Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 17.\ Dezember 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 5.4) Energie und Intensität}
\end{flushleft}

Bisher wurde der Energieerhaltungssatz im 
dreidimensionalen Fall behandelt.
Jetzt soll die Intensität in der Kugelwelle
betrachtet werden.
Zweckmäßigerweise definiert man die radiale Intensität
mit
%
\begin{equation}
\sdoso IR = \vec{I} \cdot
\ff{\vec{x}}{r}
\end{equation}
%
Dabei ist
%
\begin{equation}
\ff{\vec{x}}{r} =
\ff{\vec{x}}{|\vec{x}|}
\end{equation}
%
der nach außen zeigende Einheitsvektor am Ort $\vec{x}$.
Es ergibt sich für die radiale Intensität
%
\begin{equation}
\sdoso IR =
p' \, \vec{v}\,' \,
\ff{\vec{x}}{r} =
p' \, \sdoso uR'
\end{equation}
%
Als Beispiel soll die Intensität für den
in Abschnitt 5.2 vorgestellten Fall
der atmenden Kugel berechnet werden.
Das Schalldurckfeld und die Schnelle können
in der komplexen Schreibweise
%
\begin{equation}
p' = \hat{p} \, e^{i \omega(t - r/c)}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = \sdoso {\hat{u}}R \, e^{i \omega(t - r/c)}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Bei den Gleichungen (4) und (5) ist
implizit die
Realteilbildung auf der rechten Seite enthalten, obwohl
sie nicht hingeschrieben wird.
Dies ist beim Einsetzen von (4) und (5) in (3)
unbedingt zu beachten.
Vor der Multiplikation der komplexen Ausdrücke
müssen die Realteile gebildet werden.
Für die radiale Intensität folgt
%
\begin{equation}
\sdoso IR =
\Re \big\{ \hat{p} \, e^{i \omega(t - r/c)} \big\} \cdot
\Re \big\{ \sdoso {\hat{u}}R \, e^{i \omega(t - r/c)} \big\}
\end{equation}
%
Die komplexe Druckamplitude ist nur vom Abstand $r$
abhängig.
Es gilt
%
\begin{equation}
\hat{p}(r) = \ff{A}{r}
\end{equation}
%
Dabei ist $A$ eine komplexe Konstante, die Stärke und Phase des
Druckfeldes festlegt.
Schreibt man
%
\begin{equation}
A = |A| \, e^{i \beta}
\end{equation}
%
so ist durch $|A|$ die Stärke und durch $\beta$ die Phase
bestimmt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann hier die Phase mit
%
\begin{equation}
\beta \equiv 0
\end{equation}
%
festgelegt werden.
Dies entspricht einer Verschiebung des Punkten $t = 0$ auf der
Zeitachse.
Für die Betrachtung der Intensität ist die absolute Phasenlage nicht
wichtig, sondern nur die relative Phase zwischen Druck und Schnelle.
Jedoch vereinfacht sich durch (9) die Berechnung von $\sdoso IR$ erheblich,
denn die Konstante $A$ und der Druckamplitude $\hat{p}$ sind nun reell.
Ihr Imaginärteil ist gleich Null und es gilt
%
\begin{equation}
\Re\{ \hat{p}\} = \hat{p}
\end{equation}
%
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\Re \big\{ \hat{p} \, e^{i \omega(t - r/c)} \big\}
=
\hat{p} \, \cos (\omega t - \vartheta)
\end{equation}
%
Dabei wurde die allgemeine Beziehung
%
\begin{equation}
e^{i \alpha} = \cos{\alpha} + i \, \sin{\alpha}
\end{equation}
%
verwendet.

