Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 3.\ Juli 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{21}
\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 4.1) Schallfeld eines bewegten Monopols}
\end{flushleft}

Für die Ableitung der Funktion $g(\tau)$
ergibt sich
%
\begin{equation}
\dd{g}{\tau} =
\ff{\big( x_i - x_{s,i}(\tau)\big)}{c \; |\vec{x} -  {\vec{x}}_s(\tau)|}
\;
\dd{x_{s,i}(\tau)}{\tau} - 1
\end{equation}
%
Dies kann auch in rein
vektorieller Darstellung als
%
\begin{equation}
\dd{g}{\tau} =
\ff{1}{c} \cdot
\underbrace{
\underbrace{\phantom{\Bigg|}\ff{\Big( \vec{x} - \vec{x}_s(\tau)\Big)}
{|\vec{x} -  \vec{x}_s(\tau)|}\phantom{\Bigg|}}_{
\begin{array}{c}
\makebox[10pt]{Normierter}\\
\makebox[10pt]{Richtungsvektor}
\end{array}}
\cdot
\underbrace{\phantom{\Bigg|}\dd{\vec{x}_s(\tau)}{\tau}\phantom{\Bigg|}}_{
\displaystyle \vec{v}_s(\tau)}}_{\displaystyle \equiv c \cdot M_r(\tau)}
- \;
1
\label{eq:dgdtau1}
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Auf der rechten Seite von (\ref{eq:dgdtau1}) ergibt sich ein
Skalarprodukt zweier Vektoren.
Der erste ist ein normierter Richtungsvektor der Länge eins,
der von der Quellposition (zur retardierten Zeit) zum Beobachter zeigt.
Der zweite Vektor entspricht der Geschwindigkeit
$\vec{v}_s(\tau)$, die die Quelle zur retardierten Zeit hatte.
Das Skalarprodukt ergibt gerade den Betrag der Komponente von $\vec{v}_s$
in Richtung des Beobachters.
Definiert man mit $M_r$ eine Machzahl der Quellbewegung in
Richtung zum Beobachter hin, so ist diese Geschwindigkeitskomponente
gleich $c \cdot M_r$.
In Abbildung 1 ist die Situation veranschaulicht.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,6.0) \thicklines
\put(2,1){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=bewq01.eps,height=4.0cm}}}
\put(2.0,4.0){\makebox(0,0)[cc]{$c\;M_r$}}
\put(2.6,5.3){\makebox(0,0)[cr]{Quelle $\vec{x}_s$}}
\put(3.3,5.15){\makebox(0,0)[cc]{$\vec{v}_s$}}
\put(4.0,3.15){\makebox(0,0)[cl]{$\vec{x} - \vec{x}_s$}}
\put(5.0,0.75){\makebox(0,0)[cl]{Beobachter $\vec{x}$}}
\end{picture}
Abbildung 1: Zur Definition der Größe $M_r$.
\vspace{10pt}
\end{center}
\end{minipage}
%

Zu beachten ist, dass die Machzahl $M_r$ vorzeichenbehaftet ist.
Sie wird negativ, wenn sich die Quelle vom Beobachter entfernt.
Mit der Definition vereinfacht sich (\ref{eq:dgdtau1}) zu:
%
\begin{equation}
\dd{g}{\tau} = M_r(\tau) - 1
\label{eq:dgdtau2}
\end{equation}
%

Zur Berechnung des Schalldrucks am Beobachtungort, müssen noch
alle Quellzeiten $\tau^\ast$ ermittelt werden.
Zunächst stellt sich die Frage, wie viele Lösungen $\tau^\ast$ überhaupt
existieren.
Bewegt sich die Quelle immer mit Unterschall und strebt auch
nicht asymptotisch gegen Schallgeschwindigkeit für
$\tau \rightarrow \pm \infty$, so gilt
%
\begin{equation}
\big| M_r(\tau) \big| \leq  \big| M_r(\tau)
\big|_{\hbox{\scriptsize max}} < 1
\label{eq:mr1}
\end{equation}
%
Damit ist $g(\tau)$ nach (\ref{eq:dgdtau2}) eine streng monoton fallende Funktion, die
genau eine Nullstelle $\tau^{\ast}$ besitzt.
Die Summe in Gleichung (15) besteht damit nur aus einem
Summanden.
Es folgt für den Schalldruck
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \ff{Q(\tau^{\ast})}{4 \pi r (\tau^\ast) \,
|1 - M_r(\tau^{\ast})|}
\label{eq:pstrich1}
\end{equation}
%
Diese Gleichung gilt falls sich die Quelle immer nur mit
Unterschallgeschwindigkeit auf den Beobachter zu oder weg bewegt.
In (\ref{eq:pstrich1}) ist der Abstand zwischen Quellposition und
Beobachtungsposition mit
%
\begin{equation}
r (\tau) = |\vec{x} - \vec{x}_s (\tau)|
\end{equation}
%
eingeführt.
Es sind die Werte der beiden Größen $r$ und $M_r$ zu der Quellzeit
$\tau^\ast$ in (\ref{eq:pstrich1}) einzusetzen.

