Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 8.\ Juni 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{37}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.3) Quasiebene Wellen} 
\end{flushleft}

Im folgenden soll der Spezialfall betrachtet werden,
in dem die Wand nicht absorbiert.
Das bedeutet, der Realteil der Wandimpedanz beziehungsweise
der Admittanz verschwindet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\Re \{ \sdoso Yw \} = 0
\end{equation}
%
Damit wird
%
\begin{equation}
\xi = \ff{\rhoo c \; \Im \{\sdoso Yw\}}{\Big(\ff{\omega H}{2 c} \Big)}
\end{equation}
%
Die Größe $\xi$ ist ohne Absorption rein reell:
%
\begin{equation}
\xi \in \mathbb{R}
\end{equation}
%
Daraus folgt, dass bei 
%
\begin{equation}
\xi > -1
\end{equation}
%
auch die
Wellenzahl in Kanalrichtung $\alpha$ rein reell ist.
Es gilt in diesem Fall
%
\begin{equation}
\sdoso \alpha I = 0
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\sdoso \alpha R = \ff{\omega}{c} \sqrt{1 + \xi}
\end{equation}
%
Es ergibt sich eine reguläre Wellenausbreitung
mit der Phasengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}} = \ff{\omega}{\sdoso \alpha R}
 = \ff{c}{\sqrt{1 + \xi}}
\end{equation}
%
Interessant ist dabei, dass prinzipiell
auch $\xi \gg 1$ möglich ist.
Dies kann sich ergeben, wenn der Ausdruck im Nenner auf
der rechten Seite von (39) klein wird, also wenn
die Wellenlänge groß gegenüber der Kanalabmessung ist.
Dann können sich Phasengeschwindigkeiten 
deutlich unterhalb der Schallgeschwindigkeit ergeben.

Da $\Im\{\sdoso Yw\}$ negativ werden kann,
ist auch $\xi < -1$ möglich.
In diesem Fall erhält man ein rein imaginären Wert
für $\alpha$.
Eine quasiebene Welle kann sich dann nicht regulär
ausbreiten.
Es ergibt sich eine abklingende Lösung.
Die Ungleichung (41) stellt damit eine Art
``Cut-Off''-Bedingung
für die quasiebene Welle dar.

Anhand eines Zahlenbeispiels soll nun die
Wellenausbreitung bei nicht absorbierenden
Wänden veranschaulicht werden.
Betrachtet wird ein rechteckiger Kanal mit
zwei festen und zwei flexiblen Wänden.
Die festen Wände liegen sich gegenüber.
Die Geometrie ist in der Abbildung dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(5.0,4.0) \thicklines
\put(1.0,0.75){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=benzin00.eps,width=3.0cm}}}
\put(1.0,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small Benzin}}
\put(4.0,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small flexible Schicht}}
\put(2.5,3.75){\makebox(0,0)[cc]{\small $H$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Obwohl die gezeigte Anordnung dreidimensional ist, können die
quasiebenen Wellen zweidimensional beschrieben werden.
Dazu wird angenommen, dass alle Größen
in vertikaler Richtung konstant sind, und die
Schnelle in dieser Richtung gleich Null ist.
Damit ist in jedem Fall die Randbedingung an den festen
Wänden ober und unten erfüllt.

Prinzipiell sind auch Lösungen mit einer Variation
in vertikaler Richtung möglich, aber solche Moden
sollen hier ausgeschlossen werden.
In einem horizontalen Schnitt ergibt sich damit ein
zweidimensionaler Kanal der Breite $H$ mit zwei
flexiblen Wänden.
Die Wände werden lokal reagierend angenommen.
Die Breite des Kanals soll 5 Millimeter betragen.
In dem Kanal soll sich Benzin befinden.
Es gilt damit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\rhoo &= 750 \, \ff{\hbox{kg}\;}{\hbox{m}^3} \\[10pt]
c &= 1190 \, \ff{\hbox{m}}{\hbox{s}} \\[10pt]
H &= 0.005 \, \hbox{m}
\end{array}
\end{equation}
%
Es soll die Wellenausbreitung bei einer Frequenz
von 50 Hertz untersucht werden.

Aus einem einfachen mechanischen Modell für eine
flexible Wand folgt für die Wandimpedanz
%
\begin{equation}
\sdoso Zw = i \omega M^\ast - F^\ast - \ff{i}{\omega} D^\ast
\end{equation}
%
Die Größe $M^\ast$ ist das Flächengewicht,
$F^\ast$ ist der auf die Fläche bezogene Reibungskoeffizient
und $D^\ast$ die Federkonstante pro Fläche.
Die Formel (46) entspricht der für einen beweglichen Kolben,
nur sind die mit dem Symbol $\ast$ gekennzeichneten Größen hier auf die
Fläche bezogen.

