Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

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\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 15.\ Juni 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{15}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.4) Wellen mit Knoten und Bäuchen in Querrichtung} 
\end{flushleft}

Falls die Wand nicht absorbiert, lassen sich unendlich viele
reelle Lösungen für die Querwellenzahl $\beta$ finden.
Dies gilt für alle möglichen Werte von $\Im\{\sdoso Yw\}$.
Es muss nur der Realteil $\Re\{\sdoso Yw\}$ verschwinden.
Die Längswellenzahl $\alpha$ -- also die Wellenzahl in Kanalrichtung --
ergibt sich aus $\beta$ mit
%
\begin{equation}
\alpha = \sqrt{\Big( \ff{\omega}{c} \Big)^2 - \beta^2}
\end{equation}
%
Diese Beziehung gilt immer unabhängig von den Randbedingungen.
Sie folgt direkt aus der Wellengleichung.
Da die Lösungen für $\beta$
betragsmäßig nicht beschränkt sind,
ist es möglich, dass
der Ausdruck unter der Wurzel in (16) negativ wird.
Für diese Lösungen erhält man einen rein imaginären Wert $\alpha$.
Falls die Bedingung
%
\begin{equation}
\beta < \ff{\omega}{c}
\end{equation}
%
erfüllt ist, ergibt sich dagegen eine reguläre Wellenausbreitung
mit einer rein reellen Längswellenzahl $\alpha$.
Die Ungleichung (17) stellt damit eine ``Cut-Off''-Bedingung
dar, wie sie sich auch bei der Behandlung der Kanäle mit 
idealen Wänden ergab.

Nachdem die Existenz der Lösungen nachgewiesen wurde, soll im
nächsten Schritt die Form der Lösungen betrachtet werden.
Aus Platzgründen wird hier jedoch nur der symmetrische Fall (I)
mit $A_2 = B_2$ vorgestellt.
Die Druckverteilung in Querrichtung wird durch die Funktion
$g(x_2)$ beschrieben.
Diese hat im Fall (I) die Form
%
\begin{equation}
g(x_2) = 2 A_2 \, \cos(\beta x_2)
\end{equation}
%
Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf von $g(x_2)$ für verschiedene
Werte der Querwellenzahl $\beta$.
In dem gezeigten Beispiel sind alle Lösungen in dem Intervall
%
\begin{equation}
0 < \beta < \ff{\pi}{H}
\end{equation}
%
Für $\Im\{\sdoso Yw\} < 0$ ergibt sich immer genau eine reelle Lösung
in diesem Intervall.
Bei schallharten Wänden ist $\sdoso Yw = 0$ und damit auch
$\Im\{\sdoso Yw\} = 0$.
Es ergibt sich eine konstante Lösung in Querrichtung mit $\beta = 0$.
Wird $\Im\{\sdoso Yw\}$ unter Null abgesenkt, so steigt $\beta$.
Für $\Im\{\sdoso Yw\} \rightarrow - \infty$ geht $\beta$ schließlich
gegen $\pi/H$.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=weich01.eps,width=6.0cm}}}
\put(2.5,3.95){\makebox(0,0)[cc]{\small $g(x_2)$}}
\put(0.75,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $2 A_2$}}
\put(5.35,3.35){\makebox(0,0)[lc]{\small $\Im\{\sdoso Yw\} = 0$}}
\put(5.35,2.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $\Im\{\sdoso Yw\} < 0$}}
\put(5.35,1.05){\makebox(0,0)[lc]{\small $\Im\{\sdoso Yw\} \rightarrow -\infty$}}
\put(6.05,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(2.85,0.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(0.65,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $-H/2$}}
\put(5.1,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $+H/2$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Eine betragsmäßig unendlich große Admittanz entspricht einer ideal
schallweichen Wand.
Entsprechend stellt sich für $\Im\{\sdoso Yw\} \rightarrow - \infty$
auch eine Lösung ein, bei der $g(x_2)$
und damit auch der Schalldruck an der Wand verschwindet.

Bei dem Übergang von $\Im\{\sdoso Yw\} = 0$ nach
$\Im\{\sdoso Yw\} = - \infty$ scheint die
Lösung stetig von der ebenen Welle in eine
Welle mit Knoten an den Wänden und einem Maxima
in Kanalmitte überzugehen.
Das bedeutet, mit der Randbedingung ändert sich
auch die Lösung stetig vom ideal schallharten zum
ideal schallweichen Fall.

