Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 5.\ Juni 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{12}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.2) Lösung für den ebenen Kanal} 
\end{flushleft}

Die Randbedingungen an der Wand ergeben zwei
Gleichungen, in denen neben der Funktion $g$
auch deren Ableitung auftritt.
Die allgemeine Lösung für $g$ lautet
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
A_2 e^{-i \beta x_2} + B_2 e^{+i \beta x_2}
\end{equation}
%
Für die Ableitung ergibt sich daraus
%
\begin{equation}
g'(x_2)
=
- i \beta A_2 e^{-i \beta x_2} + i \beta B_2 e^{+i \beta x_2}
\end{equation}
%
Dies kann in die Randbedingungen eingesetzt werden.
Man erhält für die Bedingung an der unteren Wand
%
\begin{equation}
Z_- = \ff{i \omega \rhoo}{i \beta} \,
\ff{A_2 e^a + B_2 e^{-a}}{-A_2 e^a + B_2 e^{-a}}
\end{equation}
%
und an der oberen Wand
%
\begin{equation}
Z_+ = \ff{i \omega \rhoo}{i \beta} \,
\ff{A_2 e^{-a} + B_2 e^{a}}{A_2 e^{-a} - B_2 e^{a}}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Abkürzung
%
\begin{equation}
a = i \beta \, \ff{H}{2}
\end{equation}
%
eingeführt.
Die Beziehungen (15) und (16) sind zwei nichtlineare
Gleichungen.
Sie legen die Wellenzahl $\beta$ und das Verhältnis
zwischen den Größen $A_2$ und $B_2$ fest.
Grundsätzlich kann aus den Randbedingungen 
$g(x_2)$ nur bis auf einen konstanten
Faktor bestimmt werden.

Um die Wellenzahl $\beta$ zu bestimmen, muss im allgemeinen
mit einem numerischen Verfahren das nichtlineare
Gleichungssystem gelöst werden.
Nur bei speziellen Werten für die Wandimpedanzen
$Z_-$ und $Z_+$ ergibt sich die Lösung direkt.
Es ist in den meisten Fällen auch
mit komplexen Werten $\beta \in \mathbb{C}$ zu rechnen.

Eine Vereinfachung ergibt sich wenn die beiden Wandimpedanzen
gleich sind.
In der Praxis ist es häufig der Fall, dass alle Wände die
gleichen Eigenschaften besitzen.
Im folgenden wird daher die Einschränkung
%
\begin{equation}
Z_- = Z_+ = \sdoso Zw
\end{equation}
%
angenommen.
Mit $\sdoso Zw$ wird die einheitliche Wandimpedanz
bezeichnet.
Der Kanal ist nun völlig symmetrisch.
Die beiden rechten Seiten von (15) und (16)
können gleich gesetzt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff{A_2 e^a + B_2 e^{-a}}{-A_2 e^a + B_2 e^{-a}}
=
\ff{A_2 e^{-a} + B_2 e^{a}}{A_2 e^{-a} - B_2 e^{a}}
\end{equation}
%
Damit kann direkt
eine Beziehung zwischen
den Größen $A_2$ und $B_2$ gefunden werden.
Unabhängig von $a$ ist Gleichung (19)
erfüllt, falls
entweder
%
\begin{equation}
A_2 = B_2 \tag{\hbox{Fall I}}
\end{equation}
%
oder
%
\begin{equation}
A_2 = - B_2 \tag{\hbox{Fall II}}
\end{equation}
%
gilt.
Dies kann leicht durch Einsetzen überprüft werden.
Im Fall (I) ergibt sich eine symmetrische Lösung
der Form
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
A_2 (e^{-i \beta x_2} + e^{+i \beta x_2})
=
2 \, A_2 \, \cos(\beta x_2)
\end{equation}
%
Im Fall (II) erhält man eine antisymmetrische Lösung
mit
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
A_2 (e^{-i \beta x_2} - e^{+i \beta x_2})
=
- 2 i \, A_2 \, \cos(\beta x_2)
\end{equation}
%
Dadurch ist die Funktion $g(x_2)$ etwas näher bestimmt,
jedoch fehlt weiterhin die Wellenzahl $\beta$, um
die Funktion vollständig zu kennen.
Für $\beta$ ergibt sich aus Gleichung (15)
beziehungsweise (16) eine Bestimmungsgleichung, in
der $A_2$ und $B_2$ nicht mehr auftritt.
Dabei muss jedoch zwischen den beiden Fällen
unterschieden werden.
Im symmetrischen Fall (I) folgt aus (15) oder (16)
die Gleichung
%
\begin{equation}
\sdoso Zw =
- \ff{\omega \rhoo}{\beta} \; \hbox{coth} \Big( i \beta \ff{H}{2} \Big)
\end{equation}
%
und im antisymmetrischen Fall (II) erhält man
%
\begin{equation}
\sdoso Zw =
- \ff{\omega \rhoo}{\beta} \; \hbox{tanh} \Big( i \beta \ff{H}{2} \Big)
\end{equation}
%
als Bestimmungsgleichung.
Bei der Umformung wurde von den allgemeinen
Beziehungen
%
\begin{equation}
\hbox{tanh} (x) = \ff{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\hbox{coth} (x) = \hbox{tanh}^{-1} (x)
\end{equation}
%
Gebrauch gemacht.
Zur besseren Darstellung in den weiteren Betrachtungen
werden die Gleichungen (22) und (23) zusammengefasst.
Nach einigen Umformungen erhält man den Ausdruck
%
\begin{equation}
\Big(\beta \ff{H}{2} \Big)
\left\{
\begin{array}{c}\hbox{tanh}\\ \hbox{coth}\end{array}
\right\}
\Big( i \beta \ff{H}{2} \Big)
=
-
\Big(\ff{\rhoo c}{\sdoso Zw} \Big) \Big(\ff{\omega H}{2 c} \Big)
\end{equation}
%
Dieser Ausdruck repräsentiert zwei Gleichungen.
Für den Fall (I) ist die tanh-Funktion und im
Fall (II) die coth-Funktion in der geschweiften
Klammer einzusetzen.

