Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 27.\ April 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\setcounter{equation}{31}


\begin{flushleft}
{\bf zu 1.3) Wellenausbreitung im Kanal mit rundem Querschnitt}
\end{flushleft}

Bisher wurden die Funktionen $h(\varphi)$ und $g(r)$ bestimmt.
Die allgemeine Lösung für die Funktion $f(z)$ kann durch den Ansatz
%
\begin{equation}
f(z) =  A_1 \, e^{-i \alpha z} + B_1 \, e^{i \alpha z}
\end{equation}
%
ausgedrückt werden.
Dieser Ansatz löst die Bestimmungsgleichung für $f(z)$.
An $f(z)$ werden keine Randbedingungen gestellt.
Die Konstante $\alpha$ wird über die Beziehung
%
\begin{equation}
\alpha^2 + \beta^2 = \left(\ff{\omega}{c}\right)^2
\end{equation}
%
aus der Konstante $\beta$
ermittelt.
Für vorgegebene Ordnungszahlen $m$ und $n$ ergibt sich die
Konstante
%
\begin{equation}
\alpha_{mn}
= \sqrt{ \left(\ff{\omega}{c}\right)^2 - \beta_{mn}^2}
\end{equation}
%
Die gesamte Lösung für das Druckfeld lautet dann
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p'(z,r,\varphi)
=&
(A_3 \, e^{-i m \varphi} + B_3 \, e^{i m \varphi})\\[5pt]
&\cdot \, A_2 \, J_m(\beta_{mn} r)\\[5pt]
&\cdot \, (A_1 \, e^{-i \alpha_{mn} z} + B_1 \, e^{i \alpha_{mn} z})\\[5pt]
&\cdot \, e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Dieser Ausdruck repräsentiert das Druckfeld in der Mode ($m$,$n$).
Die Ordnungszahlen bestimmen die Form der Lösung beziehungsweise der Mode.
Zusätzlich haben die Konstanten $A_1$, $B_1$, $A_3$ und $B_3$ einen
Einfluß auf das zeitliche Verhalten der Lösung.

Zunächst soll die räumliche Druckverteilung in einem Querschnitt
zu einer festen Zeit betrachtet werden.
In den folgenden Abbildungen sind Isolinien des Schalldrucks in einem
Querschnitt für verschiedene Moden dargestellt.
Die dunklen Bereiche markieren einen negativen Schalldruck und die
hellen einen positiven Wert.
Auf die Darstellung der Grundmode $mn = (0,0)$ wurde verzichtet.
Für sie ist der Schalldruck im gesamten Querschnitt konstant.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=m10.eps,width=3.5cm}}}
\put(4.5,3.0){\makebox(0,0)[lc]{\small mn=(1,0)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=m11.eps,width=3.5cm}}}
\put(4.5,3.0){\makebox(0,0)[lc]{\small mn=(1,1)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=m20.eps,width=3.5cm}}}
\put(4.5,3.0){\makebox(0,0)[lc]{\small mn=(2,0)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=m21.eps,width=3.5cm}}}
\put(4.5,3.0){\makebox(0,0)[lc]{\small mn=(2,1)}}
\end{picture}
\end{center}
%

Die Ordnungszahl $n$ legt die Anzahl der Knotenringe um die Mitte fest.
Die Zahl $m$ gibt die Periode in Umfangsrichtung an.
Sie definiert auch die Anzahl der Knotenlinien, die gerade durch die
Mitte laufen.
Der radiale Verlauf von der Mitte zum Rand ist durch die entsprechende
Bessel-Funktion $J_m$ gegeben.

Bevor auf das zeitliche Verhalten der Moden eingegangen wird, soll der
Einfluß der Parameter $A_3$ und $B_3$ auf die Druckverteilung
betrachtet werden.
In den
Querschnitten ist die Form der Druckverteilung von $A_3$ und $B_3$
unabhängig.
Die Wahl von $A_3$ und $B_3$ bestimmt nur die Amplitude und die Phase.
Das bedeutet, durch Variation von $A_3$ und $B_3$ können die
dargestellten Druckverteilungen in der Amplitude skaliert und gedreht werden.
Der Einfluß der beiden Parameter wird erst deutlich, wenn das
gesamte Rohr und nicht nur ein Querschnitt betrachtet wird.
In den folgenden Abbildungen ist die Druckverteilung an der Rohrwand
zu einem festen Zeitpunkt für verschiedene Verhältnisse von $A_3$ zu $B_3$
dargestellt.
Helle Bereiche markieren einen positiven Wert und dunkle Bereiche einen
Negativen.
In allen drei Fällen ist $m = 1$.
Die Ordnungszahl $n$ spielt für die Verteilung des Wanddrucks 
keine Rolle, da sie nur den radialen Verlauf beeinflußt.