Es ergibt sich, dass die Stärke der beobachteten Druckschwankungen nicht nur
von der Entfernung der Quelle sondern auch von deren
Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit abhängt.
Im Vergleich zur unbewegten Quelle ($M_r = 0$)
ergibt sich eine Verstärkung
des Signals, wenn sich die Quelle auf den Beobachter zu bewegt.
In diesem Fall ist $M_r > 0$ und damit $|1 - M_r| < 1$.
Entsprechend wird eine Abschwächung beobachtet, wenn sich die
Quelle entfernt.
Dann ist $M_r < 0$ und für den Ausdruck im Nenner gilt $|1 - M_r| > 1$.

Bewegt sich die Quelle zeitweise mit Überschall ist die
Bedingung (\ref{eq:mr1}) nicht mehr erfüllt.
Es können sich mehrere mögliche Quellzeiten $\tau^\ast$ ergeben.
Alle müssen die Bedingung
%
\begin{equation}
c (t - \tau^\ast) = |\vec{x} - \vec{x}_s(\tau^\ast) |
\label{eq:cttau1}
\end{equation}
%
erfüllen, die äquivalent zu $g(\tau^\ast) = 0$ ist.
Prinzipiell ist es auch möglich, dass überhaupt keine Lösung
für $\tau^\ast$ existiert.
Dies hängt von der Bewegung $\vec{x}_s(\tau)$, der Beobachtungszeit $t$
und dem Beobachtungsort $\vec{x}$ ab.
Entsprechende Fälle werden in einem folgenden Abschnitt diskutiert. 

Falls mehrere Lösungen $\tau^\ast$
Gleichung (\ref{eq:cttau1}) erfüllen,
ergibt sich der Schalldruck als Summe
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\sum \limits_{n=1}^N
\;
\ff{Q(\tau^\ast_n)}{4 \pi r(\tau^\ast_n) |1 - M_r(\tau^\ast_n)|}
\label{eq:pstrich2}
\end{equation}
%

Bei beliebiger Bewegung $\vec{x}_s(\tau)$ ist es im Allgemeinen nicht möglich
die Nullstellen $\tau^\ast_n$ explizit anzugeben.
Die Bestimmung von $\tau^\ast_n$ soll anhand eines
eindimensionalen Beispiels veranschaulicht werden.
Die Quellposition ist nun durch die skalare Größe  $x_s$ gegeben.

Es wird die Situation in der ($x_s,\tau$)-Ebene betrachtet.
Dies ist eine Raum-Zeit-Ebene, in der alle möglichen Kombinationen
aus Quellposition $x_s$ und Quellzeit $\tau$ liegen.
Die Bewegung der Quelle $x_s(\tau)$ definiert eine Kurve
in dieser Ebene.
Es soll der Schalldruck an der Beobachtungsposition $x_b$
zur Zeit $t_b$ berechnet werden.
Diese Kombination definiert einen Punkt in der Raum-Zeit-Ebene.
Die geometrische Situation ist in Abbildung 2 dargestellt.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,6.2) \thicklines
\put(0.5,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=raumzeita0.eps,width=7.0cm}}}
\put(7.4,0.8){\makebox(0,0)[tr]{$x_s$}}
\put(4.6,0.8){\makebox(0,0)[tc]{$x_b$}}
\put(3.2,1.1){\makebox(0,0)[bc]{$x_0$}}
\put(0.7,5.5){\makebox(0,0)[cc]{$\tau$}}
\put(0.8,4.85){\makebox(0,0)[cr]{$t_b$}}
\put(0.8,3.4){\makebox(0,0)[cr]{\small $\tau^{\ast (2)}$}}
\put(0.8,2.5){\makebox(0,0)[cr]{\small $\tau^{\ast (1)}$}}
\put(0.8,1.75){\makebox(0,0)[cr]{\small $\tau_2^{\ast (3)}$}}
\put(0.8,0.6){\makebox(0,0)[cr]{\small $\tau_1^{\ast (3)}$}}
\put(0.85,1.2){\makebox(0,0)[cr]{\small $0$}}
\put(4.5,5.15){\makebox(0,0)[lc]{\small Beobachter $(x_b,t_b)$}}
\put(3.2,5.2){\makebox(0,0)[cc]{\small (1)}}
\put(3.9,5.2){\makebox(0,0)[cc]{\small (2)}}
\put(6.75,2.3){\makebox(0,0)[cc]{\small (3)}}
\put(5.3,4.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $c \, \Delta t$}}
\put(5.9,3.55){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Delta t$}}
\end{picture}
\\
Abbildung 2: Raum-Zeit-Ebene mit drei Bewegungskurven
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}

