Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 29.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{12}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.1) Eine einfache Energiebilanz} 
\end{flushleft}

Die komplexe Amplitude der in die Wand gerichtete Schnelle
wird mit
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{v}}n = {\hat{v}}_{\perp} + {\hat{v}}_{\parallel}
\end{equation}
%
in zwei Komponenten zerlegt.
Dabei ist ${\hat{v}}_{\parallel}$ die Komponente in Richtung von $\hat{p}$.
Diese drückt den Anteil der Schnelle aus, der in Phase mit dem Druck schwankt.
Entsprechend ist ${\hat{v}}_{\perp}$ die Komponente senkrecht zu $\hat{p}$.
Diese entspricht dem Anteil der Schnelle, welche um 90 Grad phasenverschoben
zu Druck schwankt.
Die Situation ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,4.5) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=zeiger00.eps,width=6.0cm}}}
\put(2.5,4.0){\makebox(0,0)[rc]{$\Im$}}
\put(2.5,0.3){\makebox(0,0)[cb]{$0$}}
\put(5.85,0.9){\makebox(0,0)[cb]{$\Re$}}
\put(1.85,1.85){\makebox(0,0)[cc]{$\hat{v}_{\perp}$}}
\put(3.3,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$\sdoso {\hat{v}}n$}}
\put(3.9,0.8){\makebox(0,0)[cb]{$\hat{v}_{\parallel}$}}
\put(5.5,2.7){\makebox(0,0)[cc]{$\hat{p}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die beiden Komponenten lassen sich mit der Wandadmittanz
aus der Druckamplitude berechnen.
Es gilt
%
\begin{equation}
{\hat{v}}_{\perp} = \Im\{\sdoso Yw\} \, \hat{p}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
{\hat{v}}_{\parallel} = \Re\{\sdoso Yw\} \, \hat{p}
\end{equation}
%
Die Schnelle normal zur Wand kann durch die Summe
%
\begin{equation}
\sdoso vn' =
\Re\{ {\hat{v}}_{\perp} \, e^{i \omega t}\}
+
\Re\{ {\hat{v}}_{\parallel} \, e^{i \omega t}\}
\end{equation}
%
ausgedrückt werden.
Für die Intensität in Wandrichtung ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\sdoso Iw = 
p' \, \sdoso vn' = \\[8pt]
\Re\{ \hat{p} \, e^{i \omega t}\} \,
\Re\{ {\hat{v}}_{\perp} \, e^{i \omega t}\}
+
\Re\{ \hat{p} \, e^{i \omega t}\} \,
\Re\{ {\hat{v}}_{\parallel} \, e^{i \omega t}\}
\end{array}
\end{equation}
%
Der erste Summand auf der rechten Seite stellt einen Blindleistung dar.
Das Vorzeichen des Terms schwankt periodisch und der zeitliche Mittelwert
ist gleich Null.
Dagegen wechselt der zweite Summand nie das Vorzeichen.
Ist $\Re \{ \sdoso Yw \} > 0$, so zeigt ${\hat{v}}_{\parallel}$ in Richtung
von $\hat{p}$.
Die Faktoren $\Re\{ \hat{p} \, e^{i \omega t}\}$
und $\Re\{ {\hat{v}}_{\parallel} \, e^{i \omega t}\}$
besitzen dann immer
das gleiche Vorzeichen.
Das Produkt ist damit positiv.

