Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\,\partial #2}}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 25.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{54}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 2.6) Akustische Energie und Intensität in Strömungsfeldern}
\end{flushleft}

Im gesamten Feld ist die mittlere Schwankung $\mittel{b'}$
konstant.
Dies erlaubt, das Teilintegral mit dem Term $\bar{\mu}_i \mittel{b'}$
umzuformen.
Es folgt
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_S
\bar{\mu}_i \mittel{b'}
\, n_i \, \hbox{d}S
=
\displaystyle
\mittel{b'}
\int \limits_S
\bar{\mu}_i
\, n_i \, \hbox{d}S
=
0
\end{equation}
%
Der gesamte Ausdruck ist gleich Null, da das Integral
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_S
\bar{\mu}_i
\, n_i \, \hbox{d}S
=
0
\end{equation}
%
verschwindet.
Gleichung (56) sagt aus, dass keine Massenquellen
in der stationären Grundströmung vorhanden sind.
In diesem Fall muss der Massenfluss über die
Oberfläche in der Summe Null ergeben.

Damit liefert nur der quadratische Term einen
Beitrag zu dem Integral der mittleren Intensität.
Es gilt
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_S
\mittel{I_i}
\, n_i \, \hbox{d}S
=
\int \limits_S
\mittel{\mu_i' \, b'}
\, n_i \, \hbox{d}S
\end{equation}
%
An dieser Stelle sei nochmals an die
Annahmen an das Strömungsfeld erinnert, die
für die Herleitung notwendig waren.
Die Beziehung (57) gilt nur für drehungsfreie
und homentrope Strömungsfelder.
Es darf sich keine Massenquelle im Kontrollvolumen
-- also innerhalb von $S$ - befinden.
Damit gilt die Beziehung nur für einen
Spezialfall.
Es muss praktisch eine quellenfreie Potentialströmung
vorliegen.

Werden die Störungen approximativ mit Hilfe von
linearisierten Gleichung berechnet, so ergibt
sich in diesem Fall eine konsistente Berechnung
der Intensität.
Es gilt
%
\begin{equation}
\mu_i' \, b' = 
\sdoso {\mu_i}a' \, \sdoso {b}a' + O(3)
\end{equation}
%
Dabei sind $\sdoso {\mu_i}a'$ und $\sdoso {b}a'$
die approximativen Werte für $\mu_i'$ und $b'$.
Da keine linearen Terme mehr im Integral
auf der rechten Seite von (57) auftreten,
ergibt sich ein Fehler von dritter Ordnung
in den Schwankungsgrößen.
Das bedeutet, die Intensität lässt sich
zumindest zeitlich gemittelt und integriert
über eine geschlossene Oberfläche mit einer
Genauigkeit dritter Ordnung aus den
approximativen Schwankungen berechnen.

Es erscheint zweckmäßig, die akustische Intensität mit
%
\begin{equation}
\sdoso {\vec{I}}a =
\vec{\mu}\,' \, b'
\end{equation}
%
zu definieren.
Es lässt sich auch eine
akustische Energie $\sdoso ea$ finden, die zu dieser 
Intensität ``passt''.
Unter den gegebenen Voraussetzungen
(Drehungsfreiheit, Homentropie keine Massenquelle)
lässt sich dann eine Erhaltungsgleichung der Form
%
\begin{equation}
\pp{\sdoso ea}{t} + \hbox{div}{\sdoso {\vec{I}}a} = 0
\end{equation}
%
beweisen, die bis auf einen Fehler dritter Ordnung
gilt.
Auf die Betrachtung der akustischen Energie und
die Herleitung des Erhaltungssatzes
wird hier als Platzgründen verzichtet.

Reibungsbehaftete Strömungen mit Grenzschichten
sind weder drehungsfrei noch homentrop.
Für sie gelten die gesamten Überlegungen
daher nicht.
Soll die Ausbreitung von akustischer Energie in
Grenzschichten untersucht werden, muss 
eine andere Definition der Intensität gefunden
werden.
In diesen Fällen macht die gegeben Definition
keinen Sinn.

