Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\documentclass[a4paper,12pt]{ltnews}

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{exscale}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{array}

\setlength{\hoffset}{-0.75in}
\setlength{\voffset}{-1in}

\setlength{\textwidth}{17.0cm}
\setlength{\textheight}{24.0cm}
\setlength{\topmargin}{1.0cm}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\,\partial #2}}
\newcommand{\dd}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d} #1}{\,\hbox{d} #2}}
%\newcommand{\dqq}[2]{\displaystyle\frac{\hbox{d^2} #1}{\hbox{d} #2^2}}
\newcommand{\zz}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
\newcommand{\bix}[1]{\fbox{\parbox[c]{8cm}{#1}}}
\newcommand{\doso}[2]{{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\hdoso}[2]{\widehat{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\rhoo}{\rho_{\scriptscriptstyle 0}}
\newcommand{\sdoso}[2]{{#1}_{\hbox{\tiny #2}}}
\newcommand{\mittel}[1]{\big< #1 \big>}
\newcommand{\vektor}[1]{\begin{array}{c} #1 \end{array}}
\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}
\newfont{\axa}{cmss10}
\newcommand{\iraum} {\int \limits_{\hbox{\axa I\!R}^3}}
\newcommand{\ivq} {\int \limits_{\sdoso VQ}}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Donnerstag den 13.\ April 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 1.1) Wellenausbreitung im Kanal mit rechteckigem Querschnitt}
\end{flushleft}

Eine Lösung der Wellengleichung, die im Kanal mit rechteckigem
Querschnitt und schallharten Wänden die Randbedingungen
erfüllt, ist durch
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p'(\vec{x}, t) =& A_2 \, A_3 \, \cos(\beta_m x_2) \, \cos(\sigma_n x_3) \\
&\times
\big[
A_1 e^{-i \alpha_{mn} x_1} +
B_1 e^{+i \alpha_{mn} x_1}
\big]
\;
e^{i \omega t}
\end{array}
\end{equation}
%
gegeben.
Die Ordnungszahlen $m$ und $n$ legen die Wellenzahlen
$\beta_m$, $\sigma_n$ und $\alpha_{mn}$ fest.
Sie bestimmen somit die Form der Lösung bei einer
vorgegebenen Frequenz $\omega$.
Die entsprechende Lösung wird auch als $mn$-Mode bezeichnet.
Mit den Faktoren $A_1$, $B_1$, $A_2$ und $A_3$ wird
die Amplitude der Lösung festgelegt.

Für $B_1 = 0$ ergibt sich eine ``reine'' Welle in positiver
$x_1$-Richtung.
Entsprechend stellt die Lösung für $A_1 = 0$ eine Welle in
negativer $x_1$-Richtung dar.
Im allgemeinen Fall erhält man eine Überlagerung von  
beiden Wellen.
Eine reguläre Wellenausbreitung liegt jedoch nur vor,
wenn die Wellenzahl $\alpha_{mn}$ reell ist.
Dazu muß die Frequenz $\omega$ die Bedingung
%
\begin{equation}
\omega > 
c \,
\sqrt{\left( \ff{m \pi}{H_2} \right)^2 + \left( \ff{n \pi}{H_3} \right)^2}
\equiv \omega^{\hbox{\tiny c}}_{mn}
\end{equation}
%
erfüllen.
Die Größe $\omega^{\hbox{\tiny c}}_{mn}$ wird als
``Cut-Off''-Frequenz der $mn$-Mode bezeichnet.

Für niedrigere Frequenzen, die (2) nicht erfüllen, ist
$\alpha_{mn}$ rein imaginär.
Dann beschreibt Gleichung (1) eine Überlagerung aus
einem Teil, der in positiver $x_1$-Richtung
exponentiell abklingt, und einem exponentiell
anwachsenden Teil. Ob die gesamte Lösung
in positive $x_1$-Richtung steigt, liegt
an der Wahl von $A_1$ und $B_1$.