Für die zeitliche gemittelte Intensität senkrecht zur Wand
liefert nur der zweite Summand in (17) einen Beitrag.
Es gilt
%
\begin{equation}
\mittel{\sdoso Iw} =
\ff{1}{2} \, |\hat{p}|^2 \,\Re \{ \sdoso Yw \}
\end{equation}
%
Auch die Intensität in der angenommenen ebenen Welle, die sich
im Kanal näherungsweise ungestört ausbreitet, kann zeitlich gemittelt werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\mittel{I} =
\mittel{u' \, p'} =
\ff{1}{\rhoo c} \, \mittel{p'\,^2} =
\ff{1}{2} \,\ff{1}{\rhoo c} \, |\hat{p}|^2
\end{equation}
%
Für die gesamte Leistung $P$, die sich in Kanalrichtung durch einen
Querschnitt mit der Fläche $S$ im zeitlichen Mittel ergibt,
gilt
%
\begin{equation}
P = S \, \mittel{I}
\end{equation}
%
Sind die Kanalwände ideal schallhart, so ist $P$ im gesamten Kanal
konstant.
Die angenommen kleine Wandadmittanz verursacht jedoch nach (18)
eine kleine mittlere Intensität normal zur Wand.
Die Leistung, die von der Wand absorbiert wird, muss der ebenen
Welle verloren gehen.
Die folgende Abbildung veranschaulicht die Situation.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(4.0,4.5) \thicklines
\put(0,0.3){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=wandverl00.eps,width=4.0cm}}}
\put(2.0,0.2){\makebox(0,0)[cc]{$\hbox{d}x$}}
\put(2.0,3.8){\makebox(0,0)[cb]{$\mittel{\sdoso Iw} \,L \, \hbox{d}x$}}
\put(0.4,2.2){\makebox(0,0)[rc]{$P$}}
\put(3.5,2.2){\makebox(0,0)[lc]{$P + \hbox{d}p$}}
\end{picture}
\end{center}
%
In einem infinitesimalen Abschnitt der Länge $\hbox{d}x$
absorbiert die Wand im zeitlichen Mittel die Leistung
$\mittel{\sdoso Iw} \, L \, \hbox{d}x$.
Dabei ist $L$ der Umfang des Kanals.
Das bedeutet, die Leistung $P$ ändert sich in diesem Abschnitt um den
Wert
%
\begin{equation}
\hbox{d} P = - \mittel{\sdoso Iw} \, L \, \hbox{d}x
\end{equation}
%
Dies stellt den Ausgangspunkt für eine Differenzialgleichung
für $P$ dar.
Es muss nur die mittlere
Wandintensität $\mittel{\sdoso Iw}$
durch $P$ ausgedrückt werden.
%%
%\begin{equation}
%\dd{P}{x} = - \mittel{\sdoso Iw} \, L
%\end{equation}
%%
Dazu wird (18) durch (19) dividiert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff{\mittel{\sdoso Iw}}{\mittel{I}}
=
\Re \{ \sdoso Yw \} \, \rhoo c
\end{equation}
%
Die Amplitude $\hat{p}$ ist herausgefallen.
Löst man (20) nach $\mittel{I}$ auf und setzt
in (22) ein, folgt
%
\begin{equation}
\mittel{\sdoso Iw}
=
\Re \{ \sdoso Yw \} \, \rhoo c \,
\ff{1}{S} \, P
\end{equation}
%
Damit kann $\mittel{\sdoso Iw}$ in (21) ersetzt werden.
Man erhält die gesuchte Differenzialgleichung
%
\begin{equation}
\dd{P}{x} = - \ff{L}{S} \, \Re \{ \sdoso Yw \}
\, \rhoo c \, P
\end{equation}
%
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung hat die Form
%
\begin{equation}
P = P_0 \, e^{- \alpha x}
\end{equation}
%
mit dem Koeffizienten
%
\begin{equation}
\alpha = \ff{L}{S} \, \Re \{ \sdoso Yw \} \, \rhoo c
\end{equation}
%
Je größer der Wert $\alpha$ ist, um so stärker wird die Welle
gedämpft.

Für viele Anwendungen wird eine maximale Dämpfung
gesucht.
Im Allgemeinen ist der Wellenwiderstand  $\rhoo c$
vogegeben und kann nicht verändert werden.
Bei fester Wandaddmitanz lässt sich die
Dämpfung dann durch das Verhältnis $L/S$ beeinflussen.
Der Umfang $L$ sollte möglichst groß sein.
Bei vorgegebem Flächeninhalt $S$
ist eine kreisförmige Querschnittsfläche daher
deutlich ungünstiger als eine
langgestreckte rechteckige Form.
Um eine stärkere Dämpfung zu erhalten, kann auch
der Realteil der Wandadmittanz erhöht werden.
Dies führt jedoch irgendwann dazu, dass die
Voraussetzung der gesamten Betrachtung
%
\begin{equation}
|\sdoso Yw | \ll \ff{1}{\rhoo c}
\end{equation}
%
nicht mehr erfüllt ist.
Das Ergebnis der einfachen Energiebilanz ist anscheinend,
dass für eine maximale Dämpfung der Gültigkeitsbereich der
einfachen Betrachtung verlassen werden muss.

