Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 20.\ April 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\setcounter{equation}{30}

\begin{flushleft}
{\bf zu 1.2) Harmonische Lösungen der Wellengleichung bei
Zylindersymmetrie}
\end{flushleft}

Es wurde die Bessel-Funktion $J_\nu$ als Lösung der
Besselschen Differentialgleichung $\nu$-ter Ordnung
angegeben.
Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Gleichung
zweiter Ordnung.
Es muß daher noch eine zweite linear unabhängige Lösung
geben.
Für eine Darstellung,
wie diese zweite Lösung gefunden werden kann, wird auf
einschlägige Mathematikliteratur verwiesen.
Die zweite Lösung
wird üblicherweise mit $Y_\nu$ bezeichnet und
Neumann-Funktion genannt.
Für nichtganzzahlige $\nu$ besteht der Zusammenhang
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\begin{equation}
\begin{array}{c}
Y_\nu(s) = \ff{1}{\sin(\nu \pi)}
\, \big[ J_\nu(s) \, cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(s) \big]
\\[20pt]
\hbox{f"ur} \quad \nu \neq 0,1,2,\ldots 
\end{array}
\end{equation}
%
zwischen Neumann- und Bessel-Funktionen.

Die Neumann-Funktion kann für alle $\nu$ als eine unendliche Reihe geschrieben
werden.
Die Formel ist allerdings sehr umfangreich, und daher wird
hier auf eine Darstellung verzichtet.
Es sollen hier vielmehr die Funktionen für ganzzahlige $\nu$, die 
für die akustischen Anwendungen besonders von Interesse sind,
in den folgenden Abbildungen
veranschaulicht werden.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,4.5) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=bes11.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.8,4.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $a$}}
\put(0.65,3.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $1.0$}}
\put(0.4,2.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $0.0$}}
\put(0.65,0.65){\makebox(0,0)[rc]{\small $-1.0$}}
\put(1.2,3.95){\makebox(0,0)[cc]{\small $J_0$}}
\put(1.8,3.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $J_1$}}
\put(2.3,3.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $J_2$}}
\put(2.9,3.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $J_3$}}
\put(7.9,1.95){\makebox(0,0)[cc]{\small $s$}}
\put(7.4,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $15.0$}}
\put(5.2,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $10.0$}}
\put(3.1,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $5.0$}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,4.5) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=neu11.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.8,4.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $a$}}
\put(0.65,3.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $1.0$}}
\put(0.4,2.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $0.0$}}
\put(0.65,0.65){\makebox(0,0)[rc]{\small $-1.0$}}
\put(1.8,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $Y_0$}}
\put(2.5,3.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $Y_1$}}
\put(3.1,3.05){\makebox(0,0)[cc]{\small $Y_2$}}
\put(3.8,3.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $Y_3$}}
\put(7.9,1.95){\makebox(0,0)[cc]{\small $s$}}
\put(7.4,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $15.0$}}
\put(5.2,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $10.0$}}
\put(3.1,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $5.0$}}
\end{picture}
\end{center}
%

Die Bessel-Funktionen $J_1(s)$, $J_2(s)$, \ldots verschwinden bei $s = 0$.
Dagegen ist $J_0(0) = 1$.
Die Neumann-Funktionen werden bei $s = 0$ singulär.
Alle Funktionen besitzen unendlich viele Nullstellen.

