Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 6.\ Juli 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{4}
\begin{multicols}{2}

%
\begin{flushleft}
{\bf zu 4.2) Frequenzverschiebung}
\end{flushleft}

In Abschnitt 4.1 wurde für den Fall einer gleichförmig, geradlinigen
Bewegung der Quelle eine Bedingung $\tau^\ast(\vec{x},t)$ abgeleitet.
Im Prinzip kann daraus die benötigte Ableitung $\pp{\tau^\ast}{t\;\;}$
direkt berechnet werden.
Jedoch muss aufgepasst werden, dass wirklich gültige
Lösungen $\tau^\ast$ betrachtet werden.
Die abgeleitete Bedingung war nämlich quadratisch und lieferte unter
Umständen auch unphysikalische Lösungen.
Zusätzlich gilt die Beziehung nur für eine bestimmte Quellbewegung.

Auch ohne Vorgabe einer bestimmten Quellbewegung kann eine
nützliche Beziehung für die gesuchte Ableitung hergeleitet werden.
Dazu wird von der Gleichung aus dem letzten Abschnitt
%
\begin{equation}
c ( t - \tau^\ast) = |\vec{x} - \vec{x}_s (\tau^\ast)|
\end{equation}
%
ausgegangen.
Sie muss für alle Quellzeiten $\tau^\ast$, die eine Beitrag zur
Zeit $t$ am Ort $\vec{x}$ liefern, erfüllt sein.
Differenziert man beide Seiten nach der Beobachtungszeit $t$, so ergibt
sich
%
\begin{equation}
c \,
\left(
1 - \pp{\tau^\ast}{t}
\right)
=
\dd{}{\tau^\ast}
\big\{
|\vec{x} - \vec{x}_s (\tau^\ast)|
\big\}
\cdot
\pp{\tau^\ast}{t\;\,}
\label{eq:cet1}
\end{equation}
%
Auf der rechten Seite tritt die Ableitung des Abstands zwischen
Beobachtungsort und Quellposition nach der Quellzeit $\tau^\ast$ auf.
Dieser Ausdruck kam bereits im letzten Abschnitt vor.
Dort ergab sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\dd{}{\tau}
\big\{
|\vec{x} - \vec{x}_s (\tau)|
\big\}
&=
-
\ff{\big( x_i - x_{s,i}(\tau)\big)}{|\vec{x} -  \vec{x}_s(\tau)|}
\cdot
\dd{x_{s,i}}{\tau}\\[18pt]
&\equiv - c \, M_r(\tau)
\end{array}
\label{eq:ddtau}
\end{equation}
%
Ersetzt man in (\ref{eq:ddtau}) die Größe $\tau$ durch $\tau^\ast$, so wird
der erste Faktor auf der rechte Seite von (\ref{eq:cet1}) gerade
zu $- c \, M_r(\tau^\ast)$.
Setzt man dies in
(\ref{eq:cet1}) ein und löst nach der gesuchten Ableitung auf, so erhält man
%
\begin{equation}
\pp{\tau^\ast}{t\;\;} =
\ff{1}
{1 - M_r}
\label{eq:ddtt1}
\end{equation}
%
Damit ist die gesuchte Ableitung als Funktion der Beobachtungsmachzahl
$M_r$ ausgedrückt.

