Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\documentclass[a4paper,12pt]{ltnews}

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{exscale}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{epic}
\usepackage{eepic}
\usepackage{rotating}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{array}

\setlength{\hoffset}{-0.75in}
\setlength{\voffset}{-1in}

\setlength{\textwidth}{17.0cm}
\setlength{\textheight}{24.0cm}
\setlength{\topmargin}{1.0cm}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\,\partial #2}}
\newcommand{\dd}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d} #1}{\,\hbox{d} #2}}
%\newcommand{\dqq}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d^2} #1}{\hbox{d} #2^2}}
\newcommand{\zz}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
\newcommand{\bix}[1]{\fbox{\parbox[c]{8cm}{#1}}}
\newcommand{\doso}[2]{{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\hdoso}[2]{\widehat{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\rhoo}{\rho_{\scriptscriptstyle 0}}
\newcommand{\sdoso}[2]{{#1}_{\hbox{\tiny #2}}}
\newcommand{\mittel}[1]{\big< #1 \big>}
\newcommand{\vektor}[1]{\begin{array}{c} #1 \end{array}}
\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}
\newfont{\axa}{cmss10}
\newcommand{\iraum} {\int \limits_{\hbox{\axa I\!R}^3}}
\newcommand{\ivq} {\int \limits_{\sdoso VQ}}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 19.\ Juni 2000}

\vspace{0.25 cm}


\setcounter{equation}{54}
\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.4) Wellen mit Knoten und Bäuchen in Querrichtung} 
\end{flushleft}

Es ergab sich näherungsweise für den Imaginärteil der
Längswellenzahl die Gleichung
%
\begin{equation}
\sdoso \alpha I = - (2m + 1)^2 \, 
\Big( \ff{2 \pi^2 c^2}{H^3 \omega^2} \Big) \,
\Big( \ff{\Re \{ \sdoso Zw \}}{\rhoo c} \Big)
\end{equation}
%
Die Dämpfung der Wellen ist umso stärker, je größer der
Betrag von $\sdoso \alpha I$ ist.
Die Dämpfung hängt demnach auch von der Ordnungszahl $m$ ab.
Die Welle mit $m = 0$, also die Lösung mit nur einem Bauch in
der Kanalmitte, wird am schwächsten gedämpft.
Die Lösungen mit mehreren Bäuchen klingen deutlich schneller ab.
Nach einiger Laufstrecke wird daher nur noch die Welle mit $m = 0$
zu finden sein.

Die Dämpfung nimmt nach Gleichung (55) mit der Frequenz $\omega$ ab.
In der Realität kann auch $\Re \{ \sdoso Zw \}$ von der
Frequenz abhängen.
Dies wird durch die konkrete Struktur der Wand bestimmt.
Für poröse Schaumstoffe steigt der Wert typischerweise mit der
Frequenz an und erreicht irgendwann eine Sättigung.
Damit bestimmt tatsächlich der $\omega^2$-Term im Nenner die
Abhängigkeit bei sehr hohen Frequenzen.
Die Dämpfung der Wellen nimmt
mit steigender Frequenzen immer weiter ab.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 3.5) Einfluss von Strömung}
\end{flushleft}

Bisher wurde die Schallausbreitung in Kanälen mit
nachgiebigen Wänden betrachtet, wobei keine Strömung im Kanal vorlag.
Null soll auch der Fall eines durchströmten Kanals mit
nachgiebigen Wänden untersucht werden.
Ein Strömungskanal mit ideal schallharten Wänden wurde bereits im
Kapitel 4.3 des ersten Abschnitts behandelt.
Hier wird prinzipiell ähnlich vorgegangen.
Die geometrische Situation ist in Abbildung 1 dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,2.8) \thicklines
\put(0.8,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kanalstrm3.eps,width=7.0cm}}}
\put(4.5,1.05){\makebox(0,0)[cc]{\small $U$}}
\put(7.75,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.05,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.7,2.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.7,0.25){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $-H/2$}}
\put(0.7,1.05){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $0$}}
\put(0.7,1.8){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $+H/2$}}
\end{picture}
Abb. 1: Koordinatensystem und Strömungsprofil
\end{center}
%
Wie im Fall mit schallharten Wänden wird
ein ebenes Strömungsprofil mit der Geschwindigkeit $U$ angenommen.
Die Grenzschicht und andere Reibungseffekte werden dabei vernachlässigt.
Im mitbewegten Bezugssystem ruht das Medium, so dass in diesem
System die Lösung ohne Strömung gilt.
Die Lösung im ruhenden System wird durch Transformation 
der Größen aus dem bewegten System berechnet.