Für die Modenzahlen $mn = (0,0)$ ergibt sich
übrigens eine ebene Wellen in oder entgegen
der $x_1$-Richtung, je nach Wahl von $A_1$ und $B_1$.
Diese Lösung wird Grundmode genannt.
Sie ist immer ausbreitungsfähig, da $\omega^{\hbox{\tiny c}}_{00} = 0$
gilt.

Zur Veranschaulichung der Moden sind in den folgenden Abbildungen
in einem Querschnitt des Kanals zu einer festen Zeit
Bereiche positiven und negativen Schalldrucks
markiert.
In den grau schattierten Bereichen ist der
Schalldruck positiv und in den hellen Bereichen negativ.
Die Bilder sind sozusagen Momentaufnahmen.
Zu einem anderen Zeitpunkt können die Bereiche mit positiven und
negativen Werten vertauscht sein.
Die Grenzlinien zwischen den Bereichen, die sogenannten Knotenlinien,
bleiben allerdings konstant.
Sie verlaufen entlang der Positionen $x_2$ und $x_3$, an denen
einer der beiden $\cos$-Terme in (1) verschwindet.
Dort hat die Lösung beziehungsweise Mode immer einen Schalldruck gleich
Null.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.25){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=mode00a.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.7,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\put(4.3,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.2,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\put(0.1,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_3$}}
\put(4.1,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small mn=(0,0)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.25){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=mode10.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.7,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\put(4.3,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.2,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\put(0.1,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_3$}}
\put(4.1,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small mn=(1,0)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.25){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=mode11.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.7,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\put(4.3,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.2,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\put(0.1,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_3$}}
\put(4.1,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small mn=(1,1)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.25){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=mode32.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.7,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\put(4.3,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.2,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\put(0.1,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_3$}}
\put(4.1,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small mn=(3,2)}}
\end{picture}
\end{center}
%

Um die Druckverteilung noch weiter zu verdeutlichen,
ist in den folgenden Abbildungen der
Druckverlauf entlang der Linie $x_3 = H_3/2$
(also durch die Mitte des Kanals in Bezug auf $x_3$)
für zwei Fälle aufgetragen.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=pmode10.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.35,1.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.5,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\put(4.3,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.25,2.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\put(4.1,2.8){\makebox(0,0)[cc]{\small mn=(1,0)}}
\end{picture}
\end{center}
%


%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]
{\epsfig{file=pmode32.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.35,1.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.5,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\put(4.3,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.25,2.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\put(4.1,2.8){\makebox(0,0)[cc]{\small mn=(3,2)}}
\end{picture}
\end{center}
%

In $x_2$- und $x_3$-Richtung beschreibt die 
Lösung stehende Wellen zwischen den Kanalwänden.
Es befindet sich immer ein Extremum des Schalldrucks
an der Wand.
Die Lösungen haben dort einen sogenannten ``Druckbauch'', der
durch die Randbedingung der schallharten Wand
erzwungen ist.

Bisher wurden nur laufende Wellen in $x_1$-Richtung
betrachtet.
Es wurde angenommen, daß der Kanal in $x_1$-Richtung zu
beiden Seiten unendlich ausgedehnt ist.
Wird der Kanal mit schallharten Wänden auch in
$x_1$-Richtung abgeschlossen, ergibt sich
ein quaderförmiger Raum.
Im folgenden sollen die Lösungen der Wellengleichung
in einem solchen Raum betrachtet werden.