Die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung
$\nu$-ter Ordnung wird aus einer Linearkombination
der beiden Lösungen gebildet:
%
\begin{equation}
a(s) = A \, J_\nu(s) + B Y_\nu(s)
\end{equation}
%
Für die Helmholtz-Gleichung
%
\begin{equation}
\Delta \psi + k^2 \psi = 0
\end{equation}
%
ergibt sich daraus 
im zylindersymmetrischen Fall
die Lösung
%
\begin{equation}
\psi(r) = a(k r)
\end{equation}
%
beziehungsweise
%
\begin{equation}
\psi(r) = A \, J_0(k r) + B \,Y_0(k r)
\end{equation}
%
Ausgangspunkt für die gesamte Überlegung war die Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 \phi}{t^2}
-
\Delta \phi
= 0
\end{equation}
%
Bei Zylindersymmetrie hängt $\phi$ nur vom Abstand $r$ und von der Zeit $t$ ab
%
\begin{equation}
\phi = \phi(r,t) = \psi(r) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Lösung für $\phi$ lautet
%
\begin{equation}
\phi(r,t) = \big[ A \, J_0(k r) + B \,Y_0(k r) \big] \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Durch die Wahl der Faktoren $A$ und $B$ lassen sich verschiedene
Lösungsformen erzeugen.
Wenn jeweils einer der Faktoren gleich Null gesetzt wird,
erhält man zum Beispiel die Lösungen
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
\phi_1(r,t) &=  A \, J_0(k r) \, e^{i \omega t}\\[10pt]
\phi_2(r,t) &=  B \, Y_0(k r) \, e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Diese Lösungen stellen stehende Wellen dar.
Im Abstand $r$, für den $J_0(k r) = 0$ ist, ergibt sich
für alle Zeiten $\phi_1 = 0$.
An den Positionen, an denen $J_0(k r)$ ein lokales Maximum oder Minimum
besitzt, ergibt sich ein sogenannter Bauch.
Dort schwankt die Lösung mit besonders großer Amplitude.

Den stehenden Wellen (39) entsprechen im eindimensionalen Fall, in
dem die Größe $r$ der Abstand von einer Ebene ist
%
\begin{equation}
r = |x_1| ,
\end{equation}
%
die einfachen Lösungen
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
\phi_1(r,t) &=  A \, \sin(k r) \, e^{i \omega t}\\[10pt]
\phi_2(r,t) &=  B \, \cos(k r) \, e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
Genau wie (39) beschreiben die Lösungen (41) stehende Wellen.
Eine laufende ebene Welle wird zum Beispiel durch
%
\begin{equation}
\phi_3(r,t) =  C \, e^{\pm i k r} \cdot e^{i \omega t}
= C \, e^{i(\omega t \pm kr)}
\end{equation}
%
dargestellt.
Die Lösung $\phi_3$ kann durch Linearkombination der
Lösungen $\phi_1$ und $\phi_2$ erzeugt werden, denn es
gilt
%
\begin{equation}
 e^{\pm i k r} = \cos(kr) \mp i \sin(kr)
\end{equation}
%

Analog kann auch im zylindersymmetrischen Fall
aus den Lösungen in (39) eine laufende Welle
erzeugt werden.
Um die Darstellung zu vereinfachen, werden die sogenannten
Hankel-Funktionen mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
H_\nu^{(1)}(s) &=  J_\nu(s) + i Y_\nu(s)\\[10pt]
H_\nu^{(2)}(s) &=  J_\nu(s) - i Y_\nu(s)
\end{array}
\end{equation}
%
definiert.
Sie enthalten die notwendigen Linearkombinationen,
um laufende Wellen zu bilden.
In Zylinderkoordinaten mit
%
\begin{equation}
r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}
\end{equation}
%
ist damit ebenfalls
%
\begin{equation}
\phi(r,t) =
\underbrace{A \, H_0^{(2)}(kr) \cdot e^{i \omega t}}_{\hbox{Welle nach au"sen}} +
\underbrace{B \, H_0^{(1)}(kr) \cdot e^{i \omega t}}_{\hbox{Welle nach innen}}
\end{equation}
%
eine allgemeine Lösung der Wellengleichung bei Zylindersymmetrie.
Alle Lösungen, die sich mit (38) darstellen lassen, können
auch in der Form (46) geschrieben werden.
Es müssen nur die Faktoren $A$ und $B$ entsprechend 
umgerechnet werden.
Die Form (38) ist besser zur Beschreibung von stehenden Wellen
geeignet, und (46) ist bei der Darstellung von laufenden Wellen
zu bevorzugen.

In der folgenden Tabelle wird nochmal eine Übersicht der Lösungen $\psi$
der Helmholtz-Gleichung für die verschiedenen Fälle gegeben.