%
Die zur vorgegebenen Zeit $t_b$ am
Ort $x_b$ empfangenen Signale können
nicht von beliebigen Punkten in
dem Raum-Zeit-Ebene ausgegangen sein.
Damit das Signal, welches eine
Quelle am Ort $x_s$ zur Zeit $\tau$ aussendet,
am Ort $x_b$ zur Zeit $t_b$ eintrifft, muss
die Bedingung
%
\begin{equation}
c (t_b - \tau) = | x_b - x_s |
\label{eq:cttau2}
\end{equation}
%
erfüllt sein.
Das Bedeutet, die Entfernung zwischen Quell- und Beobachtungsposition
entspricht der Laufzeit multipliziert mit der Schallgeschwindigkeit.
Die Beziehung ist analog zu Gleichung (\ref{eq:cttau1}).
Hier wird jedoch keine konkrete Bewegung $x_s(\tau)$ vorgegeben, sondern
alle möglichen Quellpositionen im gesamten eindimensionalen Raum betrachtet.

Gleichung (\ref{eq:cttau2}) definiert eine Menge in der Raum-Zeit-Ebene,
die aus zwei Strahlen zusammengesetzt ist.
Die Strahlen treffen im Punkt $x_b,t_b$ zusammen und besitzen
die Steigungen  $1/c$ und $-1/c$.
Nur ($x_s,\tau$)-Kombinationen auf diesen Strahlen können einen
Beitrag zum Signal in $x_b,t_b$.
Die Schnittpunkte der Strahlen mit
der durch $x_s(\tau)$ gegebenen Kurve, ergeben die Quellzeiten $\tau^\ast$
und Quellpositionen $x_s(\tau^\ast)$.

Für das Beispiel soll angenommen werden, dass sich die Quelle
durch die Stelle $x_0$ bei $t = 0$
mit konstanter Geschwindigkeit in
positive $x$-Richtung bewegt.
Es werden drei Fälle betrachtet:
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\qquad}l@{\qquad}l}
(1) & x_s(\tau) = x_0\\
(2) & x_s(\tau) = x_0 + U_s \, \tau \, ; & 0 < U_s < c\\
(3) & x_s(\tau) = x_0 + U_s \, \tau \, ; & U_s > c
\end{array}
\label{eq:xstau}
\end{equation}
%
In den dargestellten Beispiel ist $x_0 < x_b$.
Die Kurven $x_s(t)$ nach (\ref{eq:xstau}) stellen Geraden
in der ($x_s,\tau$)-Ebene dar.
Die Neigung der Geraden hängt von der Geschwindigkeit ab.
Die Lösungen für $\tau^\ast$ ergeben sich durch die Schnittpunkte dieser
Geraden mit den beiden Strahlen aus $(x_b,t_b)$.
Fall (1) entspricht einer ruhenden Quelle bei $x = x_0$.
In den Fällen (1) und (2) ergibt sich genau eine Lösung für $\tau^\ast$.
Daran ändert sich auch nichts, wenn $x_0$ verschoben wird, da
die Steigung größer als $1/c$ ist.
Man findet immer genau einen Schnittpunkt beziehungsweise eine Lösung
$\tau^\ast$.
Dies muss nach den obigen Überlegungen auch so sein, da im Fall (1) und (2)
die Bedingung $|M_r| < 1$ gilt.
Im dritten Fall, in dem sich die Quelle mit Überschallgeschwindigkeit
bewegt, ergeben sich in der Abbildung zwei Lösungen
$\tau^\ast_1$ und $\tau^\ast_2$.
Das bedeutet, es ist $N = 2$.
Die Steigung der Geraden ist kleiner als $1/c$.
Durch verschieben von $x_0$ nach links ist es daher möglich, dass die
Gerade keinen Schnittpunkt mit den beiden Strahlen mehr besitzt.
In diesem Fall wäre $N=0$ und der Beobachter am Ort $x_b$ würde
zur Zeit $t_b$ noch nichts von der Quelle hören können.
Erst zu einem späteren Zeitpunkt $t > t_b$ könnte er die Quelle
wahrnehmen.

