Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\documentclass[a4paper,12pt]{ltnews}

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{exscale}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{array}

\setlength{\hoffset}{-0.75in}
\setlength{\voffset}{-1in}

\setlength{\textwidth}{17.0cm}
\setlength{\textheight}{24.0cm}
\setlength{\topmargin}{1.0cm}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\,\partial #2}}
\newcommand{\dd}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d} #1}{\,\hbox{d} #2}}
%\newcommand{\dqq}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d^2} #1}{\hbox{d} #2^2}}
\newcommand{\zz}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
\newcommand{\bix}[1]{\fbox{\parbox[c]{8cm}{#1}}}
\newcommand{\doso}[2]{{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\hdoso}[2]{\widehat{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\rhoo}{\rho_{\scriptscriptstyle 0}}
\newcommand{\sdoso}[2]{{#1}_{\hbox{\tiny #2}}}
\newcommand{\mittel}[1]{\big< #1 \big>}
\newcommand{\vektor}[1]{\begin{array}{c} #1 \end{array}}
\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}
\newfont{\axa}{cmss10}
\newcommand{\iraum} {\int \limits_{\hbox{\axa I\!R}^3}}
\newcommand{\ivq} {\int \limits_{\sdoso VQ}}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 18.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{12}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 2.5) Durchströmter Querschnittssprung}
\end{flushleft}

Um aus der Bedingung für Schwankungen des Massenflusses $m'$
eine Gleichung für die gesuchten Amplituden der Druckwellen abzuleiten,
muss $m'$ durch die Druckschwankung $p'$ ausgedrückt werden.
Dazu wird der Massenfluss $m$ durch einen Querschnitt $S$ betrachtet.
Der Querschnitt liegt senkrecht zur Kanalrichtung.
Die Grundströmung ist konstant über dem Querschnitt und es liegen
nur ebene Wellen vor.
Dann ist die Geschwindigkeit $u$ in Kanalrichtung -- also in Richtung
des Normalenvektors $\vec{n}$ -- ebenfalls konstant über dem Querschnitt.
Für den Massenfluss gilt
%
\begin{equation}
m = S \, \rho \, u
\end{equation}
%
Dichte und Geschwindigkeit werden
ebenfalls in einen Gleichanteil und eine Schwankung mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\rho &= \overline{\rho} + \rho'\\
u &= \overline{u} + u'
\end{array}
\end{equation}
%
zerlegt.
Durch Einsetzen in Gleichung (13)
ergibt sich
%
\begin{equation}
m = S (\overline{\rho} + \rho') (\overline{u} + u')
\end{equation}
%
Dies kann zu
%
\begin{equation}
m =
\underbrace{S \overline{\rho} \overline{u}}_{\displaystyle \overline{m}}
+
\underbrace{S \overline{\rho} u'
+
S \overline{u} \rho'}_{\displaystyle m'}
+
\underbrace{S \rho' u'}_{\hbox{2.\ Ord.}}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Der erste Term auf der rechten Seite entspricht dem
Massenfluss in der Grundströmung $\overline{m}$.
Der zweite und dritte Term hängt linear von einer Schwankungsgröße ab.
Diese beiden Terme werden als $m'$ zusammengefasst.
Dabei wird der vierte Term vernachlässigt.
Damit ergibt sich
%
\begin{equation}
m' = S ( \overline{u} \rho' +  \overline{\rho} u')
\end{equation}
%
Diese Beziehung gilt näherungsweise für kleine Störungen im akustischen Sinn.