Bisher wurden die Lösungen für eine Wand ohne
Absorption, also mit $\Re \{\sdoso Yw\} = 0$ behandelt.
Die Existenz der Lösungen wurde anschaulich abgeleitet.
Im nächsten Schritt soll nun auch der Einfluss
einer absorbierende
Wand näher untersucht werden.
Um den formalen Aufwand zu begrenzen, wird nur ein
kleiner Teil von allen möglichen Lösungen betrachtet, 
bei denen bestimmte Bedingungen erfüllt sind.

Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen sind
die Lösungen für den ideal schallweichen Fall
in dem
%
\begin{equation}
\sdoso Yw = \infty
\end{equation}
%
beziehungsweise
%
\begin{equation}
\sdoso Zw = 0
\end{equation}
%
gilt.
Um die Darstellung zu reduzieren wird wieder nur der
symmetrische Fall (I) mit $A_2 = B_2$ behandelt.
Die Bestimmungsgleichung für die Querwellenzahl
lautet in diesem Fall
%
\begin{equation}
\Big( \beta \ff{H}{2}\Big) \cdot
\hbox{tanh} 
\Big(i \beta \ff{H}{2}\Big)
=
- (\sdoso Yw \, \rhoo c) \,
\Big( \ff{\omega H}{2 c} \Big)
\end{equation}
%
Im ideal schallharten Fall (20) ist die rechte Seite dieser
Gleichung unendlich groß.
Bei einer kleinen Abweichung von dem Idealfall
ist die rechte Seite zwar nicht mehr unendlich, jedoch
wird sich immer noch ein relativ großer Wert ergeben.
Zweckmäßigerweise wird daher zur Betrachtung kleiner
Abweichungen der
Kehrwert von Gleichung (22) gebildet.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff
{\hbox{coth}
\Big(i \beta \ff{H}{2}\Big)}
{\Big( \beta \ff{H}{2}\Big)}
=
- \Big( \ff{1}{\sdoso Yw \, \rhoo c} \Big) \,
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big)
\end{equation}
%
Im Idealfall ist nun die rechte Seite gleich Null, und
eine Abweichung bewirkt ein kleinen Wert auf der
rechten Seite.

Zunächst sollen die reellen Lösungen für den
ideal schallweichen Fall abgeleitet werden.
Dazu wird die coth-Funktion mit der allgemeinen
Rechenregel
%
\begin{equation}
\hbox{coth} (iz) = - i \, \hbox{cot} (z)
\end{equation}
%
durch den Cotangens ersetzt.
Zusätzlich wird im folgenden nicht mehr die
Wandadmittanz sondern die Wandimpedanz als Parameter
verwendet.
Entsprechend wird $\sdoso Yw$ durch $1/\sdoso Zw$ ersetzt.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff
{\hbox{cot}
\Big(\beta \ff{H}{2}\Big)}
{\Big( \beta \ff{H}{2}\Big)}
=
- i \, \Big( \ff{\sdoso Zw}{\rhoo c} \Big) \,
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big)
\end{equation}
%
Die Lösungen für $\sdoso Zw = 0$ ergeben sich an
den Nullstellen der cot-Funktion.
Diese entsprechen den Nullstellen der cos-Funktion,
da
%
\begin{equation}
\hbox{cot} (z) = 
\ff{\cos(z)}{\sin(z)}
\end{equation}
%
Im ideal schallweichen Fall muss damit
%
\begin{equation}
\beta \ff{H}{2} = (2 m + 1) \ff{\pi}{2}
\end{equation}
%
bei
%
\begin{equation}
m = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
gelten.
Daraus folgt für die Querwellenzahl
%
\begin{equation}
\beta = (2 m + 1) \ff{\pi}{H}
\end{equation}
%
Bei diesen Werten ist die linke Seite von (25) gleich Null.
Der Verlauf der Funktion $g(x_2)$ für die ersten beiden Ordnungszahlen
$m$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mwei01.eps,width=6.0cm}}}
\put(2.5,3.95){\makebox(0,0)[cc]{\small $g(x_2)$}}
\put(0.75,3.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $2 A_2$}}
\put(6.05,2.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(2.85,1.55){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(5.15,2.55){\makebox(0,0)[cc]{\small $m=0$}}
\put(2.25,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $m=1$}}
\put(0.45,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $-\ff{H}{2}$}}
\put(5.45,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\ff{H}{2}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Im Prinzip ergäbe sich auch für $m = -1$ aus (29) eine gültige Lösung.
Diese führt jedoch auf den gleichen Verlauf von $g(x_2)$ wie
$m = +1$.
Dies ist bei allen negativen Lösungen für $\beta$ der Fall.
Sie ergeben keine neuen Lösungsformen, die nicht schon durch die
positiven Lösungen abgedeckt sind.
daher werden im folgenden nur die positiven Lösungen entsprechend
(27) und (28) betrachtet.

