Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Einige Überlegungen zur $\delta$-Funktion}

\vspace{0.25 cm}

\setcounter{equation}{0}
\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf Einleitung}
\end{flushleft}

Zur Beschreibung vieler Probleme in der Physik bietet es sich an die
sogenannte $\delta$-Funktion zu verwenden.
Einfache Beispiele sind die Punktmasse in der Mechanik und die Punktquelle
in der Akustik.
Auch bei vielen Herleitungen und Beweisen kann die $\delta$-Funktion
ein nützliches Hilfsmittel ein.
Sie wurde von dem Physiker P.A.M.\ Dirac aus theoretisch-physikalischer
Zweckmäßigkeit eingeführt.
Erst danach wurde von L.\ Schwarz eine umfassende Theorie
entwickelt, und die Anwendung der $\delta$-Funktion auf exaktes mathematisches
Fundament gestellt.

Eine ausführliche Beschreibung der mathematischen Grundlagen der
Materie würde den Rahmen dieser Übersicht
sprengen.
Deshalb soll hier eine anschauliche Einführung in die 
wesentlichen Eigenschaften der $\delta$-Funktion
gegeben werden, die den praktischen Umgang mit der Funktion
erleichtern soll.

\begin{flushleft}
{\bf Hilfsfunktion}
\end{flushleft}

Wird zunächst eine Hilfsfunktion konstruiert, aus
der eine sogenannte Delta-Folge abgeleitet werden kann.
Diese Vorgehensweise orientiert sich nicht an den oben
genannten physikalischen Beispielen der Punktmasse
oder der Punktquelle, sondern folgt einer eher mathematischen
Überlegung.

%
\begin{minipage}{8.0cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=heavy02.eps,width=6.0cm}}}
\put(1.3,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $-a$}}
\put(4.25,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $+a$}}
\put(2.75,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(5.75,0.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $x$}}
\put(2.6,3.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(3.0,3.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $h(x;a)$}}
\end{picture}\\
Abb. 1: Verlauf der Hilfsfunktion
\vspace{10pt}
\end{center}
\end{minipage}
%

Es wird von einer stetigen und monotonen
Funktion $h(x;a)$ ausgegangen, die in dem
Intervall $[-a, +a]$ von Null auf Eins ansteigt.
Die Funktion hängt von $x$ und $a$ ab, jedoch wird
ihr Verlauf immer für einen festen Wert von $a$ diskutiert.
Dies erklärt die Schreibweise ``$h(x;a)$'' mit dem Semikolon.
In der Abbildung 1 sind zwei mögliche Varianten eingezeichnet.

In jedem Fall gilt
%
\begin{equation}
h(x;a) =
\left\{
\begin{array}{l@{\quad\hbox{für}\quad}l}
0 & x < -a\\
1 & x > a
\end{array}
\right.
%\tag{Joel}
\end{equation}
%
Die durchgezogene Kurve in Abbildung 1 entspricht
der Funktion
%
\begin{equation}
h(x;a) =\ff{1}{2} \Big[ 1 + \sin \big( \pi \ff{x}{2 a} \big) \Big]
\quad\hbox{für}\quad -a \leq x \leq a
\end{equation}
%
Die Funktion ist überall differenzierbar.
Die gestrichelte Kurve stell eine formal
recht einfache Alternative dar, die durch
%
\begin{equation}
h(x;a) =\ff{x + a}{2 a}
\quad\hbox{für}\quad -a \leq x \leq a
\end{equation}
%
gegeben ist.
Diese Funktion ist jedoch bei $x=-a$ und $x = a$
nicht differenzierbar.
Es sei hier noch ein weiteres Beispiel angegeben, 
das jedoch in Abbildung 1 nicht eingezeichnet ist.
Die Funktion lautet
%
\begin{equation}
h(x;a) = e^{\displaystyle -e^{\big(\frac{x}{x^2 - a^2}\big)}}
\quad\hbox{für}\quad -a \leq x \leq a
\end{equation}
%
Solche und ähnliche Varianten werden gelegentlich
in der Literatur betrachtet.

Im nächsten Schritt wird die Ableitung der Hilfsfunktion
für einen festen Wert $a$ gebildet.
Das Resultat ist wieder eine Funktion von $x$, die
als $\delta(x;a)$ bezeichnet wird.
Es gilt 
%
\begin{equation}
\delta(x;a) = \dd{}{x} h(x;a)
\end{equation}
%
Die Abbildung 2 zeigt den Verlauf der Ableitung
für $h(x;a)$ nach (2).
Es sind die Kurven für drei verschiedene Werte $a$
eingezeichnet.
Bei $x = 0$ ist die Steigung von $h(x;a)$ maximal.
Je kleiner $a$ gewählt wird, desto steiler ist
der Verlauf von $h(x;a)$.
Entsprechend höhere Werte für $\delta(x;a)$
ergeben sich.

