Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 22.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 2.6) Akustische Energie und Intensität in Strömungsfeldern}
\end{flushleft}

In diesem Abschnitt soll die Energie und Intensität
von akustische Störungen
in Strömungsfeldern betrachtet werden.
Um eine einfachere Darstellung zu erhalten, wird zunächst
die Beschreibung auf den eindimensionale Fall beschränkt.

Die spezifische akustische Energie (pro Volumen)
wurde mit
%
\begin{equation}
\begin{split}
\sdoso ea &= \sdoso e{a,kin} + \sdoso e{a,pot}\\
&=
\ff{1}{2} \rhoo u'\,^2 +
\ff{1}{2} \, \ff{c^2}{\rhoo} \, \rho'\,^2
\end{split}
\end{equation}
%
definiert.
Aus der linearisierten Kontinuitäts- und Impulsgleichung folgte
der Erhaltungssatz
%
\begin{equation}
\pp{\sdoso ea}{t} + \pp{\sdoso Ia}{x} = 0
\end{equation}
%
mit der akustischen Intensität
%
\begin{equation}
\sdoso Ia = p' u'
\end{equation}
%
Die Erhaltungsgleichung (2) mit den Definitionen (1) und (3) ist jedoch
nur gültig, wenn das Medium im Mittel ruht und keine Strömung vorliegt.
Dies wurde bei der Herleitung vorausgesetzt.

Die Ableitung einer Erhaltungsgleichung
für die akustische Energie in Strömungsfeldern
ist ungleich komplizierter.
Um die Problematik aufzuzeigen, wird die Intensität betrachtet, die durch
akustische Störungen in Strömungsfeldern hervorgerufen wird.
Es wird von der Erhaltungsgleichung für die gesamte Energie ausgegangen.
Im eindimensionalen Fall lautet sie
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
(\rho e)
+ \pp{}{x} \big( u (\rho e + p) \big) = 0
\end{equation}
%
Dabei bezeichnet $e$ die auf die Masse bezogene spezifische
Gesamtenergie, die sich aus der inneren Energie $\sdoso eI$
und einem kinetischen Anteil $\sdoso e{K}$ zusammensetzt.
Es gilt
%
\begin{equation}
e = \sdoso eI + \sdoso e{K} =
\left( h - \ff{p}{\rho} \right) + \ff{u^2}{2} =
b - \ff{p}{\rho}
\end{equation}
%
Mit $b$ ist die Gesamtenthalpie pro Masse bezeichnet.
Zwischen der Enthalpie und der inneren Energie gilt der Zusammenhang
%
\begin{equation}
h = \sdoso eI + \ff{p}{\rho}
\end{equation}
%
Dies ist eine Beziehung zwischen den auf die Masse bezogenen
spezifischen Größen.
Für die absoluten Werte lautet die entsprechende Gleichung
%
\begin{equation}
H = \sdoso EI + p\,V
\end{equation}
%
Dabei ist $H$ die Enthalpie eines Systems, $\sdoso EI$ dessen
innere Energie und V das Volumen.

Um aus der Energie pro Masse die spezifische Energie pro Volumen
zu erhalten, muss mit der Dichte multipliziert werden.
Für die Gesamtenergie pro Volumen folgt
%
\begin{equation}
\rho e = 
\rho b - p
\end{equation}
%
Damit kann die Erhaltungsgleichung (4) zu
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
(\rho b - p) +
\pp{}{x}
(\mu b) = 0
\end{equation}
%
umgeschrieben werden.
Zur Vereinfachung wurde
die Massenflussdichte beziehungsweise Massenstromdichte
%
\begin{equation}
\mu = \rho u
\end{equation}
%
eingeführt.
Sie kann in der Einheit
%
\begin{equation}
\left[
\ff{\hbox{kg}~}{\hbox{s} \, \hbox{m}^2}
\right]
\end{equation}
%
angegeben werden.
Die Intensität in dem eindimensionalen
Strömungsfeld ist durch
%
\begin{equation}
I = \mu b
\end{equation}
%
gegeben.
Die Intensität ist eine Energieflussdichte,
die in der Einheit
%
\begin{equation}
\left[
\ff{\hbox{J}~}{\hbox{s} \, \hbox{m}^2}
\right]
=
\left[
\ff{\hbox{Watt}}{\hbox{m}^2}
\right]
\end{equation}
%
angegeben werden kann.