Nachdem die Bestimmung der Quellzeitpunkte $\tau^\ast$ geometrisch
gedeutet werden konnte, soll mit dem eindimensionalen Beispiel
auch noch die Veränderung der Signalstärke durch die Bewegung
der Quelle veranschaulicht werden.
Dazu wird betrachtet, welche integrale Wirkung
eine Quelle auf den Beobachter in einem kleinen Zeitintervall $\Delta t$
besitzt.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,6.7) \thicklines
\put(0.5,0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=raumzeitb0.eps,width=7.0cm}}}
%\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{x}}
\put(1.4,6.1){\makebox(0,0)[cr]{$\tau$}}
\put(1.4,5.6){\makebox(0,0)[cr]{\small $t_b + \Delta t$}}
\put(1.4,5.0){\makebox(0,0)[cr]{\small $t_b$}}
\put(3.1,0.85){\makebox(0,0)[cc]{$x_0$}}
\put(4.65,0.8){\makebox(0,0)[cc]{$x_b$}}
\put(7.3,1.35){\makebox(0,0)[cc]{$x_s$}}
\put(3.4,5.8){\makebox(0,0)[cc]{\small (1)}}
\put(4.0,5.8){\makebox(0,0)[cc]{\small (2)}}
\put(2.1,4.4){\makebox(0,0)[cc]{\small (3)}}
\put(1.05,2.8){\makebox(0,0)[cr]{\small $\Delta t$}}
\put(1.2,2.1){\makebox(0,0)[cr]{\small $\frac{\Delta t}{1 + |M_r|}$}}
\put(6.6,3.45){\makebox(0,0)[cl]{\small $\frac{\Delta t}{1 - |M_r|}$}}
\put(6.6,5.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $M_r = U_s/c$}}
\end{picture}
Abbildung 3: Zur Veranschaulichung der Verstärkung
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

In dem Zeitintervall werden alle Signale empfangen, die von
Punkten in der $(x_s,\tau)$-Ebene ausgehen, die in dem in der Abbildung
schattiert dargestellten Bereich liegen.
Es werden wieder drei Fälle mit konstanter Geschwindigkeit
betrachtet:
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\qquad}l@{\qquad}l}
(1) & x_s(\tau) = x_0\\
(2) & x_s(\tau) = x_0 + U_s \, t \; ;& 0 < U_s < c\\
(3) & x_s(\tau) = x_0 + U_s \, t \; ;& 0 > U_s > -c
\end{array}
\label{eq:xstau2}
\end{equation}
Bei ruhender Quelle (1) befindet sich die Quelle genau das
Zeitintervall $\Delta \tau = \Delta t$ in dem relevanten Bereich.
Dies bedeutet, die in dieser Zeit von der Quelle abgesandten Signale
werden vom Beobachter in Intervall $[t_b,t_b + \Delta t]$ empfangen.

