Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 26.\ Juni 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}
\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 4) Bewegte Schallquellen}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 4.1) Schallfeld eines bewegten Monopols}
\end{flushleft}

Durch Bewegung von Schallquellen verändert sich
das erzeugte Druckfeld.
Ein bekannter Effekt ist die Frequenzverschiebung, die
ein Beobachteter wahrnimmt, wenn sich eine Quelle
relativ zu ihm bewegt.
Jedoch ändert sich auch die Stärke der beobachteten
Wellen mit der Bewegung.
Dies soll im Folgenden betrachtet werden.
Ausgangspunkt für die Überlegungen ist
die inhomogene Wellengleichung für den Druck.
Sie lautet
%
\begin{equation}
\left(
\ff{1}{c^2}\, \ff{\partial}{\partial t^2} - \Delta
\right)
\;
p'(\vec{x},t)
=
q(\vec{x},t)
\end{equation}
%
Dabei ist $q(\vec{x},t)$ eine allgemeine Quellverteilung.
Im offenen Raum ohne Begrenzungen kann die
Lösung für $p'$ als Integral in der Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{4 \pi}
\iraum
\ff{q \left(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c \right)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Im Allgemeinen kann der Quellbereich auf ein Volumen
$\sdoso VQ$ eingeschränkt werden, so dass
nicht über den gesamten Raum integriert werden muss.
Die Integrationsvariable ist $\vec{y}$.
Der Beobachtungspunkt ist mit $\vec{x}$ gegeben.
Der Ausdruck
$t - |\vec{x} - \vec{y}|/c$
stellt die sogenannte retardierte Zeit dar.
Sie ist praktisch die Quellzeit, zu der ein Signal
an der Position $\vec{y}$ ausgesandt werden muss,
damit es zur Zeit $t$ beim Beobachter an der Position
$\vec{x}$ eintrifft.

Um das Druckfeld eines bewegten Monopols zu
berechnen, wird eine spezielle
Quellverteilung $q(\vec{x},t)$ in Gleichung (2)
eingesetzt.
Zuvor soll jedoch das Integral in eine andere Form
gebracht werden, die auf den ersten Blick viel
komplizierter erscheint, jedoch für das weitere
Vorgehen einige Vorteile bietet.
Dazu wird eine allgemeine Rechenregel für die
$\delta$-Funktion verwendet.
Es gilt für eine stetige -- aber sonst beliebige -- Funktion $B(\tau)$
die Beziehung
%
\begin{equation}
B(\tau_0) =
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
B(\tau) \, \delta(\tau_0 - \tau) \, \hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Hier wird speziell
%
\begin{equation}
\tau_0 = t - |\vec{x} - \vec{y}|/c
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
B(\tau)
=
\ff{q \left(\vec{y}, \tau \right)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\end{equation}
%
gewählt.
Die Gleichung (3) entspricht dann
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{q (\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\\[16pt]
\qquad
\displaystyle
=
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\ff{q \left(\vec{y}, \tau \right)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \delta(t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c} - \tau) \, \hbox{d}\tau
\end{array}
\end{equation}
%
Damit kann der Integrand in (2) ersetzt werden.
Aus (2) ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x},t)
\\[8pt]
\;
=
\ff{1}{4 \pi}
%\int \limits_{V_Q}
\iraum
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\ff{q \left(\vec{y}, \tau \right)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\,
\delta  \Big(
t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}
- \tau\Big)
\;
\hbox{d} \tau \,
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Statt einer Integration über den dreidimensionalen Raum wird nun
über einen vierdimensionalen Raum integriert, in dem die Variable $\tau$
einer künstlich hinzugefügten Zeitkoordinate entspricht.