Die Intensität in (12) enthält sowohl
den Energie\-fluss in dem Strömungsfeld als
auch den durch akustische Störungen.
Es soll hier eine sinnvolle Definition
für die akustische Intensität gefunden werden,
die nur den Anteil aus den Störungen
enthält.

Die Massenflussdichte und die Enthalpie
können in einen Gleichanteil
und Schwankungen zerlegt werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\begin{split}
\mu &= \bar{\mu} + \mu' \\
b &= \bar{b} + b'
\end{split}
\end{equation}
%
Der Gleichanteil entspricht dem
jeweiligen Wert in der Grundströmung ohne
Schall.
Die Zerlegung (14) kann in (12) eingesetzt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{split}
I &= (\bar{\mu} + \mu') \, (\bar{b} + b') \\[10pt]
&= \bar{\mu} \bar{b} + \bar{\mu} b' + \bar{b}  \mu' +  \mu' b'
\end{split}
\end{equation}
%
Damit ist die Intensität zunächst rein formal in vier 
verschiedene Terme aufgeteilt.
Der erste hängt nicht von den Schwankungsgrößen ab.
Er entspricht der Intensität in der Grundströmung ohne Störung.
Der zweite und dritte Term ist linear von den Schwankungsgrößen
abhängig, und der vierte ist ein quadratischer Term.

Es stellt sich die Frage, wie eine sinnvolle Definition für die
akustische Intensität $\sdoso Ia$ aussehen soll.
In jedem Fall sollte $\sdoso Ia = 0$ sein, falls keine Störungen vorliegen
und $\mu' = 0$ und $b' = 0$ gilt.
Es bietet sich an  für die akustische Intensität $\sdoso Ia$ die Differenz
%
\begin{equation}
I - \bar{\mu} \bar{b} 
= \bar{\mu} b' + \bar{b}  \mu' +  \mu' b'
\end{equation}
%
zu wählen.
Jedoch treten in dem Ausdruck
Terme erster und zweiter Ordnung gemischt auf.
Sind alle Störungen und damit auch  $\mu'$ und $b'$
exakt bekannt ist dies kein Problem.
Die akustischen Störungen werden aber normalerweise mit Hilfe
von linearisierten Gleichungen (z.B.\ der Wellengleichung) berechnet.
Das bedeutet, die Störungen sind nicht exakt bekannt.
Sie enthalten eine kleine Abweichung, die von höherer Ordnung ist.
Bezeichnet man mit  $\sdoso {\mu}a'$ und $\sdoso ba'$ die approximativ
berechneten Schwankungen, so gilt
%
\begin{equation}
\begin{split}
\mu &= \bar{\mu} + \sdoso {\mu}a' + O(2)\\
b &= \bar{b} + \sdoso {b}a' + O(2)
\end{split}
\end{equation}
%
Die Größen $\mu'$ und $b'$ werden im folgenden als
exakte Schwankungen bezeichnet.

