Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 11.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}


\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 2.3)  Der Helmholtz-Resonator}
\end{flushleft}

Wenn die Dichte $\rho'_2$ im inneren des Volumens
schwankt, so ändert sich die Masse im Volumen.
Da eine räumlich konstante Verteilung angenommen wurde, ergibt sich
für die Schwankung der Masse
%
\begin{equation}
V \, \dd{\rho'_2}{t}
=
\rho_0 U_S(t)
\end{equation}
%
Die Volumengeschwindigkeit $U_S(t)$ gibt den Volumenstrom durch
eine Querschnittsfläche im Hals zum Beispiel in Liter pro Sekunde an.
Auf der rechten Seite von (1) steht damit der momentane Massenstrom in das
Volumen hinein.
Dies muss der zeitlichen Änderung der Masse im Volumen entsprechen.

Es werden nur harmonische Störungen betrachtet.
Damit kann für alle Größen ein entsprechender Ansatz aufgestellt
werden.
Insbesondere gilt
%
\begin{equation}
\rho_2' (t) = \hat{\rho}_2 \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
U_S' (t) = \hat{U}_S \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die mit dem Symbol $\hat{}$ gekennzeichneten Größen sind 
die komplexen Amplituden der Größen.
Aus (1) folgt für die Amplituden
%
\begin{equation}
i \omega V \hat{\rho}_2 = \rho_0 \hat{U}_S
\end{equation}
%
Diese Beziehung repräsentiert sozusagen die Massenerhaltung.
Für die Impulserhaltung wird die Kräftebilanz an dem gedachten
Stopfen im Hals der Resonators betrachtet.
Der Stopfen besitzt die Masse $\rho_0 H S$.
Die momentane Geschwindigkeit des Stopfens wird mit $\sdoso u{Stopfen}$
bezeichnet.
Wenn sich der gedachte Stopfen reibungsfrei im Hals bewegen kann, muss
%
\begin{equation}
S \, (p_1' - p_2') = \rho_0 H S \, \dd{\sdoso u{Stopfen}}{t}
\end{equation}
%
gelten.
Auf der rechten Seite steht die Masse des Stopfens multipliziert mit
dessen Beschleunigung.
Der Druck $p_1'$ wirkt von der äußeren Seite auf den Stopfen.
Der Druck wird konstant auf der gesamten Querschnittsfläche angenommen.
Von Innen wirkt $p_2'$ auf den Stopfen.
Die linke Seite entspricht somit der resultierenden Druckkraft.

