Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 15.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 2.4)  Prinzip des Reflexionsschalldämpfers}
\end{flushleft}

Es wird die einfachste Form eines
Schalldämpfertopfs ohne Strömung untersucht.
Dieser ist zusammengesetzt aus zwei Übergängen, wie sie
im Abschnitt 2.1 behandelt wurden.
Es wird angenommen, dass $\omega$ klein ist und
sich nur ebene Wellen ausbreiten können.
Die Wellenlänge sei groß gegenüber den Durchmessern $d_1$ und $d_2$ und der
Länge der Übergänge.
Für die Länge des Topfs $L$ wird keine Einschränkung angenommen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,5.0) \thicklines
\put(0,0.8){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=muffler01.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.9,3.6){\makebox(0,0)[cb]{$d_1$}}
\put(1.9,3.4){\makebox(0,0)[cb]{$S_1$}}
\put(5.6,3.4){\makebox(0,0)[cb]{$S_1$}}
\put(7.15,3.6){\makebox(0,0)[cb]{$d_1$}}
\put(3.2,4.2){\makebox(0,0)[cb]{$d_2$}}
\put(4.6,4.0){\makebox(0,0)[cb]{$S_2$}}
\put(2.25,0.4){\makebox(0,0)[cb]{$0$}}
\put(5.2,0.4){\makebox(0,0)[cb]{$L$}}
\put(7.3,0.5){\makebox(0,0)[cb]{$x$}}
\put(1.65,2.95){\makebox(0,0)[lc]{\small $A_1$}}
\put(1.65,2.6){\makebox(0,0)[lc]{\small $B_1$}}
\put(3.75,2.5){\makebox(0,0)[ct]{\small $B_2$}}
\put(3.75,3.0){\makebox(0,0)[cb]{\small $A_2$}}
\put(6.9,2.8){\makebox(0,0)[cc]{\small $A_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Für die Druckverteilung wird der Ansatz
%
\begin{equation}
p'(x,t) = \left\{
\begin{array}{lll}
p_1'(x,t) & \hbox{bei} & x < 0\\
p_2'(x,t) & \hbox{bei} & 0 < x < L\\
p_3'(x,t) & \hbox{bei} & x > L
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p_1'(x,t) &= A_1 \, e^{i(\omega t - kx)}
+ B_1 \, e^{i(\omega t + kx)}\\[6pt]
p_2'(x,t) &= A_2 \, e^{i(\omega t - kx)}
+ B_2 \, e^{i(\omega t + kx)}\\[6pt]
p_3'(x,t) &= A_3 \, e^{i(\omega t - kx)}
\end{array}
\end{equation}
%
aufgestellt.
Gesucht sind die komplexen Amplituden der reflektierten und transmittierten
Wellen $B_1$ und $A_3$
bei vorgegebener einlaufender Welle
mit Amplitude $A_1$.
Unbekannt sind ebenfalls die Amplituden der Wellen im Topf
$A_2$ und $B_2$.

Der Druckverteilung (1) und (2) entspricht die
Schnelleverteilung
%
\begin{equation}
u'(x,t) = \left\{
\begin{array}{lll}
u_1'(x,t) & \hbox{bei} & x < 0\\
u_2'(x,t) & \hbox{bei} & 0 < x < L\\
u_3'(x,t) & \hbox{bei} & x > L
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
u_1'(x,t) &= \ff{A_1}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t - kx)}
- \ff{B_1}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t + kx)}\\[12pt]
u_2'(x,t) &= \ff{A_2}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t - kx)}
- \ff{B_2}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t + kx)}\\[12pt]
u_3'(x,t) &= \ff{A_3}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t - kx)}
\end{array}
\end{equation}
%
An den beiden Übergängen müssen jeweils zwei Bedingungen erfüllt
sein.
Dies ergibt insgesamt vier Bedingungen, um die gesuchten vier
unbekannten Amplituden zu bestimmen.