Bewegt sich die Quelle auf den Beobachter zu (2), so wirken
die Signale der Quelle aus einem längerem Zeitintervall
$\Delta \tau = \Delta t/(1 - |M_r|)$
mit $M_r = U_s/c$ auf den Beobachter ein.
Entfernt sich die Quelle (3), so wirken lediglich
die in einem Zeitintervall $\Delta \tau = \Delta t/(1 + |M_r|)$
abgestrahlten Signale
auf den Beobachter.
Die Verstärkung bzw.\ Abschwächung der beobachteten Signale kann
durch die unterschiedlichen Verhältnisse von Quellzeitraum $\Delta \tau$ zu
Beobachtungszeitraum $\Delta t$ plausibel gemacht werden.
Wird in dem relevanten Zeitintervall  $\Delta \tau$ zum Beispiel ein
konstantes Signal ausgesandt, so addieren sich die Anteile in dem
Beobachtungszeitraum $\Delta t$.
Je größer das Verhältnis von $\Delta \tau/\Delta t$ ist, desto
stärker ist das beobachtete Signal.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,4.5) \thicklines
\put(0.5,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=bewquella0.eps,width=6.0cm}}}
%\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lb]{x}}
\put(1.0,3.0){\makebox(0,0)[cc]{$0$}}
\put(1.8,4.0){\makebox(0,0)[cc]{$U_s \, \tau^\ast$}}
\put(3.1,3.1){\makebox(0,0)[cc]{$\theta$}}
\put(6.2,3.0){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\put(5.2,0.3){\makebox(0,0)[cr]{Beobachter $\vec{x},t$}}
\put(2.5,1.7){\makebox(0,0)[cr]{$r = c \,(t - \tau^\ast)$}}
\end{picture}
Abbildung 4: Zur Definition des Winkels $\theta$.
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Bisher wurden der eindimensionale Fall ausführlich behandelt.
Das die Bestimmung der retardierten Zeiten $\tau^\ast$ selbst
bei gleichförmig, gradlinig bewegter Quelle im dreidimensionalen Fall
viel komplexer ist als in den eindimensionalen
Beispielen, wird anhand des folgenden Betrachtung deutlich.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird angenommen, dass sich die
Quelle zur Zeit $t=0$ im Ursprung $\vec{x}=0$ befindet, und dass die
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit $U_s = |\vec{v}_s|$
entlang der $x_1$-Achse erfolgt.
Es gilt
%
\begin{equation}
\vec{x}_s(t) = U_s \cdot t \cdot
\left(
\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}
\right)
\end{equation}
%
Der Beobachter empfängt an der Stelle $\vec{x}$ zur Zeit $t$ das
von der Quelle zur Zeit $\tau^\ast$ abgestrahlte Signal.
Der Zusammenhang zwischen $\tau^\ast$ und $t$ ist gegeben durch:
%
\begin{equation}
c (t - \tau^\ast) =
\sqrt{(x_1 - U_s \tau^\ast)^2 + x_2^2 + x_3^2}
\label{eq:ctau3}
\end{equation}
%
Dies kann nach $\tau^\ast$ aufgelöst werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{split}
\tau^\ast =
&\ff{1}{c (1 - M_s^2)} \cdot \Bigg\{ c t - M_s x_1\\
\noalign{\vspace{4pt}}
&\pm
\sqrt{(x_1 - U_s t)^2 + (1 - M_s^2)(x_2^2 + x_3^2)}
\Bigg\}
\end{split}
\label{eq:tau1}
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
M_s = \ff{U_s}{c}
\label{eq:ms1}
\end{equation}
%
Es sind jedoch nur reelle Lösungen von (\ref{eq:tau1})
mit $\tau^\ast \leq t$ gültig.

Die Machzahl der Quellbewegung relativ zum Beobachter ist bei der betrachteten
Geometrie durch den Winkel $\theta(\tau^\ast)$ gegeben.
Die ist der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Beobachtungsrichtung
zum Quellzeitpunkt.
Die Situation ist in Abbildung 4 dargestellt.
Es gilt
%
\begin{equation}
M_r(\tau^\ast) = \ff{U_s}{c} \cdot \cos \big(\theta(\tau^\ast)\big) =
M_s \cdot \cos \big(\theta (\tau^\ast)\big)
\label{eq:mr2}
\end{equation}
%
Damit ergibt sich für das beobachtete Signal die Winkelabhängigkeit:
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\ff{Q(\tau^\ast)}{4 \pi r |1 - M_s \cdot \cos \theta|}
\label{eq:pstrich3}
\end{equation}
%
Die Verstärkung bzw.\ Abschwächung durch Bewegung
kann als Funktion des Winkels $\theta$
in einem Polardiagramm veranschaulicht werden.
Dies ist in Abbildung 5 dargestellt.