Eine Wand wird bei $x_1 = 0$ und die zweite bei $x_1 = H_1$
angenommen.
Der Quader besitzt damit die Abmessungen
$H_1 \times H_2 \times H_3$.
Die Lösung wird wieder für eine vorgegebene Frequenz $\omega$
gesucht.
Der Separationsansatz bleibt unverändert.
Jedoch wird nun für die Funktion $f(x_1)$ der Lösungsansatz
%
\begin{equation}
f(x_1) = A_1 \,
\cos(\alpha x_1) +
B_1 \, \sin(\alpha x_1)
\end{equation}
%
angenommen.
Dieser ist besonders zweckmäßig, um stehende Wellen zu beschreiben und
die Randbedingungen an den festen Wänden zu erfüllen.
Es muß gelten:
%
\begin{equation}
\pp{p'}{x_1} = 0
\quad \hbox{für} \quad
x_1 = 0, x_1 = H_1
\end{equation}
%
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\dd{f}{x_1}(0) = 
\dd{f}{x_1}(H_1) = 
0
\end{equation}
%
Die Bedingung bei $x_1 = 0$ erfüllt man, wenn
%
\begin{equation}
B_1 = 0
\end{equation}
%
gesetzt wird.
Um die Bedingung bei $x_1 = H_1$ zu erfüllen, muß
die Wellenzahl
%
\begin{equation}
\alpha = \ff{l \pi}{H_1} \equiv \alpha_l
\quad \hbox{für} \quad
l = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
gewählt werden.
Analog zu $\beta$ und $\sigma$ wird
durch die Randbedingung $\alpha$ nicht eindeutig festgelegt.
Es gibt eine ganze Reihe von möglichen Lösungen, die mit $\alpha_l$
bezeichnet werden.
Dabei ist $l$ eine weitere Ordnungszahl.

Im Fall des in $x_1$-Richtung unendlich ausgedehnten Kanals
wurden $\beta$ und $\sigma$ durch die Randbedingungen bestimmt,
und $\alpha$ ergab sich indirekt aus der Beziehung
%
\begin{equation}
\alpha^2 + \beta^2 + \sigma^2 = \left( \ff{\omega}{c} \right)^2
= k^2
\end{equation}
%
Diese Beziehung folgte unmittelbar aus dem Lösungsansatz für $p'(\vec{x},t)$
nach Einsetzen in die Wellengleichung.
Im Fall des Quaders ist die Wellenzahl $\alpha$ direkt durch die
Randbedingungen an den zusätzlichen Wänden festgelegt.
Jedoch muß Gleichung (8) immer noch gelten, damit die
Wellengleichung wirklich erfüllt wird.
Dadurch ist das System jedoch überbestimmt.
Es gibt mehr Bedingungen als Unbekannte.
Tatsächlich läßt sich nicht mehr für jede vorgegebene Frequenz $\omega$
eine Lösung finden.
Die Frequenz muß die Bedingung
%
\begin{equation}
\omega = c \, \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \sigma^2}
\end{equation}
%
erfüllen.
Dies wird für die Werte
%
\begin{equation}
\omega_{lmn} = c \pi \, \sqrt{
\left( \ff{l \pi}{H_1} \right)^2 +
\left( \ff{m \pi}{H_2} \right)^2 +
\left( \ff{n \pi}{H_3} \right)^2
}
\end{equation}
%
erreicht.
Nur für diese Werte ergibt sich eine harmonische Lösung.
Für vorgegebene Ordnungszahlen $l$, $m$ und $n$
hat das Druckfeld die Form
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
p'(\vec{x}, t) %\Big|_{lmn}
=& A_1 \, A_2 \, A_3 \, \\
&\times
\cos(\alpha_l x_1) \,
\cos(\beta_m x_2) \,
\cos(\sigma_n x_3) \\
&\times
\;
e^{i \omega_{lmn} t}\\
\equiv&
 A_1 \, A_2 \, A_3 \; p'_{lmn} (\vec{x}, t)
\end{array}
\end{equation}
%
Anschaulich beschreibt die Lösung stehende Wellen, die
in den Quader ``hineinpassen''.
Dies ist nur bei den ausgezeichneten Frequenzen nach (10) --
den Resonanzfrequenzen -- möglich.
Für andere Frequenzen ergibt sich keine Lösung mit dem
harmonischen Ansatz.

Theoretisch halten sich die stehenden Wellen bei den
Resonanzfrequenzen unendlich lange, wenn sie einmal
angeregt wurden.
In der Praxis wird jedoch jede Schwingung durch nichtlineare
Effekte, Wärmeleitung und Reibung gedämpft.
Regt man in dem Quader mit einem Lautsprecher harmonische
Schwingungen an,
so ergibt sich ein Stehwellenfeld, das zusätzlich die
periodischen Randbedingungen am Lautsprecher erfüllt.
Stimmt die Anregungsfrequenz mit einer Resonanzfrequenz
überein, so kann eine sogenannte Resonanzkatastrophe eintreten.