Die rechte Seite wurde so umgeformt, dass ein Produkt
aus zwei dimensionslosen Faktoren erscheint.
Der erste Faktor
%
\begin{equation}
\ff{\rhoo c}{\sdoso Zw} = \sdoso Yw \, \rhoo c
\end{equation}
%
gibt das Verhältnis aus Wellenwiderstand und
Wandimpedanz an.
Der zweite Faktor entspricht der sogenannten
Helmholtz-Zahl für den Kanal.
Diese ist als
%
\begin{equation}
\hbox{Helmholtz-Zahl} = \ff{\hbox{Typische Länge}}{\hbox{Wellenlänge}}
\end{equation}
%
definiert.
Wird die typische Länge mit $L$ und die Wellenlänge
mit $\lambda$ bezeichnet,
ergibt sich für die Helmholtz-Zahl
%
\begin{equation}
\ff{L}{\lambda} = \ff{L}{\Big( \ff{2 \pi c}{\omega} \Big)}
\end{equation}
%
Setzt man als typische Länge die Kanalbreite $H$ ein,
so entspricht dies bis auf den Faktor $\pi$
dem zweiten Term auf der rechten Seite in (26).

Trotz der Annahme (18) und der resultierenden Vereinfachung
kann die Bestimmungsgleichung (26) im Allgemeinen nur
numerisch gelöst werden.
Jedoch ergibt sich die Möglichkeit Näherungslösungen
für spezielle Fälle zu betrachten.
Dies soll in dem folgenden Abschnitt geschehen.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 3.3) Quasiebene Wellen} 
\end{flushleft}

Die Abhängig des Druckfeldes in der $x_2$-Richtung
quer zum Kanal ist durch die Funktion $g$ gegeben.
Sie besitzt die allgemeine Form
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
A_2 e^{-i \beta x_2} + B_2 e^{+i \beta x_2}
\end{equation}
%
Wenn die gegenüberliegenden Kanalwände
die gleichen Eigenschaften besitzen, ergibt sich
eine symmetrische Lösung mit
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
2 A_2 \cos (\beta x_2)
\end{equation}
%
und eine antisymmetrische Form mit
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
-2i \, A_2 \sin (\beta x_2)
\end{equation}
%
Die Koordinate $x_2$ ist in dem Kanal mit
%
\begin{equation}
- \ff{H}{2} < x_2 < \ff{H}{2}
\end{equation}
%
beschränkt.
Dadurch ergibt sich auch eine Beschränkung für das
Argument in dem cos-Ausdruck in (2) und dem
sin-Ausdruck in (3).

