{\beta}}{r |1 - M_r|}
\Big\}
%\stackrel
\;\underset{r \rightarrow \infty}{=}
\;
\ff{\ddot{\beta}}{r |1 - M_r| (1 - M_r)}
\end{equation}
%
Damit kann das resultierende Druckfeld angegeben werden.
Für die punktförmige Massenquelle, die sich gleichförmig und
gradlinig bewegt, ergibt sich
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \Big|_{r \rightarrow \infty}=
\sum \limits_{n=1}^{N} \,
\ff{\rho_0 \ddot{\beta}(\tau^\ast_n)}
{4 \pi r \, (1 - M_r) \, |1 - M_r|}
\label{eq:pfern_mass}
\end{equation}
%
Zu beachten ist, dass
diese Beziehung wirklich nur für eine unbeschleunigte Quellbewegung gilt.
Für diesen Spezialfall kann jetzt die Richtungsabhängigkeit
des erzeugten Schallfeldes für weit entfernte Beobachter
betrachtet werden.
Im Vergleich zur einfachen Quelle nach (\ref{eq:qxt1}) findet man
einen zusätzlichen Faktor $(1 - M_r)$ im Nenner.
Die Richtungsabhängigkeit ist bei der bewegten Massenquelle stärker.
Ist zum Beispiel $M_r = 0.5$, so ergibt sich nach (\ref{eq:pfern_mass})
eine Verstärkung um den Faktor vier.
Im Fall der bewegten einfachen Quelle beträgt der Faktor nur zwei.