In dem Schallfeld der atmenden Kugel sind die komplexem Amplituden
von Druck und radialer Schnelle über der Beziehung
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{u}}R = \ff{1}{\rho_0 c} \,
\left[
1 - i \, \ff{c}{\omega r}
\right]
\, \hat{p}
\end{equation}
%
miteinander verknüpft.
Durch (9) wurde praktisch $\hat{p}$ auf der reellen Achse in der
komplexen Ebene festgelegt.
Die Schnelleamplitude ist dann um einen bestimmten Phasenwinkel relativ
zur reellen Achse gedreht.
Die Berechnung des zweiten Faktors in (6) ist dadurch etwas aufwendiger
im Vergleich zu (11).
Es gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\sdoso {\hat{u}}R \, e^{i \omega(t - r/c)}
&=
\big[ \Re(\sdoso {\hat{u}}R) + i \, \Im(\sdoso {\hat{u}}R) \big]\\[10pt]
&\quad \times
\big[ \cos (\omega t - \vartheta) + i \, \sin (\omega t - \vartheta) \big]
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei wurde wieder die Beziehung (12) verwendet und die
Abkürzung
%
\begin{equation}
\vartheta = \ff{\omega r}{c}
\end{equation}
%
eingeführt.
Die Realteilbildung ergibt nun
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\Re \big\{ \sdoso {\hat{u}}R \, e^{i \omega(t - r/c)} \big\}
&=
\Re(\sdoso {\hat{u}}R) \, \cos (\omega t - \vartheta)\\[10pt]
&\quad -
\Im(\sdoso {\hat{u}}R)  \, \sin (\omega t - \vartheta)
\end{array}
\end{equation}
%
Die radiale Intensität ist dann mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\sdoso IR =
\hat{p} \, \cos (\omega t - \vartheta) \cdot
\big[
&\Re(\sdoso {\hat{u}}R) \, \cos (\omega t - \vartheta)\\[8pt]
&-
\Im(\sdoso {\hat{u}}R) \, \sin (\omega t - \vartheta)
\big]
\end{array}
\end{equation}
%
gegeben.
Nützt man (13) aus, so kann man den Real-
und Imaginärteil von $\sdoso {\hat{u}}R$ durch
$\hat{p}$ beziehungsweise $A$ ausdrücken.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\Re \big\{ \sdoso {\hat{u}}R \big\} = \ff{\hat{p}}{\rho_0 c} =
\ff{A}{\rho_0 c r}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\Im \big\{ \sdoso {\hat{u}}R \big\} =
-\ff{\hat{p}}{\rho_0 \omega r} =
- \ff{A}{\rho_0 \omega r^2}
\end{equation}
%
Einsetzen dieser beiden Ausdrücke in (17) ergibt
letztlich für die radiale Intensität
%
\begin{equation}
\sdoso IR =
\ff{A^2}{\rho_0 c r^2}
\, \cos^2 (\omega t - \vartheta) +
\ff{A^2}{2 \rho_0 \omega r^3}
\, \sin (2 \omega t - 2 \vartheta)
\end{equation}
%
Dabei wurde die allgemeine Beziehung
%
\begin{equation}
\sin (\alpha) \, \cos (\alpha) =
\ff{1}{2} \, \sin (2 \, \alpha)
\end{equation}
%
zur Umformung des zweiten Summanden verwendet.
Der erste Summand in (20) fällt mit bei steigendem
Abstand $r$ mit $1/r^2$ ab.
Der zweite Summand fällt sogar mit $1/r^3$ ab.
Der erste Summand ist immer positiv.
Der zweite Summand wechselt dagegen das Vorzeichen
mit der doppelten Frequenz der ausgesandten Welle.

