Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 8.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{23}


\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 2.1) Kanal mit Querschnittssprung}
\end{flushleft}

Analog zur Bilanzgleichung für die Masse lässt sich eine
zweite Gleichung für die akustische Energie aufstellen.
Diese lautet
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
S_1 \, p_1'(-\ff{l}{2},t) \, u_1'(-\ff{l}{2},t)\\[10pt]
-
S_2 \, p_2'(+\ff{l}{2},t) \, u_2'(+\ff{l}{2},t) =
\dd{E}{t}
\end{array}
\end{equation}
%
Der erste Term auf der linken Seite ist die
akustische Energie, die pro Zeiteinheit an der
Stelle $x = - l/2$ in das Kontrollvolumen durch die
Wellen hinein transportiert wird.
Der zweite Term gibt die auf der anderen Seite bei
$x = + l/2$ heraus transportierte Energie pro Zeiteinheit an.
Die Differenz der beiden Werte gibt die
zeitliche Änderung der gesamten akustischen
Energie $E$ im Volumen an.

Gleichung (24) wird entsprechend dem Vorgehen
bei der Massenbilanz vereinfacht.
Die Schwankungsgrößen $p'$ und $u'$ werden
statt an den Positionen $x = \pm l/2$ einfach
bei $x = 0$ genommen.
Die rechte Seite wird wieder vernachlässigt, da
das Volumen im Übergangsbereich keine nennenswerte
Energie speichern kann.
Die rechte Seite von (24) kann genau wie 
im Fall der Massenbilanz als klein gegenüber den
Termen auf der linken Seite abgeschätzt werden.
An dieser Stelle wird auf eine detaillierte
Herleitung jedoch verzichtet.

Es ergibt sich schließlich mit den Vereinfachungen
als Energiebilanz
%
\begin{equation}
S_1 \, p_1'(0,t) \, u_1'(0,t) -
S_2 \, p_2'(0,t) \, u_2'(0,t) =
0
\end{equation}
%
Die Massenbilanz kann zu
%
\begin{equation}
S_1 \, u_1'(0,t) =
S_2 \, u_2'(0,t)
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Aus den Gleichungen (25) und (26) folgt
sofort die Beziehung
%
\begin{equation}
p_1'(0,t) = p_2'(0,t)
\end{equation}
%
Die Energiebilanz reduziert sich mit der
Massenbilanz zu einer einfachen Druckgleichheit.
Diese Beziehung wurde bereits aus den Überlegungen
zum Druckfeld im Übergangsbereich geschlossen.
Die räumlichen Druckänderungen im Kontrollvolumen
sind verschwindend gering gegenüber den zeitlichen
Schwankungen.
Die Wellenfelder auf beiden Seiten des
Übergangsbereich sind aneinander gekoppelt.
Sie haben damit die gleiche Druckamplitude
und bei $x = 0$ die gleiche Phase.

Für die Druckfelder wurde der Ansatz
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p_1'(x,t) &= A_1 \cdot e^{i(\omega t - kx)} + B_1
\cdot e^{i(\omega t + kx)}\\[6pt]
p_2'(x,t) &= A_2 \cdot e^{i(\omega t - kx)}
\end{array}
\end{equation}
%
angenommen.
Durch Einsetzen in (27) ergibt sich daraus
%
\begin{equation}
A_1 + B_1 = A_2
\end{equation}
%
Dies ist eine direkte Beziehung zwischen
den beiden gesuchten Größen $B_1$ und $A_2$.