Die Frequenz im ruhenden System $\sdoso \omega R$ ist mit der Frequenz im
bewegten System $\sdoso \omega B$ über die Wellenzahl
in Strömungsrichtung $\alpha$
und die Strömungsgeschwindigkeit $U$ verknüpft.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso \omega R = \sdoso \omega B + \alpha U
\end{equation}
%
Die Wellengleichung und die daraus folgenden Bestimmungsgleichungen für die
Wellenzahlen gelten nur im mitbewegten System.
Der Zusammenhang zwischen den Wellenzahlen in Längs- und Querrichtung
lautet nun
%
\begin{equation}
\alpha = \pm \sqrt{\left(\ff{\sdoso \omega B}{c}\right)^2 - \beta^2}
\end{equation}
%
Zu beachten ist, dass dort die Frequenz im mitbewegten System
$\sdoso \omega B$ auftritt.
Zusätzlich zur Frequenz ist auch die Wandadmittanz beziehungsweise
die Wandimpedanz abhängig vom Bezugssystem.
Dies ist plausibel, da diese Größen auch von der Frequenz abhängen.
Diese Tatsache muss 
in der Bestimmungsgleichung für die Querwellenzahl $\beta$
berücksichtigt werden.
Diese lautet jetzt
%
\begin{equation}
\beta \ff{H}{2} \cdot
\left\{
\begin{array}{c}
\hbox{tanh}\\
\hbox{coth}
\end{array}
\right\}
\left( i \,\beta \ff{H}{2}\right) =
- 
(\sdoso Y {w,B} \rhoo c)
\Big(
\ff{\sdoso \omega B H}{2 c}
\Big)
\end{equation}
%
Dabei ist mit $\sdoso Y{w,B}$ die Wandadmittanz im mitbewegten Bezugssystem
bezeichnet.
Entsprechend ist $\sdoso Y{w,R}$ die Wandadmittanz im ruhenden System.
Die Gleichungen (1) und (2) wurden auch schon bei der
Betrachtung des Falls mit schallharten Wänden ($\sdoso Yw = 0$) angewendet.
In diesem Fall war die Bestimmungsgleichung für $\beta$
unabhängig vom Bezugssystem.
Jetzt kann nach (3)
die Querwellenzahl $\beta$ -- und damit die Form der Lösung
in $x_2$-Richtung --
nicht mehr unabhängig vom Bezugssystem und Strömung bestimmt werden.