Als erstes muss der Druck auf beiden Seiten jedes Übergangs gleich sein.
Es gilt daher
%
\begin{align}
p_1'(0,t) &= p_2'(0,t)\\[6pt]
p_2'(L,t) &= p_3'(L,t)
\end{align}
%
Aus der Massenerhaltung an den Übergängen ergeben sich die
weiteren Bedingungen
%
\begin{align}
S_1 \, u_1'(0,t) &= S_2 \, u_2'(0,t)\\[6pt]
S_2 \, u_2'(L,t) &= S_1 \, u_3'(L,t)
\end{align}
%
Im nächsten Schritt werden die Ansätze (2) und (4) in die vier Bedingungen
eingesetzt.
Dabei kann jeweils durch den Faktor $e^{i \omega t}$ auf beiden Seiten
dividiert werden.
Für den ersten Übergang bei $x = 0$ ergibt sich aus (5) und (7)
%
\begin{align}
A_1 + B_1 &= A_2 + B_2\\[6pt]
S_1 \, (A_1 - B_1) &= S_2 \, (A_2 - B_2)
\end{align}
%
Für den zweiten Übergang bei $x = L$ folgen die Gleichungen
%
\begin{align}
A_2 \, e^{-i k L} + B_2 \, e^{+i k L} &= A_3 \, e^{-i k L} \\[6pt]
S_2 \, (A_2 , e^{-i k L}  - B_2 \, e^{+i k L}) &= S_1 \, A_3 \, e^{-i k L}
\end{align}
%
Die Beziehungen (11) und (12) sind komplizierter als (9) und (10), da
in ihnen der Faktor $e^{\pm i k L}$ auftritt.
Ein Auflösen der vier Gleichungen ist daher nur in vielen Zwischenschritten
möglich, die hier aus Platzgründen nicht abgedruckt werden können.

Letztlich lassen sich durch geeignetes Einsetzen der Gleichungen
die Unbekannten $A_2$, $B_2$ und $A_3$ eliminieren und es ergibt sich eine
Beziehung der Form
%
\begin{equation}
B_1 = R \, A_1
\end{equation}
%
Dabei ist $R$ bereits die Abkürzung für den Reflexionsfaktor der
gesamten Anordnung, der die Form
%
\begin{equation}
R = \ff
{\left(
\ff{S_1}{S_2} -
\ff{S_2}{S_1}
\right) \; i \; \sin(kL)}
{2 \; \cos(kL) + i \left(
\ff{S_1}{S_2} +
\ff{S_2}{S_1}
\right) \; \sin(kL)}
\end{equation}
%
besitzt.
Auf analoge Weise lässt sich eine Gleichung der Gestalt
%
\begin{equation}
A_3 = T \, A_1
\end{equation}
%
mit dem Transmissionsfaktor
%
\begin{equation}
T = \ff{2\; e^{ikL}}
{2 \; \cos(kL) + i \left(
\ff{S_1}{S_2} +
\ff{S_2}{S_1}
\right) \; \sin(kL)}
\end{equation}
%
herleiten.

Der Reflexions- und der Transmissionsfaktor
hängt nicht nur von den
Querschnittsflächen $S_1$ und $S_2$
sondern auch von dem Faktor
%
\begin{equation}
k L = \ff{\omega L}{c}
\end{equation}
%
ab.
Das bedeutet, die Reflexion ist
frequenzabhängig.
Zusätzlich ist der Abstand $L$ zwischen den
Übergängen wichtig.
Bei
%
\begin{equation}
k L = n \pi \quad \hbox{mit} \quad n = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
ergibt sich die besondere Situation, dass $R = 0$ und $T = 1$ wird.
Für die Frequenz muss dazu
%
\begin{equation}
\omega = \ff{n \pi c}{L}
\end{equation}
%
gelten.
In diesem Fall wird nichts reflektiert und die transmittierte Welle
besitzt die gleiche Amplitude und Phase wie die einlaufende Welle.
Das aus den beiden Übergängen bestehende System ist anscheinend
für die einlaufende Welle gar nicht vorhanden.
Die Welle kann ungestört passieren.