Für das Schnellefeld ergab sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
u_1'(x,t) &= \ff{A_1}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t - kx)}
- \ff{B_1}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t + kx)}\\[12pt]
u_2'(x,t) &= \ff{A_2}{\rho_0 c} \, e^{i(\omega t - kx)}
\end{array}
\end{equation}
%
Dies kann nun in die Massenbilanz (26)
eingesetzt werden.
Man erhält
%
\begin{equation}
S_1 \, (A_1 - B_1) =
S_2 \, A_2
\end{equation}
%
Mit den Gleichungen (29) und (31) sind zwei
Gleichungen für die beiden Unbekannten 
$B_1$ und $A_2$ gegeben.
Das Gleichungssystem kann aufgelöst werden.
Für die Amplitude der reflektierten Welle
ergibt sich
%
\begin{equation}
B_1 = \ff{S_1 - S_2}{S_1 + S_2} A_1
\end{equation}
%
Sinnvollerweise wird ein Reflexionsfaktor mit
%
\begin{equation}
R = \ff{S_1 - S_2}{S_1 + S_2}
\end{equation}
%
definiert, so dass sich (32) zu
%
\begin{equation}
B_1 = R A_1
\end{equation}
%
vereinfacht.
Für die Amplitude der transmittierten Welle
folgt
%
\begin{equation}
A_2 = \ff{2 \, S_2}{S_1 + S_2} A_1
\end{equation}
%
Definiert man den Transmissionsfaktor mit
%
\begin{equation}
T = \ff{2 \, S_2}{S_1 + S_2}
\end{equation}
%
erhält man die einfache Form
%
\begin{equation}
A_2 = T A_1
\end{equation}
%
Die Reflexions- und Transmissionsfaktoren
sind nicht von der Frequenz $\omega$ abhängig.
Die Frequenz muss nur niedrig genug sein, damit
die Voraussetzung erfüllt ist und die
Wellenlänge groß gegenüber allen Abmessungen ist.

Besonders interessant ist der Fall, in dem
der zweite Querschnitt viel größer als der erste 
Querschnitt ist
%
\begin{equation}
S_2 \gg S_1
\end{equation}
%
Die Situation ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(3.0,4.0) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=sprung01.eps,width=3.0cm}}}
\put(0.3,2.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(3.1,3.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_2$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es ist $S_1$ gegenüber $S_2$ in (33) vernachlässigbar.
Für den Reflexionsfaktor ergibt sich
%
\begin{equation}
R \approx -1
\end{equation}
%
Dies bedeutet, die von links einlaufende Welle
wird praktisch vollständig reflektiert.
Der Betrag der Amplituden der reflektierten und 
der einlaufenden Welle sind gleich.
Die Phase der reflektierten Welle ist um 180 Grad
gedreht.

Lässt man den zweiten Querschnitt $S_2$ gegen
unendlich gehen, entspricht der Übergang einem
Rohr mit Querschnitt $S_1$, das in einem offenen
Raum endet.
Für diesen Fall ist sicherlich die Voraussetzung,
das alle Abmessungen klein gegenüber der Wellenlänge
sind, auf der Seite mit Index 2 nicht mehr erfüllt.
Jedoch ist die Totalreflexion mit $R \approx -1$
an offenen Rohr-Enden experimentell gut bestätigt.
Es muss nur die Wellenlänge groß gegenüber
dem Rohrdurchmesser sein.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 2.2) Beschreibung mit zusammengefassten Parametern
(``Lumped Parameter Model'')}
\end{flushleft}

Im vergangenen Abschnitt wurde eine eindimensionale Beschreibung
des Schallfeldes verwendet, um den Reflexionsfaktor am Übergang
zu berechnen.
Die dreidimensionalen Effekte im Übergangsbereich spielen für den
Reflexionsprozess bei niedrigen Frequenzen überhaupt keine Rolle.
Für die Beschreibung der Wellen genügte es den Druck und die Schnelle
in einer Richtung nur
von einer Ortskoordinate abhängig zu betrachten.
Es wurde mit $p'(x,t)$ und $u'(x,t)$ 
anstatt mit den Feldgrößen $p'(\vec{x},t)$ und $\vec{v}\,'(\vec{x},t)$
gerechnet.

In diesem Abschnitt soll eine neue Wahl von Variablen vorgestellt werden,
mit denen
die Beschreibung eines Übergangs formal noch weiter vereinfacht werden kann.
Zum Beispiel gibt es mit dem in 2.1 verwendeten Ansatz Probleme bei der
Behandlung eines Übergangs zwischen Rohren, die in verschiedene
Richtungen laufen.
Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.0,5.0) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=lump01.eps,width=7.0cm}}}
\put(0.45,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $d_1$}}
\put(6.55,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $d_2$}}
\put(1.1,2.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(4.9,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_2$}}
\put(3.3,1.8){\makebox(0,0)[cc]{\small $S$}}
\put(3.5,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $l$}}
\put(3.6,2.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{n}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es müsste das Koordinatensystem erst geeignet definiert werden, um dann
Druck und Schnelle in Abhängigkeit einer Ortskoordinate darstellen zu können.
Für die Berechnung der reflektierten Welle ist dies allerdings gar nicht
notwendig.