Bevor auf die Lösung der Gleichung (3) eingegangen wird, soll
die Abhängigkeit der Wandimpedanz und Admittanz vom Bezugssystem betrachtet
werden.
Die Wandimpedanz $\sdoso Zw$ wurde durch
%
\begin{equation}
\hat{p} = \sdoso {\hat{v}} n \; \sdoso Zw
\end{equation}
%
definiert.
Dabei bezeichnet $\sdoso {\hat{v}} n$ die in die Wand gerichtete
Schnelle.
In der Abbildung 2 ist eine nachgiebige Wand mit Auslenkung
schematisch dargestellt.
Der Normalenvektor $\vec{n}$ zeigt in die Wand hinein.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,4.5) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=wand02.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.5,3.25){\parbox[c]{3.0cm}{Momentane\\Wandgeometrie}}
\put(4.5,3.25){\parbox[c]{3.0cm}{Mittlere\\Wandgeometrie}}
\put(2.925,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\varepsilon$}}
\put(5,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{n}$}}
\end{picture}
Abb. 2: Zur Erklärung der Größe $\varepsilon$.
\end{center}
%
Bezeichnet man mit $\varepsilon$ die momentane Normalauslenkung
der Wand an einer festgelegten Stelle, so gilt dort
%
\begin{equation}
\sdoso vn' = \dd{\varepsilon}{t}
\end{equation}
%
Im harmonischen Fall sind die Schwankungen mit
%
\begin{equation}
\sdoso vn' = \sdoso {\hat{v}}n \, e^{i \omega t} \; ; \quad
\varepsilon = \hat{\varepsilon} \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
gegeben.
Aus (5) folgt direkt
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{v}}n = i \omega \hat{\varepsilon}
\end{equation}
%
Einsetzen in Gleichung (4) ergibt
%
\begin{equation}
\hat{p} = i \omega \hat{\varepsilon} \, \sdoso Zw
\end{equation}
%
Diese Beziehung gilt sowohl im mitbewegten als auch
im ruhendem Bezugssystem.
Eine feste Stelle im bewegten Bezugssystem,
erscheint für einen Beobachter im ruhenden System
bewegt.
Auch die Frequenz $\omega$ und die Wandimpedanz
$\sdoso Zw$ sind vom System abhängig.
Druck und Länge sind jedoch unabhängig vom
Bezugssystem, so dass zumindest die maximale
Druckschwankung und die maximale Auslenkung
der Wand in beiden Systemen gleich sind.
Die komplexen Größen $\hat{p}$ und
$\hat{\varepsilon}$ enthalten neben der Amplitude
auch noch die Phase, die wiederum vom Bezugssystem
abhängig ist.
Zumindest sind die Beträge
$|\hat{p}|$ und $|\hat{\varepsilon}|$ unabhängig
von System.

Wählt man die betrachtete Stellen in beiden Systemen
geeignet, dann stimmen auch noch die Phasen überein.
Dazu müssen die Stellen bei $t = 0$ nur
übereinstimmen.
Bei dieser speziellen Wahl sind dann
$\hat{p}$ und $\hat{\varepsilon}$ in beiden
Systemen gleich.
Die Gleichung (8) kann nun für beide Systeme
aufgeschrieben werden.
Es ergibt sich:
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\hat{p} &= i \sdoso \omega B \hat{\varepsilon} \, \sdoso Z{w,B}\\[6pt]
\hat{p} &= i \sdoso \omega R \hat{\varepsilon} \, \sdoso Z{w,R}
\end{array}
\end{equation}
%
Der Vergleich der beiden Gleichungen liefert 
eine direkte Beziehung zwischen den Wandimpedanzen in den verschiedenen
Bezugssystemen.
Man erhält
%
\begin{equation}
\sdoso Z{w,B} = \ff{\sdoso \omega R}{\sdoso \omega B} \; \sdoso Z{w,R}
\end{equation}
%
Entsprechend folgt für die Wandadmittanzen
%
\begin{equation}
\sdoso Y{w,B} = \ff{\sdoso \omega B}{\sdoso \omega R} \; \sdoso Y{w,R}
\end{equation}
%
Mit der Beziehung (11) kann $\sdoso Y{w,B}$ in der Bestimmungsgleichung (3)
durch $\sdoso Y{w,R}$ ersetzt werden.
Dies ist zweckmäßig, da im Allgemeinen die Wandadmittanz nur im
ruhendem System bekannt ist.
Einsetzen von (11) in (3) ergibt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\beta \ff{H}{2} \cdot
\left\{
\begin{array}{c}
\hbox{tanh}\\
\hbox{coth}
\end{array}
\right\}
\left( i \,\beta \ff{H}{2}\right) \\[16pt]
\qquad
=
- 
\Big( \ff{\sdoso \omega B}{\sdoso \omega R} \Big)^2
(\sdoso Y {w,R} \rhoo c)
\Big(
\ff{\sdoso \omega R H}{2 c}
\Big)
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Gleichung so umgeformt, dass auch im letzten Faktor
auf der rechten Seite die Frequenz im ruhenden System auftritt.
Abgesehen von den Index B an den Symbolen $\sdoso Yw$ und $\omega$
unterscheidet sich
die Bestimmungsgleichung von der im Fall ohne Strömung
nur durch den $\left( \ff{\sdoso \omega R}{\sdoso \omega B} \right)^2$--Term.
Dieser Term erschwert jedoch die Berechnung der Querwellenzahl $\beta$
erheblich.
Denn nach der Beziehung (1) sind $\sdoso \omega R$ und
$\sdoso \omega B$ über die Längswellenzahl $\alpha$ miteinander
verknüpft.
Die Längswellenzahl $\alpha$ tritt damit indirekt in der
Bestimmungsgleichung der Querwellenzahl $\beta$ auf.
Bisher wurde $\beta$ unabhängig von $\alpha$ berechnet, und
anschließend $\alpha$ aus $\beta$ bestimmt.
Dies ist nun nicht mehr möglich.
Die Gleichungen (1), (2) und (12) müssen gleichzeitig
gelöst werden.