\end{multicols}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
&&&\\[2pt]
& Abstand &
\begin{minipage}{5cm}
Bestimmungsgleichung für $\psi$\\
bei Symmetrie $\psi = \psi(r)$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{5.2cm}
Allgemeine Lösung\\
(reelle und komplexe Variante)
\end{minipage}
\\[20pt]
\hline
&&&\\[2pt]
1D & 
\begin{minipage}{3.7cm}
Kartesische\\ Koordinaten\\
$r = |x_1|$
\end{minipage}
&
%
$\dd{^2 \psi}{r^2} + k^2 \psi = 0$
%
&
\begin{minipage}{5.7cm}
$\psi(r) = A \, \sin(kr) + B \, \cos(kr)$\\
oder\\
$\psi(r) = A \, e^{-ikr} + B \, e^{ikr}$
\end{minipage}
\\[20pt]
\hline
&&&\\[2pt]
2D &
\begin{minipage}{3.7cm}
Zylinderkoordinaten\\
$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$
\end{minipage}
&
%
$\dd{^2 \psi}{r^2} + \ff{1}{r} \dd{\psi}{r} + k^2 \psi = 0$
%
&
\begin{minipage}{5.7cm}
$\psi(r) = A \, J_0(kr) + B \, Y_0(kr)$\\
oder\\
$\psi(r) = A \, H_0^{(2)}(kr) + B \, H_0^{(1)}(kr)$
\end{minipage}
\\[20pt]
\hline
&&&\\[2pt]
3D &
\begin{minipage}{3.7cm}
Kugelkoordinaten\\
$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$
\end{minipage}
&
%
$\dd{^2 \psi}{r^2} + \ff{2}{r} \dd{\psi}{r} + k^2 \psi = 0$
%
&
\begin{minipage}{5.7cm}
$\psi(r) = A \, \ff{\sin(kr)}{r} + B \, \ff{\cos(kr)}{r}$\\
oder\\
$\psi(r) = A \, \ff{e^{-ikr}}{r} + B \, \ff{e^{ikr}}{r}$
\end{minipage}
\\[30pt]
\hline
\end{tabular}


\newpage

\begin{multicols}{2}

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 1.3) Wellenausbreitung im Kanal mit rundem Querschnitt}
\end{flushleft}