In dem gesamten Kanal werden Querschnittsflächen $S$ definiert, wie
in der Abbildung angedeutet ist.
In den geraden Rohrstücken werden die Flächen zweckmäßigerweise
eben und senkrecht zur Rohrachse gelegt.
Im Übergangsbereich sind auch leicht gekrümmte Flächen denkbar.
Der Normalenvektor auf den Flächen wird mit $\vec{n}$ bezeichnet.
Die Richtung des Vektors wird einfach festgelegt.
Als erste neue Variable wird der mittlere Druck auf einer
Fläche $S$ gewählt.
Dieser wird mit $p_S'$ bezeichnet.
Die zweite Variable wird mit
%
\begin{equation}
U_S' = \int \limits_S \vec{v}\,' \, \vec{n} \, \hbox{d}S
\end{equation}
%
definiert.
Sie ist das Integral der Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Fläche.
Dies ergibt eine sogenannte Volumengeschwindigkeit mit der
Einheit ``Liter pro Sekunde''.
Die Größe $U_S'$ gibt also an, wieviel Volumen pro Zeiteinheit über
die Fläche $S$ bewegt wird.
Die neuen Variablen hängen nicht mehr von einer Ortskoordinate sondern von
der gewählten Fläche $S$ und von der Zeit ab.

Im niederfrequenten Fall können sich nur ebene Wellen in den
geraden Rohrstücken ausbreiten.
Dort ist der Druck und die Schnelle über dem Querschnitt $S$ konstant.
Es ergibt sich aus (1)
%
\begin{equation}
U_S' = S \, \vec{v}\,' \, \vec{n}
\end{equation}
%
Breitet sich nur eine ebene Welle in einer Richtung aus, so gilt
%
\begin{equation}
\vec{v}\,' = \pm \ff{1}{\rho_0 c} \, p' \, \vec{n}
\end{equation}
%
dabei ist
das ($+$) Vorzeichen zu nehmen, wenn die Welle in Richtung des
Normalenvektors $\vec{n}$ läuft, und ($-$) gilt für die Wellen in
Gegenrichtung.

Entsprechend ergibt sich für eine ebene Welle in einer Richtung
der Zusammenhang
%
\begin{equation}
U_S' = \pm \ff{S}{\rho_0 c} \, p_S'
\end{equation}
%
zwischen den neuen Variablen.
Zum Vergleich gilt in einer eindimensionalen Welle in einer
Richtung
%
\begin{equation}
u' = \pm \ff{1}{\rho_0 c} \, p'
\end{equation}
%
Das Verhältnis zwischen der Schnelle $u'$ und dem Druck $p'$ hängt nur
von den Eigenschaften des Mediums ab, die $\rho_0$ und $c$ festlegen.
das Verhältnis zwischen dem mittleren Druck  $p_S'$ und der
Volumengeschwindigkeit $U_S'$ hängt zusätzlich noch von der
Fläche $S$ ab.

Geht man von einer harmonischen Welle aus, so kann der Ansatz
%
\begin{equation}
U_S' = \hat{U}_S \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p_S' = \hat{p}_S \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
verwendet werden.
Dabei sind $\hat{U}_S$ und $\hat{p}_S$ komplexe Amplituden.
Damit lässt sich auch eine Impedanz 
%
\begin{equation}
Z_S = \ff{\hat{p}_S}{\hat{U}_S}
\end{equation}
%
definieren.
Diese Impedanz ist nicht zu verwechseln mit der 
klassischen akustischen Impedanz.
Sie besitzt eine andere Einheit.
Es gilt für den Fall einer ebenen Welle in einer
Richtung
%
\begin{equation}
Z_S = \pm \, \ff{\rho_0 c}{S}
\end{equation}
%
Überlagern sich zwei Wellen, die in entgegengesetzte
Richtungen laufen, gilt Gleichung (9) jedoch nicht.