In der Realität wird sich eine flexible Gummi- oder Kunststoffschicht an der
Wand nicht unbedingt so verhalten, wie die Gleichung (46) es beschreibt.
Auch wenn die Wand tatsächlich näherungsweise lokal reagierend ist,
wird man die Koeffizienten $M^\ast$, $F^\ast$ und $D^\ast$
wahrscheinlich von der Frequenz abhängig wählen müssen, damit 
die Formel ihre Gültigkeit behält.
Für das gegebene Zahlenbeispiel soll jedoch vereinfacht angenommen werden,
das $M^\ast$, $F^\ast$ und $D^\ast$ Konstanten sind.
Durch einfache Abschätzungen sollen konkrete Werte für $M^\ast$
und $D^\ast$ gefunden werden.
Der Reibungskoeffizient $F^\ast$ wird gleich Null gesetzt.
Das bedeutet, die Wand absorbiert nicht.

Bei der Auslenkung der Wand wird Masse beschleunigt.
Es wird angenommen, dass ein Quadratzentimeter 
der bewegten Schicht 0.5 Gramm wiegt.
In Wirklichkeit bewegt sich natürlich
mehr als eine Schicht und dies mit unterschiedlicher
Geschwindigkeit.
Hier wird sozusagen ein der gesamten bewegten Masse
äquivalente Masse in der Oberfläche angenommen, und
die unteren Schichten als massenlos angesehen.
Für das Flächengewicht ergibt sich
%
\begin{equation}
M^\ast = \ff{10^5 \, \hbox{kg}}{10^{-4} \, \hbox{m}^2}
= 5.0 \ff{\hbox{kg}\;}{\hbox{m}^2}
\end{equation}
%
Wird die Wand mit einem Druck von einem Bar belastet,
so soll sich die flexible Schicht um 0.1 Millimeter
eindrücken.
Das ergibt für die Federkonstante pro Fläche
%
\begin{equation}
D^\ast = \ff{10^5 \, \ff{\hbox{N}\;}
{\hbox{m}^2}}{10^{-4} \, \hbox{m}}
=
10^9 \, \ff{\hbox{N}\,}{\hbox{m}^3}
=
10^9 \, \ff{\hbox{kg}\,}{\hbox{m}^2 \hbox{s}^2}
\end{equation}
%
Im nächsten Schritt werden die Effekte durch die Federkraft und die
Trägheitskraft
bei einer Bewegung mit 50 Hertz verglichen.
Bleibt die maximale Geschwindigkeit der Wand konstant, so
nimmt mit steigender Frequenz die Beschleunigung
und damit auch die Trägheitskraft zu.
Der erste Term auf der rechten Seite von (46) hat den Betrag
%
\begin{equation}
\omega M^\ast = 2 \pi \, 50 \, \ff{1}{\hbox{s}} \times 5.0 \ff{\hbox{kg}\;}{\hbox{m}^2}
=
1570.8 \ff{\hbox{kg}}{\hbox{m}^2 \hbox{s}}
\end{equation}
%
Die Federkraft nimmt dagegen mit steigender Frequenz ab, da bei
gleicher Geschwindigkeitsamplitude die Auslenkung zurück geht.
Der dritte Term auf der rechten Seite von (46) hat den Betrag
%
\begin{equation}
\ff{D^\ast}{\omega} = 
\ff{10^9 \, \ff{\hbox{kg}\,}{\hbox{m}^2 \hbox{s}^2}}
{2 \pi \, 50 \, \ff{1}{\hbox{s}}}
=
3.183 \cdot 10^6 \ff{\hbox{kg}}{\hbox{m}^2 \hbox{s}}
\end{equation}
%
Es zeigt sich, das die Federkraft bei den gegebenen Parametern
um einige Größenordnungen über der Trägheitskraft liegt.
Damit kann in dem betrachteten Fall ohne große Fehler der
Trägheitsterm vernachlässigt werden.
Die Impedanz wird damit einfach zu
%
\begin{equation}
\sdoso Zw = - \ff{i}{\omega} D^\ast
\end{equation}
%
Dies ist allerdings nur in dem betrachteten Frequenzbereich gültig.
Für die Admittanz ergibt sich entsprechend
%
\begin{equation}
\sdoso Yw = i \ff{\omega}{D^\ast}
\end{equation}
%