Die Schwankungen der Dichte und der Geschwindigkeit stehen
mit dem Druckschwankungen im Zusammenhang.
Es gilt
%
\begin{equation}
\rho' = \ff{p'}{c^2}
\end{equation}
%
Um eine direkte Beziehung zwischen $u'$ und $p'$ zu erhalten,
muss vorausgesetzt werden, dass sich
sich eine ebene Welle nur in einer Richtung -- entweder in $(+)$ oder
entgegen $(-)$ der $\vec{n}$-Richtung -- ausbreitet.
Dann gilt
%
\begin{equation}
u' = \pm \ff{p'}{\overline\rho c}
\end{equation}
%

Es sei hier darauf hingewiesen, dass es eigentlich auch $\overline{c}$ im
Nenner auf der rechten Seite lauten müsste.
Da aber hier keine Zerlegung der Schallgeschwindigkeit in Gleich- und
Schwankungsanteil vorkommt besteht keine Verwechselungsgefahr.
Mit $c$ ist die lokale Schallgeschwindigkeit in Grundströmung gemeint.
Dann ist $\overline\rho c$ der lokale Wellenwiderstand.
Ohne Strömung entspricht $\overline\rho$ der Ruhedichte $\rho_0$, die
bisher immer im Ausdruck für den Wellenwiderstand auftrat.

Mit (19) ergibt sich eine Beziehung zwischen $m'$ und $p'$
für eine ebene Welle, die sich in $\pm \vec{n}$-Richtung ausbreitet.
Man erhält
%
\begin{equation}
m' = S \cdot \ff{p'}{c} (M \pm 1)
\end{equation}
%
wobei die Abkürzung
%
\begin{equation}
M = \ff{\overline{u}}{c}
\end{equation}
%
eingeführt wurde.
Die Größe $M$ ist die Machzahl der Grundströmung.
Zu bemerken ist, dass $M$ vorzeichenbehaftet definiert wurde und
negativ werden kann, falls das
Medium gegen die Normalenrichtung $\vec{n}$ strömt.

Die Schwankung des Massenflusses
an der Querschnittsfläche $S_1$ setzt sich
aus einem Anteil durch die einlaufenden Welle und einem
durch die reflektierte Welle zusammen.
Die Druckamplituden der beiden Teilwellen waren mit $A_1$ und $B_1$
bezeichnet worden.
Entsprechend wird
$p' = A_1 \, e^{i \omega t}$ und
$p' = B_1 \, e^{i \omega t}$ in (20) eingesetzt, und
die resultierenden Schwankungen $m'$ addiert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
m_1' = \ff{S_1}{c_1}
\Big[
A_1 (M_1 + 1) + B_1 (M_1 - 1)
\Big] \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Auf der rechten Seite im Querschnitt $S_2$
liefert nur die transmittierte Welle einen
Anteil.
Die Druckamplitude in dieser Welle ist mit $A_2$ bezeichnet.
Man erhält damit
%
\begin{equation}
m_2' = \ff{S_2}{c_2} \, A_2 (M_2 + 1) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Massenbilanz für die quasisatische Schwankung mit
$m_1' = m_2'$ ergibt damit die erste
Beziehung zwischen den gesuchten Größen.
Es folgt
%
\begin{equation}
\ff{S_1}{c_1}
\Big[
A_1 (M_1 + 1) + B_1 (M_1 - 1)
\Big]
= 
\ff{S_2}{c_2} \, A_2 (M_2 + 1)
\end{equation}
%

Um $B_1$ und $A_2$ bestimmen zu können fehlt eine weitere Beziehung.
Diese wird aus der Energiebilanz am Übergangsbereich abgeleitet.
Die Energieerhaltung in einem Stromfaden wird durch die
Bernoulli-Gleichung beschrieben.
Im stationären und kompressiblen Fall gilt längs einer Stromlinie
%
\begin{equation}
\int \ff{\hbox{d} p}{\rho} +
\ff{\vec{v}\,^2}{2} - U = \hbox{const}
\end{equation}
%
Dabei bezeichnet $U$ ein Potenzial, das zum Beispiel durch die
Schwerkraft mit $U = - g z$ ($z$: Höhe) gegeben sein kann.
Die Konstante hängt von dem Startpunkt
der Integration ab.
Insbesondere gilt Gleichung (25) entlang einer
Stromlinie im Übergangsbereich, die einen Punkt
im Querschnitt $S_1$ mit einem Punkt im Querschnitt
$S_2$ verbindet.

