Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 13.\ Dezember 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 5.2) Das Schallfeld einer atmenden Kugel}
\end{flushleft}

Zu dem konkreten Beispiel des idealen Kugellautsprechers
wurde bereits die
Auslenkung der Oberfläche berechnet, die notwendig ist um bei den gegebenen
Frequenzen den Schalldruckpegel von $110 \, \hbox{dB}$ in 
$30\,\hbox{m}$ Entfernung zu erzeugen.
Es bleibt die Beantwortung der zweiten Frage:
%
\begin{itemize}
\item[b)]%
Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Druck und Schnelle
an der Kugeloberfläche bei den drei Frequenzen?
\end{itemize}
%
Um diese Frage zu beantworten, werden die komplexen Amplituden 
von Druck und Schnelle betrachtet.
Es gilt die Beziehung
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{u}}R =
\ff{1}{\rho_0 c}
\left[
1 - i \ff{c}{\omega r}
\right]
\,
\hat{p}
\end{equation}
%
Dies wurde in Abschnitt 5.2 auch in der Form
%
\begin{equation}
\hat{p}
=
\sdoso ZR \sdoso {\hat{u}}R 
\end{equation}
%
dargestellt.
Die Größe $\sdoso ZR$ ist die radiale Impedanz.
Sie ist von der Frequenz und dem Abstand von Ursprung
abhängig.
Manchmal ist es zweckmäßiger statt der Impedanz deren Kehrwert
zu betrachtet.
Der Kehrwert wird als Admittanz bezeichnet.
Dieser Begriff ist nicht ganz so gebräuchlich wie die Impedanz.
Jedoch bietet es sich in unserem Fall an, die radiale Admittanz mit
%
\begin{equation}
\sdoso YR
\equiv
\ff{1}{\sdoso ZR}
=
\ff{1}{\rho_0 c}
\left[
1 - i \ff{c}{\omega r}
\right]
\end{equation}
%
einzuführen.
Es gilt dann
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{u}}R =
\sdoso YR
\,
\hat{p}
\end{equation}
%
Der komplexe Faktor $\sdoso YR$ bestimmt den Phasenwinkel zwischen
$\sdoso {\hat{u}}R$ und $\hat{p}$.
Ist $\sdoso YR$ reell, so sind Druck und Schnelle in Phase.
Dies ist näherungsweise gegeben, wenn
%
\begin{equation}
\ff{c}{\omega r} \ll 1
\end{equation}
%
Es gilt dann
%
\begin{equation}
\sdoso YR \approx \ff{1}{\rho_0 c}
\end{equation}
%
Der Realteil von $\sdoso YR$ ist unabhängig von Frequenz und
Abstand.
Der Imaginärteil geht gegen $-\infty$ für steigendes
$\ff{c}{\omega r}$.
Die Situation ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=admittanz.eps,height=4.0cm}}}
\put(1.65,2.75){\makebox(0,0)[rc]{\small $\vartheta$}}
\put(1.1,3.8){\makebox(0,0)[rc]{\small $\Im$}}
\put(3.6,3.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Re$}}
\put(2.4,3.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $\frac{1}{\rho_0 c}$}}
\put(1.1,0.9){\makebox(0,0)[rc]
{\small $\frac{1}{\rho_0 c} \cdot \frac{c}{\omega r}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Formal kann die komplexe Admittanz mit Betrag und Phase
als
%
\begin{equation}
\sdoso ZR = |\sdoso ZR| \cdot e^{-i \vartheta}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Der Winkel $\vartheta$ liegt zwischen $0$ und $90$ Grad.
Entsprechend hat nach (4) der Druck einen
Phasenvorsprung vor der Schelle.
Man sagt, der Druck eilt der Schnelle voraus.
Für die Phasenverschiebung gilt
%
\begin{equation}
\tan \, \vartheta =
\ff{c}{\omega r}
\end{equation}
%
Damit kann der Winkel mit
%
\begin{equation}
\vartheta =
\hbox{arctan} \, \left(\ff{c}{\omega r}\right)
\end{equation}
%
berechnet werden.
Für die drei gegebenen Frequenzen $f$ ergeben sich an der
Kugeloberfläche bei $r= 0.25\,\hbox{m}$ die Werte in der
folgenden Tabelle.
%
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
$f$ & $\vartheta$\\
\hline
10 kHz & $1.23^\circ$\\
1 kHz & $12.21^\circ$\\
50 Hz & $76.99^\circ$
\end{tabular}
\end{center}
%
Bei $10\,\hbox{kHz}$ ist die Wellenlänge wesentlich kleiner
als der Kugelradius.
Das Verhältnis zwischen Druck und Schnelle
an der Kugeloberfläche entspricht näherungsweise
der Situation in einer ebenen Welle, in der
Druck und Schelle in Phase sind ($\vartheta = 0$).
Bei  $1\,\hbox{kHz}$ ist die Wellenlänge
in der Größenordung des Kugelradius und
eine merkliche Abweichung von der ebenen Welle
festzustellen.
Bei  $50\,\hbox{Hz}$ liegt bereits eine
erhebliche Phasenverschiebung zwischen
Druck und Schnelle vor.
Die Situation ist völlig anders als in der 
ebenen Welle.