Es ergibt sich für die rechte Seite von (16) die Beziehung
%
\begin{equation}
\bar{\mu} b' + \bar{b}  \mu' +  \mu' b' =
\bar{\mu} \sdoso {b}a' + \bar{b}  \sdoso {\mu}a' +
\sdoso {\mu}a' \, \sdoso {b}a' + O(2)
\end{equation}
%
Die Intensität kann mit den approximativen Schwankungen
nur bis auf einen Fehler von zweiter Ordnung berechnet werden.
Allerdings ist der Term $\sdoso {\mu}a' \, \sdoso {b}a'$ selbst
von zweiter Ordnung.
Der quadratische Term kann gegenüber den Linearen  vernachlässigt
werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
|\bar{\mu} b' + \bar{b}  \mu'| \gg |\mu' b'|
\end{equation}
%
Man könnte den Ausdruck
%
\begin{equation}
\bar{\mu} b' + \bar{b}  \mu'
\end{equation}
%
als Definition für die akustische Intensität nehmen.
Das diese Wahl wenig sinnvoll ist, wird im folgenden Beispiel gezeigt.
Bei harmonischen Störungen können die approximativ
berechneten Schwankungen in der Form
%
\begin{equation}
\sdoso {\mu}a' = \sdoso {\hat{\mu}}a \, e^{i \omega t} \; , \quad
\sdoso {b}a' = \sdoso {\hat{b}}a \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
ausgedrückt werden.
Die Größen $\sdoso {\hat{\mu}}a$ und $\sdoso {\hat{b}}a$ sind
komplexe Amplituden.
Betrachtet man den zeitlichen Mittelwert der approximativen
Schwankungen gilt
%
\begin{equation}
\big< \sdoso {\mu}a' \big> = 0 \; , \quad \big< \sdoso {b}a' \big> = 0 
\end{equation}
%
Der zeitliche Mittelwert ist dabei
durch die eckigen Klammern $\big< \cdot \big>$
gekennzeichnet.
Der zeitliche Mittelwert ist nicht mit dem Ausgangszustand in der
Grundströmung zu verwechseln, der mit dem Überstrich $\bar{(\cdot)}$
markiert wird.
Es gilt der Zusammenhang
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\big< \mu \big> &= \bar{\mu} + O(2) \\[10pt]
\big< b \big> &= \bar{b} + O(2)
\end{array}
\end{equation}
%
Das bedeutet, der Mittelwert ist nicht unbedingt gleich dem Ausgangszustand.
Dies gilt nur näherungsweise bei kleinen Störungen.
Die Terme höherer Ordnung in (22) verschwinden, falls für die
exakten Schwankungen
$\big< \mu' \big> = 0$ und $\big< b' \big> = 0$ gilt.
Dies könnte zufällig erfüllt sein, jedoch werden im Allgemeinen 
auch bei harmonischen Schwankungen durch nichtlineare
Effekte kleine Abweichungen auftreten.
Obwohl diese Abweichungen von höherer Ordnung sind, 
können sie natürlich bewirken, dass die Mittelwerte der
Schwankungen nicht exakt gleich Null werden.

In dem harmonischen Fall folgt aus (22), dass auch der Mittelwert
%
\begin{equation}
\big< 
\bar{\mu} \sdoso {b}a' + \bar{b}  \sdoso {\mu}a'
\big> = 0
\end{equation}
%
ist.
Für die exakten Schwankungen gilt entsprechend
%
\begin{equation}
\big< 
\bar{\mu} b' + \bar{b} \mu'
\big> = O(2)
\end{equation}
%
Das bedeutet, die Abschätzung (19) lässt sich nicht auf die
zeitlichen Mittelwerte übertragen.

Die linearen Terme liefern im zeitlichen Mittel
anscheinend auch nur einen quadratischen Anteil.
Dies zeigt, dass die Wahl von $\sdoso Ia = \bar{\mu} b' + \bar{b} \mu'$ als
akustische Intensität keinen
Sinn machen würde.
Setzt man die approximativen Schwankungen aus (21) ein,
ergäbe sich $\mittel{\sdoso Ia} = 0$,
obwohl einen akustische Störung mit Energietransport (auch
im zeitlichen Mittel!) vorhanden ist.

Die bisherigen Überlegungen machen die prinzipiellen
Schwierigkeiten bei der Definition einer
akustischen Intensität deutlich.
Das Problem liegt darin eine quadratische Größe
aus approximativen Größen zu berechnen,
die mit einem quadratischen Fehler behaftet sein können.
Die Schwierigkeiten drücken sich durch den quadratischen
Fehlerterm auf der rechten Seite in (18) aus.
Wäre der Term von dritter oder höherer Ordnung gäbe
es kein Problem.
In der Tat lässt sich eine Definition für
die akustische Intensität angeben, die
unter bestimmten Umständen nur mit einem Fehler
von dritter oder höherer Ordnung behaftet ist.
Dazu muss jedoch die Grundströmung einige Bedingungen
erfüllen.