Im Folgenden soll auch noch die Lösung für die bewegte Impulsquelle
hergeleitet werden.
Dazu muss die Ableitung
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial x_i}
\Big\{
f_i(\tau^\ast)
\cdot
\ff{1}{r(\vec{x},\tau^\ast)}
\cdot
\ff{1}{|1 - M_r (\vec{x},\tau^\ast)|}
\Big\}
\label{eq:ausdruck2}
\end{equation}
%
berechnet werden.
Das weitere Vorgehen ist analog zu der obigen Herleitung.
Zu bedenken ist, dass die Größen $r$ und $M_r$
gemäß (\ref{eq:g24}) und (\ref{eq:g25}) einmal direkt von
$x_i$ abhängen und zum Zweiten indirekt über die
Quellzeit $\tau^\ast$, die ihrerseits eine Funktion
von $x_i$ ist.
Dadurch ergeben sich etwas kompliziertere Ausdrücke
als im Fall der Massenquelle.
Die Ableitung des ersten Faktors in (\ref{eq:ausdruck2})
ergibt
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial x_i}
f_i(\tau^\ast)
=
\pp{f_i}{\tau^\ast} \cdot \pp{\tau^\ast}{x_i\;}
=
\dot{f_i} \cdot \pp{\tau^\ast}{x_i\;}
\label{eq:g46}
\end{equation}
%
mit der Schreibweise
%
\begin{equation}
\dot{f_i} = \pp{f_i}{\tau^\ast}
\end{equation}
%
Für den zweiten Faktor erhält man
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial x_i}
\left\{ \ff{1}{r} \right\}
=
- \, \ff{1}{r^2} \, \pp{}{x_i} \{ r(\vec{x}, \tau^\ast) \} 
\end{equation}
%
Es wird die Ableitung von $r(\vec{x}, \tau^\ast)$
nach $x_i$ benötigt.
Für diese ergibt sich aus (\ref{eq:g24})
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\pp{}{x_i} \{ r(\vec{x}, \tau^\ast) \} 
&=
\pp{r}{x_i}\Big|_{\tau^\ast}
+
\pp{r}{\tau^\ast}\Big|_{\vec{x}} \,
\pp{\tau^\ast}{x_i\;}
\\[18pt]
&=
\ff{x_i - x_{s,i}}{r} + c M_r \, \pp{\tau^\ast}{x_i\;}
\end{array}
\end{equation}
%
Damit folgt
%
\begin{equation}
\ff{\partial}{\partial x_i}
\left\{ \ff{1}{r} \right\}
=
-\ff{x_i - x_{si}}{r^3} - \ff{c M_r}{r^2} \, 
\pp{\tau^\ast}{x_i\;}
\end{equation}
%
Nach (\ref{eq:tau3}) skaliert $\pp{\tau^\ast}{x_i\;}$
mit $1/r$.
Es gilt daher
%
\begin{equation}
\pp{}{x_i}
\left\{ \ff{1}{r} \right\}
\sim
\ff{1}{r^3}
\end{equation}
%
Als letztes muss noch die Ableitung des dritten
Faktors gebildet werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{}{x_i} \,
\left\{ \ff{1}{|1 - M_r|} \right\}
=
\ff{1 - M_r}{|1 - M_r|^3}
\,
\pp{}{x_i} \{M_r(\vec{x},\tau^\ast) \}
\end{equation}
%
Im Folgenden wird wieder nur der
Fall einer gleichförmig, gradlinigen Bewegung der Quelle betrachtet.
Das heißt, es gilt (\ref{eq:gerade1}) mit einem konstanten Wert $M_s$.
Damit ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\pp{}{x_i} \{M_r(\vec{x},\tau^\ast) \}
\\[18pt]
\qquad
=
- M_s \sin(\theta)
\left\{
\pp{\theta}{x_i}\Big|_{\tau^\ast} 
+
\pp{\theta}{\tau^\ast}\Big|_{\vec{x}} 
\, \pp{\tau^\ast}{x_i}
\right\}
\end{array}
\end{equation}
%
Die Summanden in der geschweiften Klammer fallen beide
mit dem Abstand ab.
Aus (\ref{eq:geome1}) und (\ref{eq:tau3}) folgt, dass der
zweite Summand mit $1/r^2$ skaliert.
Die Ableitung $\pp{\theta}{x_i}\Big|_{\tau^\ast}$ wurde bisher noch nicht
betrachtet.
Aus geometrischen Gründen ist jedoch klar, dass die Winkeländerung
durch eine Verschiebung des Beobachtungsortes bei fester Quellposition
umgekehrt proportional zum Abstand $r$ ist.
Damit gilt für große Abstände
%
\begin{equation}
\pp{}{x_i} \{M_r(\vec{x},\tau^\ast)\}
\sim
\ff{1}{r}
\end{equation}
%
Die Ableitung (\ref{eq:ausdruck2}) liefert daher nur einen Summanden,
der mit $1/r$ skaliert.
Die anderen beiden fallen mit $1/r^2$ ab.
Für große Abstände ist nur der Anteil, der sich durch die
Ableitung des ersten Faktors ergibt, zu berücksichtigen.
Multipliziert man die
rechte Seite von (\ref{eq:g46})
mit den zweiten und dritten Faktor
ergibt sich unter Berücksichtigung
von (\ref{eq:tau3})
%
\begin{equation}
\pp{}{x_i} \,
\left\{
\ff{f_i}{r \, |1 - M_r|}
\right\}
\; \underset{r \rightarrow \infty}{=} \;
\ff{\ff{1}{c} \, \dot{f}_r}{r \, (1 - M_r) \, |1 - M_r|}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Abkürzung
%
\begin{equation}
f_r = f_i \cdot
\ff{(x_i - x_{s,i})}{|\vec{x} - \vec{x}_s|}
=
\vec{f} \cdot
\ff{(\vec{x} - \vec{x}_{s})}{|\vec{x} - \vec{x}_s|}
\end{equation}
%
verwendet.
Die Größe $f_r$ entspricht -- analog zu $M_r$ -- 
der Komponente der Impulsquelle in Richtung
des Beobachters.

Für die Druckverteilung der gleichförmig, gradlinig bewegten
Impulsquelle erhält man für große Abstände schließlich
die Druckverteilung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \Big|_{r \rightarrow \infty}=
\sum \limits_{n=1}^{N} \,
\ff{\dot{f}_r(\tau^\ast_n) / c}
{4 \pi r \, (1 - M_r) \, |1 - M_r|}
\label{eq:g57}
\end{equation}
%
Die Richtungsabhängigkeit dieser Lösung ist nicht nur durch die
$(1 - M_r)$-Terme im Nenner gegeben, sonder auch $\dot{f}_r$ hängt
von der Beobachtungsrichtung ab.
Dabei ist die Richtung des zugeführten Impulses ausschlaggebend.
Senkrecht zu dieser Richtung wird kein Schall abgestrahlt.
Daran ändern auch die Verstärkung beziehungsweise Abschwächung durch
die Bewegung der Quelle nichts.
Eine unbewegte Impulsquelle erzeugt ein Dipolfeld.
Die Richtungsabhängigkeit des Dipolfeldes
wird mit der Verstärkung beziehungsweise
Abschwächung durch Bewegung überlagert.