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.25,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=sww21.0.0.eps,width=8.25cm}}}
\put(7.4,1.3){\makebox(0,0)[lc]{\small $z$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $A_3 = 1.0$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $B_3 = 0.0$}}
\end{picture}
\end{center}
%

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.25,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=sww21.0.5.eps,width=8.25cm}}}
\put(7.4,1.3){\makebox(0,0)[lc]{\small $z$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $A_3 = 1.0$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $B_3 = 0.5$}}
\end{picture}
\end{center}
%

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.25,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=sww21.1.0.eps,width=8.25cm}}}
\put(7.4,1.3){\makebox(0,0)[lc]{\small $z$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $A_3 = 1.0$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $B_3 = 1.0$}}
\end{picture}
\end{center}
%

Bei $B_3 = 0$ liegt eine sogenannte ``Spinning Mode'' vor, die
ein spiralförmiges Druckfeld besitzt.
In dem Fall $A_3 = B_3$ ergibt sich eine ganz andere Situation.
Die Knotenlinien, die die Bereiche mit negativen und positiven Wandruck
voneinander trennen, verlaufen exakt in Kanal- beziehungsweise
$z$-Richtung oder in Umfangs- beziehungsweise
$\varphi$-Richtung.
Ein gemischtes Bild ergibt die Wahl von $A_3 = 2 B_3$.

Anhand der Abbildungen kann man sich auch die zeitliche Entwicklung
der Lösungen verdeutlichen.
Diese hängt jedoch noch von der Wahl der Parameter $A_1$ und $B_1$
und von dem Wert von $\alpha_{mn}$ ab.
Ist $\alpha_{mn}$ eine reelle Zahl
%
\begin{equation}
\alpha_{mn} \in \mathbb{R},
\end{equation}
%
ergibt sich eine reguläre Wellenausbreitung.
Für $B_1 = 0$ erhält man eine reine Ausbreitung in positiver
$z$-Richtung, für $A_1 = 0$ in negativer $z$-Richtung, und die Wahl
$A_1 = B_1$ führt zu einer stehenden Welle.
Betrachtet man den ersten Fall $B_1 = 0$, so verschiebt sich das
Druckfeld im Rohr mit der Zeit einfach in positive
$z$-Richtung, ohne sich zu verformen.
Je nachdem, ob es sich um eine ``Spinning Mode'' handelt oder nicht,
folgen durch diese Verschiebung
verschiedenen zeitliche Entwicklungen in einem Querschnitt.
Im Fall der ``Spinning Mode'' dreht sich das Druckfeld in jedem Querschnitt
einfach mit der Zeit.
Bei $A_3 = B_3$ schwankt die Amplitude des Druckfeldes
in einem Querschnitt ohne sich zu drehen.
Für $A_3 = 2 \,B_3$ ergibt sich eine Kombination aus Drehung und
Schwankung der Amplitude.

Die gesamte Überlegung gilt nur, falls (36) erfüllt ist, und
eine reguläre Wellenausbreitung vorliegt.
Dazu muß der Ausdruck unter der Wurzel in (34) positiv
sein.
Das bedeutet, es muß
%
\begin{equation}
\ff{\omega}{c} > \beta_{mn} = \ff{s_{mn}}{R}
\end{equation}
%
gelten.
Es ergibt sich eine ``Cut-Off''-Frequenz
%
\begin{equation}
\omega_{mn}^{\hbox{\tiny c}} = \ff{c \, s_{mn}}{R}
\end{equation}
%
für jede $mn$-Mode.
Dies ist analog zu dem Fall des reckteckigen Kanalquerschnitts aus
Abschnitt 3.1.