In Abbildung 3 ist sind die entsprechenden Kurven
für $h(x;a)$ nach (3) dargestellt.
Der lineare Anstieg in Intervall $[-a,a]$ ergibt
dort eine konstante Ableitung.
Dem entsprechend ergibt sich ein kastenförminger
Verlauf von $\delta(x;a)$.

%
\begin{minipage}{8.0cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=delta02.eps,width=6.0cm}}}
\put(0.7,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $-a$}}
\put(4.9,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $+a$}}
\put(2.75,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(5.75,0.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $x$}}
\put(3.0,3.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $\delta(x;a)$}}
\end{picture}\\
Abb. 2: Beispiel mit stetigem Verlauf
\vspace{10pt}
\end{center}
\end{minipage}
%

%
\begin{minipage}{8.0cm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kast00.eps,width=6.0cm}}}
\put(0.7,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $-a$}}
\put(4.9,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $+a$}}
\put(2.75,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(5.75,0.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $x$}}
\put(3.0,3.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $\delta(x;a)$}}
\end{picture}\\
Abb. 3: Beispiel mit Kastenfunktion
\vspace{10pt}
\end{center}
\end{minipage}
%

Unabhängig von der Wahl des Parameters $a$
muss die Bedingung
%
\begin{equation}
\int \limits_{-a}^{+a} \delta(x;a) \, \hbox{d}x
=
1
\end{equation}
%
erfüllt sein, da
%
\begin{equation}
\Big[ h(x; a) \Big]_{-a}^{a} = 1
\end{equation}
%
ist.
Da $\delta(x;a)$ außerhalb der Intervalls $[-a,a]$
gleich Null ist, kann die Integration in (6)
auf den gesamten Wertebereich ausgedehnt werten.
Es gilt damit
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x;a) \, \hbox{d}x
=
1
\end{equation}
%


\begin{flushleft}
{\bf Delta-Folge}
\end{flushleft}

Wird ein kleineres $a$ gewählt, so wird die
Kurve $\delta(x;a)$ immer höher.
Es stellt sich die Frage, was im Grenzfall $a \rightarrow 0$
passiert.
Um dies näher zu untersuchen, wird eine sogenannte
Delta-Folge eingeführt.
Dies ist eine Folge von Funktionen, die durch
%
\begin{equation}
\delta_n(x) = \delta \big( x;\ff{1}{n} \big)
\end{equation}
%
definiert wird.
Damit gilt
%
\begin{equation}
\delta_n(x) =
\dd{}{x}
h \big( x;\ff{1}{n} \big)
\end{equation}
%
Im Grenzfall $n \rightarrow \infty$  ist die Verteilung von $\delta_n(x)$
immer dichter um $x=0$ konzentriert.
Für jedes $\varepsilon > 0$ gilt
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\int \limits_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta_n(x) \, \hbox{d}x
=
1
\end{equation}
%
Dies ist offensichtlich, da für $n > 1/\varepsilon$ das Integral
in (11) exakt gleich Eins ist.
Entsprechend gelten die beiden Bedingungen
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\int \limits_{-\infty}^{-\varepsilon} \delta_n(x) \, \hbox{d}x
=
0
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\int \limits_{+\varepsilon}^{+\infty} \delta_n(x) \, \hbox{d}x
=
0
\end{equation}
%
Eine Funktionenfolge, die die drei Bedingungen (11),(12) und (13)
erfüllt, wird Delta-Folge genannt.
Durch (9) kann aus den Hilfsfunktionen $h(x;a)$ eine
Delta-Folge konstruiert werden.
Es gibt natürlich noch viele andere Wege solche Folgen
zu definieren.

Für $n \rightarrow \infty$ konvergiert die Folge
$h(x;1/n)$ gegen die sogenannte Heavyside-Funktion,
die im Allgemeinen mit $H(x)$ abgekürzt wird.
Die Heavyside-Funktion ist einfach durch
%
\begin{equation}
H(x)
=
\left\{
\begin{array}{l@{\quad \hbox{für} \quad}l}
0 & x < 0 \\
1 & x \ge 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
definiert.
Die Heavyside-Funktion besitzt an der Stelle $x = 0$
eine Unstetigkeit.
Es gilt
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
h \big( x;\ff{1}{n} \big)
=
H (x)
\end{equation}
%
Die Folge der stetigen Funktionen
$h(x;1/n)$ konvergiert gegen eine unstetige Funktion.