Dagegen wäre der Erhaltungssatz bei der Behandlung
des durchströmten Übergangs von großem
Nutzen gewesen.
Dort wurde die Beziehung für die
Schwankungen der Ruheenthalpie aus der
Bernoulli-Gleichung abgeleitet.
Die Betrachtung hätte vereinfacht werden
können, wenn von dem Erhaltungssatz (60) mit der
akustischen Intensität nach 
(59) ausgegangen worden wäre.
Bei der Behandlung des Übergangs im vorigen
Abschnitt wurden Annahmen an das
Strömungsfeld gemacht, die den
Voraussetzungen in diesem Abschnitt entsprechen.

Im folgenden soll daher nochmal mit den Ergebnissen
aus dem letzten Abschnitt verglichen werden.
Die akustische Intensität im eindimensionalen
Fall ist mit
%
\begin{equation}
\sdoso Ia =
\mu' \, b'
\end{equation}
%
gegeben.
Liegen nur ebene Wellen im Kanal vor ist die
Massenflussdichte $\mu'$ in jedem 
Querschnitten räumlich konstant.
Breitet sich die ebene Welle nur in einer
Richtung aus, ergibt sich
für den gesamten Massenfluss durch eine
Querschnittsfläche
%
\begin{equation}
m' = S \, \ff{p'}{c} (M \pm 1)
\end{equation}
%
Mit $S$ ist dabei der Flächeninhalt gegeben.
Die Größe $M = \bar{u}/c$ ist die Machzahl.
Das Vorzeichen gibt an, ob sich die Welle
in Strömungsrichtung $(+)$ oder dagegen $(-)$
ausbreitet.
Für die Schwankungen der Ruheenthalpie ergab sich
in der ebenen Welle
%
\begin{equation}
b' = \ff{p'}{\bar{\rho}} (1 \pm M)
\end{equation}
%
Den Massenfluss erhält man aus der
Massenflussdichte durch Multiplikation mit
der Querschnittsfläche.
Es gilt
%
\begin{equation}
m' = S \mu'
\end{equation}
%
Daraus kann ein Zusammenhang zwischen
$\mu'$ und $p'$ abgeleitet werden.
Es folgt in der ebenen Welle
%
\begin{equation}
\mu' = \ff{p'}{c} (M \pm 1)
\end{equation}
%
Die akustische Intensität (61) kann
damit als Funktion der Druckschwankungen
ausgedrückt werden.
Es ergibt sich nach Einsetzen von (63) und (65)
in (61) die Relation
%
\begin{equation}
\sdoso Ia = \ff{~p'\,^2}{\bar{\rho} c} (M \pm 1) (1 \pm M)
\end{equation}
%
Bei gegebener Druckamplitude ist die Intensität
davon abhängig, ob die Welle in oder entgegen
der Strömung läuft.
Ohne Strömung ist $M = 0$ und die akustische 
Intensität wird zu
%
\begin{equation}
\sdoso Ia = \pm \ff{~p'\,^2}{\rhoo c} = u' p'
\end{equation}
%
Dies ist konsistent mit der bisherigen Definition
der akustischen Intensität für den Fall ohne
Strömung.

\vspace{2cm}


\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 3) Schallausbreitung im Kanal mit nachgiebigen und 
absorbierenden Wänden}
\end{flushleft}


\begin{flushleft}
{\bf 3.1) Eine einfache Energiebilanz}
\end{flushleft}

Bisher wurden einige Schalldämpfer betrachtet,
deren Wirkung auf der Reflexion der
sich ausbreitenden Wellen basiert.
In der Praxis wird oft mit Schalldämpfern
gearbeitet, die auf der Absorption der
akustischen Energie beruhen.
Wellen laufen in Kanälen mit absorbierenden Wänden.
Eine wichtige Aufgabe besteht darin, die
Kanalwand
so auszulegen, dass die Schallwellen möglichst
schnell abgeschwächt wird.
Dazu muss zunächst die Wellenausbreitung
in Kanälen mit nichtidealen Wänden, die weder
schallhart noch schallweich sind, betrachtet werden.

Eigentlich sind alle Wände nachgiebig.
Eine unendlich starre Wand existiert in Wirklichkeit
nicht.
Selbst normale Geräusche lenken im Prinzip die Oberfläche einer harten
Betonwand ein wenig aus.
Dieser Effekt ist natürlich äußerst gering, so dass in der Praxis
von einer idealen schallharten Wand ausgegangen werden kann, wenn
der Wellenwiderstand des Mediums gegenüber der Wandimpedanz
vernachlässigbar ist.