Die Geschwindigkeit des Stopfens kann durch die Volumengeschwindigkeit
im Hals ausgedrückt werden.
Es ist
%
\begin{equation}
\sdoso u{Stopfen} S = U_S'
\end{equation}
%
Und für die Ableitungen ergibt sich
%
\begin{equation}
S \dd{\sdoso u{Stopfen}}{t} = \dd{U_S'}{t}
\end{equation}
%
Damit kann die Ableitung von $\sdoso u{Stopfen}$ in (5)
ersetzt werden.
Im nächsten Schritt soll aus (5) eine Beziehung für die
komplexen Amplituden abgeleitet werden.
Es gelten die Ansätze
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p_1' (t) &= \hat{p}_1 \, e^{i \omega t}\\[12pt]
p_2' (t) &= \hat{p}_2 \, e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze folgt aus (5) die Gleichung
%
\begin{equation}
S (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) = \rho_0 H \, i \omega \hat{U}_S
\end{equation}
%
Mit (4) und (9) sind zwei Beziehungen zwischen
den komplexen Amplituden
$\hat{p}_1$, $\hat{p}_2$, $\hat{\rho}_2$
und $\hat{U}_S$ gegeben.
Ist die Durckstörung außerhalb des Resonators
vorgegeben, so ist $\hat{p}_1$ bekannt.
Um die restlichen drei Größen daraus
berechnen zu können, fehlt noch eine weitere
Gleichung.
Diese kann aus der allgemeinen Druck-Dichte-Relation
%
\begin{equation}
p_2' = c^2 \rho_2'
\end{equation}
%
abgeleitet werden.
Es gilt entsprechend
%
\begin{equation}
\hat{p}_2 = c^2 \hat{\rho}_2
\end{equation}
%
Damit kann $\hat{\rho}_2$ in (4) durch $\hat{p}_2$
ersetzt werden.
Es folgt
%
\begin{equation}
\hat{p}_2 = \ff{c^2 \rho_0 \hat{U}_S}{i \omega V}
\end{equation}
%
Setzt man dies in (9) ein, ergibt sich
nach einigen Umformungen
%
\begin{equation}
\hat{p}_1 =
\left\{
\ff{i \omega \rho_0 H}{S} +
\ff{c^2 \rho_0}{i \omega V}
\right\}
\hat{U}_S
\end{equation}
%
Die Größe in der geschweiften Klammer ist eine komplexe Zahl, die
von der Frequenz und den Parametern des Resonators abhängt.
Sie gibt das Verhältnis des Drucks
und der Volumengeschwindigkeit
am Eingang des Resonators an.
Damit stellt die Größe in der geschweiften Klammer eine Impedanz
bezüglich der zusammengefassten Parameter $p'_S$ und $U'_S$ dar.
Der äußere Druck $p_1'$ wurde konstant über den gesamten
Querschnitt angenommen und entspricht damit dem mittleren Druck
über der Fläche $S$ am Eintritt.
Es ist
%
\begin{equation}
p'_1 = p'_S
\end{equation}
%
und der Quotient
%
\begin{equation}
\ff{\hat{p}_1}{\hat{U}_S} = Z_{S,\hbox{\tiny Res}}
\end{equation}
%
entspricht der Impedanz des Resonators, die mit  $Z_{S,\hbox{\tiny Res}}$
bezeichnet wird.
Durch Umformen der geschweiften Klammer ergibt sich
%
\begin{equation}
Z_{S,\hbox{\tiny Res}}
=
\ff{i \rho_0 H}{\omega S}
\left[
\omega^2 - \ff{c^2 S}{V H}
\right]
\end{equation}
%
Diese Darstellung zeigt, dass die Impedanz bei der
Resonanzfrequenz
%
\begin{equation}
\sdoso \omega{Res}
=
\sqrt{\ff{c^2 S}{V H}}
\end{equation}
%
verschwindet.
Für eine vorgegebene Druckamplitude $\hat{p}_1$
ergibt sich eine unendliche große Amplitude der Volumengeschwindigkeit
$\hat{U}_S$.
In diesem Fall spricht man von einer Resonanzkatrastrophe.
Diese tritt jedoch nur ein, wenn die Impedanz $Z_{S,\hbox{\tiny Res}}$
die ideale Form (16) besitzt.
In der Realität gibt es immer Reibungseffekte.
Zusätzlich spielen bei größeren Amplituden auch Nichtlinearitäten eine
Rolle.
Würde man Reibung in dem einfachen Modell mit berücksichtigen,
so würde $Z_{S,\hbox{\tiny Res}}$ einen zusätzlichen Realteil besitzen.
Im Resonanzfall wird die Impedanz dann nicht mehr gleich Null.
Die Amplitude bleibt durch die Reibung begrenzt.

Wird eine berechnete Resonanzfrequenz
durch experimentelle Untersuchungen überprüft, so liegt der
reale Werte typischerweise etwas niedriger.
Die Ursache dafür kann in der relativ einfachen Modellierung der bewegten
Masse als gedachter Stopfen gesehen werden.

Die tatsächliche Form des Schallfeldes kann im einzelnen sehr
kompliziert sein.
Auf empirische Weise lassen sich jedoch für einfache Geometrien
Korrekturen ermitteln.
So lässt sich eine bessere Vorhersage der Resonanzfrequenz erhalten,
wenn die Halslänge $H$ etwas größer als der tatsächlich Wert angenommen wird.
Die notwendige Verlängerung wird üblicherweise als Endkorrektur
bezeichnet.
Endkorrekturen wurden empirisch für verschiedenste 
Querschnittsformen (rund oder eckig) und Austrittskonfigurationen
(frei im Raum oder eingelassen in eine ebene Wand)
ermittelt.

Als Beispiel soll die Resonanzfrequenz einer leeren Bierflasche
berechnet werden.
Das Volumen der Flasche ist
%
\begin{equation}
V = 5 \cdot 10^{-4} \hbox{m}^3 \quad \hbox{(0.5 Liter)}
\end{equation}
%
Die Querschnittsfläche wird mit
%
\begin{equation}
S = 2 \cdot 10^{-4} \hbox{m}^2 \quad (2 \, \hbox{cm}^2)
\end{equation}
%
abgeschätzt.
Für die Halslänge wird
%
\begin{equation}
H = 5 \cdot 10^{-2} \hbox{m} \quad (5 \, \hbox{cm})
\end{equation}
%
angenommen.
Mit der Schallgeschwindigkeit von $c = 340 \hbox{m/s}$
ergibt sich eine Resonanzfrequenz von
%
\begin{equation}
\sdoso \omega{Res}
\approx
1000 \, \ff{1}{\hbox{Sec}}
\end{equation}
%
Dies entspricht
%
\begin{equation}
\sdoso f{Res}
\approx
150 \, \hbox{Hz}
\end{equation}
%
Ein Ton mit dieser Frequenz ist zu hören, wenn mit dem Mund über
die Öffnung der Flasche geblasen wird.
Die Strömung löst an der Kante ab und erzeugt Druckschwankungen.
Diese Störungen sind breitbandig und enthalten unter anderem auch die
Resonanzfrequenz.
Als Antwort auf die Störungen reagiert der Resonator mit einer 
besonders kräftigen Oszillation mit der Resonanzfrequenz.