Ist die Kanalwand nicht ideal schallweich so ergibt
sich eine Impedanz $\sdoso Zw \neq 0$.
Ist die Impedanz betragsmäßig sehr klein wird
sie auch nur eine kleine Änderung der Querwellenzahl
$\beta$ bewirken.
Diese Änderung beziehungsweise Abweichung von
der schallweichen Lösung
wird mit $\Delta \beta$ bezeichnet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\beta = (2 m + 1) \ff{\pi}{H} + \Delta \beta
\end{equation}
%
beziehungsweise
%
\begin{equation}
\beta \ff{H}{2} = (2 m + 1) \ff{\pi}{2} + \Delta \beta \ff{H}{2}
\end{equation}
%
Dabei kann $\Delta \beta$ auch eine komplexe Größe sein.
Dies hängt von der Wandimpedanz ab.
Es wird hier nicht mehr vorausgesetzt, dass die
Wandimpedanz rein komplex ist.
Damit sind auch absorbierende Wände zugelassen.
Jedoch soll $\sdoso Zw$ betragsmäßig so klein sein,
dass die resultierende Abweichung der
Querwellenzahl die Bedingung
%
\begin{equation}
\Big| \Delta \beta \ff{H}{2} \Big| \ll 1
\end{equation}
%
erfüllt.

Im nächsten Schritt soll geklärt werden,
welche Bedingungen $\sdoso Zw$ erfüllen muss,
damit (32) wirklich eingehalten wird.
Dazu wird zunächst der cot-Ausdruck in (25) näher betrachtet.
Aus (31) folgt
%
\begin{equation}
\hbox{cot} \Big( \beta \ff{H}{2} \Big)
=
\hbox{cot} \Big[ (2m + 1) \ff{\pi}{2} + \Delta \beta \ff{H}{2} \Big]
\end{equation}
%
Der Cotangens ist eine periodische Funktion.
Es gilt allgemein
%
\begin{equation}
\hbox{cot}(z) = \hbox{cot} (z-n \pi) \, ; \quad n \in \mathbb{N}
\end{equation}
%
Damit kann ein Vielfaches von $\pi$ vom Argument
auf der rechten Seite in (33) abgezogen werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\hbox{cot} \Big( \beta \ff{H}{2} \Big)
=
\hbox{cot} \Big[ \ff{\pi}{2} + \Delta \beta \ff{H}{2} \Big]
\end{equation}
%

Zu weiteren Umformung wird die
allgemein Beziehung
%
\begin{equation}
\hbox{cot}(z) = - \hbox{tan} \big( z- \ff{\pi}{2} \big)
\end{equation}
%
ausgenutzt.
Damit folgt aus (35)
%
\begin{equation}
\hbox{cot} \Big( \beta \ff{H}{2} \Big)
=
- \hbox{tan} \Big( \Delta \beta \ff{H}{2} \Big)
\end{equation}
%
Für die linke Seite von (25) ergibt sich
mit (31) die Umformung
%
\begin{equation}
\ff
{\hbox{cot}
\Big(\beta \ff{H}{2}\Big)}
{\Big( \beta \ff{H}{2}\Big)}
=
-
\ff
{\hbox{tan}
\Big(\Delta \beta \ff{H}{2}\Big)}
{(2m+1) \ff{\pi}{2} + \Delta \beta \ff{H}{2}}
\end{equation}
%
Es bietet sich nun an den tan-Ausdruck auf der rechten
Seite näherungsweise durch das Argument zu ersetzen.
Dies ist zulässig, wenn die Ungleichung
(32) erfüllt ist.
Unter dieser Bedingung kann auch noch der Nenner
auf der rechten Seite vereinfacht werden.
Der zweite Summand ist nach (32) klein.
Der erste Summand ist in jedem Fall größer als $\pi/2$.
Damit kann der zweite Summand ohne großen Fehler
vernachlässigt werden.
Es ergibt sich die Approximation
%
\begin{equation}
\ff
{\hbox{cot}
\Big(\beta \ff{H}{2}\Big)}
{\Big( \beta \ff{H}{2}\Big)}
\approx
-
\ff
{\Delta \beta \ff{H}{2}}
{(2m+1) \ff{\pi}{2}}
\end{equation}
%
Um zu zeigen, wie gut diese Approximation ist, werden
konkrete Zahlenwerte eingesetzt.
Es wird der Fall mit
%
\begin{equation}
m=0 \; ; \quad \Delta \beta \ff{H}{2} = 0.1
\end{equation}
%
betrachtet.
Mit den gegebenen Zahlen erhält man für die linke Seite von (39)
den Wert
%
\begin{equation}
\ff
{\hbox{cot}
\Big(\beta \ff{H}{2}\Big)}
{\Big( \beta \ff{H}{2}\Big)}
=
-0.06005
\end{equation}
%
Für die Näherung ergibt sich
%
\begin{equation}
-
\ff
{\Delta \beta \ff{H}{2}}
{(2m+1) \ff{\pi}{2}}
=
-0.0636
\end{equation}
%
Die Abweichung ist erstaunlich gering, denn
mit den Werten in (40) ist die Voraussetzung (31) eigentlich gar nicht
erfüllt.
Jedoch zeigt das Beispiel, dass die Approximation
selbst unter ungünstigen Bedingungen einen relativ
geringen Fehler ergibt.
Wenn in praktischen Anwendungen ein Fehler von 10 Prozent toleriert
werden kann, dann ist die Näherungsformel sogar noch bei den Werten aus
(40) anwendbar.