Im nächsten Schritt soll verdeutlicht werden, dass durch die
Strömung nicht nur mehr Rechenaufwand zur Lösung nötig ist, sondern dass
sich auch ganz neue Lösungen ergeben.
Dies soll an einen einfachen Beispiel den sogenannten
``geführten Wellen'' dargestellt werden.
Zunächst wird die Lösung ohne Strömung bei
$\sdoso \omega B = \sdoso \omega R = \omega$
und
$\sdoso Y {w,B} = \sdoso Y {w,R} = \sdoso Yw$
betrachtet.
Die Überlegungen werden auf den symmetrischen Fall (I)
beschränkt, für den die tanh-Funktion in (12) gilt.

Unter gewissen Bedingungen erhält man Lösungen für die Querwellenzahl $\beta$,
die
die Ungleichung
%
\begin{equation}
\Big| 
\Im \{\beta \ff{H}{2} \}
\Big|
=
\Big| 
\Im \{\beta \}
\Big|
\ff{H}{2}
\gg 1
\end{equation}
%
erfüllen.
Das bedeutet, die Querwellenzahl ist komplex und besitzt
einen relativ großen Imaginärteil.
In diesem Fall kann näherungsweise eine Vereinfachung
der Bestimmungsgleichung (12) eingeführt werden.
Für die tanh-Funktion gilt allgemein
%
\begin{equation}
\hbox{tanh}(z) = \ff{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}
\end{equation}
%
Ist der Realteil von $z$ positiv und groß gegenüber Eins, so
ist $|e^z| \gg |e^{-z}|$.
Dies gilt unabhängig von dem Imaginärteil von $z$, der nur die
Phase der Größe $e^z$ festlegt.
Die rechte Seite von (14) wird näherungsweise gleich Eins.
Falls der Realteil von $z$ negativ und betragsmäßig groß ist, folgt
analog $|e^z| \ll |e^{-z}|$.
In diesem Fall wird die rechte Seite von (14) näherungsweise gleich
minus Eins.
Zusammen ergibt sich, dass
%
\begin{equation}
\hbox{tanh}(z) \approx \pm 1
\end{equation}
%
bei
%
\begin{equation}
|\Re\{z\}| \gg 1
\end{equation}
%
ist.
Wird $z$ gleich $i \beta H/2$ gesetzt, so haben
(13) und (16) die gleiche Bedeutung.
Näherungsweise folgt aus (12) unter der Bedingung (13) die Gleichung
%
\begin{equation}
\pm
\beta \ff{H}{2}
=
- 
(\sdoso Y {w} \rhoo c)
\Big(
\ff{\omega H}{2 c}
\Big)
\end{equation}
%
Damit (13) wirklich gilt muss, der
Imaginärteil der rechten Seite von (17)
auch groß sein.
Notwendige Bedingung für (13) ist damit
%
\begin{equation}
\big| \Im\{\sdoso Y {w}\} \big| \;\rhoo c
\Big(
\ff{\omega H}{2 c}
\Big)
\gg 
1
\end{equation}
%
Dies ist fast die gleiche Bedingung, die auch schon im
letzten Abschnitt als notwendige Voraussetzungen
für die Lösungen mit Druckknoten an der Wand
auftrat.
Dort war nur der Kehrwert gebildet.
Entsprechend trat die Wandimpedanz satt der
Wandadmittanz auf.
Im Unterschied zu letzten Abschnitt wird die
Bedingung nur an den Imaginärteil der Wandadmittanz
gestellt.
Wenn (15) gilt, ist in jedem Fall auch die Bedingung
aus dem letzten Abschnitt erfüllt.
Die Lösungen mit komplexen $\beta$ existieren
damit parallel zu den Lösungen mit rein reellen
$\beta$, wie sie bisher behandelt wurden.