Um das Integral in (25) auswerten zu können, muss
die Beziehung zwischen Druck und Dichte
bekannt sein.
Diese hängt von Medium ab, und lautet zum Beispiel
für Wasser ganz anders als für Luft.
Um die Betrachtung nicht unnötig auszudehnen, werden einige
Annahmen gemacht:
%
\begin{itemize}
\item%
Das Medium verhält sich wie ein ideales Gas.
\item%
Im dem durchströmten Kanal wird das Potenzial vernachlässigt.
\item%
Reibungseffekte und
die Wärmeleitung in dem Gas sind so gering, dass
beim Durchströmen des Übergangsbereichs von einer adiabatischen
Zustandsänderung entlang der Stromlinie ausgegangen werden kann.
\end{itemize}
%
Luft erfüllt diese Annahmen im allgemeinen recht gut, so dass sie
für viele praktische Fälle berechtigt sind.

Die adiabatische Zustandsänderung bedeutet, dass
%
\begin{equation}
\ff{\rho}{\doso \rho 0} = \left( \ff{p}{\doso p0} \right)^{1/\gamma}
\end{equation}
%
gilt.
Dabei ist $\gamma$ der Adiabatenexponent und mit dem Index $0$ sind
die Größen in einem festzulegenden
Ausgangszustand (z.B. der Ruhezustand) bezeichnet.
Es folgt für den Integranden in (25)
%
\begin{equation}
\ff{1}{\rho} = 
\ff{1}{\doso \rho 0} \left( \ff{p}{\doso p0} \right)^{-1/\gamma} =
\ff{1}{\doso \rho 0} \left( \ff{1}{\doso p0} \right)^{-1/\gamma} p^{-1/\gamma}
\end{equation}
%
Die Integration ergibt dann
%
\begin{equation}
\begin{split}
\int \ff{1}{\rho} \, \hbox{d} p &= 
\ff{1}{\doso \rho 0} \left( \ff{1}{\doso p0} \right)^{-1/\gamma}
p^{1 - 1/\gamma}
\cdot \left( 1 - \ff{1}{\gamma}\right)^{-1} \\
\noalign{\vspace{4pt}}
&=
\left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right) \ff{\doso p0}{\doso \rho 0}
\left( \ff{p}{\doso p0} \right)^{(\gamma - 1)/\gamma}\\
\noalign{\vspace{4pt}}
&=
\left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right) \ff{p}{\rho}
\end{split}
\end{equation}
%
Damit lautet die Bernoulli-Gleichung:
%
\begin{equation}
\ff{\vec{v}\,^2}{2} + \left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right) \ff{p}{\rho} =
\hbox{const}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Konstante, die sich durch die Integration in (28) ergibt,
mit in dem ``const''-Ausdruck aufgenommen.

Der Term $\ff{\vec{v}\,^2}{2}$ entspricht der kinetischen Energie
pro Masse.
Der zweite Term in (29) ist die spezifische Enthalpie (pro Masse),
die üblicherweise mit $h$ bezeichnet wird.
Die spezifische Enthalpie ist eine Energie pro Masse.
Es gilt
%
\begin{equation}
h = \left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right) \ff{p}{\rho}
\end{equation}
%
Die Summe auf der linken Seite von (29) ist
die spezifische Gesamtenthalpie.
Für die Gesamtenthalpie wird hier das Symbol $b$ verwendet.
Die Definition lautet
%
\begin{equation}
b = \ff{\vec{v}\,^2}{2} + h
\end{equation}
%
Die Gesamtenthalpie wird oft auch als Ruheenthalpie bezeichnet, weil
sie der Enthalpie bei $\vec{v}=0$ entspricht.

Die Bernoulli-Gleichung für einen stationären, reibungsfreien Fall 
ohne Verdichtungsstöße und äußerem Potenzial kann damit auch als
%
\begin{equation}
\ff{\hbox{D} b}{\hbox{D} t} = 0
\end{equation}
%
geschrieben werden.