Im folgenden soll die praktische Anwendung des Helmholtz-Resonators
als Schalldämpfer vorgestellt werden.
Betrachtet wird eine Anordnung, wie sie in der Abbildung weiter unten
skizziert ist.
An einer Verbindungsstelle von zwei Rohren ist ein Helmholtz-Resonator
angeschlossen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,4.0) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mufflerhelm00.eps,width=7.0cm}}}
\put(2.4,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(4.0,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_2$}}
\put(5.05,1.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%
In der Zeichnung sind die Querschnitte der beiden Rohre gleich
dargestellt.
Die formale Betrachtung schließt jedoch auch dem Fall mit ein, 
dass die Querschnitte unterschiedlich sind.

Untersucht wird der Fall einer einlaufenden Welle von
der linken Seite.
Die Welle soll harmonisch sein und die Frequenz $\omega$ besitzen.
Betrachtet werden wieder die zusammengefassten Parameter
in drei ausgewählten Querschnitten $S_1$, $S_2$ und $S_3$.
Die ersten beiden schließen den Anschlußbereich des
Resonators nach beiden Seiten ab.
Dort soll das Schallfeld ebene Wellen entsprechen.
Der Querschnitt $S_3$ liegt am Eingang des Oszillators.
Es können die Ansätze
%
\begin{equation}
p_{S,1}'(t) = \hat{p}_{S,1} \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
U_{S,1}'(t) = \hat{U}_{S,1} \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
verwendet werden.
Analog gilt dies auch für die Größen mit den Indizes $2$ und $3$.

Wie bei der Behandlung der Verbindung von Rohren mit
verschiedenen Durchmessern wird die Amplitude
der einfallenden mit $A_1$ und die der reflektierten Welle
mit $B_1$ bezeichnet.
Die Amplitude der transmittierten Welle im Querschnitt $S_2$
ist $A_2$, und $A_3$ entspricht dem Druck am Eingang
des Resonators.
Es gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p_{S,1}'(t) &= (A_1 + B_1) \, e^{i \omega t}\\[6pt]
p_{S,2}'(t) &= A_2 \, e^{i \omega t}\\[6pt]
p_{S,3}'(t) &= A_3 \, e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Die Aufgabe ist es wieder für ein vorgegebenes $A_1$ die
Größen $B_1$, $A_2$ und $A_3$ zu berechnen.

Es wird angenommen die Ausdehnung des Anschlußbereiches ist 
klein gegenüber der Wellenlänge.
Der Druck ist damit im gesamten Bereich näherungsweise konstant.
Im niederfrequenten Grenzfall wird
%
\begin{equation}
p_{S,1}'(t) =
p_{S,2}'(t) =
p_{S,3}'(t)
\end{equation}
%
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\hat{p}_{S,1} =
\hat{p}_{S,2} =
\hat{p}_{S,3}
\end{equation}
%
Dies lässt sich auch als
%
\begin{equation}
A_1 + B_1 = A_2 = A_3
\end{equation}
%
schreiben.
Gleichung (28) stellt zwei Bedingungen zwischen den
gesuchten Größen dar.
Für die Bestimmung ist noch eine weitere Bedingung notwendig,
die sich aus der Massenerhaltung ergibt.