Mit der Approximation (39) folgt näherungsweise aus der
Bestimmungsgleichung (25)
%
\begin{equation}
-
\ff
{\Delta \beta \ff{H}{2}}
{(2m+1) \ff{\pi}{2}}
=
- i \, \Big( \ff{\sdoso Zw}{\rhoo c} \Big) \,
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big)
\end{equation}
%
Dies kann zu
%
\begin{equation}
\Delta \beta \ff{H}{2}
=
i \,
(2m+1) \ff{\pi}{2}
\, \Big( \ff{\sdoso Zw}{\rhoo c} \Big) \,
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big)
\end{equation}
%
umgeschrieben werden.
Die Ungleichung (31) fordert, dass die linke Seite betragsmäßig klein
gegen Eins ist.
Das bedeutet, um (31) zu erfüllen ist
%
\begin{equation}
(2m+1) \ff{\pi}{2}
\, \ff{|\sdoso Zw|}{\rhoo c} \,
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big)
\ll 1
\end{equation}
%
notwendige Bedingung.
Umgekehrt kann geschlossen werden, dass wenn
(45) erfüllt ist, die sich ergebende
Abweichung der Querwellenzahl von der Ideallösung (29)
klein im Sinne von (32) ist.

Die Ungleichung (45) wird erfüllt, wenn der
Betrag der Impedanz $\sdoso Yw$ hinreichend klein ist.
Aber auch wenn $|\sdoso Yw|$ in der Größenordnung
des Wellenwiderstand liegt
sind Lösungen für $\beta$ möglich, die (32) erfüllen.
Dazu muss nur
%
\begin{equation}
\ff{2 c}{\omega H}
\ll 1
\end{equation}
%
gelten.
Dann ist zumindest für kleine Werte von $m$ die
Ungleichung (45) erfüllt, auch wenn $|\sdoso Yw|$
etwas größer ist.
Die Relation ist gerade bei sehr hohen Frequenzen
gültig, wenn die Wellenlänge klein gegenüber der
Kanalbreite ist.
Dann können sich auch bei nicht schallweichen Wänden,
für die zum Beispiel
%
\begin{equation}
|\sdoso Zw| \approx \rhoo c
\end{equation}
%
gilt,
Lösungen ergeben, die sich in der Form nur geringfügig
von den Lösungen im ideal schallweichen Fall
unterscheiden.

Diese Überlegung gilt jedoch nur für relativ kleine
Ordnungszahlen $m$, also für die Lösungen mit
wenig Knoten und Bäuchen.
Für größere Werte $m$ ist (45) irgendwann nicht mehr
erfüllt.
Für die Untersuchung der Schallausbreitung
sind jedoch nur Lösungen interessant, die sich auch
ausbreiten können und nicht sowieso abklingen,
weil sie die ``Cut-Off''-Bedingung (17) nicht
einhalten.

