Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 10.\ April 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 1) Dreidimensionale Kanalmoden}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 1.1) Wellenausbreitung im Kanal mit rechteckigem Querschnitt}
\end{flushleft}

Betrachtet wird die Schallausbreitung in einem Kanal mit
rechteckigem Querschnitt.
Es wird angenommen der Kanal sei unendlich lang.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=rechtkan00.eps,width=7.5cm}}}
\put(3.2,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(0.7,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.3,1.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(2.8,4.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Kanalachse verläuft in $x_1$-Richtung.
Weitere Annahmen sind:
%
\begin{itemize}
\item%
Die Kanalwände sind schallhart.
\item%
Es liegt keine Strömung im Kanal vor.
\end{itemize}
%
Akustische Wellen erfüllen die Wellengleichung
für den Schalldruck:
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p' = 0
\end{equation}
%
Um die Wellenausbreitung im Kanal zu verstehen, werden
Lösungen für feste Frequenzen $\omega$ untersucht.
Dies ist analytisch viel einfacher, als beliebige
Störungen zu betrachtet.
Im Allgemeinen kann jede Störung in ihre spektralen
Anteile zerlegt werden.
Ist das Verhalten der einzelnen Anteile bekannt, 
kann die zeitliche Entwicklung der Störung
vorhergesagt werden.

Entsprechend wird für die Lösung ein harmonischer
Ansatz gewählt:
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) = f(x_1) g(x_2) h(x_3) e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Dies stellt einen Separationsansatz dar, da die
Abhängigkeiten von den verschiedenen Richtungen
mit den Funktionen $f(x_1)$,$g(x_2)$ und $h(x_3)$
getrennt enthalten sind.
Setzt man den Ansatz (2) in die Wellengleichung (1)
ein, ergibt sich nach einigen Umformungen
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\left( \ff{\omega}{c} \right)^2 f(x_1) \; g(x_2) \; h(x_3)\\
+ \dd{^2 f}{x_1^2}(x_1) \; g(x_2) \; h(x_3)\\
+ f(x_1) \; \dd{^2 g}{x_2^2}(x_2) \; h(x_3)\\
+ f(x_1) \; g(x_2) \; \dd{^2 h}{x_3^2}(x_3) = 0
\end{array}
\end{equation}
%
Die Zeit $t$ ist nach dem Kürzen durch den Faktor $e^{i \omega t}$
herausgefallen.

Um die Lösung zu bestimmen, müssen die
Funktionen $f(x_1)$,$g(x_2)$ und $h(x_3)$ ermittelt werden.
Dazu wird (3) so umgeformt, daß
alle Terme mit $g(x_3)$ auf einer Seite isoliert sind.
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\;$}l}
\ff{1}{g(x_2)}  \; \dd{^2 g}{x_2^2}(x_2) =
&-\ff{1}{f(x_1)}  \; \dd{^2 f}{x_1^2}(x_1) \\
&-\ff{1}{h(x_3)}  \; \dd{^2 h}{x_3^2}(x_3) \\
&-\left( \ff{\omega}{c} \right)^2
\end{array}
\end{equation}
%
Es stellt sich heraus, daß $x_2$ auf der rechten Seite von (4) überhaupt nicht
mehr auftritt.
Die linke Seite hängt ausschließlich von $x_2$ ab, und die rechte
Seite nur von $x_1$ und $x_3$.
Die Gleichheit muß jedoch für alle $\vec{x}$ erfüllt sein.
Dies ist nur möglich wenn beide Seiten konstant -- also unabhängig
von $\vec{x}$ -- sind.
Zweckmäßigerweise wird für die Konstante $-\beta^2$ gewählt.
Dies scheint zunächst eine Einschränkung der Allgemeinheit zu sein,
da die Konstante immer negativ ist.
Jedoch sind mit komplexen Werten für $\beta$ alle beliebigen Konstanten
möglich.
Es ergibt sich damit aus (4) die Gleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{g(x_2)}  \; \dd{^2 g}{x_2^2}(x_2) = -\beta^2
\end{equation}
%
Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, deren allgemeine
Lösung in der Form
%
\begin{equation}
g(x_2) = A_2 \,\cos(\beta x_2) + B_2 \, \sin(\beta x_2)
\end{equation}
%
geschrieben werden kann.
Durch Einsetzen läßt sich leicht zeigen, daß (6) wirklich
die Gleichung (5) erfüllt.
Damit ist die Funktion $g(x_2)$ bis auf die drei Faktoren
$A_2$, $B_2$ und $\beta$ bestimmt.
Das bedeutet, daß der Separationsansatz (2) zum Erfolg führt.
Die Funktion $g(x_2)$ kann
unabhängig von $f(x_1)$ und $h(x_3)$
bis auf einige Konstanten bestimmt werden.