Vernachlässigt man die Glieder höherer Ordnung in der Reihenentwicklung
von $\tau^\ast(t)$, so ergibt sich aus (2) für den Schalldruck
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\ff{\widehat{Q}}
{4 \pi r |1 - M_r|} \cdot 
e^{\displaystyle i \omega \tau^\ast_0 }
\cdot
e^{\displaystyle i \omega_D (t-t_0)}
\label{eq:ps1}
\end{equation}
%
Dabei ist mit $\omega_D$ die
``verschobene'' Frequenz
%
\begin{equation}
\omega_D
= 
\omega \cdot \ff{1}{1 - M_r}
=
\ff{\omega}{1 - M_s \, \cos \theta}
\label{eq:omd1}
\end{equation}
%
gegeben.
Gleichung (\ref{eq:ps1}) ist nur in einem kurzen Augenblick
bei $t \approx t_0$ eine gute Approximation.
In diesem Moment nimmt der Beobachter die Quelle mit der Frequenz
$\omega_D$ war.
Im Allgemeinen verändert sich die Frequenz $\omega_D$
ständig als Funktion der Beobachtungsmachzahl $M_r$.
Nur wenn sich die Quelle direkt auf den Beobachter
zubewegt ($\theta=0$), bleibt die Frequenz konstant
und springt dann auf einen anderen Wert wenn die Quelle
den Beobachter passiert.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,6.5) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kringel.eps,width=6.5cm}}}
%\put(0.0,6.5){\makebox(0,0)[lb]{x}}
\put(0.9,5.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $c \cdot \Delta t$}}
\put(4.4,6.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $U_s \cdot \Delta t$}}
\put(0.7,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\omega_{\hbox{\scriptsize B}} < \omega$}}
\put(6.8,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\omega_{\hbox{\scriptsize B}} > \omega$}}
\end{picture}
Abbildung 1: Veranschaulichung der Frequenzverschiebung
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Die Frequenzverschiebung wird anschaulich plausibel, wenn man
Phasenfronten (z.B.\ die Maxima) der abgestrahlten Wellen betrachtet.
Dies ist in Abbildung 1 dargestellt.
Durch die Bewegung rücken die Phasenfronten auf einer Seite
zusammen und auf der anderen Seite auseinander.
Der Beobachter, auf den sich die Quelle zubewegt, sieht eine kürzere
Wellenlänge und eine entsprechend höhere Frequenz.
Dies steht im Einklang mit der formalen Überlegung.
Für den Beobachter auf der rechten Seite ist $M_r > 0$.
Damit wird der Ausdruck in (\ref{eq:ddtt1}) größer Eins.
Die beobachtete Frequenz ist erhöht.
Analog ergibt sich eine niedrigere Frequenz entgegen der Bewegungsrichtung.
Dort ist $M_r < 0$.
Entsprechend sind die Abstände der Phasenfronten auf der linken Seite
in Abbildung 1 größer.

Das Phänomen der Frequenzverschiebung wird üblicherweise als
Doppler-Verschiebung bezeichnet.
Der Faktor in (\ref{eq:ddtt1}), um den sich die Frequenz ändert, 
heißt Doppler-Faktor.

\setcounter{equation}{0}
%
\begin{flushleft}
{\bf 4.3) Quelle mit Überschallgeschwindigkeit}
\end{flushleft}
%

In einem Gedankenexperiment von Lord Rayleigh
bewegt sich ein Geigespieler mit doppelter Schallgeschwindigkeit
$M_s = 2$ direkt auf einen Beobachter zu.
Der Beobachter befindet sich in der Bahn des Musikers.
Der Musiker erzeugt ein Signal $Q(t)$.
Zunächst hört der Beobachter den herannahenden Musiker
überhaupt nicht.
Wenn der Musiker den Beobachter passiert hat,
hört der Beobachter eine Überlagerung von zwei Signalen, denn
es existieren zwei Lösungen $\tau^\ast_1$ und $\tau^\ast_2$.
Sie entsprechen zwei Quellpositionen.
Eine liegt auf dem Weg zum Beobachter hin und die andere auf
dem Weg vom Beobachter weg.
Für die erste Quellposition ist die Beobachtungsmachzahl $M_r = 2$ und
für die zweite ist $M_r = -2$.

Der Beobachter hört das Signal
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\ff{Q(\tau^\ast)}{4 \pi r |1 - M_r|}
\label{eq:ps2}
\end{equation}
%
Für die erste Quellposition gilt
%
\begin{equation}
\pp{\tau^\ast}{t\;\;} =
\ff{1}
{1 - M_r} = -1
\end{equation}
%
Der Beobachter hört demnach die Musik in Orginalgeschwindigkeit
jedoch rückwärts!
Das ganze ist Überlagert mit dem Signal, von der
zweiten Lösung $\tau^\ast_2$.
Stoppt der Musiker sein Spiel, wenn er den Beobachter erreicht, hört
der Beobachter die rückwärts spielende Musik sogar ungestört.