Gleichung (7) dient als Basis für die folgenden Überlegungen.
Im nächsten Schritt soll
eine konkrete Quellverteilung für $q(\vec{x},t)$
eingesetzt werden.
Als einfaches Modell für einen bewegten Monopol wird die Verteilung
%
\begin{equation}
q \left(\vec{x}, t \right) = Q(t) \; \delta
\big( \vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(t) \big)
\end{equation}
%
gewählt.
Dabei ist $Q(t)$ die momentane Stärke und $\sdoso {\vec{x}}S(t)$
die momentane Position der Punktquelle.
Zu bemerken ist, dass die $\delta$-Funktion in (8)
einen Vektor als Argument besitzt.
Sie ist sozusagen die Entsprechung im dreidimensionalen Raum
der eindimensionalen Version, wie sie in (3) auftritt.
Der Wert der Funktionen ist in beiden Fällen natürlich skalar.

Der Ansatz (8) ist formal die einfachste Möglichkeit eine
bewegte Punktquelle darzustellen.
Jedoch wird in einem der folgenden Abschnitte gezeigt, das
die gewählte Verteilung unrealistisch ist, insofern für sie
keine physikalische Entsprechung existiert.
Später wird gezeigt, dass eine bewegte punktförmige
Massenquelle durch eine Quellverteilung
beschrieben wird, die etwas komplizierter als (8) ist.
Trotzdem soll hier zunächst von dem formal einfachsten
Ansatz ausgegangen werden.

Setzt man (8) in (7) ein und vertauscht zusätzlich
noch die Integrationen, so ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
p'(\vec{x},t)=
\ff{1}{4 \pi}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\iraum &
\ff{Q(\tau) \, \delta \big(\vec{y} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau) \big)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\quad
\\[20pt]
&
\cdot \delta  \Big(
t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}
- \tau\Big)
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\,
\hbox{d} \tau
\end{array}
\end{equation}
%
Im nächsten Schritt wird das innere Integral ausgewertet.
Dazu wird eine weitere Beziehung für die
$\delta$-Funktion verwendet.
Für eine stetige Funktion $A(\vec{y})$ gilt
%
\begin{equation}
A(\vec{y}_0) =
\iraum
A(\vec{y}) \, \delta (\vec{y} - \vec{y}_0) \, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Die Gleichung ist die räumliche Entsprechung von Beziehung
(3).
Es wird jetzt
%
\begin{equation}
\vec{y}_0 = \sdoso {\vec{x}}S(\tau)
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
A(\vec{y}) = 
\ff{Q(\tau)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\; \delta  \Big( t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c} - \tau\Big)
\end{equation}
%
gewählt.
Die rechte Seite von (12) hängt natürlich auch noch
von den Zeiten $t$ und $\tau$ und von der
Beobachtungsposition $\vec{x}$ ab.
Für die Ausführung der inneren Integration in (9)
können diese Variablen jedoch als konstant angenommen werden.
Mit den Ersetzungen (11) und (12) entspricht
Gleichung (10) dem Ausdruck
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{Q(\tau)}
{|\vec{x} - \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}
\; \delta  \Big( t - \ff{|\vec{x} - \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}{c} - \tau\Big)
\\[16pt]
\displaystyle
=
\iraum
\ff{Q(\tau) \, \delta \big(\vec{y} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau) \big)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \delta  \Big(
t - \ff{|\vec{x} - \vec{y}|}{c}
- \tau\Big)
\,
\hbox{d}^3  \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Damit kann das innere Integral in (9) durch die linke Seite
von (13) ersetzt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x},t)
\\[8pt]
\;
\displaystyle
=
\ff{1}{4 \pi}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\ff{Q(\tau)}{|\vec{x} - \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}
\, \delta
\big(t - \ff{|\vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}{c} - \tau \big)
\;
\hbox{d} \tau
\end{array}
\end{equation}
%
Nun ist die Lösung nicht mehr als Integral
über den Raum sondern als
Integral über die künstlich eingeführte Zeit $\tau$
dargestellt.