In der Realität läßt sich eine einzelne Mode
-- zum Beispiel mit einem Lautsprecher in der Seitenwand --
nur sehr schwer gezielt anregen.
Im allgemeinen wird eine Überlagerung aus viele Moden 
angeregt, so daß die reale Lösung als Summe
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t)
=
\sum \limits_l \,
\sum \limits_m \,
\sum \limits_n \,
B_{lmn} \,
p'_{lmn} (\vec{x}, t)
\end{equation}
%
dargestellt werden muß.

\setcounter{equation}{0}

\begin{flushleft}
{\bf 1.2) Harmonische Lösungen der Wellengleichung bei
Zylindersymmetrie}
\end{flushleft}

Zunächst soll die Lösung der Wellengleichung
für eine allgemeine Größe $\phi$ betrachtet werden.
$\phi$ kann der Schalldruck, das akustische Potential
oder irgendeine andere physikalische Größe sein, für die
die Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 \phi}{t^2}
-
\Delta \phi
= 0
\end{equation}
%
gilt.
Es werden nur harmonische Lösungen zugelassen, die
dem Ansatz
%
\begin{equation}
\phi(\vec{x},t) = \psi(\vec{x}) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
entsprechen.
Einsetzen in (1) ergibt
%
\begin{equation}
- \ff{\omega^2}{c^2} \, \psi \, e^{i \omega t}
-
\Delta \psi \,  e^{i \omega t} = 0
\end{equation}
%
was sich zu
%
\begin{equation}
\Delta \psi + k^2 \psi = 0
\end{equation}
%
vereinfachen läßt.
Diese Gleichung wird auch als
Helmholtz-Gleichung bezeichnet.
Sie enthält nicht mehr die Zeit als Variable.
Das Feld $\psi$ hängt nur vom Ort ab.

Es sollen nur zylindersymmetrische Lösungen
betrachtet werden.
Dazu werden die Zylinderkoordinaten
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
x_1 =& r \, \cos \varphi \\
x_2 =& r \, \sin \varphi \\
x_3 =& z
\end{array}
\end{equation}
%
eingeführt.
In der folgenden Abbildung sind die
Koordinaten veranschaulicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{8.0mm}%
\begin{picture}(6.6,5.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=zylinder01.eps,width=6.0cm}}}
\put(5.0,2.15){\makebox(0,0)[cc]{$\varphi$}}
\put(4.8,2.65){\makebox(0,0)[cc]{$r$}}
\put(5.5,3.6){\makebox(0,0)[cc]{$z$}}
\put(6.1,5.3){\makebox(0,0)[cc]{$P$}}
\put(6.3,1.45){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\put(6.9,4.2){\makebox(0,0)[cc]{$x_2$}}
\put(3.0,5.1){\makebox(0,0)[cc]{$x_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%

In dem gewählten Koordinatensystem hat der Laplace-Operator
die Form
%
\begin{equation}
\Delta = \ff{1}{r} \,
\pp{}{r}
\left(
r \pp{}{r}
\right)
+
\ff{1}{r^2}
\pp{}{\varphi^2}
+
\pp{}{z^2}
\end{equation}
%
Bei Zylindersymmetrie ist das Feld $\psi$
ausschließlich von $r$ abhängig.
Die Ableitungen von $\psi$ nach $\varphi$ und $z$
verschwinden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\Delta \psi 
= \ff{1}{r} \,
\dd{}{r}
\left(
r \, \dd{\psi}{r}
\right)
\end{equation}
%
Die partielle Ableitung wurde durch die
gewöhnliche ersetzt, da $\psi$ nur von einer Variablen
abhängt.