Für die spezifische Ruheenthalpie ist den Querschnittsflächen $S_1$
und $S_2$ jeweils konstant, da alle Größen über den Querschnitt konstant
sind.
Wenn sich die Ruheenthalpie entlang einer Stromlinie zwischen den
beiden Querschnitten nicht ändert, so gilt
%
\begin{equation}
b_1 = b_2
\end{equation}
%
Das bedeutet, die Ruheenthalpie ist im gesamten Übergangsbereich konstant.
Insbesondere ist sie in den beiden Querschnitten gleich.
Dies gilt jedoch nur unter den gemachten Annahmen.
Die quasi-statische Betrachtung der
Strömung im Übergang ist Voraussetzung, dass die Bernoulli-Gleichung in
der Form (25) angewendet werden kann.
Die Vernachlässigung der Reibung ist notwendig, um die adiabatische
Beziehung (26) anwenden zu können.
Ebenso würden Verdichtungsstöße im Übergangsbereich
zu einer Verletzung von (26) führen.
In der angenommenen stationären
Unterschallströmung können jedoch keine Stöße vorkommen.

Die Ruheenthalpie wird wie der Massenfluss
in einen zeitlich gemittelten und einen
Schwankungsanteil zerlegt:
%
\begin{equation}
b =
\overline{b} +
b'
\end{equation}
%
In der stationären Grundströmung ist $\overline{b}$
überall konstant, so dass für beide Anteile
die Gleichheit
%
\begin{align}
\overline{b}_1 = \overline{b}_2 \\
b_1' = b_2'
\end{align}
%
erfüllt sein muss.
Aus der Gleichheit (36) wird
eine weitere Beziehung zwischen den gesuchten Druckamplituden
abgeleitet.
Dazu muss die Schwankung der Ruheenthalpie
mit der Druckschwankung in Zusammenhang gebracht werden.