Im nächsten Schritt soll überprüft werden, ob bei den gegebenen
Bedingungen wirklich auch quasiebene Wellen auftreten können.
Damit diese möglich sind, muss die Ungleichung (17) erfüllt sein.
Dort treten im Prinzip die gleichen dimensionslosen
Faktoren auf, die auch als
Zähler und Nenner in (39) zu finden sind.
Es gilt für den Imaginärteil der Admittanz
%
\begin{equation}
\Im \{ \sdoso Yw \} = \ff{\omega}{D^\ast}
\end{equation}
%
Für den Zähler in (39) ergibt sich daraus
%
\begin{equation}
\Im \{ \sdoso Yw \} \, \rhoo c = 0.2803
\end{equation}
%
Bei der gegebenen Frequenz wird der Nenner zu
%
\begin{equation}
\ff{\omega H}{2 c} = 6.6 \cdot 10^{-4}
\end{equation}
%
Das Produkt aus den beiden Faktoren muss nach
Ungleichung (17) betragsmäßig klein gegen Eins sein.
Die Überprüfung ergibt
%
\begin{equation}
|\sdoso Yw| \, \rhoo c \,
\Big( \ff{\omega H}{2 c} \Big) = 1.85 \cdot 10^{-4} \ll 1
\end{equation}
%
Damit können quasiebene Wellen tatsächlich auftreten.

Zur Berechnung der Phasengeschwindigkeit wird zunächst
die Hilfsgröße $\xi$ ermittelt.
Aus (39) ergibt sich durch Division
%
\begin{equation}
\xi = 424.83
\end{equation}
%
Setzt man die berechneten Werte in Gleichung (44) ein,
erhält man
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
\ff{1190 \ff{\hbox{m}}{\hbox{s}}}{\sqrt{1 + 424.83}}
=
\ff{1190 \ff{\hbox{m}}{\hbox{s}}}{20.61}
\end{equation}
%
Für die Phasengeschwindigkeit ergibt sich
letztlich mit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
57.73 \, \ff{\hbox{m}}{\hbox{s}}
\end{equation}
%
ein Wert, der deutlich unterhalb der Schallgeschwindigkeit
liegt.

Im Kanal mit schallharten Wänden ergaben sich
abhängig von der betrachteten Moden unterschiedliche
Phasengeschwindigkeiten.
Jedoch waren die Werte immer größer oder gleich
der Schallgeschwindigkeit.
Die nun berechnete extrem niedrige Phasengeschwindigkeit ist
nur durch die nachgiebige Wand zu erklären.
Um genauer zu untersuchen, welche Parameter die
Phasengeschwindigkeit bestimmen wird
die Gleichung (39) umgeformt.
Setzt man (53) ein ergibt sich
%
\begin{equation}
\xi = \ff{\ff{\omega}{D^\ast} \rhoo 2 c^2}{\omega H} =
\ff{2 \rhoo c^2}{H D^\ast}
\end{equation}
%
Das bedeutet, die Frequenz $\omega$ ist
herausgefallen.
Ist der Koeffizient $D^\ast$ tatsächlich
unabhängig von der Frequenz, so
ist zumindest in dem betrachteten Frequenzbereich
$\xi$ und damit auch die Phasengeschwindigkeit
konstant.

Wenn die Größe $\xi$, wie in den vorgestellten Beispiel,
die Ungleichung
%
\begin{equation}
\xi \gg 1
\end{equation}
%
erfüllt, kann die Eins unter der Wurzel in (44)
gegenüber $\xi$ vernachlässigt werden.
Für die Phasengeschwindigkeit gilt bei diesen
Bedingungen näherungsweise
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
\ff{c}{\sqrt{1 + \xi}}
\approx
\ff{c}{\sqrt{\xi}}
=
\ff{c}{\sqrt{\ff{2 \rhoo c^2}{H D^\ast}}}
\end{equation}
%
Daraus folgt letztlich
die Approximation
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
\approx
\sqrt{\ff{H D^\ast}{2 \rhoo}}
\end{equation}
%
Diese Näherung gilt falls (61) erfüllt ist.
Interessanterweise kommt die Schallgeschwindigkeit $c$
in dem Ausdruck in (63) überhaupt nicht mehr vor.
Die Schallgeschwindigkeit ist indirekt ein
Maß für die Kompressibilität des Mediums.
Die Phasengeschwindigkeit, und damit die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der quasiebenen Wellen,
scheint bei den gegebenen Bedingungen 
unabhängig von der Kompressibilität zu sein.