Durch die hin und herlaufenden Wellen im Topf
besteht eine Kopplung zwischen den Übergängen.
Die Wirkung der einzelnen Übergänge addiert sich nicht einfach
zur Gesamtwirkung des Systems.
Bei bestimmten Frequenzen ist die transmittierte Welle besonders stark
und bei anderen besonders schwach.

Für die Praxis ist die Ausbreitungsdämpfung, die mit
%
\begin{equation}
L_T = 10 \cdot \log_{10}
\left( \ff{|A_1|^2}{|A_3|^2} \right)
\end{equation}
%
gegeben ist, von Interesse.
Mit (15) und (16) lässt sich dies zu
%
\begin{equation}
\sdoso LT =
10 \, \log_{10}
\left[ 1 + \ff 14 
\left(
\ff{S_1}{S_2} -
\ff{S_2}{S_1}
\right)^2
\; \sin^2(kL)
\right]
\end{equation}
%
vereinfachen.
Ein typische Verlauf der Ausbreitungsdämpfung als Funktion des
Faktors $kL$ ist in der
folgenden Abbildung dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,5.5) \thicklines
\put(1.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=schall00.eps,width=7.0cm}}}
\put(4.5,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $kL = \omega L/c$}}
\put(0.6,3.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso LT$}}
\put(0.6,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small [dB]}}
\end{picture}
\end{center}
%
Für die Frequenzen, die die Bedingung (19)
erfüllen, wird $\sdoso LT = 0$.
Dazwischen ergeben sich Bereiche
mit maximaler Ausbreitungsdämpfung.

Die Bedingung, ob besonders gute Ausbreitungsdämpfung vorliegt
oder nicht, kann veranschaulicht werden.
Dazu wird die Wellenlänge
%
\begin{equation}
\lambda = \ff{2 \pi c}{\omega}
\end{equation}
%
betrachtet.
Einsetzen von (19) ergibt, dass bei
%
\begin{equation}
\lambda = \ff{2 L}{n}
\end{equation}
%
gerade $\sdoso LT = 0$ wird.
Wenn der Abstand $L$ gerade dem Vielfachen der halben Wellenlänge
entspricht, wird nichts reflektiert und die einlaufende Welle
wird unverändert transmittiert.

Die Ausbreitungsdämpfung ist besonders groß wenn
%
\begin{equation}
kL = \ff{1}{2}\, \pi, \ff{3}{2}\, \pi, \ff{5}{2}\, \pi, \ldots
\end{equation}
%
gilt.
Dies ist bei
%
\begin{equation}
L = \ff{1}{4} \, \lambda, 
\ff{3}{4} \, \lambda,
\ff{5}{4} \, \lambda,
\ldots 
\end{equation}
%
erfüllt.