Durch Einsetzen von (7) in (4) erhält man 
die Helmholtz-Gleichung in Zylinderkoordinaten
bei Zylindersymmetrie
%
\begin{equation}
\dd{^2 \psi}{r^2} +
\ff{1}{r} \dd{\psi}{r} +
k^2 \psi = 0
\end{equation}
%
Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung
zweiter Ordnung
für die Funktion $\psi(r)$.
Die Lösung dieser Differentialgleichung findet man
in Formelsammlungen.
Allerdings ist dort meist eine etwas andere Form
der Differentailgleichung
angegeben, auf die man durch die
Substitution
%
\begin{equation}
s = kr \; ; \quad a(s) = \psi(r)
\end{equation}
%
kommt.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\dd{\psi}{r} = k \dd{a}{s}
 \; ; \quad
\dd{^2 \psi}{r^2} = k^2 \dd{^2 a}{s^2}
\end{equation}
%
Durch Einsetzen erhält man aus (8) eine Differentialgleichung
für $a(s)$ der Form
%
\begin{equation}
\dd{^2 a}{s^2} +
\ff{1}{s} \dd{a}{s} +
a = 0
\end{equation}
%
Dies ist der Spezialfall $\nu = 0$ der
Besselschen Differentialgleichung
%
\begin{equation}
s^2 \dd{^2 a}{s^2} +
s \dd{a}{s} +
(s^2 - \nu^2) \, a = 0
\end{equation}
%
Die Größe  $\nu = 0$ gibt die Ordnung der Gleichung an.
Das bedeutet, man gelangt in wenigen Schritten 
von der Wellengleichung
mit den Annahmen der harmonischen Lösung
und Zylindersymmetrie
auf die Besselsche Differentialgleichung nullter Ordnung.

Die sogenannten Bessel-Funktionen sind
Lösungen der Besselsche Differentialgleichung.
Bevor auf die Lösungen näher eingegangen wird, soll hier
der Zusammenhang der Differentialgleichung (8) und der
Wellengleichung verdeutlicht werden.
Dies geschieht anhand einer Gegenüberstellung
verschiedener Fälle.

Im ersten Fall ist die Koordinate
$r$ der Abstand von einer Ebene, für die
hier die Ebene $x_1 = 0$ gewählt wird.
Das bedeutet
%
\begin{equation}
r = |x_1|
\end{equation}
%
Hängt $\psi$ nur von $r$ ab, ergibt sich ein eindimensionaler
Fall.
Außerhalb von $r = 0$ gilt
%
\begin{equation}
\Delta \psi = \dd{^2}{r^2} \, \psi
\end{equation}
%

Im zweiten Fall wird Zylindersymmetrie angenommen.
Die Situation ist zweidimensional.
In Zylinderkoordinaten ist
$r$ der Abstand von der $x_3$-Achse
%
\begin{equation}
r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}
\end{equation}
%
Es gilt
%
\begin{equation}
\Delta  \psi = \ff{1}{r} \dd{}{r} \left( r \, \dd{}{r} \right) \, \psi
\end{equation}
%

Im dritten Fall wird Kugelsymmetrie angenommen.
Es wird ein dreidimensionales Feld $\psi(r)$ betrachtet.
Die Koordinate $r$ ist der Abstand vom Ursprung:
%
\begin{equation}
r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}
\end{equation}
%
In Kugelkoordinaten gilt
%
\begin{equation}
\Delta \psi = \ff{1}{r^2} \dd{}{r} \left( r^2 \, \dd{}{r} \right) \, \psi
\end{equation}
%

Zu bemerken ist, daß sich die Ausdrücke auch den rechten Seiten von
(14), (16) und (18) formal nur durch den Exponenten von $r$ unterscheiden.
Denn Gleichung (14) könnte auch als
%
\begin{equation}
\Delta  \psi = \ff{1}{r^0} \dd{}{r} \left( r^0 \, \dd{}{r} \right) \, \psi
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Durch die unterschiedlichen Ausdrücke für $\Delta \psi$ in den
verschiedenen Koordinatensystemen,
ergeben sich auch verschiedene Bestimmungsgleichungen
für $\psi(r)$ aus der Helmholtz-Gleichung (4).