Falls die Bedingung
%
\begin{equation}
\Big| \beta \ff{H}{2} \Big| \ll 1
\end{equation}
%
erfüllt ist, gilt für alle $x_2$ im Kanal 
die Näherung
%
\begin{equation}
\cos(\beta x_2) \approx 1
\end{equation}
%
Daraus leitet sich für den symmetrischen Fall (I)
die Approximation
%
\begin{equation}
g(x_2) \approx 2 A_2
\end{equation}
%
Das bedeutet, die Lösung variiert nur unwesentlich in
$x_2$-Richtung.
Sie ist sehr ähnlich einer ebenen Welle, und man nennt
solche Lösungen daher auch quasiebene Wellen.
Im antisymmetrischen Fall (II) kann aus der Bedingung (5)
keine entsprechende Aussage für die Funktion $g(x_2)$ abgeleitet
werden.
Es wird im folgenden daher nur noch der Fall (I) betrachtet.


Es stellt sich die Frage, ob und unter welchen Bedingungen quasiebene
Wellen im Kanal möglich sind.
Im Abschnitt 3.1 wurde von ebenen Wellen im Kanal
ausgegangen.
Die Tatsache, dass auch geringfügig nachgiebige Wände die
Lösung etwas stören können, wurde komplett vernachlässigt.
Dazu wurde vorausgesetzt, dass die Wandadmittanz klein in dem
Sinne von
%
\begin{equation}
|\sdoso Yw| \ll \ff{1}{\rhoo c}
\end{equation}
%
ist.
Dies ist äquivalent zu
%
\begin{equation}
|\sdoso Yw| \, \rhoo c \ll 1
\end{equation}
%
Es wurde argumentiert, dass eine solche kleine Wandadmittanz
die Lösung nicht beeinflusst.
Falls dies stimmt, sollte sich unter der Voraussetzung
auch eine quasiebene Welle als Lösung finden lassen.

Ob dies wirklich so ist, wird im folgenden untersucht.
Dazu wird die Abkürzung
%
\begin{equation}
z = \beta \ff{H}{2}
\end{equation}
%
eingeführt.
Aus der Bestimmungsgleichung für $\beta$ wird dann eine für $z$.
Sie hat im symmetrischen Fall (I) die Form
%
\begin{equation}
z \, \hbox{tanh} (iz) = - (\sdoso Yw \, \rhoo c) \Big( \ff{\omega H}{2c} \Big)
\end{equation}
%
Es wird zunächst angenommen, dass tatsächlich eine Lösung für $z$ mit
%
\begin{equation}
|z| \ll 1
\end{equation}
%
existiert, die (11) erfüllt.
Für diese Lösung gilt in jedem Fall die allgemeine Beziehung
%
\begin{equation}
\hbox{tanh} (iz) = i \, \hbox{tan} (z)
\end{equation}
%
Die tan-Funktion für betragsmäßig kleine Argumente ist
näherungsweise gleich dem Argument.
Für die Lösung ist daher
%
\begin{equation}
\hbox{tan}(z) \approx z
\end{equation}
%
und für die linke Seite von (11) gilt die Approximation
%
\begin{equation}
z \, \hbox{tanh} (iz) \approx i z^2
\end{equation}
%
Ersetzt man nun wieder $z$ durch $\beta$, dann
muss die Lösung $\beta$ näherungsweise 
die Beziehung
%
\begin{equation}
i \, \Big(\beta \ff{H}{2}\Big)^2 = - (\sdoso Yw \, \rhoo c) \Big( \ff{\omega H}{2c} \Big)
\end{equation}
%
erfüllen.
Es  muss daher
%
\begin{equation}
\Big|\beta \ff{H}{2}\Big|^2 = |\sdoso Yw| \, \rhoo c \,
\Big( \ff{\omega H}{2\,c} \Big) \ll 1
\end{equation}
%
gelten, damit sich eine Lösung für $\beta$ ergibt, die
die Ungleichung (5) erfüllt.
Nur unter dieser Bedingung ergeben sich quasiebene Wellen.
Der Betrag von dem Ausdruck auf der rechten Seite
in Gleichung (16) muss klein sein.