\setcounter{equation}{0}


\begin{flushleft}
{\bf 2.5)  Durchströmter Querschnittssprung}
\end{flushleft}

Es soll die Ausbreitung von Wellen in einem
durchströmten Kanal mit veränderlichem Querschnitt
betrachtet werden.
Es wird von einer stationären Grundströmung
ausgegangen.
In dem Strömungsfeld breiten sich die Störungen
als Wellen aus.
Für die Strömung werden weitere Annahmen gemacht:
%
\begin{itemize}
\item%
Es liegt eine
homogene Strömung mit
ebenen Geschwindigkeitsprofile
außerhalb des Übergangsbereichs vor.
\item%
Die Grenzschicht und andere Reibungseffekte können
vernachlässigt werden.
\item%
Die Strömung ist ablösefrei.
\item%
Im gesamten Feld herrscht Unterschall mit 
der Machzahl $M < 1$.
\item%
Die Grundströmung ist bekannt (z.B.\ aus Messung oder Rechnung).
\end{itemize}
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,4.8) \thicklines
\put(0,0.8){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=qsmstr00.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.9,3.25){\makebox(0,0)[cb]{$d_1$}}
\put(2.1,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$S_1$}}
\put(4.7,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$S_2$}}
\put(6.6,3.85){\makebox(0,0)[cb]{$d_2$}}
\put(3.75,0.4){\makebox(0,0)[cb]{$0$}}
\put(7.3,0.5){\makebox(0,0)[cb]{$x$}}
\put(3.75,4.2){\makebox(0,0)[cb]{$l$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Wie im Fall ohne Strömung wird eine relativ
niedrige Frequenz $\omega$ vorausgesetzt, so dass die Wellenlänge
$\lambda = 2 \pi c / \omega$
die Bedingungen
%
\begin{equation}
\lambda \gg d_1 \; ; \;
\lambda \gg d_2 \; ; \;
\lambda \gg l
%\label{eq:16}
\end{equation}
%
erfüllt.
Zu beachten ist, dass die Schallgeschwindigkeit im Strömungsfeld
vom Ort abhängen kann, da
die Dichte und der
Druck in der Grundströmung räumlich variieren.
Damit ist bei gegebener
Frequenz $\omega$ auch $\lambda$ vom Ort abhängig.

Aus (1) folgt, dass sich nur ebene Wellen ausbreiten können, und
der gesamte Übergangsbereich kann als Punkt mit vernachlässigbaren Volumen
quasi-statisch betrachtet werden.
Das Druckfeld wird mit
%
\begin{equation}
p(\vec{x}, t) = \bar{p}(\vec{x}) + p'(\vec{x}, t)
\end{equation}
%
in einen Gleichanteil, der nur vom Ort abhängt, und einen
Schwankungsanteil zerlegt.
Zur Beschreibung der Schwankungen außerhalb des
Übergangs wird der Ansatz
%
\begin{equation}
p'(x,t) = 
\left\{
\begin{array}{l@{\quad \hbox{für} \quad }l}
p'_1(x,t) & x < 0\\
\noalign{\vspace{4pt}}
p'_2(x,t) & x > 0\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'_1(x,t) =
A_1 e^{i(\omega t - \alpha_1^+ x)} +
B_1 e^{i(\omega t + \alpha_1^- x)}\\[4pt]
p'_2(x,t) =
A_2 e^{i(\omega t - \alpha_2^+ x)}
\end{array}
\end{equation}
%
aufgestellt.
Wie in Abschnitt 2.1 berücksichtigt dieser Ansatz nicht die
komplexen Vorgänge im Übergangsbereich.
Es werden überall ebene Wellen angenommen und entsprechend
hängt der Schalldruck $p'$ nur von der $x$-Koordinate ab.

Anders als im Fall ohne Strömung sind jetzt verschiedene Wellenzahlen 
mit
%
\begin{equation}
\alpha_1^\pm = \ff{\omega}{c_1} \cdot \ff{1}{M_1 \pm 1} \; ; \;
\alpha_2^\pm = \ff{\omega}{c_2} \cdot \ff{1}{M_2 \pm 1}
\end{equation}
%
auf den beiden Seiten einzusetzen.
Die Wellenzahlen folgen aus der Beziehung
%
\begin{equation}
\alpha =
\sqrt{\left( \ff{\sdoso {\omega}B}{c} \right)^2 - \beta}
=
\sqrt{\left( \ff{\sdoso {\omega}R - \alpha U}{c} \right)^2 - \beta}
\end{equation}
%
Diese wurde für die Schallausbreitung in ebenen Kanälen mit Strömung
abgeleitet.
Mit $\sdoso {\omega}B$ und $\sdoso {\omega}R$ sind die Frequenzen
im mitbewegten (B) und ruhendem (R) Bezugssystem bezeichnet.
$\alpha$ und $\beta$ sind die Wellenzahlen in Kanalrichtung und
senkrecht dazu.
Mit $U$ ist die Strömungsgeschwindigkeit gegeben.
Hier breiten sich nur ebene Wellen aus, und entsprechend ist $\beta = 0$.
Löst man (6) nach $\alpha$ auf, ergibt sich
%
\begin{equation}
\alpha =
\ff{\sdoso {\omega}R}{c} \, \ff{1}{M \pm 1}
\end{equation}
%
Dabei ist die Machzahl mit $M = U/c$ gegeben.
Hier entspricht $\sdoso {\omega}R$ der ``normalen'' Frequenz $\omega$.