Zur Vereinfachung wird im Weiteren angenommen, 
dass die Wand nicht absorbiert und der Realteil
der Wandadmittanz gleich Null ist:
%
\begin{equation}
\Re\{\sdoso Yw\} = 0
\end{equation}
%
Der Verlauf der Lösung in Querrichtung ist im
Fall (I) durch
%
\begin{equation}
g(x_2) = 2 A_2 \cos(\beta x_2)
\end{equation}
%
gegeben.
Es gilt die allgemeine Beziehung
%
\begin{equation}
\cos (i z) = \hbox{cosh} (z)
\end{equation}
%
Daraus folgt für den Verlauf in Querrichtung
%
\begin{equation}
g(x_2) = 2 A_2 \hbox{cosh}(\Im\{\beta\} x_2)
\end{equation}
%
Die ist für verschiedene Werte von $\Im\{\beta\}$
in der Abbildung 3 dargestellt.
Zur besseren Vergleichbarkeit sind die Verläufe
alle mit dem Endwert an der Kanalwand $g(H/2)$
normiert.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,6.8) \thicklines
\put(1,1){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=coshx4.eps,width=6.5cm,height=5.0cm}}}
\put(1,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $-H/2$}}
\put(4.25,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(7.5,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $H/2$}}
\put(4.25,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.7,1){\makebox(0,0)[rc]{\small $0.0$}}
\put(0.7,3.5){\makebox(0,0)[rc]{\small $0.5$}}
\put(0.7,6){\makebox(0,0)[rc]{\small $1.0$}}
\put(1.0,6.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $g(x_2)/g(H/2)$}}
\put(4.25,5.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\left|\Im(\beta) H/2 \right|$}}
\put(4.25,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(4.25,2.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $2$}}
\put(4.25,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $4$}}
\put(5.6,1.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $8$}}
\put(7.1,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $16$}}
\end{picture}
Abb. 3: Verlauf der Lösung in Querrichtung
\end{center}
%
\goodbreak
Die Zahlen an den Kurven geben den Wert von
$|\Im(\beta) H/2|$ an.
Die Kurven sind bis zu einen Wert von 16 eingezeichnet.
Je größer $|\Im(\beta) H/2|$ ist, desto geringer
ist die Amplitude in der Kanalmitte im Vergleich
zu der an der Kanalwand.
Für sehr große Werte nach (13) sind
alle Schwankungen nur noch an der Kanalwand konzentriert.
Die Lösung im mittleren Bereich des Kanals ist
praktisch gleich Null.