%
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,6.0) \thicklines
\put(0.8,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=doppler00.eps,width=6.0cm}}}
%\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lb]{x}}
\put(7.0,2.85){\makebox(0,0)[cc]{$0^\circ$}}
\put(2.9,5.4){\makebox(0,0)[cc]{$90^\circ$}}
\put(2.9,0.3){\makebox(0,0)[cc]{$270^\circ$}}
\put(0.5,2.85){\makebox(0,0)[cc]{$180^\circ$}}
\put(5.5,1.4){\makebox(0,0)[lc]{\small $M_s = 2/3$}}
\put(5.5,0.8){\makebox(0,0)[lc]{\small $M_s = 1/2$}}
\end{picture}
Abbildung 5: Polardiagramm der relativen Stärke bei Bewegung der Quelle
mit $M_s$.
\end{center}
\vspace{10pt}
\end{minipage}
%

Die Stärke des abgestrahlten Signals in der entsprechenden Richtung
ergibt sich aus dem Abstand zum Ursprung.
Der fett eingezeichnete Kreis repräsentiert die richtungsunabhängige
Stärkeverteilung eines ruhenden Monopols.
Die Bewegung der Quelle ist in der Richtung von $0^\circ$.
In dieser Richtung findet man auch die maximale Verstärkung bei Bewegung.
In den Richtungen $90^\circ$ und $270^\circ$ ändert sich die Stärke
der Abstrahlung überhaupt nicht.
Entgegen der Bewegungsrichtung bei $180^\circ$ wird die Abstrahlung
am schwächsten.

\setcounter{equation}{0}

%
\begin{flushleft}
{\bf 4.2) Frequenzverschiebung}
\end{flushleft}

Betrachtet wird der Fall, dass die Quelle ein harmonisches
Signal mit der Frequenz $\omega$ aussendet.
Es soll
%
\begin{equation}
Q(t) = \widehat{Q} \; e^{i \omega t}
\label{eq:qt1}
\end{equation}
%
gelten.
Bewegt sich die Quelle immer mit Unterschallgeschwindigkeit,
so ergibt sich der Schalldruck am Beobachter zu
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\ff{\widehat{Q} \; e^{i \omega \tau^\ast}}{4 \pi r (\tau^\ast) |1 - M_r(\tau^\ast)|}
\label{eq:pstrich4}
\end{equation}
%
Um die Frequenz, mit der der Beobachter das Signal wahrnimmt,
zu bestimmen, muss die Zeitliche Änderung von $p'$ betrachtet werden.
Die rechte Seite von (\ref{eq:pstrich4}) hängt zunächst
rein formal nur von $\tau^\ast$ ab.
Die Quellzeit $\tau^\ast$ ist wiederum von der Bewegung $\vec{x}_s(\tau)$,
der Beobachtungsposition $\vec{x}$ und der Beobachtungszeit $t$
abhängig.
Für eine gegebene Bewegung und eine feste Beobachtungsposition
ist $\tau^\ast$ damit ausschließlich von der Beobachtungszeit $t$
abhängig.

Es wird daher zunächst die Abhängigkeit von $\tau^\ast(t)$ betrachtet werden.
Diese Funktion kann allerdings selbst bei einfachen Bewegungen eine
relativ komplexe Form annehmen.
Ist man an der Frequenz zu einem bestimmten Beobachtungszeitpunkt $t = t_0$
interessiert, so kann man die Reihenentwicklung
%
\begin{equation}
\tau^\ast(t) = \underbrace{\tau^\ast(t_0)}_{\displaystyle \tau^\ast_0}
+
\pp{\tau^\ast}{t}(t_0) \cdot (t - t_0) + \ldots
\label{eq:taureihe1}
\end{equation}
%
aufstellen.
Das erste Glied der Reihe wird mit $\tau^\ast_0$ abgekürzt.
Setzt man die Reihe in (\ref{eq:pstrich4}) ein, ergibt sich
für die Druckschwankung die Proportionalität
%
\begin{equation}
p' \sim e ^ {\displaystyle i \omega 
[ \tau^\ast_0 + (t - t_0) \frac{\partial \tau^\ast}{\partial t} + \ldots  ]}
\end{equation}
%
Die Größe $\tau^\ast_0$ ergibt eine Phasenverschiebung des Signals.
Bei Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung 
ergibt sich eine harmonische
Schwingung mit einer um den Faktor $\pp{\tau^\ast}{t}(t_0)$
veränderten Frequenz.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------