In dem Fall des runden Querschnitts kann die Bedingung (37)
geometrisch interpretiert werden.
Durch Multiplikation folgt aus (37) die Ungleichung
%
\begin{equation}
\omega \, R > c \, s_{mn}
\end{equation}
%
Der Ausdruck $\omega \, R$ auf der linken Seite entspricht einer
Geschwindigkeit.
Im Fall der ``Spinning Mode'' mit $m = 1$ ist das gerade die
Geschwindigkeit, mit der in einem Querschnitt ein Knotenpunkt an der Wand 
umläuft.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.0,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=spin00.eps,width=3.0cm}}}
\put(4.0,2.5){\makebox(0,0)[lc]{\small Mode 1,0}}
\end{picture}
\end{center}
%

Die Situation ist in der obigen Abbildung veranschaulicht.
In einer Periode dreht sich das Druckfeld einmal um 360 Grad.
Der Knotenpunkt an der Wand legt eine Strecke von $2 \pi R$
zurück.
Das ergibt eine Bahngeschwindigkeit von $\omega R$.
Bei Moden mit $m = 2$ dreht sich das Druckfeld nur um 180 Grad
in einer Periode.
Entsprechend ist die Bahngeschwindigkeit der Knotenpunkte an der
Wand gleich $\omega R/2$.

Die ``Cut-Off''-Bedingung (39) besagt, daß die
Knotenpunkte an der Wand eine Mindestgeschwindigkeit
haben müssen, damit sich die entsprechende
``Spinning Mode'' ausbreiten kann.
Für $m = 1$ muß
%
\begin{equation}
\hbox{Umlaufgeschwindigkeit} = \omega \, R > c \, s_{1n}
\end{equation}
%
gelten.
Das erste Maximum der Bessel-Funktion $J_1$ liegt
bei $s_{10} \approx 1.84$.
Daraus ergibt sich eine minimale Umlaufgeschwindigkeit
von
%
\begin{equation}
c \, s_{10} \approx 1.84 \, c
\end{equation}
%
Das heißt, die Machzahl des Knotenpunktes
beim Umlauf muß größer als $1.84$ sein, damit sich
eine ``Spinning Mode'' mit $m = 1$ ausbreiten kann.
Für $m=2$ ist
%
\begin{equation}
2 \times \hbox{Umlaufgeschwindigkeit} = \omega \, R > c \, s_{2n}
\end{equation}
%
Voraussetzung für die Ausbreitung.
Es ergibt sich eine minimale Umlaufgeschwindigkeit von
%
\begin{equation}
c \, \ff{s_{20}}{2} \approx 1.53 \,c
\end{equation}
%
Analog erhält man für $m = 3$ eine Mindestgeschwindigkeit
der Knotenpunkte von
%
\begin{equation}
c \, \ff{s_{30}}{3} \approx 1.40 \,c
\end{equation}
%

Die bisherigen Überlegungen zu den Geschwindigkeiten
der Knotenpunkte an der Wand, sind bei der Abschätzung
der Ausbreitungsfähigkeit von Moden von großem Nutzen.
Dies soll am Beispiel von Moden, die in einem einfachen Gebläse
angeregt werden, dargestellt werden.
Es wird zunächst angenommen, das Gebläse besteht nur aus einem
Rotor, der sich in einem Rohr dreht.
Den Rotor kann man sich als einen kleinen Propeller vorstellen.
Die Halterungen und der Antrieb des Rotors werden zunächst nicht
berücksichtigt.
Die Situation ist in der folgenden Abbildung verdeutlicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.0,8.0) \thicklines
\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=p00.eps,width=3.0cm}}}
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=pseite00.eps,width=4.5cm}}}
\put(4.0,7.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Blick in}}
\put(4.0,6.5){\makebox(0,0)[lc]{\small Kanalrichtung}}
\put(4.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Seitenansicht}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Rotor erzeugt eine Strömung im Rohr, die die Wellenausbreitung
beeinflußt und die ``Cut-off''-Frequenz verschiebt.
Dieser Effekt ist bei kleinen Machzahlen der Strömung, von denen
hier ausgegangen wird, jedoch relativ gering.
Um die Überlegung nicht unnötig zu komplizieren, 
wird die Verschiebung der ``Cut-off''-Frequenz vernachlässigt.

Durch die Umströmung der Rotorblätter wird ein Druckfeld erzeugt.
Das Druckfeld wird in einem Querschnitt in der Nähe des Rotors 
betrachtet.
Der Querschnitt liegt zum Beispiel an der Position, die durch die
gestrichelte Linie markiert ist.
In dem Querschnitt kann das Druckfeld zu jedem Zeitpunkt
durch eine Überlagerung von verschiedenen Moden dargestellt werden.
Die Moden diesen sozusagen als Basis, um die Form der aktuellen
Druckverteilung zu erzeugen.

