Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\documentclass[a4paper,12pt]{ltnews}

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{exscale}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{array}

\setlength{\hoffset}{-0.75in}
\setlength{\voffset}{-1in}

\setlength{\textwidth}{17.0cm}
\setlength{\textheight}{24.0cm}
\setlength{\topmargin}{1.0cm}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\,\partial #2}}
\newcommand{\dd}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d} #1}{\,\hbox{d} #2}}
%\newcommand{\dqq}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d^2} #1}{\hbox{d} #2^2}}
\newcommand{\zz}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
\newcommand{\bix}[1]{\fbox{\parbox[c]{8cm}{#1}}}
\newcommand{\doso}[2]{{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\hdoso}[2]{\widehat{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\rhoo}{\rho_{\scriptscriptstyle 0}}
\newcommand{\sdoso}[2]{{#1}_{\hbox{\tiny #2}}}
\newcommand{\mittel}[1]{\big< #1 \big>}
\newcommand{\vektor}[1]{\begin{array}{c} #1 \end{array}}
\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}
\newfont{\axa}{cmss10}
\newcommand{\iraum} {\int \limits_{\hbox{\axa I\!R}^3}}
\newcommand{\ivq} {\int \limits_{\sdoso VQ}}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 4.\ Mai 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\setcounter{equation}{0}


\begin{flushleft}
{\bf zu 1.3) Wellenausbreitung im Kanal mit rundem Querschnitt}
\end{flushleft}

In einem realen Gebläse gibt es typischerweise eine
unterschiedliche Anzahl von Rotor- und Statorblättern.
Dadurch treten die Interaktionen zwischen den Rotor- und Statorblättern
nicht mehr synchron auf.
Das Gebläse arbeitet gleichmäßiger.
Die Anregung der Grundmode ist verringert.
Jedoch können jetzt ausbreitungsfähige
``Spinning Modes'' angeregt werden, auch wenn der
Rotor relativ langsam läuft, und die Mindestgeschwindigkeit der
Knotenpunkte an der Wand deutlich oberhalb der
Umfangsgeschwindigkeit der Blattspitzen des Rotors liegt.
Das Druckfeld ist nicht wie im Fall ohne Stator einfach an die
Rotorstellung gekoppelt, sondern wird wesentlich durch die Interaktionen
der Blätter bestimmt.

Im folgenden wird angenommen, dass im Bereich einer
Rotor-Stator-Interaktion ein besonders hoher Druck entsteht.
Die Interaktionen treten nacheinander an verschiedenen Stellen auf.
In der Abbildung weiter unten ist die Situation für den Fall von
6 Stator- und 5 Rotorblättern skizziert.
In der Darstellung ist der Rotor als kleines Rand im inneren des
Stators gezeichnet.
Der Rotor dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.
Die einzelnen Bilder zeigen die Drehung in Schritten von 12 Grad.
In jeder der gezeigten Rotorstellungen befindet sich ein Rotorblatt direkt
bei einem Statorblatt.
An den entsprechenden Stellen wird ein besonders hoher Druck
angenommen.
Der Bereich des hohen Drucks bewegt sich jedoch nicht mit dem Rotor mit, 
sondern er wandert entsprechend dem Ort der Interaktion
entgegen der Rotordrehung.
Es ergibt sich so ein rotierendes Druckfeld hinter dem Rotor.
Die Drehgeschwindigkeit des Feldes ist in dem gezeigten Beispiel
um den Faktor 6 höher als die Drehgeschwindigkeit des Rotors.

Das rotierende Druckfeld kann in Moden zerlegt werden.
Damit die ``Spinning Modes'' ausbreitungsfähig sind, müssen sich die
Moden mit einer Mindestfrequenz drehen.
Es wird plausibel, dass durch die Rotor-Stator-Interaktion
ausbreitungsfähige Moden angeregt werden können, auch wenn sich der
Rotor viel langsamer als diese Mindestfrequenz dreht.