Für die Beschreibung des Übergangs zwischen zwei Rohren
mit unterschiedlichen Querschnittsflächen, werden
auf beiden Seiten des Übergangsbereichs 
Kontrollflächen $S_1$ und $S_2$ angenommen.
Die Normalenvektoren sind so gewählt, wie
es in der obigen Abbildung dargestellt ist.
Die Flächen liegen in den geraden Rohrstücken.
Es soll angenommen werden, dass an diesen Stellen
alle dreidimensionalen Störungen durch den Übergang
abgeklungen sind.
Die Ausdehnung des gesamten Übergangsbereichs $l$ sei
klein gegenüber der Wellenlänge:
%
\begin{equation}
l \ll \lambda
\end{equation}
%
Damit kann der Druck im Übergangsbereich als 
näherungsweise konstant angenommen werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
p_{S,1}'(t) =
p_{S,2}'(t)
\end{equation}
%
Ebenfalls sei das Volumen im Übergangsbereich so klein,
dass keine nennenswerte Masse gespeichert werden kann.
Dies wird durch
%
\begin{equation}
U_{S,1}'(t) =
U_{S,2}'(t)
\end{equation}
%
beschrieben.
Das Volumen, welches pro Zeit durch $S_1$ einströmt muss bei
$S_2$ wieder ausströmen.

Formal sind die beiden Bedingungen am Übergangsbereich
etwas einfacher als die entsprechenden Bedingungen im
letzten Abschnitt.
Es zeigt sich eine Parallele zu dem Fall, dass eine
ebene Welle senkrecht auf eine Mediengrenze trifft.
Die Mediengrenze, zum Beispiel eine Wasseroberfläche,
trennt zwei Medien mit einem unterschiedlichen
Wellenwiderstand.
Druck und Schnelle müssen auf beiden Seiten der
Trennfläche konstant sein.
Das heißt, es gilt
%
\begin{equation}
p_1'(t) =
p_2'(t)
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
u_1'(t) =
u_2'(t)
\end{equation}
%
An der Mediengrenze wird eine einfallende Welle
teilweise reflektiert, und es entsteht eine
transmittierte Welle.

Beide Fälle sind direkt miteinander vergleichbar.
Der Schnelle $u'$ im Fall der Mediengrenze entspricht
der Volumengeschwindigkeit $U_S'$.
Die Impedanz $Z_S$
ist nach (9) von der Fläche $S$ abhängig.
Obwohl das Medium und damit der Faktor $\rho_0 c$
in gesamten Kanal konstant ist, ergibt sich am
Übergang ein Sprung der Impedanz, der dem Sprung
des Wellenwiderstandes an der Mediengrenze entspricht.
Durch die neuen Variablen wird der Querschnittssprung
formal wie eine Mediengrenze beschrieben.

In den Querschnitten $S_1$ und $S_2$ sollen nur
ebene Wellen vorliegen.
Es wird der Fall mit einer einlaufenden harmonischen
Welle von der Seite mit Index 1 betrachtet.
Entsprechend wird der Ansatz
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p_{S,1}'(t) &= A_1 \cdot e^{i\omega t} + B_1
\cdot e^{i\omega t}\\[6pt]
p_{S,2}'(t) &= A_2 \cdot e^{i\omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
aufgestellt.
Mit $A_1$ wird die Amplitude der einlaufenden Welle
vorgegeben.
Die Amplitude der reflektierten Welle $B_1$ und der
transmittierten Welle $A_2$ sollen berechnet werden.

Für die Volumengeschwindigkeiten in den Kontrollflächen
ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
U_{S,1}'(t) &= A_1 \, \ff{S_1}{\rho_0 c}\, e^{i\omega t} - B_1
\,\ff{S_1}{\rho_0 c}\, e^{i\omega t}\\[12pt]
U_{S,2}'(t) &= A_2 \, \ff{S_2}{\rho_0 c}\, e^{i\omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Einsetzen von (15) in (11) ergibt
%
\begin{equation}
A_1 + B_1 = A_2
\end{equation}
%
Aus (16) und (12) folgt
%
\begin{equation}
S_1 \, (A_1 - B_1) = S_2 \, A_2
\end{equation}
%
Damit führt die Beschreibung mit den
neuen Variablen erwartungsgemäß auf die
gleichen Bestimmungsgleichungen für die gesuchten
Amplituden $B_1$ und $A_2$, wie sie schon im letzten
Abschnitt hergeleitet wurden.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,5.5) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=tri00.eps,width=6.0cm}}}
\put(0.75,2.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(4.0,3.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_2$}}
\put(4.4,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%

Bisher brachten die neuen Variablen nur eine
geringe Vereinfachung der Beschreibung.
Der Vorteil der neuen Methode wird deutlich,
wenn kompliziertere 
Übergänge behandelt werden sollen.
Zum Beispiel kann auch eine Verbindung von drei
Rohren, wie sie in der obigen Abbildung dargestellt
ist, einfach beschrieben werden.