\vspace{10pt}

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 3.2) Lösung für den ebenen Kanal} 
\end{flushleft}

Die formale Behandlung der Wellenausbreitung in Kanälen mit
flexiblen Wänden ist relativ aufwendig.
Daher wird hier nur der zweidimensionale Fall eines
ebenen Kanals betrachtet.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.8,3.0) \thicklines
\put(0.8,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kanalporen2.eps,width=7.0cm}}}
\put(0.95,2.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.05,1.55){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.75,0.75){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(0.7,1.8){\makebox(0,0)[rc]{\small $+H/2$}}
\put(0.7,1.05){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.7,0.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $-H/2$}}
\put(3.7,1.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $Z_+$}}
\put(3.7,0.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $Z_-$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Abbildung zeigt die Anordnung und das gewählte Koordinatensystem.
Die Kanalbreite wird mit $H$ bezeichnet.
Der untere Rand befindet sich bei der Position $x_2 = -H/2$ und
der obere bei $x_2 = +H/2$.
Die Impedanz der unteren Wand wird mit $Z_-$ und die der oberen
Wand mit $Z_+$ bezeichnet.

Es werden nur harmonische Lösungen bei einer Frequenz $\omega$ betrachtet.
Das Schnelle- und das Druckfeld lassen sich durch
%
\begin{equation}
v_i' (x_1, x_2, t) = \Re \{ \hat{v}_i(x_1, x_2) \, e^{i \omega t}\}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p' (x_1, x_2, t) = \Re \{ \hat{p}(x_1, x_2) \, e^{i \omega t}\}
\end{equation}
%
ausdrücken.
Die Größen $\hat{v}_i$ und $\hat{p}$ sind die komplexen
Amplituden, die von den Koordinaten $x_1$ und $x_2$
abhängen.

Da die Wandimpedanzen vorgegeben sind, 
treten die komplexen Amplituden in der Formulierung
der Randbedingungen auf.
Am unteren Rand muss
%
\begin{equation}
\hat{p} \Big(x_1, - \ff{H}{2} \Big) = 
- \hat{v}_2 \Big(x_1, - \ff{H}{2} \Big) \, Z_-
\end{equation}
%
und am oberen muss
%
\begin{equation}
\hat{p} \Big(x_1, + \ff{H}{2} \Big) = 
\hat{v}_2 \Big(x_1, + \ff{H}{2} \Big) \, Z_+
\end{equation}
%
gelten.

Zur Lösung der Wellengleichung wird wieder ein Separationsansatz verwendet,
der sich schon in den Abschnitten über Kanäle mit schallharten Wänden 
bewährt hat.
Die Druckschwankungen besitzen die Form
%
\begin{equation}
p' (x_1, x_2, t) = \Re \{ f(x_1) \, g(x_2) \, e^{i \omega t}\}
\end{equation}
%
Dabei sind $f$ und $g$ skalare Funktionen, die die Form der Lösung
in der jeweiligen Koordinate festlegen.
Es gilt
%
\begin{equation}
\hat{p} (x_1, x_2)
=
f(x_1) \, g(x_2)
\end{equation}
%