Der Begriff der Wandimpedanz wurde bisher nur für den
eindimensionalen Fall eingeführt.
Es wurde die Reflexion von ebenen Wellen in einem Rohr mit
flexibler Wand als Abschluss betrachtet.
Als flexible Wand diente ein Kolbenmodell.
Im folgenden soll der Begriff der Wandimpedanz auch auf den
dreidimensionalen Fall erweitert werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,4.0) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kanalw00.eps,width=7.0cm}}}
\put(6.5,1.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x$}}
\put(2.6,2.55){\makebox(0,0)[lc]{\small absorbierende}}
\put(2.6,2.15){\makebox(0,0)[lc]{\small Wände}}
\put(4.35,0.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{n}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird die in die Wand gerichtete Schnelle
%
\begin{equation}
\sdoso vn' = \vec{v} \, \vec{n}
\end{equation}
%
definiert.
Dabei ist $\vec{n}$ der in die Wand gerichtete Normalenvektor.
Die gesamten Betrachtungen gehen von einer harmonischen Schwankung
aller Größen mit der Frequenz $\omega$ aus.
Für die Schnelle an einer Stelle der Wand gilt
%
\begin{equation}
\sdoso vn' = \sdoso {\hat{v}}n \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Größe $\sdoso {\hat{v}}n$ ist die komplexe Amplitude an der
betreffenden Position.
Der Schalldruck an dieser Position kann als
%
\begin{equation}
p' = \hat{p} \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Die Wandimpedanz wird als das Verhältnis
der komplexen Amplituden
%
\begin{equation}
\sdoso Zw = \ff{\hat{p}}{\sdoso {\hat{v}}n}
\end{equation}
%
definiert.
In älteren Texten wird die Wandimpedanz auch
als Wandwiderstand bezeichnet.
Bei der Behandlung der Dämpfung in Kanälen ist es zweckmäßig
eine weitere Größe zu definieren.
Es wird mit
%
\begin{equation}
\sdoso Yw = \sdoso Zw^{-1} = \ff{\sdoso {\hat{v}}n}{\hat{p}}
\end{equation}
%
die Wandadmittanz eingeführt.
Diese Größe ist einfach der Kehrwert der Impedanz.
Sie wird in älteren Texten auch als Wandleitwert bezeichnet.

Eine ideal schallharte Wand hat die Werte
$\sdoso Yw = 0$ und $\sdoso Zw = \infty$.
Dadurch ergibt sich immer $\sdoso vn' = 0$.
In Fall der ideal schallweichen Wand ist
$\sdoso Yw = \infty$ und $\sdoso Zw = 0$.
An der Wand gilt dann überall $p' = 0$.

Bei $\sdoso vn' = 0$ oder $p' = 0$
wird keine Arbeit an den Wänden geleistet.
Das bedeutet, die ideal schallharten oder
schallweichen Wände absorbieren keine Energie.
In einem Kanal mit nicht absorbierenden Wänden gilt
allgemein, dass eine abklingende Mode im
zeitlichen Mittel keine
Energie transportieren kann.
Die Intensität nimmt mit der Amplitude immer weiter
ab und wird beliebig klein.
Würde sich an einer Stelle im zeitlichen 
Mittel ein Energiefluss ergeben, so müsste
die Energie immer weiter im Kanal
transportiert werden, wenn
sie sich nicht irgendwo mit der Zeit
ansammelt.
Dies ist aber nicht möglich, da in einiger Entfernung
die Intensität immer weiter abnehmen muss.
Daher kann überhaupt keine Energie transportiert
werden.
Wird an einer Stelle eine nicht ausbreitungsfähige
Mode angeregt, so verbleibt die Energie
an der Stelle der Anregung.
Es ergibt sich nur eine Blindleistung.
Das keine Energie in den nicht ausbreitungsfähigen
Moden transportiert wird, drückt sich formal
durch die Gruppengeschwindigkeit Null aus.