Das Ergebnis zeigt, dass die Bedingung (8) nicht
ausreichend ist.
Wenn der zweite Faktor
%
\begin{equation}
\ff{\omega H}{2\,c} = \ff{\pi H}{\lambda}
\end{equation}
%
sehr groß gegenüber Eins ist, kann (8) erfüllt sein und
gleichzeitig (17) nicht.
Der Faktor (18) wird groß, wenn die Frequenz steigt und die
Wellenlänge sinkt.
Das bedeutet, dass bei sehr hohen Frequenzen auch ein
relativ kleiner Wert $\sdoso Yw \neq 0$ eine Rolle spielen kann.
Die Überlegungen zeigen, dass die einfache Betrachtung aus
Abschnitt 3.1 nur bei weiteren Einschränkungen gilt, die zunächst
nicht berücksichtigt wurden.

Umgekehrt kann auch bei
%
\begin{equation}
|\sdoso Yw| \, \rhoo c \approx 1
\end{equation}
%
die Ungleichung (17) erfüllt sein, wenn der zweite Faktor
mit
%
\begin{equation}
\ff{\omega H}{2\,c} \ll 1
\end{equation}
%
relativ klein ist.
Damit sind bei sehr niedrigen Frequenzen auch bei
relativ weichen Wänden quasiebene Wellen möglich.
Die quasiebene Wellen können anscheinend in einem größeren
Parameterbereich auftreten, als zunächst vermutet wurde.
Es sollen daher die entsprechenden Lösungen etwas näher betrachtet werden.

Die Bestimmungsgleichung (16) kann
zu
%
\begin{equation}
\beta^2 = - \Big( \ff{\omega}{c} \Big)^2 \, (- i) \,
\ff{(\sdoso Yw \, \rhoo c)}{\Big( \ff{\omega H}{2c} \Big)}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Zur Abkürzung wird die Größe
%
\begin{equation}
\xi = - i \,
\ff{(\sdoso Yw \, \rhoo c)}{\Big( \ff{\omega H}{2c} \Big)}
\end{equation}
%
eingeführt.
Damit reduziert sich (21) auf die einfache Form
%
\begin{equation}
\beta^2 = - \Big( \ff{\omega}{c} \Big)^2 \, \xi
\end{equation}
%
Die Größe $\xi$ hat keine anschauliche
Bedeutung.
Sie kann als reine formale Hilfsgröße angesehen werden.
In Gleichung (22) wurde die rechte Seite so
dargestellt, dass die gleichen Terme wie auf
der rechten Seite von (16) auftreten.
Die rechte Seite von (16) soll nach (17)
betragsmäßig klein sein.
Daraus folgt jedoch nicht unbedingt, dass auch $\xi$
klein ist.
Im Gegenteil, es kann sogar $\xi \gg 1$ werden, falls
(19) und (20) erfüllt ist.
Welche Konsequenzen sich daraus für die Lösung ergeben wird
weiter unten behandelt.

Mit $\xi$ lässt sich nicht nur die Wellenzahl $\beta$
besonders einfach ausdrücken, sondern auch die
Wellenzahl $\alpha$ in $x_1$-Richtung.
Zwischen den Wellenzahlen gilt der Zusammenhang
%
\begin{equation}
\alpha = \sqrt{\Big( \ff{\omega}{c} \Big)^2 - \beta^2}
\end{equation}
%
Einsetzen von (23) in (24) ergibt
%
\begin{equation}
\alpha
= 
\ff{\omega}{c} \,
\sqrt{1 + \xi}
\end{equation}
%
Um den Einfluss von $\xi$ auf die Form
der Lösung zu untersuchen, reicht es aus, 
nur eine Teilwelle zu betrachten.
Es wird die Vereinfachung
%
\begin{equation}
f(x_1) = A_1 e^{- i \alpha x_1}
\end{equation}
%
angenommen.
Hierbei wurde der Faktor $B_1$ gleich Null gesetzt.
Dadurch kann nur noch eine Welle und nicht mehr
die Überlagerung von zwei entgegengerichtet laufenden Wellen
im Kanal beschrieben werden.
Das Druckfeld hat bei dieser Vereinfachung die Gestalt
%
\begin{equation}
p'(x_1,x_2,t) = A_1 e^{- i \alpha x_1} \, g(x_2) \, e^{i \omega t} 
\end{equation}
%
Für die Funktion $g(x_2)$ gilt die Approximation (7).
Entscheidend für die Form der Druckwellen ist nur
die Wellenzahl $\alpha$.