Dieses Phänomen wird anschaulich plausibel, wenn man die Situation
in der ($x_s,\tau$)-Ebene betrachtet.
Hat die Quelle den Beobachter passiert, existieren für den
Beobachter am Ort $x_b$ zur Zeit $t_b$ zwei Lösungen $\tau_1^\ast$
und $\tau_2^\ast$.
Diese sind durch die Schnittpunkte der Bewegungsbahn mit den
$\pm 1/c$-Strahlen durch $(x_b,t_b)$ gegeben.
Die Kurven sind in der Abbildung 1 dargestellt.
Zu einem um $\Delta t$ späteren Zeitpunkt ergeben sich neue
Schnittpunkte in der ($x_s,\tau$)-Ebene
und damit andere Lösungen $\tau^\ast$.
Die mit $\tau_1^\ast$ bezeichnete Lösung ist genau um $\Delta t$
verringert, wenn $t_b$ um $\Delta t$ erhöht wird.
Dies entspricht der Aussage von Gleichung (2).

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,6.5) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=raumzeitc0.eps,width=7.0cm}}}
%\put(0.0,6.5){\makebox(0,0)[lb]{x}}
\put(1.0,5.1){\makebox(0,0)[cr]{\small $t_b$}}
\put(1.0,4.3){\makebox(0,0)[cr]{\small $\tau_2^\ast$}}
\put(1.0,2.7){\makebox(0,0)[cr]{\small $\tau_1^\ast$}}
\put(0.9,6.0){\makebox(0,0)[cc]{$\tau$}}
\put(3.1,5.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Delta t$}}
\put(4.15,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Delta t$}}
\put(4.45,0.75){\makebox(0,0)[cc]{$x_b$}}
\put(7.35,0.8){\makebox(0,0)[cc]{$x_s$}}
\end{picture}
Abbildung 1: Verschiebung der Quellzeiten mit der Beobachtungszeit
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Bei dem Gedankenexperiment von Lord Rayleigh
handelt es sich um einen Spezialfall.
Im nächsten Schritt soll ein etwas allgemeinerer Fall betrachtet werden. 
Zur Vereinfachung wird weiterhin angenommen, dass
sich die Quelle gradlinig und gleichförmig mit der Geschwindigkeit
%
\begin{equation}
U_s = |\vec{v}_s| > c
\end{equation}
%
bewegt.
Die Machzahl der Quellbewegung ist mit
%
\begin{equation}
M_s = \ff{U_s}{c} > 1
\end{equation}
%
gegeben.
Im dem eindimensionalen Gedankenexperiment war klar, dass der
Beobachter die herannahende Schallquelle nicht wahrnehmen kann, bevor sie
ihn erreicht.
Im dreidimensionalen Fall
stellt sich die Frage, an welchen Orten ein Beobachter
die Quelle zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_b$ bereits wahrgenommen hat.
Die Quelle befindet sich zur Zeit $t_b$ an der Position $\vec{x}_s(t_b)$,
die im Folgenden als aktuelle Position bezeichnet wird.
Zum Zeitpunkt $t_b - \Delta t$ befand sich die Quelle noch
um $U_s \, \Delta t$ vor der aktuellen Position.
Konstruiert man sich um diese Position eine Kugel,
deren Radius $c \, \Delta t$ gerade der Strecke entspricht, die Wellen in der Zeit
$\Delta t$ zurücklegen, so haben alle Beobachter innerhalb der Kugel
zur aktuellen Zeit $t_b$ die Quelle bereits wahrgenommen.
Eine solche Kugel kann nun für alle möglichen Werte $\Delta t$
konstruiert werden.
Die Kugeln überlagern sich zu einem Kegel im Raum.
Die Spitze des Kegels befindet sich in der aktuellen Position 
der Quelle.
Die Situation ist in der Abbildung 2 in einem
Schnitt durch die Mitte des Kegels veranschaulicht.
Die Quelle bewegt sich von links nach rechts.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,6.5) \thicklines
\put(0,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=machkone0.eps,width=7.0cm}}}