\begin{flushleft}
{\bf 5.3) Kausalität und Sommerfeld's Ausstrahlbedingung}
\end{flushleft}

Im vorangegangenen Abschnitt wurde nur die
nach außen laufende harmonische Kugelwelle betrachtet.
Jedoch ist auch mit dem Ansatz
%
\begin{equation}
p' = \ff{A}{r} \, e^{i \omega (t + r/c)}
\end{equation}
%
eine Lösung gegeben, die bei entsprechender Wahl
von $A$ die Randbedingung an der Kugeloberfläche
erfüllt.
Die Lösung (10) stellt eine Kugelwellen dar, die
aus dem Unendlichen kommend
auf die Kugeloberfläche zuläuft und dort eine
Schnellebewegung entsprechend der Auslenkung der Kugeloberfläche
bewirkt.
Formal ist dies eine Lösung des Randwertproblems.
Die ankommenden Wellen existieren schon unendlich lange.
In den Wellen ist daher schon vorher die Information enthalten, 
wie sich die Kugeloberfläche zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt.

Es ist denkbar, daß das Atmen der Kugel mit einem Schalter 
ein- und ausgeschaltet werden kann.
Die ankommenden Wellen müßten dann vorher ``wissen'', wann die
Kugel eingeschaltet wird.
Das ist natürlich in der Praxis nicht möglich, und daher ist die
nach innen laufende Kugelwelle nach (10) keine physikalische sinnvolle
Lösung des Randwertproblems.
Man sagt sie verletzt das Kausalitätsprinzip.
Würde man das Problem nicht analytisch lösen, sondern die
Lösung einschließlich des Einschaltvorganges numerische simulieren,
so würde sich selbstverständlich nur die physikalische sinnvolle Lösung --
nämlich die nach außen laufende Kugelwelle -- ergeben.

Anscheinend erhält man die unphysikalischen Lösungen
nur dadurch, daß man sich auf harmonische Lösungen
beschränkt hat und die Einschwingvorgänge
außer acht läßt.
Die Problematik soll am Beispiel der Wellengleichung
für das akustische Potential $\phi$ verdeutlicht werden.
Sie lautet
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2}
\pp{^2 \phi}{t^2} - \Delta \phi = 0
\end{equation}
%
Beschränkt man sich auf harmonische Lösungen, so
wird 
%
\begin{equation}
\phi = \hat{\phi} \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
angesetzt.
Dabei ist $\hat{\phi}(\vec{x})$ die komplexe Amplitude des Potentials.
Setzt man (12) in (11) ein ergibt sich
%
\begin{equation}
- \ff{\omega^2}{c^2} \, \hat{\phi} \, e^{i \omega t}
 - \Delta \hat{\phi} \, e^{i \omega t} = 0
\end{equation}
%
Daraus folgt eine Bestimmungsgleichung für die komplexe Amplitude
%
\begin{equation}
\Delta \hat{\phi} + k^2 \, \hat{\phi} = 0
\end{equation}
%
Diese Gleichung wird in der Literatur auch als Helmholtz-Gleichung
bezeichnet.
Sie kann entsprechend auch für den Druck abgeleitet werden.

Sucht man rein formal die Lösungen von (14) und leitet daraus
Lösungen von (11) ab, so
werden eventuell auch unphysikalische Lösungen gefunden,
die das Kausalitätsprinzip verletzen.
Man könnte das Problem umgehen, indem man immer die Einschwingvorgänge
mit berücksichtigt und (11) löst.
In der Praxis sind jedoch oft nur die eingeschwungenen harmonischen
Lösungen von Interesse.
Lösungen von (14) sind auch meist wesentlich einfacher zu ermitteln, 
als Lösungen, die den kompletten Einschaltvorgang mit beinhalten.
Es ist daher sinnvoll ein Kriterium zu formulieren, daß die
unphysikalischen von den sinnvollen Lösungen unterscheidet.