Im Überblick ergeben sich für verschiedenen Quelltypen
die Abhängigkeiten im Fernfeld von der Beobachtungsmachzahl $M_r$
wie folgt:

a) Einfache Quelle (rein formal)
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t) = Q(t) \; \delta(\vec{x} - \vec{x}_s(t))
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \sim \ff{1}{1 - M_r}
\label{eq:g58}
\end{equation}
%

b) Massen- und Impulsquelle
%
\begin{equation}
\begin{split}
q(\vec{x},t) =& \rho_0
\ff{\partial}{\partial t} \,
\Big\{
\dot{\beta}(t) \; \delta(\vec{x} - \vec{x}_s(t))
\Big\}
\\
&-
\ff{\partial}{\partial x_i} \,
\Big\{
f_i(t) \; \delta(\vec{x} - \vec{x}_s(t))
\Big\}
\end{split}
\label{eq:g60}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \sim \ff{1}{(1 - M_r)^2}
\end{equation}
%

c) Quadrupol-Quelle
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t) = 
\ff{\partial^2}{\partial x_i x_j} \,
\Big\{
T_{ij}(t) \; \delta(\vec{x} - \vec{x}_s(t))
\Big\}
\label{eq:g62}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \sim \ff{1}{(1 - M_r)^3}
\end{equation}
%
Zu beachten ist, dass die Proportionalitäten in b) und c) nur für den
Fall der gleichförmig, gradlinigen Bewegung gelten.

%Durch die einfachen Ableitungen in
%(\ref{eq:g60}) und die
%doppelte Ableitung in (\ref{eq:g62})
%ergeben sich entsprechend
%höhere Potenzen des $(1 - M_r)$-Terms.
%Das bedeutet, dass im Prinzip
%durch Messungen der Richtungsverteilung
%des Schalldrucks im Fernfeld auf den Typ einer bewegten Quelle
%zurückgeschlossen werden kann.
%Dazu muss natürlich die Geschwindigkeit der Quelle bekannt sein.

Die Lösungen (\ref{eq:pfern_mass})
und (\ref{eq:g57})
werden durch die instationäre Massen- und Impulszufuhr
bestimmt.
Falls
$\ddot{\beta} = 0$ und $\dot{f_r} = 0$ sind, ergeben sich
bei gleichförmig, gradlinigen Bewegung der Quellen nur
Druckfelder, die mit $1/r^2$ abfallen.
Dies ändert sich jedoch bei beschleunigter Bewegung
der Quelle.
Dann gilt die Proportionalität (\ref{eq:g41}) nicht mehr.
Der Ausdruck in Gleichung (\ref{eq:g37}) fällt
dann nicht notwendigerweise mit $1/r$ ab.
Damit dominiert der entsprechende Summand die
Lösung.
In dem Fall $\ddot{\beta} = 0$
ergibt sich für eine reine Massenquelle das Druckfeld
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \Big|_{r \rightarrow \infty}=
\sum \limits_{n=1}^{N} \,
\ff{
\rho_0 \dot{\beta}(\tau^\ast_n) \, \dot{M}_r}
{4 \pi r \, |1 - M_r|^3}
\label{eq:g64}
\end{equation}
%
Für eine unbeschleunigte Bewegung ist im Fernfeld
$\dot{M}_r \sim 1/r$, und der Ausdruck in (64) fällt mit $1/r^2$ ab.
Wird jedoch die Massenquelle zum Beispiel entlang einer Geraden
periodisch hin- und herbewegt, ist $\dot{M}_r$ in Richtung der
Bewegung unabhängig von $r$.
Der Schalldruck fällt dann mit $1/r$ im Fernfeld ab.

Anschaulich bedeutet dies, dass eine Massenquelle mit zeitlich
konstantem Massenfluss nur effizient Schall abstrahlt, wenn sich
die Quelle beschleunigt bewegt.
Bei einer ruhenden oder eine gleichförmig, gradlinig bewegten Massenquelle
führt nur die instationäre Schwankung des Massenflusses zu einer
Schallabstrahlung ins Fernfeld.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------