\end{multicols}


\begin{tabular}{rrrrrrr}
\epsfig{file=r0.eps,width=2.0cm} &
\epsfig{file=r1.eps,width=2.0cm} &
\epsfig{file=r2.eps,width=2.0cm} &
\epsfig{file=r3.eps,width=2.0cm} &
\epsfig{file=r4.eps,width=2.0cm} &
\epsfig{file=r5.eps,width=2.0cm} &
\epsfig{file=r0.eps,width=2.0cm} \\
Rotor: $0^\circ$ & $12^\circ$ & $24^\circ$ & $36^\circ$ &
$48^\circ$ & $60^\circ$ & $72^\circ$ \\
Interakt.: $0^\circ$ & $-60^\circ$ & $-120^\circ$ & $-180^\circ$ &
$-240^\circ$ & $-300^\circ$ & $-360^\circ$
\end{tabular}
\hrule

%\newpage

\vspace{0.5cm}

\begin{multicols}{2}


\begin{flushleft}
{\bf 2.) Niederfrequente Wellenausbreitung in Kanälen}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 2.1) Kanal mit Querschnittssprung}
\end{flushleft}

In den vergangenen Abschnitten wurde die Wellenausbreitung
in Kanälen mit konstantem Querschnitt untersucht.
Jetzt wird ein Kanal mit veränderlichem Querschnitt
betrachtet.
Die geometrische Situation ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Es sind zwei Rohre mit den Durchmessern $d_1$ und $d_2$
miteinander verbunden.
Die Querschnittsflächen der Rohre werden mit $S_1$ und $S_2$
bezeichnet.
Das Übergangsstück hat die Länge $l$.
Die Wände werden als schallhart angenommen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,5.2) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=duct03.eps,width=8.0cm}}}
\put(4.0,0.5){\makebox(0,0)[cc]{$l$}}
\put(4.0,1.95){\makebox(0,0)[cc]{$0$}}
\put(1.6,2.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(0.8,3.5){\makebox(0,0)[cc]{$d_1$}}
\put(5.7,3.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_2$}}
\put(6.9,4.4){\makebox(0,0)[cc]{$d_2$}}
\put(7.8,2.05){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird eine niederfrequente Wellenausbreitung bei
einer bestimmten Frequenz $\omega$ untersucht.
Der Ausdruck ``niederfrequent'' bedeutet, dass
die entsprechende Wellenlänge
%
\begin{equation}
\lambda = \ff{2 \pi c}{\omega}
\end{equation}
%
groß gegenüber den
Abmessungen der Rohre ist:
%
\begin{equation}
\lambda \gg d_1 \quad \hbox{und} \quad \lambda \gg d_2
\end{equation}
%
Die Frequenz liegt damit weit unterhalb der ``Cut-Off''-Frequenzen aller
höherer Moden in den beiden Rohren.
Somit können sich nur ebene Wellen in den Rohren ausbreiten.
%
Weiterhin wird angenommen, dass es sich um einen Querschnittssprung
handelt.
Damit ist gemeint, dass die Ausdehnung des Übergangsbereichs
ebenfalls klein gegenüber der Wellenlänge ist:
%
\begin{equation}
\lambda \gg l
\end{equation}
%

Betrachtet wird der Fall einer einlaufenden ebenen Welle von der Seite 1.
Abgesehen von komplizierten Vorgängen in dem Übergangsbereich
kann es nur eine transmittierte und eine reflektierte Welle
geben.
Diese beiden Wellen sind eben.
Ohne Absorption müssen die beiden Wellen die von der
einlaufenden Welle ``angelieferte'' akustische Energie wieder
``abtransportieren''.
Bei der Reflexion werden wahrscheinlich in dem Übergangsbereich
auch höhere Moden angeregt.
Diese können sich jedoch nicht ausbreiten und klingen relativ 
schnell ab.
Die dreidimensionalen Effekte sind daher auf den Bereich
um die Querschnittsänderung beschränkt.