In dem bisher betrachteten einfachen kugelsymmetrischen Beispiel,
war die Situation anschaulich klar.
Jedoch können bei komplizierteren Randbedingungen die Lösungen
komplexer und unanschaulicher werden.
Von Sommerfeld wurde daher die sogenannte Ausstrahlbedingung
vorgeschlagen.
Nur Lösungen, die
%
\begin{equation}
\lim_{r \rightarrow \infty} \,
r \,
\left\{ \pp{p'}{t} + c \, \pp {p'}{r} \right\}
=
0
\end{equation}
%
erfüllen, sind physikalisch sinnvoll.
Die Bedingung gilt natürlich nur für die Abstrahlung von Wellen
im offenen Raum.
Zum Beispiel ist für die Betrachtung im Inneren einer atmenden Kugel
natürlich auch die nach innen laufende Welle
im Lösungsansatz mit zu berücksichtigen.

Im folgenden soll gezeigt werden, daß eine außen laufende
Kugelwelle
%
\begin{equation}
p' = \ff{f(r - c\,t)}{r}
\end{equation}
%
auch tatsächlich die Ausstrahlbedingung (15) erfüllt.
Dabei ist $f()$ eine beliebige Funktion, die die Form der Welle
festlegt.
Es gilt
%
\begin{equation}
\pp{p'}{t} = - c \ff{f'}{r}
\end{equation}
%
Die Ableitung der Funktion $f$ ist mit $f'$ bezeichnet.
Der Ableitungsstrich darf nicht mit dem Strich am Drucksymbol
verwechselt werden, der den Schwankungsanteil kenntlich macht.
Weiter gilt
%
\begin{equation}
\pp{p'}{r} = - \ff{f}{r^2} + \ff{f'}{r}
\end{equation}
%
Zusammen ergibt sich aus (17) und (18)
%
\begin{equation}
r \,
\left\{ \pp{p'}{t} + c \, \pp {p'}{r} \right\}
=
r \, \left\{  - \ff{f}{r^2} \right\}
=
- \ff{f}{r}
\end{equation}
%
Daraus ist leicht zu erkennen, daß die Ausstrahlbedingung (15)
tatsächlich von Lösung (16) erfüllt wird.
Entsprechend kann gezeigt werden, das der Ansatz (10) die 
Ausstrahlbedingung nicht erfüllt.

Der Ausdruck in der geschweiften Klammer in (15)
würde für eine ebene Welle in positive
$r$-Richtung verschwinden.
Die Kugelwellen weichen natürlich von der ebenen Welle
ab, jedoch werden die Verhältnisse in ihnen
mit steigendem Abstand immer ähnlicher zur ebenen Welle.
In Gleichung (19) wird sozusagen in der geschweiften Klammer
die Abweichung zum ebenen Fall berechnet.
Die Abweichung fällt mit $r^2$ nach außen ab.

\begin{flushleft}
{\bf 5.4) Energie und Intensität}
\end{flushleft}

In Abschnitt 3.2 wurde die akustische Energie in eindimensionalen Wellen
eingeführt.
Die gesamten Überlegungen aus diesem Abschnitt lassen sich auch auf den
dreidimensionalen Fall übertragen.
Für die kinetische akustische Energie pro Volumen
ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso e{kin} = \ff{1}{2} \rho_0 {\vec{v}\,'}^{2}
\end{equation}
%
Im Unterschied zum eindimensionalen Fall tritt hier
das Quadrat des Geschwindigkeitsvektors auf.
Das heißt, statt der skalaren Geschwindigkeit wird der
Betrag des Geschwindigkeitvektors eingesetzt.
Die potentielle akustische Energie pro Volumen wird
weiterhin mit
%
\begin{equation}
\sdoso e{pot} = \ff{1}{2} \, \ff{c^2}{\rho_0} {\rho'}^2 =
\ff{1}{2} \,  \ff{{p'}^2}{\rho_0 \, c^2}
\end{equation}
%
angenommen.
Dies entspricht exakt der eindimensionalen Welle.
Dagegen ist die akustische Intensität jetzt eine vektorielle
Größe, die mit
%
\begin{equation}
\vec{I} = p' \, \vec{v}\,'
\end{equation}
%
definiert ist.
Der Vektor $\vec{I}$ ist ein Energieflußdichtevektor.
Für die akustische Energie gilt auch im dreidimensionalen
eine Erhaltungsgleichung.
Diese lautet
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left(
\sdoso e{kin} + \sdoso e{pot}
\right)
+
\hbox{div} \, \vec{I}
=
0
\end{equation}
%
oder in ausführlicher Schreibweise
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\left(
\ff{1}{2} \rho_0 {\vec{v}\,'}^{2}
+
\ff{1}{2} \,  \ff{{p'}^2}{\rho_0 \, c^2}
\right)
+
\hbox{div} \, \left(  p' \, \vec{v}\,' \right)
=
0
\end{equation}
%
Die Gültigkeit der Energieerhaltungsgleichung
kann gezeigt werden, 
indem die Schelle und der Druck durch das
akustischen Potential ausgedrückt wird.
Setzt man
%
\begin{equation}
\vec{v}\,' = \hbox{grad} \, \phi
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p' = - \rho_0 \, \pp{\phi}{t}
\end{equation}
%
in (24) ein, so kann die Gleichung
nach
%
\begin{equation}
\rho_0 \, \pp{\phi}{t} \,
\left\{ \ff{1}{c^2}
\pp{^2 \phi}{t^2} - \Delta \phi \right\} = 0
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Die Zwischenschritte dieser Umformung sind im Anhang
gegeben.
In der geschweiften Klammer in (27) steht
der Term der Wellengleichung für das Potential.
Sind $p'$ und $\vec{v}\,'$ gültige Lösungen, so
erfüllt auch das akustische Potential die Wellengleichung
und der Ausdruck in der geschweiften Klammer
ist gleich Null.
Damit ist (27) erfüllt und die Richtigkeit von (23)
beziehungsweise (24) gezeigt.