In der Praxis ist oft nur die zeitlich gemittelte Intensität
von Bedeutung.
Bildet man den Mittelwert, so liefert der zweite Summand
in (20) keinen Beitrag.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso {\bar{I}}R =
\ff{A^2}{2 \rho_0 c r^2}
\end{equation}
%
Der zeitliche Mittelwert beschreibt die effektiv
abgestrahlte Leistung.
Der zweite Summand in (20) beschreibt die sogenannte 
Blindleistung.
Sie ist im Mittel gleich Null.
Ihr Momentanwert kann aber
die mittlere Leistung weit übersteigen.
Betrachtet man die Amplituden der mittleren Leistung
und der Blindleitung
ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff{A^2}{2 \rho_0 c r^2} =
\Big(
\ff{A^2}{2 \rho_0 \omega r^3}
\Big) \,
\Big(
\ff{\omega r}{c}
\Big)
\end{equation}
%
Die Amplituden sind durch den Faktor
%
\begin{equation}
\ff{\omega r}{c} =
\ff{2 \pi r}{\lambda}
\end{equation}
%
miteinander verknüpft.
Der Faktor ist groß, falls
%
\begin{equation}
r \gg \lambda
\end{equation}
%
gilt.
Das bedeutet, wenn man gemessen an der Wellenlänge weit
vom Zentrum der Kugelwelle entfernt ist, ist
die Blindleistung verschwindend gering gegenüber der
effektiven Wirkleistung.
Die Intensität $\sdoso IR$ ist dann immer positiv in der
nach außen laufenden Kugelwelle.
Anders ist die Situation, wenn $r$ in der Größenordnung
von $\lambda$ liegt oder sogar $\lambda > 2 \pi r$ ist.
Dann ist die Blindleistung so groß, daß zeitweise
eine negative radiale Intensität auftritt.
Das heißt, in der nach außen laufenden Kugelwelle
kommt es zeitweise zu einem nach innen gerichteten
Energiefluß.
Die Energie ``pendelt'' sozusagen im Schallfeld hin und her.

Der Bereich, in dem die Bedingung (25) gilt, wird Fernfeld
genannt.
Entsprechend befindet man sich im Nahfeld, wenn (25)
nicht erfüllt ist.
Im Fernfeld ist die Situation mit der in der ebenen Welle
vergleichbar.
Im Nahfeld dagegen ergeben sich Effekte, wie
der Vorzeichenwechsel bei der Intensität oder
die Phasenverschiebung zwischen Druck und Schnelle, die in einer
ebenen Welle nicht beobachtet werden können.


\begin{flushleft}
{\bf 5.5) Der zerplatzende Luftballon}
\end{flushleft}

Als Beispiel für die Anwendung von Kugelwellen, soll das Schallfeld
eines platzenden Luftballons berechnet werden.
Zur Vereinfachung werden folgende Annahmen gemacht:
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Der Luftballon ist kugelsymmetrisch.
Der Koordinatenursprung wird in der Mitte des Luftballons
angenommen.
\item[b)]%
Das Zerplatzen des Ballon ist unendlich schnell.
Zum Zeitpunkt $t = 0$ wird angenommen, daß die Hülle des Ballons
verschwunden ist.
\end{itemize}
%
Beide Annahmen sind bei normalen Luftballons mehr oder weniger
nicht erfüllt.
Die Ballons sind nicht exakt rund, und die Hülle des Ballons
reißt unter Umständen nur relativ langsam auf.
Die gesamte Betrachtung paßt eigentlich besser auf den Fall einer
zerplatzenden Seifenblase.
Jedoch wurde hier ein Luftballon angenommen, weil das Schallfeld
einfacher auch im Experiment vorgeführt werden kann.

Mathematisch gesehen handelt es sich um ein Anfangswertproblem.
Die Anfangsbedingung für den Druck lautet
%
\begin{equation}
p'(r,0)
=
\left\{
\begin{array}{l@{\quad\hbox{für}\quad}l}
p_1 & 0 < r < a\\
0 & r > a
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Dabei ist $a$ der Radius des Ballons und $p_1$ ist der Überdruck
im Ballon vor dem Platzen.
Ist der Ballon noch unversehrt, so ist alles in Ruhe.
Die Anfangsbedingung für die Schnelle lautet entsprechend
%
\begin{equation}
\sdoso uR'(r,0) = 0
\end{equation}
%
Zur Lösung des
kugelsymmetrischen
Problems wird für das akustische Potential
der allgemeine
Ansatz
%
\begin{equation}
\phi (r,t) =
\ff{f(t - r/c)}{r} + \ff{g(t + r/c)}{r}
\end{equation}
%
gewählt.
Aus den gegebenen Anfangsbedingungen müssen nun die beiden
Funktionen $f()$ und $g()$ bestimmt werden.