Der Ansatz (5) wird in die Wellengleichung eingesetzt, um
Bestimmungsgleichungen für die Funktionen $f$ und $g$ abzuleiten.
Das Vorgehen ist identisch wie im Fall der schallharten Wände, da
bei diesen Schritten die Randbedingungen
nicht verwendet werden.
Die Details der Herleitungen sind in den entsprechenden Abschnitten
gegeben.
Hier wird auf eine Wiederholung verzichtet und nur die allgemeinen
Lösungen angegeben.
Die Funktion $f$ muss die Form
%
\begin{equation}
f(x_1) = A_1 \, e^{-i \alpha x_1} + B_2 \, e^{+i \alpha x_1}
\end{equation}
%
und die Funktion $g$ die Form
%
\begin{equation}
g(x_2) = A_2 \, e^{-i \beta x_2} + B_2 \, e^{+i \beta x_2}
\end{equation}
%
besitzen, damit der Ansatz (5) die Wellengleichung löst.
Die Größen $\alpha$ und $\beta$ sind Wellenzahlen.
Zwischen ihnen muss die Relation
%
\begin{equation}
\alpha^2 + \beta^2 = \left( \ff{\omega}{c} \right)^2 = k^2
\end{equation}
%
erfüllt sein.
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\alpha = \sqrt { k^2 - \beta^2}
\end{equation}
%
Die Funktion $g$ beschreibt die Abhängigkeit der Lösung
senkrecht zur Kanalrichtung und damit auch senkrecht zu den Wänden.
Aus den Randbedingungen ergeben sich daher Bedingungen an
die Funktion $g$.
Damit wird die Wellenzahl $\beta$ festgelegt.
Aus ihr kann dann mit (10)
die Wellenzahl in $x_1$-Richtung berechnet werden.

Um Bedingungen an die Funktion $g$ zu erhalten, müssen die
Randbedingungen (3) und (4) umgeformt werden.
In den Randbedingungen tritt neben $\hat{p}$ auch $\hat{v}_2$ auf.
Die Druckamplitude $\hat{p}$ kann mit Hilfe von (6) durch die
Funktionen $f$ und $g$ ausgedrückt werden.
Eine ähnliche Beziehung wird nun auch für die Schnelleamplitude $\hat{v}_2$
benötigt.
Um die Schnelle mit dem Druckfeld zu verknüpfen eignet sich am besten
die linearisierte Euler-Gleichung.
Sie lautet
%
\begin{equation}
\rhoo \, \pp{v_i'}{t}
=
- \pp{p'}{x_i}
\end{equation}
%
Hier ist nur die Gleichung für die zweite Komponente $v_2'$ wichtig.
Für 
die zeitliche Ableitung von $v_2'$ ergibt sich nach (1)
die Beziehung
%
\begin{equation}
\pp{v_2'}{t} (x_1, x_2, t)
=
\Re \{ i \omega \, \hat{v}_2  (x_1, x_2) \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
Das Differenzieren nach der Zeit ergibt einen Faktor $i \omega$
auf der rechten Seite.
Aus (5) folgt für die Ableitung von $p'$ nach $x_2$ einfach
%
\begin{equation}
\pp{p'}{x_2} (x_1, x_2, t)
=
\Re \{ f(x_1) \, g'(x_2) \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
Die Beziehungen (12) und (13) können nun in (11) eingesetzt werden.
Der Faktor $e^{i \omega t}$ kann weggekürzt werden.
Es ergibt sich mit
%
\begin{equation}
i \omega \rhoo \, \hat{v}_2  (x_1, x_2)
=
- f(x_1) \, g'(x_2)
\end{equation}
%
die gesuchte Beziehung zwischen der Schnelleamplitude $\hat{v}_2$
und den Funktionen $f$ und $g$.

Mit (6) und (14) kann $\hat{p}$ und $\hat{v}_2$
in der Randbedingung (3) ersetzt werden.
Daraus folgt für den unteren Rand die Gleichung
%
\begin{equation}
i \omega \rhoo \, 
\ff{f(x_1) \, g(-H/2)}{Z_-}
=
- f(x_1) \, g'(-H/2)
\end{equation}
%
Die Funktion $f$ tritt auf beiden Seiten auf.
Durch sie kann gekürzt werden.
Die Randbedingung stellt damit wie erwartet
keine Bedingung an $f$ sondern nur an $g$.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
Z_- = 
i \omega \rhoo \, 
\ff{\,g(-H/2)}{\,g'(-H/2)}
\end{equation}
%
Auf analoge Weise lässt sich für den oberen Rand die
Beziehung
%
\begin{equation}
Z_+ = 
- i \omega \rhoo \, 
\ff{\,g(+H/2)}{\,g'(+H/2)}
\end{equation}
%
ableiten.
Damit sind zwei Bedingungen an die Funktion $g$ gefunden.
Im Vergleich zum Fall der schallharten Wände sind die
Beziehungen jedoch deutlich komplizierter.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------