In dem Querschnitten $S_1$ und $S_2$ gilt $|\vec{v}| = u$.
Nach (30) und (31) folgt damit
für die Ruheenthalpie
%
\begin{equation}
b = \ff{u^2}{2}
+
\left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right)
\ff{p}{\rho}
\end{equation}
%
Einsetzen der Zerlegungen in Gleich- und Schwankungsanteile ergibt
%
\begin{equation}
b = \ff{(\overline{u} + u')^2}{2}
+
\left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right)
\ff{\overline{p} + p'}{\overline{\rho} + \rho'}
\end{equation}
%
Dies wird in Terme mit verschiedener Ordnung in den Schwankungsgrößen
aufgespalten.
Für die einzelnen Ausdrücke mit Schwankungsgrößen gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
(\overline{u} + u')^2 &= \overline{u}^2 + 2 \, \overline{u} u' + u'\,^2\\[6pt]
&= \overline{u}^2 + 2 \, \overline{u} u' + O(2)
\end{array}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\ff{\overline{p} + p'}{\overline{\rho} + \rho'}
&=
\ff{(\overline{p} + p') \, (\overline{\rho} - \rho')}
{(\overline{\rho} + \rho') \, (\overline{\rho} - \rho')}
\\[15pt]
&=
\ff{\overline{p}\, \overline{\rho} + \overline{\rho} p' + \overline{p}\rho' 
+ p' \rho'}
{\overline{\rho}^2 - \rho'\,^2}
\\[15pt]
&=
\ff{\overline{p}}{\overline{\rho}}
+
\ff{1}{\overline{\rho}^2} (\overline{\rho} p' + \overline{p}\rho') + O(2)
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei sind die Terme zweiter Ordnung mit $O(2)$ abgekürzt worden.
Setzt man (39) und (40) in (38) ein und fasst die Terme erster
Ordnung (linear von einer Schwankungsgröße abhängig) als $b'$ zusammen, 
ergibt sich
%
\begin{equation}
b' = \overline{u} \cdot u' +
\left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right)
\left(
\ff{p'}{\overline{\rho}} -
\ff{\overline{p}}{\overline{\rho}^2} \, \rho'
\right)
\end{equation}
%
Dies gilt nur näherungsweise im akustischen Sinn, da die Terme
höherer Ordnung weggelassen wurden.
Im nächsten Schritt werden die Schwankungen der Dichte und der
Geschwindigkeit durch Druckschwankungen ausgedrückt.
Für letzteres muss wieder angenommen werden, dass sich nur eine Welle
in $(+)$ oder entgegen $(-)$ der $\vec{n}$-Richtung ausbreitet.
Dann kann neben (18) auch (19) angewendet werden, und
es folgt für eine solche Welle
%
\begin{equation}
m' = \pm \, \ff{\overline{u}}{\overline{\rho} c} \, p' +
\left(\ff{\gamma}{\gamma - 1}\right)
\left[
\ff{1}{\overline{\rho}} -
\ff{\overline{p}}{\overline{\rho}^2 c^2}
\right]
\,
p'
\end{equation}
%
In den idealen Gas gilt für die Schallgeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^2 = \gamma \, \ff{\overline{p}}{\overline{\rho}}
\end{equation}
%
Setzt man dies auf der rechten Seite von (42)
in den Ausdruck in der eckigen Klammer ein, ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff{1}{\overline{\rho}} -
\ff{\overline{p}}{\overline{\rho}^2 c^2}
=
\ff{1}{\overline{\rho}} -
\ff{1}{\gamma \, \overline{\rho}}
=
\left(\ff{\gamma - 1}{\gamma}\right) \, \ff{1}{\overline{\rho}}
\end{equation}
%
Wird dies in (42) eingesetzt, folgt für die Schwankung
der Ruheenthalpie in einer Welle in $\pm \vec{n}$-Richtung
%
\begin{equation}
b' = 
\ff{p'}{\overline{\rho}}
\left(1 \pm M \right)
\end{equation}
%
Die Schwankungen in der Querschnittsfläche $S_1$
ergeben sich aus der Überlagerung der Schwankungen in
der einlaufenden und der reflektierten Welle.
Man erhält
%
\begin{equation}
b_1' =
\ff{1}{\overline{\rho}}
\Big[
A_1 (1 + M_1) +
B_1 (1 - M_1)
\Big] \cdot e^{i \omega t}
\end{equation}
%
In dem Querschnitt $S_2$ 
trägt nur die transmittierte Welle zu den
Schwankungen bei.
Dort gilt
%
\begin{equation}
b_2' =
\ff{1}{\overline{\rho}} \,
A_2 (1 + M_2)
\, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Energiebilanz für die quasistatischen Schwankungen
mit $b_1' = b_2'$ liefert damit die zweite Beziehung
zwischen den gesuchten Größen.
Es folgt
%
\begin{equation}
\ff{1}{\overline{\rho}}
\Big[
A_1 (1 + M_1) +
B_1 (1 - M_1)
\Big]
=
\ff{1}{\overline{\rho}} \,
A_2 (1 + M_2)
\end{equation}
%
Mit (24) und (48) sind nun zwei Gleichungen für
die beiden gesuchten Größen $B_1$ und $A_2$ gegeben.
Damit lässt sich bei vorgegebener Druckamplitude
der einlaufenden Welle $A_1$ die reflektierte und
die transmittierte Welle berechnen.