Zur Beschreibung der Wellen wird die Koordinate $x$ in
Richtung der Rohre eingeführt.
Der Ursprung befindet sich genau in der Mitte des Übergangs.
Es werden nur die ebenen Wellen betrachtet.
Die Anteile des Schallfeldes durch dreidimensionale Effekte
im Übergangsbereich werden nicht mit einbezogen.
Der Druck $p'$ hängt damit nur von $x$ ab.
Es wird der Ansatz
%
\begin{equation}
p'(x,t) = \left\{
\begin{array}{lll}
p_1'(x,t) & \hbox{bei} & x < 0\\
p_2'(x,t) & \hbox{bei} & x > 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
verwendet.
Dabei sind die beiden Anteile mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p_1'(x,t) &= A_1 \cdot e^{i(\omega t - kx)} + B_1
\cdot e^{i(\omega t + kx)}\\[6pt]
p_2'(x,t) &= A_2 \cdot e^{i(\omega t - kx)}
\end{array}
\end{equation}
%
gegeben.
Die Schnelle in $x$-Richtung wird mit $u'$ bezeichnet.
Analog zum Druck wird für sie der Ansatz
%
\begin{equation}
u'(x,t) = \left\{
\begin{array}{lll}
u_1'(x,t) & \hbox{bei} & x < 0\\
u_2'(x,t) & \hbox{bei} & x > 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
mit den Anteilen
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
u_1'(x,t) &= \ff{A_1}{\rho_0 c} \cdot e^{i(\omega t - kx)}
- \ff{B_1}{\rho_0 c} \cdot e^{i(\omega t + kx)}\\[12pt]
u_2'(x,t) &= \ff{A_2}{\rho_0 c} \cdot e^{i(\omega t - kx)}
\end{array}
\end{equation}
%
verwendet.

Wird die eintreffende Welle vorgegeben, so ist damit $A_1$ festgelegt.
Die Aufgabe ist es nun daraus die Werte $B_1$ und $A_2$ zu berechnen.

Die Ansätze (5) und (7) beschreiben nur die
Anteile des Schallfeldes, die zu den ebenen Wellen gehören.
%Außerhalb des Übergangsbereichs stimmen die Ansätze mit dem
%realen Schallfeld überein.
Im Übergangsbereich ergibt sich ein dreidimensionales Druck- und
Schnellefeld.
Zur Beschreibung des Übergangsbereichs
wird ein Kontrollvolumen $V$ eingeführt, das den gesamten Bereich umfaßt.
Das Kontrollvolumen ist in der folgenden Abbildung als schattierter
Bereich dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(8.0,4.5) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=sduct00.eps,width=8.0cm}}}
\put(2.2,0.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $-\frac{l}{2}$}}
\put(4.0,0.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(5.55,0.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $+\frac{l}{2}$}}
\put(2.1,2.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $S_1$}}
\put(5.8,2.4){\makebox(0,0)[lc]{\small $S_2$}}
\put(7.8,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $x$}}
\put(5.4,3.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $V$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird angenommen, dass außerhalb des  Kontrollvolumens das
Schallfeld exakt den Ansätzen (5) und (7) entspricht.
Das bedeutet, auch an den seitlichen Rändern bei $x = \pm l/2$ 
besteht das Schallfeld nur aus ebenen Wellen.

Es muss die Massenerhaltung erfüllt sein.
Durch die Wellen wird ständig Masse hin und her verschoben.
Stellt man eine Bilanzgleichung auf, ergibt sich
%
\begin{equation}
\rho_0 S_1 u_1'(-\ff{l}{2},t) -
\rho_0 S_2 u_2'(+\ff{l}{2},t) =
\ff{d M}{d t}
\end{equation}
%
Der erste Term auf der linken Seite ist die Masse, die gerade
bei  $x = - l/2$ von den Wellen in das Volumen hineintransportiert wird.
Der zweite Term entspricht der austretenden Masse bei  $x = + l/2$.
Die Differenz der beiden Terme ergibt die zeitliche Änderung der
gesamten Masse $M$, die sich momentan im Volumen $V$ befindet.
Das Schallfeld im Übergangsbereich ist wahrscheinlich sehr komplex.
So ist eine genaue Berechnung der Ableitung auf der rechten Seite von (8)
nur numerisch möglich.

Eine analoge Bilanzgleichung kann für die akustische Energie
aufgestellt werden.
Zuerst soll hier jedoch die Gleichung (8) durch Näherungen
vereinfacht werden, so dass damit später zusammen mit der
Energiebilanzgleichung die gesuchten Konstanten $B_1$ und $A_2$
berechnet werden können.

Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist die Tatsache, das
die Wellenlänge groß gegenüber den Abmessungen ist.
Dadurch können näherungsweise in (8) die $u'$-Terme mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
u_1'(-\ff{l}{2},t) &= u_1'(0,t)\\[10pt]
u_2'(+\ff{l}{2},t) &= u_2'(0,t)
\end{array}
\end{equation}
%
ersetzt werden.
Der Fehler ist dabei relativ gering.
Die Änderung von $u_2'$ zwischen $x = 0$ und $x = l/2$
ist nach (7) durch den Faktor $e^{-i k l/2}$ gegeben.
Entsprechen ändern sich die beiden Anteile von $u_1'$ zwischen $x = -l/2$
nach  $x = 0$ um die Faktoren $e^{\pm i k l/2}$.

Die beiden Faktoren sind jedoch annähernd gleich Eins, denn es gilt
wegen
%
\begin{equation}
k = \ff{2 \pi}{\lambda}
\end{equation}
%
die Abschätzung
%
\begin{equation}
e^{\pm i k l/2} = e^{\pm i \pi l/\lambda} \approx 1 \quad \hbox{bei} \quad
\ff{l}{\lambda} \ll 1
\end{equation}
%
Betrachtet man den Wert von $e^{+ i k l/2}$ als Punkt in der
komplexen Ebene, ergibt sich folgendes Bild.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,4.5) \thicklines
\put(0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kxe00.eps,width=4.0cm}}}
\put(0.6,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(2.9,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(3.8,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Re$}}
\put(0.4,3.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Im$}}
\put(0.55,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(3.6,1.4){\makebox(0,0)[lc]{\small Winkel = $\pi \ff{l}{\lambda}$}}
\put(3.2,2.6){\makebox(0,0)[lc]{\small $e^{+ikl/2}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Punkt bewegt sich bei steigendem Wert von $k l/2$, auf dem Einheitskreis
um den Ursprung.
Dabei ist $k l/2$ gerade der Winkel 
zwischen der Verbindungslinie zum Ursprung und der reellen
Achse.
Unter der Voraussetzung (3) ist jedoch der Winkel sehr klein und
der Punkt liegt sehr dicht bei Eins.

Die Abschätzung bedeutet, dass
die Phasendifferenz der ebenen Wellen zwischen den Punkten $x = 0$ und
$x = \pm l/2$  aufgrund der relativ langen Wellenlänge  vernachlässigbar ist.
Diese Aussage lässt sich sogar auf alle Wellen in dem Übergangsbereich
erweitern.
Unabhängig davon, wie kompliziert das Schallfeld im Übergangsbereich
wirklich ist, es besitzt die gleiche Frequenz $\omega$ wie die
einlaufende Welle.
Angenommen, die Wellenlänge ist 1000 mal größer als die Ausdehnung $l$,
so können in einer Periode die Wellen 500 mal in dem Übergangsbereich
hin und herlaufen.
Damit ist der Ausgleich des Druck im Übergangsbereich praktisch
unendlich schnell gegenüber der Änderung des äußeren  Drucks 
durch die einlaufende Welle.
Der Druck und damit auch die Dichte können im Übergangsbereich 
-- im Kontrollvolumen -- als räumlich konstant angenommen werden.
Die Auftretenden Abweichungen sind gering gegenüber den Amplituden, mit
denen die Werte zeitlich schwanken.
Man kann sich die Änderungen im Übergangsbereich als quasistatisch
vorstellen.
Dies ist analog zu der Änderung des Luftdrucks in einem Gebäude durch
das Wettergeschehen im Zeitraum von einigen Stunden.

An den beiden Seiten des Kontrollvolumens herrscht damit der
gleiche Druck.
Der Phasenunterschied im gesamten Kontrollvolumen ist vernachlässigbar, so
das näherungsweise
%
\begin{equation}
p_1'(0,t) = p_2'(0,t)
\end{equation}
%
gilt.