Bei idealen Wänden gibt es damit nur zwei Möglichkeiten:
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Es liegt reguläre Wellenausbreitung vor und
Energie wird transportiert.
\item[b)]%
Es gibt nur ein abklingendes
Wellenfeld in dem kein
Energietransport stattfindet.
\end{itemize}
%
Diese Aussage kann übrigens auch auf nichtideale
Wände erweitert werden, sofern die
Wandimpedanz rein imaginär ist.
Wenn $\Re\{\sdoso Zw\} = 0$ gilt, sind
der Druck und die Schnelle um 90 Grad
Phasenverschoben.
Es folgt für den zeitlichen Mittelwert
der Intensität
$\mittel{\sdoso vn' \, p'} = 0$.

Für die Absorption von Energie ist sozusagen
nur der Realteil der Impedanz beziehungsweise der
Addmittanz zuständig.
Die war schon im eindimensionalen Fall
der flexiblen Wand als Abschluss des Rohres so.
Dort wurde die Wandimpedanz aus den mechanischen
Parametern der Wand berechnet.
Für die Wand wurde ein Kolbenmodell mit
Masse, Feder und Dämpfung verwendet.
Es ergab sich
%
\begin{equation}
\sdoso Zw = i \omega \ff{M}{Q} + \ff{F}{Q} - \ff{i}{\omega} \ff{D}{Q}
\end{equation}
%
dabei ist $M$ die Masse der Wand, $F$ der Reibungskoeffizient
und $D$ die Federkonstante.
Mit $Q$ war die Querschnittsfläche bezeichnet.
Für den Realteil der Impedanz ist allein die
Dämpfung entscheidend.
Ohne die Reibung bei $F = 0$
ist die Impedanz rein imaginär.

Wenn der Realteil der Wand ungleich Null ist, wird
Energie von der Wand absorbiert.
Dazu muss $\Re\{\sdoso Zw \} \neq 0$ und
$|\sdoso Zw| \leq \infty$ gelten.
Letztere Einschränkung
ist notwendig, da bei unendlich großer Reibung
die Wand wieder schallhart wird.
In einem Kanal mit absorbierenden Wänden
müssen alle Wellen abklingen.
In diesem Fall transportieren die abklingenden
Wellen auch Energie.
Die Form der abklingenden Lösungen muss sich daher von
den nicht ausbreitungsfähigen Moden im Kanal
mit schallharten Wänden unterscheiden.

Im folgenden sollen weitere Überlegungen zur
Wandimpedanz angestellt werden.
Im dreidimensionalen Fall ist die
formale Beschreibung der Wandimpedanz, wie
es mit (6) für den einfachen Fall gegeben ist,
nicht möglich.
Das mechanischen Modell führte im eindimensionalen
Fall auf eine Impedanz, die ausschließlich
von der Frequenz abhängt, wenn die mechanischen
Parameter fest sind.
Im allgemeinen ist die Impedanz auch von der
Änderung des Druck in Längsrichtung abhängig.
Dies soll an einen Beispiel verdeutlicht werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,3.0) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=gummi01.eps,width=7.0cm}}}
\put(3.5,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_0$}}
\put(5.4,2.55){\makebox(0,0)[cc]{\small momentane Auslenkung}}
\put(5.0,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small mittlere Wandposition}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Abbildung zeigt eine Gummiwand, die
flexibel nachgeben kann.
Durch das Schallfeld vor der Wand wird sie
ausgelenkt.
Die Ausgangsposition der Wand ist gestrichelt
eingezeichnet.
Die durchgezogenen Linien zeigen zwei mögliche
Zustände.
Die Rückstellkraft an der Stelle $x_0$ ist
proportional zur Auslenkung.
Die Kraft ergibt sich durch die Dehnung des Gummis.
Die Dehnung hängt jedoch auch davon ab, wie
die Wand gekrümmt ist.
Ist die Wand stärker gekrümmt ergibt sich bei gleicher
Auslenkung eine größere Dehnung des Gummis und
eine entsprechend größere Rückstellkraft.
Damit hängt die Federkonstante der Wand nicht
nur von der lokalen Auslenkung ab.