Obwohl es auf den ersten Blick nicht so scheint, wird noch eine
Randbedingung benötigt, um das Problem zu lösen.
Und zwar muß an der Stelle $r = 0$, die bei der Formulierung in
Kugelkoordinaten eine Art künstlichen Rand darstellt, eine Bedingung
-- zum Beispiel an $\phi$ -- gestellt werden.
An der Stelle $r = 0$ ist strenggenommen die Wellengleichung
in Kugelkoordinaten mit den entsprechenden Lösungen nicht
gültig, da dort eine Singularität vorliegt.
Diese Singularität und die Möglichkeit, die Wellengleichung zu
erweitern, damit sie auch am Punkt $r = 0$ gilt, wird erst in einem 
späteren Abschnitt behandelt.

Hier soll nur plausibel gemacht, wie die
physikalisch sinnvolle Randbedingung
in dem vorliegenden Fall aussieht.
Dazu wird die Situation mit einer stationären
Potentialströmung verglichen.
Ein Potential der Form
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A}{r}
\end{equation}
%
beschreibt eine Punktquelle im dreidimensionalen Raum.
Die Stärke der Quelle -- also die Masse pro Zeit --
wird durch die Konstante $A$ bestimmt.
Ist $A$ negativ liegt eine Senke vor.
Das Geschwindigkeitsfeld der Potentialströmung kann mit Hilfe von
%
\begin{equation}
\vec{v} = \hbox{grad} \, \phi
\end{equation}
%
berechnet werden.
Das Schnellefeld wird aus dem akustischen Potential auf die
gleiche Weise ermittelt.
Zu einem festen Zeitpunkt kann man das akustische Potential
auch in der Form (29) darstellen, wenn man die Größe $A$ als Funktion
vom Abstand $r$ definiert:
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A(r)}{r}
\end{equation}
%
Wäre $A(0)$ zu einem Zeitpunkt ungleich Null,
so ergäbe sich eine Massenquelle oder 
Massensenke in der Mitte des Ballons.
Das ist natürlich physikalisch nicht sinnvoll.
Es wird daher
%
\begin{equation}
A(0) = 0
\end{equation}
%
gefordert.
Vergleicht man (28) mit (31) so folgt daraus
%
\begin{equation}
f(t) + g(t) = 0
\end{equation}
%
Dies kann auch als
%
\begin{equation}
f(t) = - g(t)
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Das heißt, die Funktion $g()$ kann durch die Funktion $f()$ ausgedrückt
werden.
Damit ist nur noch eine unbekannte Funktion gesucht.
Es ergibt sich anstatt (28) die neue Form
%
\begin{equation}
\phi (r,t) =
\ff{f(t - r/c)}{r} - \ff{f(t + r/c)}{r}
\end{equation}
%

Die radiale Schnelle kann aus dem akustischen Potential mit
%
\begin{equation}
\sdoso uR'(r,t) = \pp{\phi}{r} (r,t)
\end{equation}
%
berechnet werden.
Zur Zeit $t =  0$ ist die Schnelle überall gleich Null.
Damit mit $\phi$ räumlich konstant sein.
Diese Konstante kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit als Null
gewählt werden.
Es soll also
%
\begin{equation}
\phi (r,0) = 0
\end{equation}
%
gelten.
Setzt man $t = 0$ in (35) ein, so ergibt sich
aus der Anfangsbedingung (37) die Beziehung
%
\begin{equation}
f(-r/c) - f(r/c) = 0
\end{equation}
%
Ersetzt man den Quotienten $r/c$ im Argument durch die Variable $\xi$, so
kann (38) auch als
%
\begin{equation}
f(\xi) = f(-\xi)
\end{equation}
%
formuliert werden.
Die gesuchte Funktion $f()$ ist also symmetrisch um den Nullpunkt.
Für die Ableitung von $f()$ folgt die weiter unten benötigte Beziehung
%
\begin{equation}
f'(\xi) = - f'(-\xi)
\end{equation}
%