Bevor das Gleichungssystem gelöst wird, soll auf eine
alternative Möglichkeit der
Darstellung des Problems hingewiesen
werden.
Der Druck ist eine anschauliche Größe, die relativ leicht
zu messen ist.
Daher wird in der Darstellung oft alles auf den Druck bezogen.
Im folgenden soll die Ruheenthalpie als Bezugsgröße
verwendet werden.
In der einlaufenden Welle wird nicht die Druckamplitude
sondern die Amplitude der Ruheenthalpieschwankung
vorgegeben.
Sie wird mit $A_{b,1}$ bezeichnet.
Gesucht sind die entsprechenden Amplituden in
der reflektierten und der transmittierten Welle.
Diese werden durch die Größen $B_{b,1}$ und $A_{b,2}$
dargestellt.
Für die Schwankungen in den Querschnittsflächen $S_1$
und $S_2$ gilt entsprechend
%
\begin{align}
b_1' &= (A_{b,1} + B_{b,1}) \, e^{i \omega t}\\
b_2' &= A_{b,2}\, e^{i \omega t}
\end{align}
%
Zwischen den Druckamplituden und den Amplituden
der Größe $b'$ gilt folgender Zusammenhang
%
\begin{align}
A_{b,1} &= \ff{1}{\overline{\rho}_1} \, A_1 \, (1 + M_1) \\
B_{b,1} &= \ff{1}{\overline{\rho}_1} \, B_1 \, (1 - M_1) \\
A_{b,2} &= \ff{1}{\overline{\rho}_2} \, A_2 \, (1 + M_2)
\end{align}
%
Eine Beziehung zwischen den gesuchten Größen ergibt sich
aus der Energiebilanz am Übergang $b_1' = b_2'$.
Es folgt
%
\begin{equation}
A_{b,1} +
B_{b,1} =
A_{b,2}
\end{equation}
%
Diese Gleichung ist formal deutlich einfacher als
die entsprechende Beziehung (48) zwischen den Druckamplituden.

Aus der Massenbilanz lässt sich eine weitere Beziehung
zwischen den neuen Druckamplituden ableiten.
Betrachtet man die Gleichungen (20) und (45),
so folgt für eine ebene Welle in $\pm \vec{n}$-Richtung
die Relation
%
\begin{equation}
b' = \pm \ff{c}{\overline{\rho} S} \, m'
\end{equation}
%
Der Faktor vor $m'$ auf der rechten Seite kann
als Impedanz interpretiert werden.
Betrachtet man harmonische Schwankungen von Ruheenthalpie
und Massenfluss, so gilt
%
\begin{align}
b' &= \hat{b} \, e^{i \omega t}\\
m' &= \hat{m} \, e^{i \omega t}
\end{align}
%
Dabei sind $\hat{b}$ und $\hat{m}$ die komplexem Amplituden.
Damit kann eine Impedanz
%
\begin{align}
Z_b = \ff{\hat{b}}{\hat{m}}
\end{align}
%
definiert werden.
Sie unterscheiden sich natürlich von der akustischen Impedanz,
die das Verhältnis der Amplituden von Druck- und Geschwindigkeitsschwankungen
angibt.
In einer alternativen Darstellung mit den Parametern $b'$ und $m'$
erweist sich diese Impedanz als nützliche Größe.
In einer reinen Welle in $\pm \vec{n}$-Richtung gilt
%
\begin{align}
Z_b = \pm \ff{c}{\overline{\rho} S}
\end{align}
%
Der Quotient auf der rechten Seite ist sozusagen der Wellenwiderstand
in der ($b'$,$m'$)-Darstellung.

Mit (55) folgt aus der Massenbilanz $m_1' = m_2'$ die Beziehung
%
\begin{equation}
\Big(\ff{\overline{\rho} S}{c}\Big)_1 \,
(A_{b,1} - B_{b,1})
=
\Big(\ff{\overline{\rho} S}{c}\Big)_2 \,
A_{b,2}
\end{equation}
%
Diese Gleichung ist ebenfalls etwas einfacher als
die entsprechende Beziehung (24) für die
Druckamplituden.

Aus (54) und (60) lassen sich durch Auflösen
Gleichungen der Form
%
\begin{align}
B_{b,1} &= R_b \, A_{b,1} \\
A_{b,2} &= T_b \, A_{b,1}
\end{align}
%
Dabei ist der Reflexionsfaktor für die
einlaufende Ruheenthalpiewelle mit
%
\begin{equation}
R_b =
\ff
{\left( \ff{\overline{\rho} S}{c} \right)_1 -
\left( \ff{\overline{\rho}S}{c} \right)_2}
{\left( \ff{\overline{\rho} S}{c} \right)_1 +
\left( \ff{\overline{\rho}S}{c} \right)_2} \;
\end{equation}
%
und der Transmissionsfaktor
mit
%
\begin{equation}
T_b = 1 - R_b =
\ff
{2 \, \left( \ff{\overline{\rho}S}{c} \right)_2}
{\left( \ff{\overline{\rho} S}{c} \right)_1 +
\left( \ff{\overline{\rho}S}{c} \right)_2} \;
\end{equation}
%
gegeben.