Bei einer vorgegebenen Frequenz ergeben sich demnach unterschiedliche
Wellenzahlen und damit auch unterschiedliche Wellenlängen.
Diese hängen von der Ausbreitungsrichtung und den Zustandsgrößen
in der Grundströmung ab.
Für die Berechnung der Reflexion- und Transmissionsfaktoren am
Übergang sind die Wellenzahlen nicht erforderlich.

Es wird wieder eine Kontrollfläche um den Übergangsbereich definiert,
und eine Bilanz für Masse und Energie
an den beiden Flächen $S_1$ und $S_2$ aufgestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(5.0,2.5) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=stroem00.eps,width=5.0cm}}}
\put(1.1,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(2.0,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{n}$}}
\put(3.4,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_2$}}
\put(4.3,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{n}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Ohne Grundströmung wird nur Masse durch die Wellen bewegt.
Jetzt wird allein schon durch die Grundströmung Masse verschoben.
Dies ist in der Bilanzgleichung zu berücksichtigen.
Bei der Behandlung der Wellenausbreitung in ebenen Kanälen mit
Strömung konnten viele Probleme dadurch umgangen werden, dass die
Schallausbreitung im mitbewegten Bezugssystem betrachtet wurde.
In diesem Bezugssystem liegt keine Grundströmung vor und die
Lösung vereinfachte sich.
Hier ist ein vergleichbares Vorgehen nicht möglich, da es keine
ausgezeichnete Geschwindigkeit gibt.
Man findet kein Bezugssystem, in dem an den beiden Kontrollflächen
das Medium im Mittel ruht.
Das ist immer nur für eine der beiden Flächen möglich.

Es wird daher im folgenden die nichtlineare Massenbilanz aufgestellt und durch
Linearisierung eine Bedingung für die Störungen abgeleitet.
Dazu wird wieder mit zusammengefassten Parametern gearbeitet.
Diesmal wird jedoch nicht die Volumengeschwindigkeit sondern
der Massenfluss $m$ durch einen Querschnitt verwendet.
Es wird
%
\begin{equation}
m = \int \limits_{S} \rho \; \vec{v} \vec{n} \, \hbox{d}S
\end{equation}
%
definiert.
Sind wie vorausgesetzt an den Kontrollflächen
nur ebene Wellen vorhanden und die Kontrollflächen
sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gewählt, so
vereinfacht sich dies zu der Beziehung
%
\begin{equation}
m = S \, \rho \, u
\end{equation}
%
Dabei ist $u$ die Geschwindigkeit in Richtung
des Normalenvektors $\vec{n}$.

Die Größe $m$ wird mit
%
\begin{equation}
m = \bar{m} + m'
\end{equation}
%
in einen Gleichanteil und eine Schwankung zerlegt.
Für die beiden Anteile wird die Gleichheit in
den beiden Kontrollflächen $S_1$ und $S_2$ gefordert.
%
\begin{align}
\bar{m}_1 &=
\bar{m}_2\\[6pt]
m_1' &= m_2'
\end{align}
%
Wenn für die Grundströmung die Kontinuitätsgleichung gilt,
dann ist auch Bedingung (11) erfüllt.
Der stationäre Massenfluss über die Querschnittsfläche $S_1$ muss dem
in $S_2$ entsprechen.

Die Bedingung (12) basiert auf der Annahme, dass in dem Kontrollvolumen
keine nennenswerte Masse gespeichert werden kann.
Die Schwankungen laufen quasi-stationär ab, da die Wellenlaufzeiten
innerhalb des Volumens viel kleiner als die Periode der Schwankungen
sind.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------