Es stellt sich die Frage, gegen was die Folge $\delta_n(x)$
für $x \rightarrow \infty$ konvergiert.
Angenommen die Folge konvergiert gegen eine Funktion, die
mit $\delta (x)$ bezeichnet wird.
Es würde dann 
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\delta_n(x)
=
\delta (x)
\end{equation}
%
gelten.
Es lässt sich leicht zeigen, dass bei $x = 0$
die Funktion $\delta (x)$ eine Unendlichkeitsstelle
besitzen muss.
Sie ist dort im strengen Sinn gar nicht definiert.
Für $x \neq 0$ muss $\delta (x) = 0$ sein.
Damit ergibt sich eine Funktion, die überall
gleich Null ist bis auf eine
Stelle, an der sie nicht definiert ist.
Scheinbar ist  $\delta (x)$ als Funktion im
eigentlichen Sinn gar nicht zu gebrauchen.

Man kann dem Grenzwert der Delta-Folge
jedoch auf ganz andere Weise eine Bedeutung
geben.
Man versteht unter $\delta(x)$ dann keine Funktion
im eigentlichen Sinn, sondern eine Verteilung
beziehungsweise eine sogenannte Distribution.
Dies ist analog zu der Dichteverteilung in einem
Raum mit einem Massenpunkt.
In dem Punkt ist die Dichte unendlich und außerhalb
gleich Null.
Es gibt keine Funktion im eigentlichen Sinn, die
eine solche Dichteverteilung beschreibt.
Das Integral der Dichteverteilung über den Raum muss
in jedem Fall die Gesamtmasse ergeben.
Die  $\delta$-Funktion ist als eine solche
Dichteverteilung in einem linearen, eindimensionalen
Raum zu verstehen, die an der Stelle $x = 0$
eine punktförmige Masse der Größe Eins darstellt.
Das bedeutet, für das Integral über $\delta(x)$ muss
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \, \hbox{d}x
=
1
\end{equation}
%
gelten.
Da $\delta(x)$ keine echte Funktion darstellt, ist
strenggenommen das Integral über $\delta(x)$ gar nicht definiert.
Man kann der Gleichung (17) aber dennoch eine
Bedeutung geben, in dem man sie als Schreibweise
für den Ausdruck
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \, \hbox{d}x
=
1
\end{equation}
%
versteht.
Die Integrale über die Elemente der Delta-Folge
sind wohldefiniert.
Ein Ausdruck mit einem Integral über $\delta(x)$
ist damit immer als Grenzwert des Integrals über
die Elemente der Delta-Folge zu verstehen.

Jedoch macht auch der Ausdruck $\delta(x)$ 
außerhalb von Integralen einen Sinn.
Zum Beispiel kann mit der Beziehung
%
\begin{equation}
\delta(x)
=
\dd{}{x} H(x)
\end{equation}
%
der Ableitungsbegriff erweitert werden.
Eigentlich ist die Ableitung der Funktion $H(x)$
an der Sprungstelle $x = 0$ nicht definiert,
genausowenig wie der Funktionswert von $\delta(x)$.
Integriert man (19) zunächst rein formal
von $-\infty$ bis $x$, so ergibt sich
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{x} \delta(x') \, \hbox{d}x'
=
H(x)
\end{equation}
%
Dies ist im Sinne von
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\int \limits_{-\infty}^{x} \delta_n(x') \, \hbox{d}x'
=
H(x)
\end{equation}
%
wieder richtig.
Das bedeutet, die Ausdrücke mit $\delta(x)$ gelten
sozusagen im integralen Sinn.
Es kann sogar mit $\delta(x)$ wie mit einer
ganz gewöhnlichen Funktion gerechnet werden.
Es darf nur nie außer Acht gelassen werden, dass 
es sich nicht um eine echte Funktion, sondern um
eine Distribution handelt.

\begin{flushleft}
{\bf Regeln}
\end{flushleft}

Eine der wichtigsten Rechenregeln mit der $\delta$-Funktion
wird im Folgenden betrachtet.
Für eine stetige Funktion $B(x)$ gilt
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} B(x) \delta(x - x_0) \, \hbox{d}x
=
B(x_0)
\end{equation}
%
Diese bedeutet, dass für jede Delta-Folge $\delta_n$ die
Gleichung
%
\begin{equation}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \;
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} B(x) \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
=
B(x_0)
\end{equation}
%
gelten muss.

Um die Aussage der Gleichung (23) deutlich zu machen, soll
hier die Beziehung hergeleitet werden.
Die folgenden Überlegungen sind jedoch nicht als exakter Beweis
sondern nur als Beweisskizze zu verstehen.