Nach (25) ergibt sich im Allgemeinen eine komplexer Wert
für $\alpha$.
Es bietet sich eine Darstellung mit Realteil $\sdoso {\alpha}R$
und Imaginärteil $\sdoso {\alpha}I$ entsprechend der Aufspaltung
%
\begin{equation}
\alpha = \Re\{\alpha\} + i \, \Im\{\alpha\} = \sdoso {\alpha}R + i \sdoso {\alpha}I
\end{equation}
%
an.
Damit kann (27) zu
%
\begin{equation}
p'(x_1,x_2,t) = A_1 \, g(x_2) \,
e^{i(\omega t -  \sdoso {\alpha}R x_1)} \, e^{ \sdoso {\alpha}I x_1} 
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Der Term $e^{i(\omega t -  \sdoso {\alpha}R x_1)}$
auf der rechten Seite beschreibt eine Wellenbewegung.
Die Phasengeschwindigkeit in der Welle ist mit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}} = \ff{\omega}{\sdoso {\alpha}R}
\end{equation}
%
gegeben.
Durch den Faktor $e^{ \sdoso {\alpha}I x_1}$ ergibt sich
ein Abklingen beziehungsweise Anfachen der Lösung in
$x_1$-Richtung.

Bei vielen Anwendungen, besonders in der Bauakustik, ist nur
die Dämpfung der Welle von Interesse.
Das bedeutet, nur der Wert $\sdoso {\alpha}R$ ist wichtig.
Um eine möglichst starke Dämpfung zu erhalten, sollte
der Betrag $|\sdoso {\alpha}R|$ möglichst groß sein.
Falls die Welle in $x_1$-Richtung läuft, muss $\sdoso {\alpha}R < 0$ sein,
sonst würde sich eine Anfachung statt einer Abschwächung ergeben.
Es stellt sich die Frage, wie muss die Wandimpedanz beziehungsweise
die Wandadmittanz gewählt werden, damit sich eine optimale
Dämpfung ergibt.

Die Wandadmittanz geht in die Größe $\xi$ ein.
Daher wird zunächst die Abhängigkeit des Faktors $\sdoso {\alpha}R$
von der Größe $\xi$ betrachtet.
Zweckmäßigerweise wird für $\xi$ die gleiche Schreibweise
mit Real- und Imaginärteil
eingeführt, die in (28) auch schon für $\alpha$ verwendet wurde.
Es gilt
%
\begin{equation}
\xi = \Re\{\xi\} + i \, \Im\{\xi\} = \sdoso {\xi}R + i \sdoso {\xi}I
\end{equation}
%
Aus Gleichung (22) folgt für den Realteil
%
\begin{equation}
\sdoso {\xi}R = \ff{\rhoo c \; \Im\{\sdoso Yw\}}{\Big( \ff{\omega H}{2c} \Big)}
\end{equation}
%
und für den Imaginärteil ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso {\xi}I = - \ff{\rhoo c \; \Re\{\sdoso Yw\}}{\Big( \ff{\omega H}{2c} \Big)}
\end{equation}
%
Für die Wandadmittanz gilt
%
\begin{equation}
\hat{p} = \sdoso Yw \, \sdoso {\hat{v}}n
\end{equation}
%
Damit sich im zeitlichen Mittel eine positive Intensität in die
Wand hinein ergibt, müssen der Schalldruck $p'$ und die
Schnelle $\sdoso vn'$ (die in die Wand gerichtet positiv zählt)
Anteile besitzen, die in Phase schwingen.
Nur falls im zeitlichen Mittel Energie aus der Wand in das Medium 
fließt, ergibt sich eine negativer Realteil für die Wandadmittanz.
Für normale absorbierende Wände gilt daher in jedem Fall
%
\begin{equation}
\Re \{ \sdoso Yw \} > 0
\end{equation}
%
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\sdoso {\xi}I < 0
\end{equation}
%
Damit kann die Berechnung der Wellenzahl $\alpha$ mit der Gleichung (25)
in der komplexen Ebene veranschaulicht werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,7.5) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kreisi.eps,width=7.5cm}}}
\put(7.4,4.0){\makebox(0,0)[cb]{$\Re$}}
\put(3.6,3.6){\makebox(0,0)[cc]{$0$}}
\put(6.6,4.0){\makebox(0,0)[cb]{$1$}}
\put(5.5,2.1){\makebox(0,0)[cb]{$\xi$}}
\put(4.3,1.7){\makebox(0,0)[cc]{$1 + \xi$}}
\put(2.3,5.3){\makebox(0,0)[cc]{$\sqrt{1 + \xi}$}}
\put(3.6,7.4){\makebox(0,0)[rc]{$\Im$}}
\end{picture}
\end{center}
%
In der Abbildung ist die komplexe Ebene mit einem Einheitskreis
dargestellt.
Die Zahlen $1$, $1 + \xi$ und $\sqrt{1 + \xi}$ sind durch Punkte
gekennzeichnet.
Die Winkelhalbierende zwischen der Geraden durch $0$ und $1 + \xi$
und der reellen Achse ist gestrichelt eingezeichnet.
Auf der Winkelhalbierenden liegt $\sqrt{1 + \xi}$.
Es gibt noch eine zweite Wurzel, die symmetrisch zum dargestellten Punkt
auf der anderen Seite der Winkelhalbierenden liegt.
Diese Lösung ist jedoch nicht eingezeichnet, damit die Darstellung
übersichtlich bleibt.