Bei der Behandlung der durchströmten Querschnittsprungs
wurde bereits eine Energiebeziehung verwendet.
Aus der Massenbilanz folgte die Gleichheit
%
\begin{equation}
m_1' = m_2'
\end{equation}
%
Dabei ist $m_1'$ die Schwankung des Massenflusses im
Querschnitt $S_1$ und $m_2'$ die Schwankung im
Querschnitt $S_2$.
Aus der Bernoulli-Gleichung wurde die Beziehung
%
\begin{equation}
b_1' = b_2'
\end{equation}
%
abgeleitet.
Die Schwankungen der Ruheenthalpie in den beiden
Querschnitten wurde gleichgesetzt.
Der Massenfluss hängt mit der Massenflussdichte über
%
\begin{equation}
m = S \, \mu \; , \quad m' = S \, \mu'
\end{equation}
%
zusammen.
Multipliziert man die Gleichungen (26) und (27)
ergibt sich
%
\begin{equation}
S_1 \, \mu_1' \, b_1' = S_2 \, \mu_2' \, b_2'
\end{equation}
%
Auf beiden Seite tritt eine Fläche multipliziert mit
einer Intensität auf.
Das Produkt ergibt einen akustischen Energiefluss.
Der Energiefluss in den beiden Querschnitten wurde
gleich gesetzt, da eine quasistatische Schwankung
angenommen wurde.
Anscheinend wurde im vorigen Abschnitt indirekt von einer
akustischen Intensität mit
%
\begin{equation}
\sdoso {I}a
=
\mu' \, b'
\end{equation}
%
ausgegangen.
Die Überlegungen im letzten Abschnitt basierten
allerdings auf vielen Annahmen.
Welche dafür notwendig sind, damit
(30) eine sinnvolle Definition darstellt, soll im
weiteren geklärt werden.

Bei der Behandlung des Querschnittsprungs wurde ein
Kontrollvolumen eingeführt und die Massenbilanz über
dem Volumen aufgestellt, woraus Bedingung (26) folgte.
Die Relation (27) wurde jedoch nicht aus der Energiebilanz
abgeleitet.
Die Energiebilanz über einem abgeschlossenen
Kontrollvolumen $V$ mit der Oberfläche $S$
wird im folgenden betrachtet.
Die Überlegungen werden nun für den dreidimensionalen Fall
durchgeführt.
Die Intensität ist dann eine vektorielle Größe, die durch
%
\begin{equation}
\vec{I} = \vec{\mu} b
\end{equation}
%
gegeben ist.
Dabei ist der Massenflussdichtevektor als
%
\begin{equation}
\vec{\mu} = \rho \vec{v}
\end{equation}
%
definiert.
Im folgenden wird die Tensorschreibweise verwendet.
Die letzten beiden Gleichungen lauten damit
%
\begin{equation}
I_i = \mu_i b
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\mu_i = \rho v_i
\end{equation}
%
Spielt die Wärmeleitung keine Rolle, so
beschreibt $\vec{I}$ allein den Energiefluss im Feld.
Ist $E_V$ die Energie im Volumen $V$, so gilt für deren
zeitliche Änderung
%
\begin{equation}
\dd{E_V}{t}
=
\int \limits_S I_i \, n_i \, \hbox{d}S
\end{equation}
%
Entsprechend gilt für die Änderung der Masse $M_V$ im Volumen
%
\begin{equation}
\dd{M_V}{t}
=
\int \limits_S \mu_i \, n_i \, \hbox{d}S
\end{equation}
%
Nimmt man an, dass sich in dem gewählten Volumen keine
Quelle oder Senke für Energie befindet, und dass die
Energie im Volumen beschränkt bleibt, so
muss der zeitliche Mittelwert der Ableitung verschwinden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\mittel{\pp{E_V}{t}}
=
0
\end{equation}
%
Daraus folgt, dass das Integral auf der rechten Seite in (35)
auch im zeitlichen Mittel gleich Null ist.
Es gilt damit
%
\begin{equation}
\int \limits_S \mittel{I_i} \; n_i \; \hbox{d}S = 0
\end{equation}
%
Für den Fall, dass sich eine Schallquelle im Volumen befindet, 
ergibt sich
%
\begin{equation}
\int \limits_S \mittel{I_i} \; n_i \; dS = \sdoso Pa
\end{equation}
%
Dabei ist $\sdoso Pa$ die mittlere Leistung der Schallquelle.
Die Gleichung für die Intensität (33) wird nun in
das Oberflächenintegral eingesetzt.
Zusätzlich werden die Größen $\mu_i$ und $b$ in Gleich- und
Schwankungsanteil zerlegt.
Es ergibt sich die Umformung
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int \limits_S {\mittel{I_i}} \, n_i \, \hbox{d}S
\\[18pt]
=
\displaystyle
\int \limits_S {\mittel{\mu_i b}} \, n_i \, \hbox{d}S
\\[18pt]
=
\displaystyle
\int \limits_S
\mittel{(\bar{\mu}_i + \mu_i') \, (\bar{b} + b')}
\, n_i \, \hbox{d}S
\\[18pt]
=
\displaystyle
\int \limits_S
\Big[
\bar{\mu}_i \bar{b} +
\bar{b} \mittel{\mu_i'} +
\bar{\mu}_i \mittel{b'} +
\mittel{\mu_i' b'}
\Big]
\, n_i \, \hbox{d}S
\end{array}
\end{equation}
%
Auf der rechten Seite erscheinen schließlich vier Summanden
im Integral.