Sind die Kontrollflächen $S_1$, $S_2$ und $S_3$ 
mit den entsprechenden Normalenvektoren wie in der
Abbildung definiert, so muss im niederfrequenten Fall
%
\begin{equation}
U_{S,1}' =
U_{S,2}' + U_{S,3}'
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p_{S,1}' =
p_{S,2}' =
p_{S,3}'
\end{equation}
%
gelten.
Die Ansätze (15) und (16) müssen noch durch die beiden
Gleichungen
%
\begin{equation}
p_{S,3}'(t) = A_3 \cdot e^{i\omega t}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
U_{S,3}'(t) = A_3 \, \ff{S_3}{\rho_0 c}\, e^{i\omega t}
\end{equation}
%
ergänzt werden.
Wird eine einlaufende Welle von dem Rohr mit Index 1
vorgegeben, so ist $A_1$ bekannt.
Jetzt müssen drei Unbekannte $B_1$, $A_2$ und $A_3$
bestimmt werden.
Dafür sind auch drei Gleichungen mit (19) und (20)
gegeben, wobei (20) zwei Bedingungen enthält.
Durch Einsetzen der Ansätze in (19) und (20) lassen
sich damit die Unbekannten berechnen.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 2.3) Der Helmholtz-Resonator}
\end{flushleft}

Ein wichtiges Anwendungsbeispiel, bei dem zusammengefasste
Parameter besonders gut verwendet werden können, ist der
sogenannte Helmholtz-Resonator.
Er besteht aus einem Volumen $V$,
das mit einem offenen Rohr 
verbunden ist.
Die Querschnittsfläche des Rohres ist $S$.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,5.5) \thicklines
\put(1.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=helmi00.eps,width=6.0cm}}}
\put(1.6,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $S$}}
\put(1.0,3.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $p_1'(t)$}}
\put(5.0,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $p_2'(t)$}}
\put(6.0,2.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $V$}}
\put(5.0,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $l$}}
\put(2.0,4.75){\makebox(0,0)[cc]{\small $H$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Abbildung zeigt schematisch die Anordnung.
Das Rohrstück wird auch als Hals bezeichnet.
Die Form des Volumens spielt keine Rolle, wenn
niederfrequente Vorgänge betrachtet werden.
Niederfrequent bedeutet, dass
die Abmessungen -- wie etwa die
Ausdehnung $l$ des Volumens, die Hals-Länge $H$ und
der Durchmesser des Halses -- klein
gegenüber der Wellenlänge sind.

Schwankt der äußere Druck $p_1'(t)$, so wird Medium durch das 
Rohr in das Volumen gedrückt.
Die Masse des Mediums im Hals des Resonators wird
zusammengefasst.
Es wird angenommen, die Masse verhalte sich wie ein gleich
schwerer Kolben oder Stopfen, der sich im Hals befindet.
Die Bewegung des Medium außerhalb des Halses wird komplett
vernachlässigt.
Das Volumen wirkt wie eine pneumatische Feder.
Wird der gedachte Stopfen in das Volumen gedrückt, so wird
dort das Medium komprimiert und es ergibt sich eine
Rückstellkraft.
Das vereinfachte Modell des Resonators ist in der
folgenden Abbildung skizziert.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,5.5) \thicklines
\put(0.6,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=massefeder00.eps,width=6.4cm}}}
\put(5.0,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small Feder}}
\put(2.2,4.25){\makebox(0,0)[cc]{\small Masse}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Masse des Mediums im Hals ist gleich $\rho_0 \, H \, S$.
Es wird die Anregung des Resonators mit einer
vorgegebenen Frequenz $\omega$ betrachtet.
Die Dichte und der Druck im Volumen $V$ werden als
räumlich konstant angenommen.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------