Zweckmäßigerweise werden Zylinderkoordinaten
eingeführt, um die Wellenausbreitung
in einem runden Rohr zu untersuchen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,4.5) \thicklines
\put(0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=rohr02.eps,width=7.5cm}}}
\put(1.75,1.5){\parbox[c]{3.0cm}{$r$}}
\put(2.325,1.625){\parbox[c]{3.0cm}{$\varphi$}}
\put(7.3,2.7){\makebox(0,0)[cc]{$z$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Radius des Rohres wird mit $R$ bezeichnet.
Der Abstand von der Rohrachse ist $r$.
Die Koordinate in Rohrrichtung ist $z$.
Die Größe $\varphi$ gibt den Winkel relativ zu einer
festgelegten Richtung an.
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
\varphi &: [0, 2 \pi]\\
r &: [0, R]\\
z &: [-\infty, \infty]
\end{array}
\end{equation}
%
Das Druckfeld im Kanal soll die Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \; \pp{^2 p'}{t^2} -
\Delta p' = 0
\end{equation}
%
erfüllen.
In Zylinderkoordinaten lautet dir Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \; \pp{^2 p'}{t^2} -
\ff{1}{r} \pp{}{r} \left( r \pp{p'}{r}\right) -
\ff{1}{r^2} \zz{p'}{\varphi} - \zz{p'}{z} = 0
\end{equation}
%
Analog zum Fall mit rechteckigem Querschnitt
wird von einem Ansatz mit
harmonischer Zeit\-ab\-hängigkeit
%
\begin{equation}
p'(z,r,\varphi,t) =
f(z) \, g(r) \, h(\varphi) \cdot e^{i \omega t}
\end{equation}
%
ausgegangen.
Einsetzen von (4) in (3) ergibt nach einigen
Zwischenschritten
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{1}{g(r)} \cdot
\left[
\ff{1}{r} \dd{}{r} \left( r \dd{g}{r}(r)\right)
\right]
\\ {} \\
+
\ff{1}{h(\varphi)} \cdot
\left[
\ff{1}{r^2} \dd{^2 h}{\varphi^2}(\varphi)
\right]
\\ {} \\
+
\ff{1}{f(z)} \cdot \dd{^2 f}{z^2}(z)
\\ {} \\
+
\left( \ff{\omega}{c} \right)^2
=
0
\end{array}
\end{equation}
%
Um die Funktionen $f(z)$, $g(r)$ und $h(\varphi)$
zu bestimmen, muß (5) so umgeformt werden, daß
alle Terme mit den jeweiligen Variablen auf einer
Seite isoliert werden.
Das Vorgehen ist analog zum Fall in Abschnitt 1.1.
Wird der zweite Term von (5) auf die rechte Seite
gebracht und anschließend mit $r^2$ multipliziert,
dann hängt die rechte Seite ausschließlich von
$\varphi$ ab.
Auf der linken Seite tritt $\varphi$ nicht mehr auf.
Damit die Gleichheit für alle Kombinationen $r$, $z$
und $\varphi$ erfüllt ist, müssen beide Seiten
unabhängig von $r$, $z$ und $\varphi$ -- also konstant -- sein.
Die Konstante wird mit $-\sigma^2$ bezeichnet.
Damit ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für die
erste Funktion
%
\begin{equation}
\ff{1}{h(\varphi)} \cdot
\dd{^2 h}{\varphi^2}(\varphi) = - \sigma^2
\end{equation}
%
Auch die von der Variablen $z$ abhängigen Terme
lassen sich auf einer Seite isolieren.
Es ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die
nächste Funktion
%
\begin{equation}
\ff{1}{f(z)} \cdot \dd{^2 f}{z^2}(z) = - \alpha^2
\end{equation}
%
Problematisch wird es jedoch mit der Variablen $r$.
Sie tritt nicht nur im ersten sondern auch im
zweiten Term von (5) auf.
Gleichung (5) kann nicht so umgeformt werden,
daß eine Seite nur von $r$ abhängt und die
andere überhaupt nicht.
Dadurch ist die direkte Herleitung einer
Bestimmungsgleichung für $g(r)$ nicht möglich.
Eine Bestimmungsgleichung ergibt sich, wenn
zum Beispiel die Konstante $\sigma$ schon bestimmt
wurde.
Der zweite Term in (5) entspricht
%
\begin{equation}
- \ff{\sigma^2}{r^2}
\end{equation}
%
Wird $\sigma$ fest vorgegeben,
so kann der zweite Term in (5)
durch (8) ersetzt werden.
Die Variable $\varphi$ kommt nicht mehr vor und
die von $r$ abhängigen Terme können auf eine Seite gebracht werden.
Die andere Seite hängt dann ausschließlich von $z$ ab.
Beide Seiten müssen wieder konstant sein.
Die Konstante wird mit $-\beta^2$ bezeichnet.
Es folgt die Bestimmungsgleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{g(r)} \cdot
\left[
\ff{1}{r} \dd{}{r} \left( r \dd{g}{r}(r)\right)
\right]
- \ff{\sigma^2}{r^2} = - \beta^2
\end{equation}
%

Einsetzen von (9) und (7) in (5) ergibt schließlich noch einen
Zusammenhang zwischen den Konstanten und der Frequenz
%
\begin{equation}
\left( \ff{\omega}{c} \right)^2 = \alpha^2 + \beta^2
\end{equation}
%
Damit ist festgelegt, wie die Lösung (4) zu bestimmen
ist.
Zuerst muß die Lösung für $h(\varphi)$ gefunden und
die Konstante $\sigma$ ermittelt werden.
Ist diese bekannt, kann auch $g(r)$ mit Hilfe von (9)
berechnet werden.
Damit ergibt sich die Konstante $\beta$.
Durch die Beziehung (10) kann letztlich auch $\alpha$
angegeben werden.