Die Ausbreitung der Lösung wird durch die Längswellenzahl
$\alpha$ bestimmt.
Im Fall ohne Strömung gilt einfach
%
\begin{equation}
\alpha = \pm \sqrt{\left(\ff{\omega}{c}\right)^2 - \beta^2}
\end{equation}
%
Für die Querwellenzahl gilt nach (17)
%
\begin{equation}
\beta = \mp \sdoso Yw \rhoo c \ff{\omega}{c}
\end{equation}
%
Wenn die Kanalwand nicht absorbiert und (19) erfüllt
ist,
folgt daraus
%
\begin{equation}
\beta = \mp \Im \{\sdoso Yw\} \, \rhoo c \ff{\omega}{c}
\end{equation}
%
In Gleichung (23) wird das Quadrat von $\beta$ benötigt.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\beta^2 =
-
\Big[
\Im \{\sdoso Yw\} \, \rhoo c
\Big]^2 \Big(\ff{\omega}{c}\Big)^2
\end{equation}
%
Damit ist $\beta^2$ rein reell und 
es gilt
%
\begin{equation}
\beta^2 < 0
\end{equation}
%
So wird (23) zu
%
\begin{equation}
\alpha = \Big(\ff{\omega}{c}\Big) \sqrt{1 + 
\Big[
\Im \{\sdoso Yw\} \, \rhoo c
\Big]^2
}
\end{equation}
%
Der Ausdruck unter der Wurzel ist immer positiv.
Dadurch ergibt sich immer eine reguläre Wellenausbreitung
unabhängig von dem konkreten Wert $\Im \{\sdoso Yw\}$.
Es existiert für diese Form der Lösungen damit keine
``Cut-Off''-Bedingungen.
Die reguläre Wellenausbreitung ohne Dämpfung ergibt sich
natürlich nur im Fall der nicht absorbierenden Wände
unter der Bedingung (19).
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,6.0) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=s.ps,width=8.0cm}}}
\put(7.6,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\put(4.8,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(0.8,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\end{picture}
Abb. 4: Geführte Welle im Kanal 
\end{center}
%
Ein Beispiel für eine geführte Welle im Kanal
ist in der Abbildung 4 gezeigt.
Für die Darstellung wurde $|\Im(\beta) H/2|$ gleich 5
gewählt, da für
größere Werte die Lösung an der Kanalwand nur mit einem
wesentlich feineren Gitter in der Darstellung erfasst werden kann.

Die linke Seite der Ungleichung (18) kann in die beiden
dimensionslose Faktoren
$\big| \Im\{\sdoso Y {w}\} \big| \rhoo c$
und
$\Big( \ff{\omega H}{2 c} \Big)$
zerlegt werden.
Der zweite Faktor gibt das Verhältnis der Kanalbreite
zur Wellenlänge $2\pi c/\omega$ an.
Für relativ kleine Wellenlängen ist er groß und (18) kann
erfüllt sein, selbst wenn
%
\begin{equation}
\big| \Im\{\sdoso Y {w}\} \big| \;\rhoo c \approx 1
\end{equation}
%
gilt.
Andererseits kann für betragsmäßig große 
Wandadmittanzen im Sinne von 
%
\begin{equation}
\big| \Im\{\sdoso Y {w}\} \big| \;\rhoo c \gg 1
\end{equation}
%
auch bei Wellenlängen in der Größenordnung der Kanalbreite
die Ungleichung (18) erfüllt werden.
In beiden Fällen sind die geführten Wellen mit der
Konzentration der Aktivität an der Kanalwand möglich.

Ist (30) erfüllt, dann kann die Eins unter
der Wurzel in (28) gegenüber dem Quadrat der eckigen
Klammer vernachlässigt werden.
Näherungsweise folgt dann für die 
Längswellenzahl
%
\begin{equation}
\alpha = \Im \{\sdoso Yw\} \, \omega \rhoo
\end{equation}
%
Schließlich soll betrachtet werden, wie sich die
gefundenen Lösungen verändern, wenn
der Kanal durchströmt wird.
Es wird angenommen, dass die Näherung (31) im mitbewegten
Bezugssystem gilt.
Es gilt entsprechend für die Längswellenzahl
%
\begin{equation}
\alpha = \Im \{\sdoso Y{w,B}\} \, \sdoso \omega B \rhoo
\end{equation}
%
Ersetzt man mit (1) und (11) die Größen aus dem mitbewegten System
durch Größen im ruhendem System, so erhält man
%
\begin{equation}
\alpha = \Im \{\sdoso Y{w,R}\} \, \rhoo
\big(
\sdoso \omega R - \alpha U
\big)^2
\ff{1}{\sdoso \omega R}
\end{equation}
%
Damit kann $\alpha$ ermittelt werden.
Jedoch besitzt die quadratische Gleichung (33) im Gegensatz zu linearen
Gleichung (31) unter Umständen
zwei reelle Lösungen für $\alpha$.
Physikalisch bedeutet dies, dass dann zwei
ausbreitungsfähige Wellen mit unterschiedlicher
Phasengeschwindigkeit existieren.
Bei Strömung erhält man anscheinend nicht nur eine Veränderung einer
Lösung, die schon im Fall ohne Strömung zu finden ist, 
sondern es können sich ganz neue Lösungen ergeben.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------