Analog zur Gleichung (4) können alle
alle Terme, die von $x_3$ abhängen, auf eine Seite
gebracht werden.
Dann ergibt sich wieder ein Ausdruck, der überall konstant
sein muß.
Die Konstante wird diesmal als $-\sigma^2$ gewählt.
Man erhält analog zu (5) eine Differentialgleichung
für $h(x_3)$.
%
\begin{equation}
\ff{1}{h(x_3)}  \; \dd{^2 h}{x_3^2}(x_3) = -\sigma^2
\end{equation}
%
Als allgemeine Lösung ergibt sich
%
\begin{equation}
h(x_3) = A_3 \,\cos(\sigma x_3) + B_3 \, \sin(\sigma x_3)
\end{equation}
%
Dieser Ausdruck ist äquivalent zur Lösung
für $g(x_2)$ in (6).
Der gleiche Vorgang kann letztlich auch für die
Variable $x_1$ und damit für die Funktion $f(x_1)$
durchgeführt werden.
Als Konstante wird $-\alpha^2$ gewählt.
Es ergibt sich eine zu (5) und (7) analoge
Differentialgleichung mit
%
\begin{equation}
\ff{1}{f(x_1)}  \; \dd{^2 f}{x_1^2}(x_1) = -\alpha^2
\end{equation}
%
Im folgenden wird sich zeigen, daß die Form der Lösung
in (6) und (8) besonders gut zur Erfüllung der Randbedingungen
an den festen Wänden geeignet ist.
Die Funktion $f(x_1)$ beschreibt die Form der Welle in
Kanalrichtung.
Dort sind keine Randbedingungen gegeben.
In Kanalrichtung ergeben sich vielmehr laufende Wellen.
Die Formen (6) und (8) sind eher für stehende Wellen geeignet.
Es ist daher zweckmäßig die allgemeine Lösung in der Form
%
\begin{equation}
f(x_1) = A_1 \, e^{- i \alpha x_1} + B_1 \, e^{i \alpha x_1}
\end{equation}
%
darzustellen.
Natürlich kann auch mit (6) oder (8) eine laufende Welle und
umgekehrt mit (10) eine stehende Welle dargestellt werden.
Dann werden jedoch die endgültigen Ausdrücke komplizierter.
Um mit (8) eine laufende Welle zu beschreiben, muß man
$A_3$ und $B_3$ geeignet wählen.
Eine stehende Welle ergibt sich bereits, wenn man eine der
beiden Konstanten gleich Null setzt.

Bisher wurde die Form der Funktionen $f(x_1)$, $g(x_2)$ und
$h(x_3)$ ermittelt.
Die konkrete Lösung wird durch die
Konstanten $A_1$, $B_1$, \ldots und die
Wellenzahlen $\alpha$, $\beta$ und $\sigma$ bestimmt.
Durch die Wellenzahlen wird die Wellenlänge in der
jeweiligen Richtung festgelegt.
Die Wellenzahlen müssen so gewählt werden, daß die
Randbedingungen an den festen Wänden erfüllt werden.
Die Randbedingungen reichen jedoch nur aus, um $\beta$ und $\sigma$
zu bestimmen.
Die Wellenzahl $\alpha$ ist dann indirekt durch die Beziehung
%
\begin{equation}
\alpha^2 + \beta^2 + \sigma^2 = \left( \ff{\omega}{c} \right)^2
= k^2
\end{equation}
%
bestimmt, die sich aus Gleichung (4) durch Einsetzen
von (5), (7) und (9) ableitet.