Zur Bestimmung von $h(\varphi)$ wird der Ansatz
%
\begin{equation}
h(\varphi) = A_3 \, e^{- i \sigma \varphi} +
B_3 \, e^{i \sigma \varphi}
\end{equation}
%
gewählt.
Dieser Ausdruck stellt eine allgemeine Lösung von (6) dar.
Die Faktoren $A_3$ und $B_3$ sowie
die Konstante $\sigma$ müssen so gewählt werden, daß
die Randbedingungen erfüllt sind.

Die Randbedingungen an die Funktion $h(\varphi)$ sind jedoch
nicht so offensichtlich, wie etwa die Randbedingungen bei festen
Wänden.
Die Ränder sind bei $\varphi = 0$ und $\varphi = 2 \pi$ gegeben.
Die Koordinate $\varphi = 0$ ist nicht durch eine
physikalische Gegebenheit festgelegt, sondern die Richtung $\varphi = 0$ wird
einfach definiert.
Die Wahl von $\varphi = 0$ sollte jedoch keinen Einfluß auf die
Lösung der Wellengleichung haben.
Dies wird durch die Wahl einer sogenannten ``periodischen Randbedingung''
garantiert.
Es soll
%
\begin{equation}
h(\varphi) = h(\varphi + 2 \pi)
\end{equation}
%
gelten.
Dieser Ausdruck stellt eine Bedingung dar,
die unabhängig von der Wahl der Richtung $\varphi = 0$ ist.

Die periodische Randbedingung wird erfüllt, wenn man die Konstante
%
\begin{equation}
\sigma = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
wählt.
Dann liefert der Ansatz (11) eine periodische
Lösung, die sich bei $\varphi = 2 \pi$ wiederholt.
Das bedeutet, die Konstante $\sigma$ ist durch
die Randbedingung nicht eindeutig festgelegt.
Es gibt eine ganze Serie von möglichen Werten, 
die mit
%
\begin{equation}
\sigma = \sigma_m = m
\end{equation}
%
bezeichnet werden können.
Dabei ist $m$ wieder eine Ordnungszahl, die mit
%
\begin{equation}
m = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
gegeben ist.
Durch die periodische Randbedingung sind die
Faktoren $A_3$ und $B_3$ nicht festgelegt.
Sie können unabhängig voneinander frei gewählt
werden.

In nächsten Schritt soll $g(r)$ näher bestimmt werden.
Dazu wird Gleichung (9) zu
%
\begin{equation}
r^2 \dd{^2 g}{r^2}(r) + 
r \dd{g}{r}(r) +
\left(
\beta^2 r^2 - \sigma^2
\right)
g(r)
=
0
\end{equation}
%
umgeformt.
Mit der Substitution
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
s = \beta r \\[10pt]
a(s) = g(r) \\[10pt]
\nu = \sigma
\end{array}
\end{equation}
%
ergibt sich aus (16) die Besselsche
Differentialgleichung in der
klassischen Form
%
\begin{equation}
s^2 \dd{^2 a}{r^2}(s) + 
s \dd{a}{s}(s) +
\left(
s^2 - \nu^2
\right)
a(s)
=
0
\end{equation}
%
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
%
\begin{equation}
a(s) = A \, J_\nu (s) + B \, Y_\nu(s)
\end{equation}
%