Wenn die Ungleichung (36) erfüllt ist liegt der Punkt $1 + \xi$
in der unteren Hälfte der komplexen Ebene.
Die Wurzel liegen auf der Winkelhalbierenden, die in jedem Fall von oben
links nach unten rechts verläuft.
Damit liegt die Wurzel $\sqrt{1 + \xi}$ immer in dem oberen linken Quadranten.
Entsprechend liegt
die zweite Wurzel im unteren rechten Quadranten.
Die Wellenzahl $\alpha$ ergibt sich aus $\sqrt{1 + \xi}$
durch Multiplikation mit einem reellen Faktor.
Sie liegt deshalb in den gleichen Quadranten.
Der Real- und der Imaginärteil haben daher unterschiedliche Vorzeichen.
Es gilt $\sdoso \alpha R \, \sdoso \alpha I < 0$.
Dies ist konsistent mit der Lösung in der Form (29).
Ist $\sdoso \alpha R > 0$, dann beschreibt (29) eine in positive $x_1$-Richtung
laufende Welle.
Es muss $\sdoso \alpha I < 0$ sein, damit die Lösung in dieser
Richtung abklingt.
Eine Anfachung in Ausbreitungsrichtung wäre bei absorbierenden Wänden
nicht möglich.

Die Betrachtungen in der komplexen Ebene haben noch nicht die Frage
beantwortet, wie man $\xi$ beziehungsweise $\sdoso Yw$ wählen muss,
um eine möglichst starke Dämpfung zu erzielen.
Um einen besseren Überblick über die Abhängigkeit
$\sdoso \alpha I(\sdoso Yw)$ zu bekommen, werden Konturlinien
von $\sdoso \alpha I$ über der $\sdoso Yw$-Ebene aufgetragen.
Die folgende Abbildung zeigt eine solche Darstellung.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,9.0) \thicklines
\put(0,1.6){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=contxi0.eps,width=6.5cm}}}
\put(6.2,5.3){\makebox(0,0)[lc]
{\small $\ff{\Re\{\sdoso Yw\} \rhoo c}{\Big( \ff{\omega H}{2 \, c} \Big)}$}}
\put(3.0,0.2){\makebox(0,0)[cb]
{\small $\ff{\Im\{\sdoso Yw\} \rhoo c}{\Big( \ff{\omega H}{2 \, c} \Big)}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Von rechts nach links steigt der Imaginärteil von $\sdoso Yw$.
Nach oben nimmt der Realteil zu.
Die Zahlen an den Achsen geben normierte Werte für den
Real- und Imaginärteil an.
Die Zahlen an den Konturlinien entsprechen
%
\begin{equation}
- \sdoso \alpha I \, \ff{c}{\omega}
\end{equation}
%
für die jeweilige Linie.
Für größere Werte des Ausdrucks (37) ergibt sich eine
stärkere Dämpfung der Welle in positiver $x_1$-Richtung.

Die einfache Energiebilanz aus Abschnitt 3.1 ergab, dass die
Dämpfung nur von dem Realteil $\Re\{\sdoso Yw\}$ abhängt.
Die Abbildung zeigt, dass $\sdoso \alpha I$ auch stark von
$\Im \{\sdoso Yw\}$ beeinflusst wird.
Nur in dem Bereich unten rechts, wo $\Re\{\sdoso Yw\}$
relativ klein ist und $\Im \{\sdoso Yw\} > -1$ gilt, hat
eine Verschiebung von $\Im \{\sdoso Yw\}$ einen geringen
Effekt auf $\sdoso \alpha i$.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------