Das Integral in (40) kann in vier Teilintegrale zerlegt werden.
Im folgenden wird gezeigt, dass bei bestimmten Voraussetzungen
nur der $\mittel{\mu_i' b'}$-Term einen Beitrag zum Integral liefert.
Dazu wird die nichtlineare Impulsgleichung in der Form
%
\begin{equation}
\pp{\vec{v}}{t} - \vec{v} \times \vec{\omega} =
- \hbox{grad} (b)
+ T \, \hbox{grad} (s)
\end{equation}
%
betrachtet.
Es ist
%
\begin{equation}
\vec{\omega} = \hbox{rot} \, \vec{v}
\end{equation}
%
die Rotation (Vorticity), $T$ die Temperatur und $s$ die
Entropie.
Ist das Strömungsfeld drehungsfrei gilt
%
\begin{equation}
\vec{\omega} = 0
\end{equation}
%
Homentropie bedeutet, dass die Entropie $s$ überall
konstant ist.
Das bedeutet, es gilt
%
\begin{equation}
\hbox{grad} (s) = 0
\end{equation}
%
In dem Spezialfall der drehungsfreien und homentropen Strömung
ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{\vec{v}}{t} = - \hbox{grad} (b)
\end{equation}
%
Daraus folgt, dass in einer drehungsfreien, homentropen und
stationären Strömung die Ruheenthalpie $b$ überall konstant
ist.
Demnach ist
%
\begin{equation}
\bar{b} = \hbox{const}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\hbox{grad} (b) = 
\hbox{grad} (b')
\end{equation}
%

Aus (45) lässt sich auch eine Aussage für die instationären
Schwankungen $b'$ ableiten.
Bleibt die Geschwindigkeit beschränkt, so gilt
für den Mittelwert
%
\begin{equation}
\mittel{\pp{\vec{v}}{t}} = 0
\end{equation}
%
Daraus folgt unmittelbar
%
\begin{equation}
\mittel{\hbox{grad} \, b'} =
\hbox{grad} \, \mittel {b'} =
0
\end{equation}
%
Das bedeutet, auch der zeitliche Mittelwert der Schwankungen 
ist räumlich konstant.
Es gilt
%
\begin{equation}
\mittel {b'} = \hbox{const}
\end{equation}
%
Mit Gleichung (46) und dieser Bedingung,
die beide für den Fall der drehungsfrei und
homentropen Strömung gelten, kann das Integral in (40)
vereinfacht werden.

Zunächst wird das Teilintegral mit den ersten beiden Termen
getrennt betrachtet.
Der Faktor $\bar{b}$ kann als Konstante vor das Integral
gezogen werden.
Es folgt
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_S
\Big(
\bar{\mu}_i \bar{b} +
\bar{b} \mittel{\mu_i'}
\Big)
\, n_i \, \hbox{d}S
=
\bar{b} 
\int \limits_S
\Big(
\bar{\mu}_i +
\mittel{\mu_i'}
\Big)
\, n_i \, \hbox{d}S
\end{equation}
%
Der Term im Integral auf der rechten Seite ist gerade
%
\begin{equation}
\bar{\mu}_i +
\mittel{\mu_i'}
=
\mittel{\mu_i}
\end{equation}
%
Sind keine Quelle oder Senken für Masse im Volumen vorhanden,
und bleibt die Masse $M_V$ im Volumen beschränkt, so gilt
%
\begin{equation}
\mittel{\pp{M_V}{t}}
=
\displaystyle
\int \limits_S
\mittel{\mu_i}
\, n_i \, \hbox{d}S
=
0
\end{equation}
%
Daraus folgt für das Teilintegral 
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_S
\Big(
\bar{\mu}_i \bar{b} +
\bar{b} \mittel{\mu_i'}
\Big)
\, n_i \, \hbox{d}S
=
0
\end{equation}
%
Dies gilt jedoch nur unter den genannten Voraussetzungen bei
einer drehungsfreien und homentropen Strömung.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------