Es kann eine obere Grenze für $m$ angegeben werden,
bei der sich die Lösungen für den
ideal schallweichen Fall noch wellenförmig ausbreiten.
Aus (17) folgt durch Multiplikation mit $H/2$ die Ungleichung
%
\begin{equation}
\beta \ff{H}{2}< \ff{\omega H}{2 c}
\end{equation}
%
Setzt man auf der linken Seite (27) ein, so erhält man
%
\begin{equation}
(2 m + 1)  \ff{\pi}{2} < \ff{\omega H}{2 c}
\end{equation}
%
Diese Ungleichung gibt an, ob sich die
Lösung regulär ausbreiten kann.
Geht man von dem größten Wert $m$ aus, bei dem (49)
noch gilt, dann ist $(2 m + 1)  \ff{\pi}{2}$ in der
Größenordnung von $\ff{\omega H}{2 c}$.
In (45) kann damit der erste Term durch den Zweiten
ersetzt werden.
Dieser hebt sich dann mit seinem Kehrwert fort.
Daraus folgt, dass
%
\begin{equation}
|\sdoso Zw| \ll \rhoo c
\end{equation}
%
sein muss, damit die Ungleichung (45) erfüllt bleibt.
Das bedeutet, nur falls die Impedanz wirklich klein
im Sinne von (50) ist, ergibt sich für alle
ausbreitungsfähigen Lösungen eine kleine
Abweichung der Querwellenzahl im Sinne von (32).
Fall nur die Relation
%
\begin{equation}
\ff{|\sdoso Zw|}{\rhoo c} \,
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big)
\ll 1
\end{equation}
%
gilt, erhält man zumindest für kleine Ordnungszahlen $m$
solche Lösungen.

Nachdem der Gültigkeitsbereich der gesamten Überlegung
dargestellt wurde, wird im weiteren Schritt
die Lösung selbst betrachtet.
Für die Abweichung der Querwellenzahl gilt (44).
Setzt man dies in (31) ein, ergibt sich für die
Querwellenzahl der Zusammenhang
%
\begin{equation}
\beta \ff{H}{2}
=
(2m+1) \ff{\pi}{2}
\, \Big[ 1 + i
\, \Big( \ff{\sdoso Zw}{\rhoo c} \Big)
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big) \Big]
\end{equation}
%
Die sich daraus ergebende
Form der Lösung in Querrichtung wurde bereits diskutiert.
Nun soll daraus die Längswellenzahl $\alpha$
ermittelt werden.
Dividiert man (52) durch $H/2$ und setzt das
Resultat in (16) ein, folgt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\alpha = \\[6pt]
\sqrt{\Big( \ff{\omega}{c} \Big)^2 - 
\Big[ \ff{(2m+1) \pi}{H} \Big]^2
\, \Big[ 1 + i
\, \Big( \ff{\sdoso Zw}{\rhoo c} \Big)
\Big( \ff{2 c}{\omega H}\Big) \Big]^2}
\end{array}
\end{equation}
%
Für viele Anwendungen ist besonders die Dämpfung
in Längsrichtung von Interesse.
Sie wird durch den Imaginärteil
%
%\begin{equation}
$\sdoso \alpha I = \Im \{ \alpha \}$
%\end{equation}
%
beschrieben.
Die Lösung im Kanal kann in der Form
%
\begin{equation}
p' = A_1 \, g(x_2) \, e^{i(\omega t - \sdoso \alpha R x_1)} \, 
e^{\sdoso \alpha I x_1}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Dabei ergibt sich für positive Werte von
%
%\begin{equation}
$\sdoso \alpha R = \Re \{ \alpha \}$
%\end{equation}
%
eine Welle in positive $x_1$-Richtung.
Damit die Welle abklingt, muss $\sdoso \alpha I < 0$ sein.
Die Welle ist umso stärker gedämpft,
je größer der Betrag von $\sdoso \alpha I$ ist.
Im Prinzip kann $\sdoso \alpha I$ aus (53) exakt berechnet werden.
Für die Untersuchung der Abhängigkeit der Dämpfung von den
verscheidenden Parametern reicht es jedoch aus eine
Näherungslösung zu betrachten.
Unter den Voraussetzungen (45) und (51) ergibt sich
approximativ für den Imaginärteil
%
\begin{equation}
\sdoso \alpha I = - (2m + 1)^2 \, 
\Big( \ff{2 \pi^2 c^2}{H^3 \omega^2} \Big) \,
\Big( \ff{\Re \{ \sdoso Zw \}}{\rhoo c} \Big)
\end{equation}
%




\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------