Der Schalldruck wird aus dem akustischen Potential mit
%
\begin{equation}
p'(r,t) = - \rho_0 \, \pp{\phi}{t}(r,t)
\end{equation}
%
berechnet.
Aus Gleichung (45) folgt
%
\begin{equation}
p'(r,t) = \ff{\rho_0}{r} \,
\Big\{
f'(t + r/c) - f'(t - r/c)
\Big\}
\end{equation}
%
Setzt man hier $t = 0$ ein, so ergibt sich
unter Berücksichtigung der Beziehung (40)
%
\begin{equation}
p'(r,0) =
2 \, \ff{\rho_0}{r} \,
f'(r/c)
\end{equation}
%
Damit ist eine direkte Beziehung zwischen dem
zu Beginn vorliegenden Schalldruck und der
Ableitung $f'()$ gegeben.
Daraus kann nun  $f'()$ bestimmt werden.
Setzt man die Anfangsbedingung (26) in (43) ein,
so ergibt sich
%
\begin{equation}
f'(r/c) =
\left\{
\begin{array}{c@{\quad\hbox{für}\quad}l}
\ff{r \, p_1}{2 \rho_0} & 0 < r < a\\[12pt]
0 & r > a
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Nun kann wieder $r/c$ durch die Variable $\xi$ ersetzt
werden, und es folgt
%
\begin{equation}
f'(\xi) =
\left\{
\begin{array}{c@{\quad}l}
\ff{c \, p_1}{2 \rho_0}\,\xi & \hbox{für}\quad -a/c < \xi < a/c\\[12pt]
0 & \hbox{sonst}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Dabei wurde noch von der Symmetrieeigenschaft (40) Gebrauch gemacht, um
den Wertebereich auf negative $\xi$ auszudehnen.
Der Verlauf von $f'(\xi)$ ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ballon00.eps,width=5.0cm}}}
\put(2.2,2.0){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(4.8,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\xi$}}
\put(1.8,3.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $f'(\xi)$}}
\put(2.1,2.9){\makebox(0,0)[rc]{\small $\frac{c p_1}{2 \rho_0}$}}
\put(2.1,0.65){\makebox(0,0)[rc]{\small $-\frac{c p_1}{2 \rho_0}$}}
\put(0.8,2.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $-\frac{a}{c}$}}
\put(3.65,1.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\frac{a}{c}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Ist man an dem Drucksignal in einigem Abstand von Ballon interessiert,
so braucht man das Potential $\phi$ gar nicht zu ermitteln.
Es reicht die Kenntnis der Ableitung $f'(\xi)$.
Außerhalb des Ballons ist $r > a$.
Für $t > 0$ gilt daher
%
\begin{equation}
t + r/c > a/c
\end{equation}
%
Damit ist aber nach (45) auch
%
\begin{equation}
f'(t + r/c) = 0
\end{equation}
%
außerhalb des Ballons.
Das bedeutet, für das Druckfeld in einiger Entfernung
vom Ballon braucht nur ein Teil von (42)
berücksichtigt werden.
Für $r > a$ und $t > 0$ gilt daher
%
\begin{equation}
p'(r,t) = \ff{\rho_0}{r}\,f'(t - r/c)
\end{equation}
%
Der Zeitverlauf des Drucksignals an einem festen Ort $r$
entspricht also der Form 
der oben dargestellten Funktion $f'()$.
Für das Druckfeld außerhalb des Ballons gilt
%
\begin{equation}
p'(r,t) =
\left\{
\begin{array}{c@{\quad}l}
\ff{p_1}{2 r}\,(r - ct) & \hbox{für} \; -a < r - ct < a\\[12pt]
0 & \hbox{sonst}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%



\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------