Zunächst wird in einer Art Gedankenexperiment
eine besonders einfache Situation betrachtet.
Es wird angenommen, der Rotor erzeugt zu jedem Zeitpunkt
exakt das Druckfeld der Mode (2,0)
wie es in der folgenden Abbildung skizziert ist.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.0,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=rmod20.eps,width=3.0cm}}}
\put(4.0,2.5){\makebox(0,0)[lc]{\small Mode 2,0}}
\end{picture}
\end{center}
%
Man kann sich vorstellen, daß der Druck in den Bereichen hinter
den Rotorblättern positiv und in den Zwischenbereichen negativ ist.
Das Druckfeld rotiert mit dem Rotor mit.
In dem betrachteten Querschnitt an der markierten Position
liegt daher nur eine reine ``Spinning Mode'' vor.
Diese Mode ist allerdings nur ausbreitungsfähig, wenn der
Rotor schnell genug dreht.
Nach (43) müssen die Knotenpunkte an der Wand mit einer
Machzahl von $M = 1.53$ umlaufen.
Reichen die Spitzen der Rotorblätter bis fast an die Wand, so
müssen sich in jedem Fall einige Teile des Rotors mit
Überschall bewegen.
Ist der Rotor langsamer, so klingt die angeregte Mode exponentiell ab
und breitet sich nicht aus.
Die Druckschwankungen beschränken sich auf die nähere
Umgebung des Rotors.
Dies ist eine für die praktische Anwendung erfreuliche Erkenntnis.
Der Rotor muß nur im Unterschallbereich laufen, und die erzeugten
Druckstörungen können sich nicht ausbreiten.

In der Realität wird natürlich nicht nur eine ``Spinning Mode'' durch den
Rotor angeregt wie in dem idealisierten Beispiel, sondern eine
Überlagerung von vielen Moden.
Höchstwahrscheinlich ergibt sich auch eine Schwankung des über
den Querschnitt gemittelten Druck neben dem Rotor.
Bei allen höheren Moden ist der mittlere Druck gleich Null.
Die positiven und die negativen Bereiche sind gleich groß.
Bei Schwankung des mittleren Drucks muß damit auch die Grundmode
in der Überlagerung enthalten sein.
Die Grundmode ist immer ausbreitungsfähig, so daß das Gebläse
in jedem Fall Schall erzeugt.
Die Anregung der Moden wird wesentlich durch den Stator bestimmt, 
den Gebläse normalerweise besitzen.
Dieser dient dazu der Wirkungsgrad zu verbessern.
Ein einfaches Modell für ein Gebläse mit Stator ist in der folgenden
Abbildung skizziert.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.0,8.5) \thicklines
\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=rotstat00.eps,width=3.0cm}}}
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=rsseite00.eps,width=4.5cm}}}
\put(2.0,8.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Stator}}
\put(3.0,7.5){\makebox(0,0)[lc]{\small Rotor}}
\put(4.0,6.5){\makebox(0,0)[lc]{\small Blick in}}
\put(4.0,6.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Kanalrichtung}}
\put(4.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Seitenansicht}}
\end{picture}
\end{center}
%

Das Gebläse besitzt zwei Rotor- und zwei Statorblätter.
Bei Drehung des Rotors ergeben sich Wechselwirkungen
zwischen den Blättern.
Dies führt zu periodisch auftretenden Druckstörungen an den
Orten der Interaktion.
Das Druckfeld ist viel komplexer als in dem einfachen Beispiel
mit nur einer Mode.
Bei der gezeigten Anordnung treten die Interaktionen zwischen
den Rotor- und Statorblättern immer gleichzeitig auf.
Dies für dazu, daß sich eine relativ große Schwankung des mittleren
Drucks in dem Querschnitt neben dem Rotor einstellt.
Dadurch wird die Grundmode besonders stark angeregt.
In der Praxis werden daher solche Anordnungen nicht eingesetzt.
Es werden Rotoren und Statoren mit mehr Blättern verwendet, und
die Zahlen werden unterschiedlich gewählt.
Dadurch treten die Interaktionen und die damit verbundenen Druckschwankungen
nicht gleichzeitig auf, und die Schwankung des 
mittleren Druck über den Querschnitt ist deutlich verringert.
Daraus resultiert eine schwächere Anregung der Grundmode und letztlich 
ein geringere Schallerzeugung.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------