Betrachtet man die Reflexion an den durchströmten
Querschnittssprung für den Schalldruck,
ergeben sich durch Auflösen von (24) und (48)
analoge Beziehungen
%
\begin{align}
B_1 &= R \, A_1 \\
A_2 &= T \, A_1
\end{align}
%
Die Größen $R$ und $T$ ohne Index sind wie bisher
der Reflexions- und der Transmissionsfaktor
für die Druckwellen.
Allerdings ergeben sich für diese Faktoren
kompliziertere Ausdrücke
%
\begin{alignat}{2}
R &= R_b \, \ff{(1 + M_1)}{(1 - M_1)}
\\
T &= (1 - R_b) \,
\ff{\overline{\rho}_2}{\overline{\rho}_1} \,
\ff{(1 + M_1)}{(1 + M_2)}
\end{alignat}
%
Die Ausdrücke in (63) und (64) sind analog zu
den Formeln für $R$ und $T$ in Fall des
Querschnittssprungs ohne Strömung.
Es muss nur der Ausdruck
$\left( \ff{\overline{\rho}S}{c} \right)$
durch $S$ ersetzt werden.
Dagegen sind die tatsächlichen Ausdrücke für
$R$ und $T$ bei Strömung deutlich komplizierter.
Anscheinend ist die ($b'$,$m'$)-Darstellung
besser zur Beschreibung der Aufgabenstellung geeignet.
Sie hat jedoch den Nachteil, dass die Ruheenthalpie
eine gegenüber dem Druck relativ unanschauliche Größe ist.

Zuletzt soll ein Zahlenbeispiel vorgestellt werden.
Es wird eine Querschnittsänderung mit
%
\begin{align}
d_2 &= 2 \, d_1 \nonumber\\
S_2 &= 4 \, S_1 \nonumber
\end{align}
%
angenommen.
Der Durchmesser verdoppelt sich, und die Fläche vervierfacht sich.
Die Machzahl im breiten Teil wird mit $M_2 = 0.1$ vorgegeben.
Es strömt ein ideales Gas mit $\gamma = 1.4$ (z.B.\ Luft).
Daraus berechnet sich
%
\begin{displaymath}
M_1 = 0.448
\end{displaymath}
%
Für die Dichte in der Grundströmung ergibt sich
%
\begin{align}
\overline{\rho}_1 = 0.906 \, \rho_0 \, , \;
\overline{\rho}_2 = 0.995 \, \rho_0 \nonumber
\end{align}
%
und die Schallgeschwindigkeit wird
%
\begin{align}
c_1 = 0.961 \, c_0 \, , \;
c_2 = 0.998 \, c_0 \nonumber
\end{align}
%
Dabei sind die Werte auf die Ruhedichte $\rho_0$ und die
Ruheschallgeschwindigkeit $c_0$ bezogen.
Um den Reflexionsfaktor zu berechnen werden die Ausdrücke
%
\begin{align}
\ff{\overline{\rho}_1 S_1}{c_1} &= 0.943 \, \ff{\rho_0 S_1}{c_0} \nonumber\\
\ff{\overline{\rho}_2 S_2}{c_2} &= 3.988 \, \ff{\rho_0 S_1}{c_0} \nonumber
\end{align}
%
berechnet.
Daraus ergibt sich
der Reflexionsfaktor für die Ruheenthalpiewelle
%
\begin{displaymath}
R_b = \ff{0.943 - 3.988}{0.943 + 3.988} = -0.617
\end{displaymath}
%
Schließlich erhält man den Reflexionsfaktor für die Druckwelle
%
\begin{displaymath}
R = R_b \, \ff{1 + 0.448}{1 - 0.448} = -1.618
\end{displaymath}
%
In diesem Beispiel hat die reflektierte Druckwelle eine größere
Amplitude als die einlaufende Welle!

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------