Die Volumengeschwindigkeit $U_S'$ ist in den drei Querschnitten
durch den jeweiligen Ansatz für den Druck $p_S'$ vorgegeben.
Bei $S_1$ und $S_2$ müssen die Relationen für ebene Wellen gelten,
die auch schon im vorangegangenen Abschnitt verwendet wurden.
Im Querschnitt $S_3$ gilt
%
\begin{equation}
U_{S,3}'(t) = \hat{U}_{S,3} \, e^{i \omega t} =
\ff{\hat{p}_{S,3}}{Z_{S,3}} \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Impedanz $Z_{S,3}$ ist die Impedanz des Resonators
%
\begin{equation}
Z_{S,3} = Z_{S,\hbox{\tiny Res}}
\end{equation}
%
Es ergibt sich für die Volumengeschwindigkeiten
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
U_{S,1}'(t) &= \ff{S_1}{\rho_0 c} \, (A_1 - B_1) \, e^{i \omega t}\\[10pt]
U_{S,2}'(t) &= \ff{S_2}{\rho_0 c} \, A_2 \, e^{i \omega t}\\[10pt]
U_{S,3}'(t) &= \ff{1}{Z_{S,3}} \, A_3 \, e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Die Massenerhaltung lautet im niederfrequenten Fall
bei der Wahl der Normalenvektoren wie in der Abbildung
%
\begin{equation}
U_{S,1}'(t) =
U_{S,2}'(t) +
U_{S,3}'(t)
\end{equation}
%
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\hat{U}_{S,1} =
\hat{U}_{S,2} +
\hat{U}_{S,3}
\end{equation}
%
Durch Einsetzen der komplexen Amplituden aus (31) in (33) lässt sich
die fehlende Beziehung zwischen den unbekannten Größen
$B_1$, $A_2$ und $A_3$ ableiten.
Mit den drei Gleichungen lassen sich die gesuchten Größen nun
bestimmen.

Im folgenden soll die Lösung des Gleichungssystem auf eine
besondere Weise abgeleitet werden.
Zunächst wird die Impedanz im Querschnitt $S_1$ betrachtet.
%
\begin{equation}
Z_{S,1} =
\ff{\hat{p}_{S,1}}{\hat{U}_{S,1}}
\end{equation}
%
Einsetzen der entsprechenden Amplituden aus (25) und (31)
ergibt
%
\begin{equation}
Z_{S,1} =
\ff{A_1 + B_1}{\ff{S_1}{\rho_0 c}\, (A_1 - B_1)}
\end{equation}
%
Zur Abkürzung wird die Größe
%
\begin{equation}
Z_{L} =
\ff{\rho_0 c}{S}
\end{equation}
%
Sie stellt eine Impedanz der Rohre bei Wellenausbreitung
in einer Richtung dar.
Beispielsweise gilt
%
\begin{equation}
Z_{S,1} =
\left\{
\begin{array}{l@{\quad \hbox{falls} \quad }l}
+ Z_{L,1} & B_1 = 0\\
- Z_{L,1} & A_1 = 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Mit der Abkürzung wird aus (35)
%
\begin{equation}
Z_{S,1} =
\ff{A_1 + B_1}{\ff{1}{Z_{L,1}}\, (A_1 - B_1)}
\end{equation}
%
Dies kann nach der gesuchten Größe $B_1$ aufgelöst werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
B_1
=
\ff{Z_{S,1} - Z_{L,1}}{Z_{S,1} + Z_{L,1}}
\, A_1
\end{equation}
%
Der Quotient auf der rechten Seite wird zweck\-mäßigerweise
als Reflexionsfaktor
%
\begin{equation}
R
=
\ff{Z_{S,1} - Z_{L,1}}{Z_{S,1} + Z_{L,1}}
\end{equation}
%
abgekürzt.
Es gilt dann einfach
%
\begin{equation}
B_1
=
R \, A_1
\end{equation}
%
Die Impedanz $Z_{S,1}$ repräsentiert die Eigenschaft
des Systems rechts von der Querschnittsfläche $S_1$
mit dem angeschlossenen
Helmholtz-Resonator.

Um den Reflexionsfaktor zu bestimmen, müssen die beiden
Impedanzen $Z_{S,1}$ und $Z_{L,1}$ bekannt sein.
Letztere kann mit (36) einfach aus der Querschnittsfläche
und dem Wellenwiderstand bestimmt werden.
Die Impedanz $Z_{S,1}$ kann man mit Hilfe der
Gleichungen (27) und (33) berechnet werden.
Im ersten Schritt wird (33) in (34) eingesetzt.
Dann wird durch die Druckamplitude $\hat{p}_{S,1}$
dividiert, wobei die Gleichheit in (27) 
ausgenutzt wird.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
Z_{S,1} =
\ff{\hat{p}_{S,1}}{\hat{U}_{S,2} +\hat{U}_{S,3}}
=
\ff{1}{
\ff{\hat{U}_{S,2}}{\hat{p}_{S,2}}
+
\ff{\hat{U}_{S,2}}{\hat{p}_{S,3}}
}
\end{equation}
%
Die beiden Summanden im Nenner auf der rechten Seite
sind die Kehrwerte der Impedanzen in den beiden
anderen Querschnitten.
Es gilt somit der Zusammenhang zwischen den Impedanzen
%
\begin{equation}
Z_{S,1} =
\ff{1}{
\ff{1}{Z_{S,2}}
+
\ff{1}{Z_{S,3}}
}
\end{equation}
%
Um $Z_{S,1}$ zu berechnen müssen damit zuerst die Werte
für $Z_{S,2}$ und $Z_{S,3}$ ermittelt werden.