Dies kann man sich plausibel erklären, wenn
man einen kurzen Abschnitt des Kanals quasistatisch
betrachtet.
Wird von beiden Seiten Druck auf das Medium
in dem Abschnitt ausgeübt, so wird das Medium
im Abschnitt komprimiert.
Die Verringerung des Volumens wird dadurch ausgeglichen,
dass zusätzliches Medium von den Seiten in den Abschnitt
hineingedrückt wird.
Durch die nachgiebigen Wände kann aber auch
Medium in die Wände ausweichen.
Entsprechend muss mehr Medium von den Seiten
nachfließen.
Ist nun der Effekt durch die Kompression des Mediums
gegenüber der Verdrängung in die Wand vernachlässigbar,
so spielt die Kompression für das Verhalten des
Mediums im Kanal überhaupt keine Rolle mehr.
Auch für ein perfekt inkompressibles Medium würde sich eine
scheinbare Kompression in dem Abschnitt ergeben.
Die nachgiebigen Wände simulieren sozusagen ein
kompressibles Medium.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 3.4) Wellen mit Knoten und Bäuchen in Querrichtung} 
\end{flushleft}

Im letzten Abschnitt war die Zustandsänderung
in Querrichtung vernachlässigbar klein.
Entsprechende Lösungen existieren, wie gezeigt wurde,
nur unter bestimmten Bedingungen.
Im Allgemeinen werden sich Lösungen mit einer
variablen Verteilung in Querrichtung ergeben.
Im symmetrischen Fall I ($A_2 = B_2$) hat 
die Bestimmungsgleichung für die Wellenzahl
in Querrichtung $\beta$ die Form
%
\begin{equation}
\Big( \beta \ff{H}{2}\Big) \;
\hbox{tanh} 
\Big( i \beta \ff{H}{2}\Big)
=
- (\sdoso Yw \, \rhoo c) \,
\Big( \ff{\omega H}{2 c} \Big)
\end{equation}
%
Dies ist eine nichtlineare Gleichung, die
nicht direkt gelöst werden kann.
Es kann sogar auf Anhieb überhaupt keine Aussage
über die Existenz von Lösungen gemacht werden.
Um einen Überblick zu gewinnen, wird zunächst
nur der Fall ohne Absorption betrachtet.
Die Wand ``schluckt'' keine Energie und es gilt
%
\begin{equation}
\Re \{ \sdoso Yw \} = 0
\end{equation}
%
Berücksichtigt man den allgemeinen Zusammenhang
%
\begin{equation}
\hbox{tanh} (iz) = i \, \hbox{tan} (z)
\end{equation}
%
ergibt sich aus der Gleichung (1) die Beziehung
%
\begin{equation}
\Big( \beta \ff{H}{2}\Big) \;
\hbox{tan} 
\Big(\beta \ff{H}{2}\Big)
=
- (\Im \{\sdoso Yw\} \, \rhoo c) \,
\Big( \ff{\omega H}{2 c} \Big)
\end{equation}
%
Für rein reelle Wellenzahlen $\beta$ liegt damit
eine rein reelle Gleichung vor.
Für diese kann leicht die Existenz von Lösungen
gezeigt werden, wenn man die linke Seite
näher betrachtet.
Zweckmäßigerweise wird wieder die Abkürzung
%
\begin{equation}
z = \beta \ff{H}{2}
\end{equation}
%
verwendet.
Der Ausdruck auf der linken Seite von (4) hat die Form
%
\begin{equation}
z \, \hbox{tan} (z)
\end{equation}
%
In der folgenden Abbildung ist dieser Ausdruck als Funktion von 
des Parameters $z$ aufgetragen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,6.5) \thicklines
\put(0.7,0.75){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=xtanx.eps,width=7.0cm,height=5.0cm}}}
\put(0.8,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $-3\pi$}}
\put(1.9,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $-2\pi$}}
\put(3.0,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $-\pi$}}
\put(4.2,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $0$}}
\put(5.325,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $\pi$}}
\put(6.45,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $2 \pi$}}
\put(7.55,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $3 \pi$}}
\put(0.6,3.25){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.6,0.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $-2$}}
\put(0.6,2.0){\makebox(0,0)[rc]{\small $-1$}}
\put(0.6,3.25){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.6,4.5){\makebox(0,0)[rc]{\small $1$}}
\put(0.6,5.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $2$}}
\put(7.9,0.75){\makebox(0,0)[cb]{\small $z$}}
\put(0.7,6.2){\makebox(0,0)[cc]
{\small $z \, \hbox{tan} (z)$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es zeigt sich damit graphisch, dass für alle möglichen
Werte auf der rechten Seite von (4) unendlich
viele Lösungen für $z$ beziehungsweise $\beta$
gefunden werden können.
Damit ist nachgewiesen, dass zumindest für den
Fall ohne Absorption immer Lösungen existieren.