Die folgende Skizze zeigt einen Schnitt durch den Kanal.
Das Koordinatensystem ist so gewählt, daß jeweils eine
Kanalwand bei $x_2 = 0$ und $x_3 = 0$ liegt.
Die Ausdehnung des Kanals in $x_2$- und $x_3$-Richtung wird mit
$H_2$ und $H_3$ bezeichnet.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=schnitt00.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.5,0.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(4.3,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.25,3.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\put(4.2,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(0.25,2.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_3$}}
\put(3.5,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $H_2$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Randbedingung an festen Wänden besagt, daß kein Fluid
durch die Wand strömt.
Entsprechend muß die Schnellekomponente senkrecht zur
Wand gleich Null sein.
Es gilt daher
%
\begin{equation}
v_2'(\vec{x},t) = 0 \quad \hbox{für} \quad x_2 = 0, x_2 = H_2
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
v_3'(\vec{x},t) = 0 \quad \hbox{für} \quad x_3 = 0, x_3 = H_3
\end{equation}
%
Die Gleichungen (12) und (13) stellen Bedingungen an die
Schnelle und nicht an den Schalldruck.
Sie sind daher nicht direkt als Randbedingungen an die
Wellengleichung für den Schalldruck (1) geeignet.
Es muß zunächst aus den Bedingungen eine Beziehung
für den Schalldruck abgeleitet werden.
Dazu bietet sich die linearisierte Euler-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{v_j'}{t} = - \pp{p'}{x_j}
\end{equation}
%
an.
An den Wänden sich die Normalkomponenten der Schnelle
gleich Null.
Damit verschwindet auch ihre zeitliche Ableitung, die auf der
linken Seite von (14) auftritt.
Es ergeben sich damit Bedingungen an die
räumliche Ableitung des Schalldrucks:
%
\begin{equation}
\pp{p'}{x_2} = 0 \quad \hbox{für} \quad x_2 = 0, x_2 = H_2
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\pp{p'}{x_3} = 0
\quad \hbox{für} \quad x_3 = 0, x_3 = H_3
\end{equation}
%
Der Verlauf von $\pp{p'}{x_2}$ in $x_2$-Richtung
wird durch die Funktion $g(x_2)$ bestimmt.
Damit die Bedingung (15) gilt muß die Funktion
%
\begin{equation}
\dd{g}{x_2}(0) = 
\dd{g}{x_2}(H_2) = 0
\end{equation}
%
erfüllen.
Analog folgt aus (16) eine Beziehung für $h(x_3)$
an den Wänden
%
\begin{equation}
\dd{h}{x_3}(0) = 
\dd{h}{x_3}(H_3) = 0
\end{equation}
%
Die Gleichungen (17) und (18) werden nun ausgenutzt,
um die Konstanten in (6) und (8) zu bestimmen.
Aus den Bedingungen bei $x_2 = 0$ und $x_3 = 0$
folgt sofort, daß
%
\begin{equation}
B_2 = B_3 = 0
\end{equation}
%
sein muß.
Sonst wäre die Ableitung der Funktionen an der einen Wandposition
durch den Sinus-Term ungleich Null.
Der Cosinus besitzt bei Null ein Maximum und erfüllt
die Bedingung.
Damit auch an der zweiten Wand die Ableitung verschwindet,
muß
%
\begin{equation}
\beta = \ff{m \pi}{H_2} \equiv \beta_m
\quad \hbox{für} \quad m=0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
beziehungsweise
%
\begin{equation}
\sigma = \ff{n \pi}{H_3} \equiv \sigma_n
\quad \hbox{für} \quad n=0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
gelten.
Anschaulich bedeutet dies, daß eine ganze Zahl von
halben Wellenlängen zwischen den Kanalwänden Platz
haben muß.
Dadurch werden jedoch die Wellenzahlen $\beta$ und
$\sigma$ nicht eindeutig festgelegt.
Vielmehr gibt es eine ganze Serie von zulässigen
Werten, die der Größe nach geordnet mit $\beta_m$
und $\sigma_n$ bezeichnet werden.
Die Ordnungszahlen sind dabei $m$ und $n$.
Sie legen letztlich die Lösung fest,
denn mit $\beta$ und $\sigma$ kann auch $\alpha$
bestimmt werden.
Damit ist bis auf einen Konstanten Faktor die
gesamte Lösung bekannt.
Aus (11) folgt
%
\begin{equation}
\alpha = \sqrt{k^2 - \beta^2 - \sigma^2}
\end{equation}
%
Das bedeutet es gibt eine ganze Menge von möglichen
Werten, die durch
%
\begin{equation}
\alpha = \sqrt{
\left( \ff{\omega}{c} \right)^2
-\left( \ff{m \pi}{H_2} \right)^2
-\left( \ff{n \pi}{H_3} \right)^2}
\equiv \alpha_{mn}
\end{equation}
%
gegeben sind.
Die Wellenzahl in Kanalrichtung hängt damit von beiden
Ordnungszahlen ab.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------