Da im Querschnitt $S_2$ nur die transmittierte Welle vorliegt,
gilt einfach
%
\begin{equation}
Z_{S,2} = Z_{L,2} = + \ff{\rho_0 c}{S_2}
\end{equation}
%
Die Impedanz $Z_{S,3}$ ergibt sich aus der Frequenz
$\omega$ nach der Gleichung (16).

Es ergibt sich schließlich folgender Lösungsweg
%
\begin{itemize}
\item[1.)]%
Berechne aus den Parametern $Z_{S,2}$ und $Z_{S,3}$
\item[2.)]%
Mit (43) ergibt sich daraus $Z_{S,1}$
\item[3.)]%
Aus $Z_{S,1}$ und $Z_{L,1}$ kann mit (40) der
Reflexionsfaktor R bestimmt werden
\item[4.)]%
Bei vorgegebener Amplitude $A_1$ folgt mit (41)
die Amplitude der reflektierten Welle $B_1$
\item[5.)]%
Mit (27) können aus $A_1$ und $B_1$ schließlich
auch $A_2$ und $A_3$ berechnet werden.
\end{itemize}
%
Eine besondere Situation ergibt sich für den Fall, dass
die Frequenz der einlaufenden Welle gerade der
Resonanzfrequenz des Resonators entspricht
%
\begin{equation}
\omega = \omega_{\hbox{\tiny Res}}
\end{equation}
%
In diesem Fall verschwindet nach (16) die Impedanz
am Eingang des Resonators, und es gilt
%
\begin{equation}
Z_{S,3} = 0
\end{equation}
%
Daraus folgt nach (43) auch für die
Impedanz des Systems
%
\begin{equation}
Z_{S,1} = 0
\end{equation}
%
In diesem Fall ergibt sich der Reflexionsfaktor
%
\begin{equation}
R = -1
\end{equation}
%
Der angeschlossene Resonator bewirkt, dass sich der Anschlussbereich
wie eine ideal schallweiche Wand verhält.
Diese Eigenschaft wird zum Bau von Schalldämpfern ausgenutzt.
Soll in einem Rohr oder Kanal die Ausbreitung von
Wellen einer bestimmte Frequenz verhindert werden, so bietet sich 
der Anschluss eines Resonators mit der entsprechenden Frequenz an.
Die Wellen werden dann an dem  Anschlussbereich zurückgeworfen.

In der Praxis wird die Wirkung eines Schalldämpfers
mit dem sogenannten Ausbreitungsdämpfung (``Transmission Loss''),
die hier mit $\sdoso LT$ bezeichnet wird.
Die Größe ist durch
%
\begin{equation}
\sdoso LT = 10 \, \hbox{log}_{10}
\left\{
\ff{|A_1|^2}{|A_2|^2}
\right\}
\end{equation}
%
definiert.
Der Quotient in der geschweiften Klammer
hängt ausschließlich von dem Reflexionsfaktor $R$ ab,
denn es gilt nach (28) und (41)
%
\begin{equation}
A_2 = (1+R)\, A_1
\end{equation}
%
Für den Fall $R = -1$ ergibt sich daher eine
unendlich große Ausbreitungsdämpfung
%
\begin{equation}
\sdoso LT = \infty
\end{equation}
%
Die folgenden Abbildungen zeigen für ein Beispiel
die typischen Verläufe von $R$ und $\sdoso LT$ als
Funktion der Frequenz $\omega$.
Die Frequenz ist mit der Resonanzfrequenz $\sdoso {\omega}{Res}$
normiert.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,4.0) \thicklines
\put(1.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=hr01.eps,width=7.0cm}}}
\put(4.5,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\omega/\sdoso {\omega}{Res}$}}
\put(3.5,1.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Re\{R\}$}}
\put(3.75,3.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Im\{R\}$}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,4.0) \thicklines
\put(1.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=hr02.eps,width=7.0cm}}}
\put(4.5,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\omega/\sdoso {\omega}{Res}$}}
\put(0.6,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small dB}}
\put(3.25,1.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso LT$}}
\end{picture}
\end{center}
%


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------