Zu zeigen ist, für alle $\varepsilon > 0$ ein $N_0$ gefunden werden
kann, so dass für alle $n > N_0$ die Beziehung
%
\begin{equation}
d_n =
\Bigg|
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} B(x) \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
-
B(x_0)
\Bigg|
<
\varepsilon
\end{equation}
%
erfüllt ist.
Für die Elemente der Delta-Folge nach (8) gilt
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
= 1
\end{equation}
%
Daraus folgt direkt
%
\begin{equation}
B(x_0)
=
\int \limits_{-\infty}^{+\infty} B(x_0) \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
\end{equation}
%
Daraus ergibt sich
%
\begin{equation}
d_n =
\Bigg|
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\big[ B(x) - B(x_0) \big] \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
\Bigg|
\end{equation}
%
Allgemein gilt für beliebige Funktionen $b(x)$
die Ungleichung
%
\begin{equation}
\Bigg|
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
b(x)
\, \hbox{d}x
\Bigg|
\leq
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
| b(x) |
\, \hbox{d}x
\end{equation}
%
Zu beachten ist, dass die Integration von
$-\infty$ nach $+\infty$ durchgeführt wird,
womit $\hbox{d}x$ positiv ist.
Es ergibt sich aus (27) und (28)
%
\begin{equation}
d_n \leq
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\big| B(x) - B(x_0) \big| \, \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
\end{equation}
%
Da $B(x)$ eine stetige Funktion ist,
gibt es für alle $\varepsilon > 0$ eine
Umgebung um $x_0$, so dass innerhalb
dieser Umgebung
%
\begin{equation}
\big| B(x) - B(x_0) \big| < \varepsilon
\end{equation}
%
gilt.
Diese Umgebung muss nur eng genug gewählt
werden.
Dies kann durch ein $N_0$ geschehen, so
dass
für alle
%
\begin{equation}
x \in \Big[ x_0 - \ff{1}{N_0} ,  x_0 + \ff{1}{N_0} \Big]
\end{equation}
%
die Bedingung (30) erfüllt ist.
Es muss nur $N_0$ entsprechend groß gewählt
werden.

Es folgt dann für alle $n > N_0$ die
Ungleichung
%
\begin{equation}
d_n <
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\varepsilon \, \delta_n(x - x_0) \, \hbox{d}x
\end{equation}
%
Dies ist wegen (25) gleichbedeutend mit
%
\begin{equation}
d_n <
\varepsilon
\end{equation}
%
Das bedeutet, für ein vorgegebenes $\varepsilon > 0$
kann tatsächlich ein $N_0$ gefunden werden,
so dass (24) für alle $n > N_0$ gilt.
Dies war zu zeigen.

Die $\delta$-Funktion, wie sie hier bisher
betrachtet wurde, besitzt als Argument
ein Skalar $x$.
Es gibt auch eine vektorielle Version mit $\delta(\vec{x})$,
die als Argument einen Vektor besitzt.
Sie kann entsprechend als Grenzwert einer Delta-Folge $\delta_n(\vec{x})$
eingeführt werden.
Die Integrationen sind dabei statt von $-\infty$ bis $+\infty$
über den gesamten Raum zu nehmen.
Rein formal besteht sonst kein Unterschied zwischen der
eindimensionalen und der dreidimensionalen Version.
Es gelten auch vergleichbare Rechenregeln.
Entsprechend zu Gleichung (22) gilt für
alle stetigen Funktionen $A(\vec{x})$ die Beziehung
%
\begin{equation}
\iraum A(\vec{x}) \delta(\vec{x} - \vec{x}_0)
\, \hbox{d}x
=
A(\vec{x}_0)
\end{equation}
%

Im Folgenden werden noch einige wichtige Rechenregeln
für die $\delta$-Funktion
vorgestellt.
Es gilt
%
\begin{equation}
\delta (ax) = \ff{1}{|a|} \delta(x)
\end{equation}
%
Diese Beziehung ist natürlich wieder
im integralen Sinn zu verstehen.
Sie folgt direkt aus der Gleichheit
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\delta_n(a x) \, \hbox{d}x
=
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
\delta_n(z) \, \ff{\hbox{d}z}{|a|}
\end{equation}
%
Diese ergibt sich durch die
Substitution
%
\begin{equation}
\hbox{d} x  = \ff{1}{a} \, \hbox{d} z
\end{equation}
%
Eine etwas kompliziertere Regel ist mit
%
\begin{equation}
\delta \big( g(x) \big) = \ff{1}{\big|g'(x_0) \big|} \delta(x - x_0)
\end{equation}
%
gegeben.
Diese Regel gilt nur unter der Bedingung, dass die Funktion
$g(x)$ lediglich eine Nullstelle bei $x = x_0$
besitzt.
Zusätzlich muss $g(x)$ an dieser Stelle
differenzierbar sein.
Allgemein gilt für eine stetige Funktion
$f(x)$ die Gleichung
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{+\infty}
f(x) \; \delta \big( g(x) \big) \, \hbox{d}x
=
\sum \limits_{n = 1}^{N} \ff{f(x_n)}{\big|g'(x_n) \big|}
\end{equation}
%
Dabei sind $x_n$ die Nullstellen der
Funktion $g(x)$.
Diese Funktion muss an den entsprechenden
Stellen differenzierbar sein.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------