Eine formelmäßige Beschreibung der Impedanz einer
solchen Gummiwand ist sehr aufwendig.
Es soll daher im folgenden immer von
einer sogenannten ``lokal reagierenden'' Wand
ausgegangen werden.
Lokal reagierend bedeutet, dass die
Wandimpedanz nur von der Frequenz $\omega$ abhängt.
Die räumliche Verteilung des Drucks spielt
keine Rolle.
Man kann sich die lokal reagierende Wand
als ein Feld von vielen kleinen Kolben
vorstellen,
die sich unabhängig voneinander bewegen können.
Jeder der kleinen Kolben besitzt seine eigenen
mechanischen Parameter, und die auftretenden
Kräfte hängen nicht von der Position oder der
Bewegung der benachbarten Kolben ab.

Die Gummiwand ist mit Sicherheit keine lokal
reagierende Wand.
In der Praxis gibt es jedoch viele Beispiele
bei denen die Wände als lokal reagierend
angenommen werden können.
Gerade die zur Dämmung eingesetzten Absorberplatten
sind oft entsprechend aufgebaut.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,3.0) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=porus00.eps,width=7.0cm}}}
\put(3.5,0.65){\makebox(0,0)[cc]{\small $l$}}
\put(1.4,2.2){\makebox(0,0)[cc]{\small Trennwand}}
\put(5.1,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small Rückwand}}
\put(6.7,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small poröse}}
\put(6.7,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small Vorderwand}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Abbildung zeigt ein Beispiel für eine Absorberplatte.
Vor einer geschlossenen Rückwand befinden sich kleine
Kammern, in die durch eine poröse Vorderwand das
Medium eindringen kann.
Durch die Trennwände wird verhindert, dass sich Wellen
in der Platte ausbreiten können.
Jede kleine Kammer arbeitet daher unabhängig
voneinander.
Sie stellt einen kleinen Helmholtz-Resonator dar,
der eine gewisse Dämpfung besitzt.
Diese Dämpfung ergibt sich zum Beispiel
durch Reibungseffekte
beim Durchströmen der porösen Wand.
Oft sind auch Fasermaterialien in den Kammern, die
zu weiteren Reibungsverlusten bei der Bewegung des
Mediums in den Kammern führt.
Sind die Kammern klein gegenüber der Wellenlänge
($l \ll \lambda$), so kann die so aufgebaute Wand
sehr gut als lokal reagierend beschrieben werden.

Im folgenden soll anhand eines einfachen Beispiels
die Dämpfung der Wellen betrachtet werden.
Es wird zunächst angenommen, dass die Kanalwände
nahezu schallhart sind.
Die Bedingungen lauten
%
\begin{equation}
|\sdoso Zw| \gg \rhoo c
\end{equation}
%
beziehungsweise mit der Wandadmittanz ausgedrückt
%
\begin{equation}
|\sdoso Yw| \ll \ff{1}{\rhoo c}
\end{equation}
%
Es wird angenommen, dass das Schallfeld nur wenig
von der kleinen Wandadmittanz $\sdoso Yw \neq 0$
beeinflusst wird.
Es wird von einer ebenen Welle ausgegangen.
Der Schalldruck
%
\begin{equation}
p' = p'(x,t)
\end{equation}
%
ist über den Kanalquerschnitt
konstant.
Es hängt nur von der Koordinate in Kanalrichtung $x$
und der Zeit $t$ ab.
Läuft die ebene Welle in $x$-Richtung, so ergibt sich
für die Schnelle in dieser Richtung
%
\begin{equation}
u' = \ff{p'}{\rhoo c}
\end{equation}
%
Daraus folgt für die Intensität $I$ in der ebenen Welle
%
\begin{equation}
\sdoso I = u' p' = \ff{p'\,^2}{\rhoo c}
\end{equation}
%
Diese Beziehung gilt exakt für eine ebene Welle bei ideal schallharten
Wänden.

Die nicht verschwindende Wandadmittanz $\sdoso Yw \neq 0$
bedingt eine kleine Bewegung des Mediums
senkrecht zur Wand.
Die Schnelle $\sdoso vn'$ ist nicht gleich Null.
Durch die Bewegung ergibt sich eine Intensität
in Wandrichtung.
Sie wird mit $\sdoso Iw$ bezeichnet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso Iw = \sdoso vn' p' =
\Re \{ \sdoso {\hat{v}}n \, e^{i \omega t}\} 
\,
\Re \{ \hat{p} \, e^{i \omega t}\} 
\end{equation}
%



\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------