%\put(0.0,6.5){\makebox(0,0)[lb]{x}}
\put(6.8,4.4){\makebox(0,0)[cc]{\parbox{3cm}{aktuelle\\Position\\der Quelle}}}
\put(4.5,0.25){\makebox(0,0)[cc]{Kegelmantel}}
\put(2.65,1.85){\makebox(0,0)[cc]{\small $c \, \Delta t$}}
\put(2.95,2.65){\makebox(0,0)[cc]{\small $\theta$}}
\put(5.6,2.65){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vartheta$}}
\put(4.5,5.85){\makebox(0,0)[cc]{\small $U_s \, \Delta t$}}
\end{picture}
\\
Abbildung 2: Machscher Kegel
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Der resultierende Kegel wird Machscher Kegel genannt.
Beobachter außerhalb des Kegels haben die Quelle zur Zeit $t_b$
noch nicht wahrgenommen.
Beobachter auf dem Kegelmantel erreicht gerade die erste Information
von der Quelle.
Für diese Beobachter ergibt sich eine ganz besondere Situation.
Betrachtet man den Beobachtungswinkel $\theta$ für diese Beobachter,
so gilt
%
\begin{equation}
\cos \theta = \ff{c \, \Delta t}{U_s \, \Delta t} = 
\ff{1}{M_s}
\label{eq:costh0}
\end{equation}
%
Gleichzeitig gilt nach den Überlegungen aus Abschnitt 4.1 für die
Beobachtungsmachzahl allgemein
%
\begin{equation}
M_r = M_s \, \cos \theta
\end{equation}
%
Zusammen mit (\ref{eq:costh0}) folgt daraus,
dass die Beob\-achtungsmachzahl für Beobachter
überall auf dem Kegelmatel
%
\begin{equation}
M_r = 1
\end{equation}
%
ist.
Für diese Beobachtungsmachzahl ergibt sich dadurch eine
singuläre Lösung für das beobachtete Drucksignal.
Allgemein gilt
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\sum \limits_{n=1}^N
\;
\ff{Q(\tau^\ast_n)}{4 \pi 
r(\tau^\ast_n)
|1 - M_r(\tau^\ast_n)|}
\end{equation}
%
Für den Beobachter am Kegelmantel existiert nur eine
Quellzeit $\tau^\ast$.
Diese hängt vom Abstand des Beobachters zur aktuellen Quellposition
ab.
Der Beobachtungswinkel $\theta$ und die Beobachtungsmachzahl $M_r$
sind jedoch für alle gleich.
In jedem Fall ist
%
\begin{equation}
|1 - M_r(\tau^\ast)| = 0
\end{equation}
%
Dies bedeutet, dass für Beobachter am Kegelmantel der Druck theoretisch
unendlich groß wird.
Dort sind die Annahmen der Akustik nicht
mehr erfüllt.
In der Realität hört ein Beobachter am Kegelmantel den
sogenannten Überschallknall.
Für die Stärke und Form der realen Druckschwankungen im
Überschallknall spielen
nichtlineare Effekte und die Ausdehnung der Quelle eine Rolle.

In Abbildung 2 ist auch
der Kegelwinkel $\vartheta$ eingezeichnet.
Er wird Machscher Winkel genannt.
Die Regeln für rechtwinklige Dreiecke ergeben, dass
%
\begin{equation}
\sin \vartheta = \ff{1}{M_s}
\end{equation}
%
gelten muss.
Damit hängt der Machsche Winkel mit
%
\begin{equation}
\vartheta = \hbox{arcsin} \left(  \ff{1}{M_s} \right)
\end{equation}
%
von der Machzahl der Quellbewegung $M_s$ ab.
Je schneller sich die Quelle bewegt, desto spitzer wird der Kegel.

Bewegt sich die Quelle nicht gradlinig, kann ebenfalls um jede
durchlaufene Position der Quelle eine Kugel konstruiert werden.
Bei einer gekrümmten Bahn entsteht dann kein Kegel sondern ein Konoid,
falls $M_s > 1$ ist.
Es ergibt sich auch in diesem Fall auf der Oberfläche des Konoids
ein Beobachtungswinkel $\theta$ für den $M_r = 1$ wird.
Die lineare Theorie liefert entsprechend auch dort
einen singulären Schalldruck.
%



\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------