\begin{flushleft}
{\bf Anhang A) Beweis des Energieerhaltungssatzes}
\end{flushleft}

Es werden die einzelnen Herleitungsschritte
für Gleichung (27) gegeben.
Für die zeitliche Ableitung der kinetischen
akustischen Energie gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\pp{}{t}
\left(
\ff{1}{2} \rho_0 {\vec{v}\,'}^{2}
\right)
&=
\rho_0 \, \vec{v}\,' \, \pp{\vec{v}\,'}{t}\\[15pt]
&=
\rho_0 \, \hbox{grad} \, {\phi} \, \pp{}{t} \left( \hbox{grad} \, \phi\right)
\end{array}
\end{equation}
%
Die zeitliche Ableitung der potentiellen akustischen
Energie ist
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\pp{}{t}
\left(
\ff{1}{2} \,  \ff{{p'}^2}{\rho_0 \, c^2}
\right)
&=
\pp{}{t}
\left\{
\ff{\rho_0}{2\,c^2} \, \left(\pp{\phi}{t} \right)^2
\right\}
\\[20pt]
&=
\ff{\rho_0}{c^2} \, \pp{\phi}{t} \, \pp{^2 \phi}{t^2}
\end{array}
\end{equation}
%
Für die akustische Intensität ergibt sich
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.25}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\hbox{div} \, \left(  p' \, \vec{v}\,' \right)\\
=
\hbox{grad} \,{p'} \, \cdot \vec{v}\,' + p' \cdot \hbox{div} (\vec{v}\,')\\
=
\hbox{grad} \left[ - \rho_0 \, \pp{\phi}{t} \right] \cdot \hbox{grad} \, \phi
- \rho_0 \, \pp{\phi}{t} \cdot
\hbox{div}
\left(
\hbox{grad} \, \phi
\right)\\
=
- \rho_0 \, \pp{\phi}{t} \cdot \Delta \, \phi
- \rho_0 \, \pp{}{t}
\left(
\hbox{grad} \, \phi
\right)
\cdot
\hbox{grad} \, \phi
\end{array}
\end{equation}
%
Damit sind alle Komponenten von (24) als Funktionen
des akustischen Potentials ausgedrückt worden.
Setzt man nun in (24) ein, ergibt sich
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.75}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\pp{}{t}
\left(
\ff{1}{2} \rho_0 {\vec{v}\,'}^{2}
+
\ff{1}{2} \,  \ff{{p'}^2}{\rho_0 \, c^2}
\right)
+
\hbox{div} \, \left(  p' \, \vec{v}\,' \right)\\
=
\rho_0 \, \hbox{grad} \, {\phi} \, \pp{}{t} \left( \hbox{grad} \, \phi\right)
+
\ff{\rho_0}{c^2} \, \pp{\phi}{t} \, \pp{^2 \phi}{t^2}\\
\quad - \rho_0 \, \pp{\phi}{t} \cdot \Delta \, \phi
- \rho_0 \, \pp{}{t}
\left(
\hbox{grad} \, \phi
\right)
\cdot
\hbox{grad} \, \phi\\
=
\rho_0 \, \pp{\phi}{t} \,
\left\{ \ff{1}{c^2}
\pp{^2 \phi}{t^2} - \Delta \phi \right\} \\
=
0
\end{array}
\end{equation}
%
Damit ist gezeigt, daß die Gleichungen (24)
und (27) äquivalent sind.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------