Um das Integral in (14) auszuwerten wird noch eine
weitere Beziehung für die $\delta$-Funktion verwendet.
Allgemein gilt für Integrale mit
der in (14) auftretenden Form
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
f(\tau) \, \delta \big( g(\tau) \big) \, \hbox{d} \tau
=
\sum \limits_{n = 1}^{N} \;
\ff{f(\tau_n^{\star})}
{\left| \dd{g }{\tau}(\tau_n^{\star}) \right|}
\label{eq:12}
\end{equation}
%
Dabei sind $f(\tau)$ und $g(\tau)$ mit den Einschränkungen
beliebige Funktionen, dass
beide stetig und $g(\tau)$ zusätzlich differenzierbar sein muss.
Die Werte $\tau_n^{\star}$ mit $n=1,\ldots ,N$ sind die
nummerierten Nullstellen von $g(\tau)$. Sie
erfüllen die Bedingung
%
\begin{equation}
g(\tau_n^{\star}) = 0
\end{equation}
%
Prinzipiell sind auch unendlich viele Nullstellen
zulässig.
Es ergibt sich dann eine unendliche Summe auf der rechten
Seite von (15).

Im vorliegenden Fall werden die Funktionen
%
\begin{equation}
f(\tau) =
\ff{Q(\tau)}{|\vec{x} - \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
g(\tau) = t - \ff{|\vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}{c} - \tau
\end{equation}
%
gewählt.
Dann entspricht die linke Seite von (15) genau
dem Integral in (14).

Die Anzahl $N$ der Nullstellen von $g(\tau)$
wird durch die Bewegung
der Quelle $\sdoso {\vec{x}}S(\tau)$ bestimmt.
Bewegt sich die Quelle zum Beispiel überhaupt nicht,
dann ist  $\sdoso {\vec{x}}S(\tau) \equiv \vec{x}_0$ eine Konstante.
Für feste Werte $\vec{x}$ und $t$ besitzt dann $g(\tau)$
genau eine Nullstelle bei
%
\begin{equation}
\tau^\ast
=
t - \ff{|\vec{x} -  \vec{x}_0|}{c}
\end{equation}
Dies ist natürlich nur ein Sonderfall.
Bei Bewegung der Quelle ist
theoretisch alles zwischen $N=0$ und $N=\infty$ möglich.
Im Folgenden wird noch genauer untersucht, unter
welchen Bedingungen sich nur genau eine Nullstelle ergibt.
Zunächst soll jedoch die Ableitung
$\dd{g }{\tau}$ genauer betrachtet werden, die
zur Berechnung des Integrals in (14) notwendig ist.

Auf der rechten Seite von (18) tritt der Abstand zwischen
Quellposition zur Zeit $\tau$ und dem Beobachter auf.
Für den Abstand gilt
%
\begin{equation}
|\vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau)| 
=
\sqrt{\big( x_i - x_{\hbox{\tiny S},i}(\tau)\big)^2}
\end{equation}
%
Dabei ist $x_{\hbox{\tiny S},i}$
die $i$-te Komponente des Vektors $\sdoso {\vec{x}}S$.
Das Quadrat unter der Wurzel impliziert nach
der Summationskonvention eine Summe über die
Komponenten.
Differenziert man den Abstand folgt
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\dd{}{\tau}
|\vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau)| 
&=
- \ff{1}{2}
\;
\ff{2 \big( x_i - x_{\hbox{\tiny S},i}(\tau)\big) \, (-1)}
{\sqrt{\big( x_i - x_{\hbox{\tiny S},i}(\tau)\big)^2}}
\\[22pt]
&=
\ff{x_i - x_{\hbox{\tiny S},i}(\tau)}
{|\vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}
\end{array}
\end{equation}
%
Für die Ableitung der Funktion $g(\tau)$
ergibt sich daraus
%
\begin{equation}
\dd{g}{\tau} =
\ff{\big( x_i - x_{\hbox{\tiny S},i}(\tau)\big)}{c \; |\vec{x} -  \sdoso {\vec{x}}S(\tau)|}
\;
\dd{x_{\hbox{\tiny S},i}(\tau)}{\tau} - 1
\end{equation}
%

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------