Durch die Ersetzung (9) kann die linke Seite von (8) vereinfacht
werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\rho_0 S_1 u_1'(0,t) -
\rho_0 S_2 u_2'(0,t) =
\ff{d M}{d t}
\end{equation}
%
Mit den bisherigen Überlegungen kann aber auch eine
Abschätzung für die rechte Seite gefunden werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\dd{M}{t} = 
V \, \dd{\sdoso {\rho}V'}{t} =
\ff{V}{c^2} \, \dd{\sdoso pV'}{t}
\end{equation}
%
Dabei ist $\sdoso {\rho}V'$ die Dichte und 
$\sdoso pV'$ der Druck im Kontrollvolumen.
Die geringen räumlichen Schwankungen des Drucks und der Dichte
sind dabei vernachlässigt.
Man kann sich  $\sdoso {\rho}V'$ und $\sdoso pV'$ als die
räumlichen Mittelwerte im Kontrollvolumen vorstellen.

Die zeitliche Schwankung des Druck kann durch
%
\begin{equation}
\sdoso pV' = \Re \{ \sdoso {\hat{p}}V \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
ausgedrückt werden.
Dabei wurde die komplexe Amplitude $\sdoso {\hat{p}}V$
eingeführt.
Es folgt damit für die zeitliche Änderung der
Masse
%
\begin{equation}
\dd{M}{t} = \Re
\big\{ i \omega \; \ff{V}{c^2} \; \sdoso {\hat{p}}V \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Der Volumeninhalt $V$ hängt von der
konkreten Geometrie des Übergangs ab.
Es kann
%
\begin{equation}
V = S_2 \, l \, \alpha
\end{equation}
%
geschrieben werden, wobei die Größe $\alpha$ ein Formfaktor ist.
ist $S_2$ größer als $S_1$ so ist für die betrachteten Geometrie
$\alpha < 1$.
Im Prinzip sind jedoch auch Übergänge möglich, bei denen 
$\alpha > 1$ ist.
Ein Beispiel ist in der folgenden Abbildung dargestellt
%
\begin{center}
\epsfig{file=blub00.eps,width=4.0cm}
\end{center}
%

Die Amplitude $\sdoso {\hat{p}}V$ ist näherungsweise
gleich der Druckamplitude
auf der rechten Seite des Kontrollvolumens, an 
der das Schallfeld nur aus der transmittierten ebenen Welle besteht.
Es gilt daher
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{p}}V = \hat{p}_2(0) = \rho_0 c \; \hat{u}_2(0)
\end{equation}
%
Dabei sind $\hat{p}_2(x)$ und $\hat{u}_2(x)$ die Druck und
Schnelleamplituden in der transmittierten Welle an der Stelle $x$.

Schließlich kann die Amplitude auf der rechten Seite von (16) 
abgeschätzt werden.
Es ergibt sich durch Einsetzen von (17) und (18)
%
\begin{equation}
i \omega \, \ff{V}{c^2} \, \sdoso {\hat{p}}V =
\underbrace{\Big[ i 2 \pi \,\ff{l}{\lambda}\, \alpha \Big]}_{\ll 1} \cdot
\Big[ S_2 \rho_0 \hat{u}_2(0) \Big]
\end{equation}
%
Dabei wurde auch die Beziehung
%
\begin{equation}
\omega = \ff{2 \pi c}{\lambda}
\end{equation}
%
verwendet.
Der Ausdruck in der zweiten eckigen Klammer
auf der rechten Seite von (18)
entspricht gerade der Amplitude des
zweiten Terms auf der linken Seite von (13), da
%
\begin{equation}
\rho_0 S_2 u_2'(x,t) = \rho_0 S_2 \hat{u}_2(x) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
ist.
Der Ausdruck in der ersten eckigen Klammer ist klein gegenüber Eins,
falls die Bedingung
%
\begin{equation}
\lambda \gg \alpha \, l
\end{equation}
%
erfüllt ist.
Bei den angenommenen Wellenlängen und nicht zu voluminösen
Übergängen ist diese Bedingung sicherlich erfüllt.

Die Gleichung (19) zeigt, dass die Schwankungen des
Ausdrucks $\dd{M}{t}$ sehr gering gegenüber den Schwankungen
auf der linken Seite von (13) sind.
Damit kann der Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden
und man erhält letztlich aus (8) die Näherung
%
\begin{equation}
\rho_0 S_1 u_1'(0,t) -
\rho_0 S_2 u_2'(0,t) =
0
\end{equation}
%

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------