Die Ordnung der Gleichung ist durch die Wahl der Konstante
$\sigma$ gegeben.
Das heißt, die Ordnungszahl $m$ legt nicht nur die Lösung für $h(\varphi)$
sondern auch die Bestimmungsgleichung für $g(r)$ (und damit natürlich auch
die Lösung) fest.
Die Ordnung ist
%
\begin{equation}
\nu = m,
\end{equation}
%
und es ergibt sich die allgemeine Lösung
%
\begin{equation}
g(r) = A_2 \, J_m (\beta r) + B_2 \, Y_m(\beta r)
\end{equation}
%
Diese muß ebenfalls Randbedingungen erfüllen.
An der Wand des Rohres ist die radiale Schnelle $\sdoso uR'$ gleich Null.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = 0 \quad \hbox{bei} \quad r = R
\end{equation}
%
Daraus folgt für die Ableitung des Drucks
%
\begin{equation}
\pp{p'}{r} = 0 \quad \hbox{bei} \quad r = R
\end{equation}
%
und es ergibt sich die Randbedingung
%
\begin{equation}
\dd{g}{r}(R) = 0
\end{equation}
%
Es muß noch eine zweite Randbedingung
bei $r = 0$ gefordert werden.
Bei $r = 0$ ist strenggenommen die Differentialgleichung in der
Form (3) nicht gültig.
Der allgemeine Ausdruck (22) läßt formal auch Lösungen mit einer
Singularität bei $r = 0$ zu.
Damit würde sich nach dem Ansatz (4) dort ebenfalls eine Singularität
des Schalldrucks ergeben.
Die singuläre Lösung führt dann an der Stelle $r = 0$ (entlang der Rohrachse)
zu einer linienförmigen Massenquelle,
die periodisch schwankt.
Eine Zufuhr oder Abfuhr von Masse an diesem Ort ist in der Praxis normalerweise
auszuschließen.
Die physikalische Randbedingung lautet daher, daß bei $r = 0$
keine Massenquelle vorliegt.
Formal bedeutet dies, daß die Lösung bei $r = 0$ endlich sein muß.
Es werden daher alle Lösungen für $g(\varphi)$ mit einer Singularität
bei $r = 0$ ausgeschlossen.
Daraus folgt direkt, daß der Faktor vor der Neumann-Funktion
in (21) verschwinden muß.
Damit ist
%
\begin{equation}
B_2 = 0
\end{equation}
%
und (21) vereinfacht sich zu
%
\begin{equation}
g(r) = A_2 \, J_m (\beta r)
\end{equation}
%
Die Konstante $\beta$ muß nun so gewählt werden, daß
%
\begin{equation}
\dd{J_m}{s}(\beta R) = 0
\end{equation}
%
gilt.
Mit dem Faktor $\beta$ wird der Abstand $r$ so skaliert, daß
die Funktion $J_m (\beta r)$ gerade bei $r = R$ ein Maximum oder Minimum
hat.
Da die Bessel-Funktionen unendlich viele Extrema besitzen, ergeben sich
auch unendlich viele Möglichkeiten $\beta$ zu wählen.

Die Nullstellen der Ableitungen
der Bessel-Funktionen werden mit $s_{mn}$ der Größe nach geordnet und
mit einer zweiten Ordnungszahl $n = 0,1,2,\ldots$
durchnummeriert.
Es gilt
%
\begin{equation}
\dd{J_m}{s}(s_{mn}) = 0
\end{equation}
%
Mit $s_{m0}$ ist jeweils die kleinste Nullstelle der Ableitung der
Bessel-Funktion $m$-ter Ordnung bezeichnet.
Die Nullstellen bei $s = 0$ werden für die höheren Ordnungen $m > 0$
jedoch nicht berücksichtigt.
Bei $s = s_{m0}$ besitzt die Bessel-Funktion $m$-ter Ordnung
ihr erstes Maximum und bei $s = s_{m1}$ ihr erstes Minimum.

Es folgt damit
%
\begin{equation}
s_{00} = 0; \quad s_{m0} > 0 \quad \hbox{bei} \quad m = 1,2,\ldots 
\end{equation}
%
Für die Wahl der Konstante $\beta$ ergeben sich nun die 
Möglichkeiten
%
\begin{equation}
\beta = \beta_{mn} \equiv \ff{s_{mn}}{R},
\end{equation}
%
um die Randbedingung (24) zu erfüllen.
Die Lösung für $g(r)$ hängt damit von zwei Ordnungszahlen
$m$ und $n$ ab:
%
\begin{equation}
g(r) = A_2 \, J_m (\beta_{mn} r)
\end{equation}
%
Dies bringt zum Ausruck, daß in der Lösung für $g(r)$ indirekt die
Lösung für $h(\varphi)$ und die Konstante $\sigma_m$ mit eingegangen ist.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------