Die Wand ohne Absorption schließt auch den Spezialfall
der idealen schallharten Wand mit ein.
In diesem Fall ist $\sdoso Yw = 0$, und die rechte
Seite von (4) verschwindet.
Aus der Abbildung ergibt sich, dass der Ausdruck
$z \, \hbox{tan}(z)$ gerade bei den Vielfachen von $\pi$
Null wird.
Betrachtet man nur die positiven Lösungen
erhält man bei schallharten Wänden
%
\begin{equation}
z = \beta \ff{H}{2}
=
0, \pi, 2\pi, \ldots  
\end{equation}
%
Dies ist gleichbedeutend mit
%
\begin{equation}
\beta
=
0, 2 \ff{\pi}{H}, 4 \ff{\pi}{H}, \ldots  
\end{equation}
%
Dies Resultat kann mit der Lösung verglichen werden,
die bei der Behandlung des Kanals mit
schallharten Wänden abgeleitet wurde.
Dort wurden für die Wellenzahl in Querrichtung die
Lösungen
%
\begin{equation}
\beta
=
m \ff{\pi}{H}
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
m
=
0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
ermittelt.
Dies zeigt, dass in der Reihe in (8) nur jede Zweite
der bisherigen Lösungen enthalten ist.
Um die restlichen Lösungen zu erhalten, muss auch
noch der unsymmetrische Fall II ($A_2 = - B_2$)
betrachtet werden.
Die Bestimmungsgleichung für $\beta$ ergibt sich
für diesem Fall aus (1) durch ersetzen der tanh-Funktion
durch die coth-Funktion.
Mit der allgemeinen Beziehung
%
\begin{equation}
\hbox{coth} (iz) = - i \, \hbox{cot} (z)
\end{equation}
%
folgt daraus
%
\begin{equation}
-
\Big( \beta \ff{H}{2}\Big) \;
\hbox{cot}
\Big(\beta \ff{H}{2}\Big)
=
- (\Im \{\sdoso Yw\} \, \rhoo c) \,
\Big( \ff{\omega H}{2 c} \Big)
\end{equation}
%
Die rechte Seite dieser Gleichung entspricht der
in (4).
Der Ausdruck auf der linken Seite hat die Form
%
\begin{equation}
- z \, \hbox{cot} (z)
\end{equation}
%
In der Abbildung weiter unten ist der Verlauf dieses Ausdrucks
als Funktion von $z$ dargestellt.
Es zeigt sich, dass auch unendlich viele Lösungen
für $z$ beziehungsweise $\beta$ im
unsymmetrischen Fall gefunden werden können.
In dem Spezialfall der schallharten Wand mit $\sdoso Yw = 0$
ergeben sich aus den Schnittpunkten mit der Nulllinie
die positiven Lösungen
%
\begin{equation}
z =
\beta \ff{H}{2}
=
\ff{1}{2}\pi, \ff{3}{2}\pi, \ff{5}{2}\pi, \ldots  
\end{equation}
%
Dies ist äquivalent zu
%
\begin{equation}
\beta
=
\ff{\pi}{H}, 3 \ff{\pi}{H}, 5 \ff{\pi}{H}, \ldots  
\end{equation}
%
Damit sind die Lösungen für den Spezialfall
vollständig gefunden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,6.5) \thicklines
\put(0.7,0.75){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=xcotx.eps,width=7.0cm,height=5.0cm}}}
\put(0.8,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $-3\pi$}}
\put(1.9,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $-2\pi$}}
\put(3.0,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $-\pi$}}
\put(4.2,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $0$}}
\put(5.325,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $\pi$}}
\put(6.45,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $2 \pi$}}
\put(7.55,0.3){\makebox(0,0)[cb]{\small $3 \pi$}}
\put(0.6,3.25){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.6,0.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $-2$}}
\put(0.6,2.0){\makebox(0,0)[rc]{\small $-1$}}
\put(0.6,3.25){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.6,4.5){\makebox(0,0)[rc]{\small $1$}}
\put(0.6,5.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $2$}}
\put(7.9,0.75){\makebox(0,0)[cb]{\small $z$}}
\put(0.7,6.2){\makebox(0,0)[cc]
{\small $-z \, \hbox{cot} (z)$}}
\end{picture}
\end{center}
%


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------