Im eindimensionalen Fall folgt
%
\begin{equation}
\dd{^2 \psi}{r^2} + k^2 \psi = 0
\end{equation}
%
Im zweidimensionalen Fall bei Zylindersymmetrie erhält man
%
\begin{equation}
\dd{^2 \psi}{r^2} +
\ff{1}{r} \dd{\psi}{r} +
k^2 \psi = 0
\end{equation}
%
und bei Kugelsymmetrie
ergibt sich
%
\begin{equation}
\dd{^2 \psi}{r^2} +
\ff{2}{r} \dd{\psi}{r} +
k^2 \psi = 0
\end{equation}
%
Die Differentialgleichungen (20), (21) und (22)
unterscheiden sich lediglich durch den
Faktor vor den Term mit der ersten Ableitung.
In Gleichung (20) könnte theoretisch als zweiter 
Term noch
%
\begin{equation}
\ff{0}{r} \dd{\psi}{r} = 0
\end{equation}
%
eingefügt werden.

Die Lösungen der Differentialgleichung (20) lauten
zum Beispiel
%
\begin{equation}
\psi(r) = \sin(kr); \;
\psi(r) = \cos(kr); \;
\psi(r) = e^{\pm ikr}
\end{equation}
%
Die Lösungen für Differentialgleichung (22) sind
zum Beispiel
%
\begin{equation}
\psi(r) = \ff{\sin(kr)}{r}; \;
\psi(r) = \ff{\cos(kr)}{r}; \;
\psi(r) = \ff{1}{r} \,e^{\pm ikr}
\end{equation}
%
Mit diesen Lösungen ergeben sich Kugelwellen
für $\psi = \phi \, e^{i \omega t}$.
Die Lösungen für den eindimensionalen und den
kugelsymmetrischen Fall lassen sich damit
durch Sinus- und Cosinus-Funktionen ausdrücken.
In dem zweidimensionalen, zylindersymmetrischen Fall
ergeben scheinbar kompliziertere Lösungen, die
im folgenden behandelt werden.

Um die Lösung der Besselschen Differentialgleichung
zu finden wird ein sogenannter
Potentialreihenansatz aufgestellt:
%
\begin{equation}
a = \sum \limits_{m = 0}^{\infty} \, c_m \, s^{\alpha + m}
\end{equation}
%
Dabei sind $c_m$ Koeffizienten und $\alpha$ ist ein
freier Index.
Für weitere mathematische Details und den genauen
Lösungsweg sei hier auf die einschlägige Literatur
verwiesen.
Durch Bestimmen der Koeffizienten erhält man
letztlich als Lösung von (12)
%
\begin{equation}
a(s) = \sum \limits_{m = 0}^{\infty} \,
\ff{(-1)^m (\frac{1}{2}s)^{\nu + 2m}}{m! \, \Gamma (\nu + m + 1)}
\equiv J_\nu (s)
\end{equation}
%
Die Lösungen werden im Allgemeinen mit den Symbol $J_\nu$
dargestellt.
Sie werden Bessel-Funktion $\nu$-ter Ordnung genannt.

In Gleichung (27) kommt die sogenannte Gammafunktion
vor.
Sie ist durch
%
\begin{equation}
\Gamma(\nu + 1) = \int \limits_{0}^{\infty}
e^{-\xi} \, \xi^\nu \, \hbox{d} \xi
\end{equation}
%
definiert.
Es folgt
%
\begin{equation}
\Gamma(\nu + 1) = \nu \, \Gamma(\nu)
\end{equation}
%
Die Gammafunktion stellt damit eine Verallgemeinerung
der Fakultät auf reelle Argumente dar.
Ist $\nu$ einen ganze Zahl, kann die Gammafunktion
durch einen Ausdruck mit Fakultät ersetzt werden, denn
es gilt
%
\begin{equation}
\Gamma(n + 1) = n!
\quad \hbox{für} \quad n \in \mathbb{N}
\end{equation}
%

Da Gleichung (8) der Besselschen Differentialgleichung
nullter Ordnung entspricht, ist hier zunächst nur
die Besselfunktionen $J_0$ von Interesse.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------