Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 6.\ Dezember 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 5.1) Das Geschwindigkeitspotential}
\end{flushleft}

Das akustische Potential ist ein formales Hilfsmittel,
um die Lösung der Wellengleichung auf elegante Weise zu ermitteln
und darzustellen.
Es soll im folgenden mit dem Geschwindigkeitspotential, das aus
der Potentialtheorie der Strömungsmechanik bekannt ist, 
verglichen werden.
Dabei wird von einer stationären Potentialströmung ausgegangen.
Die Tabelle gibt einen Überblick über die wesentlichen Merkmale.
%
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
Stationäre & Akustisches \\
Potentialströmung & Potential\\
\hline
\hline
\parbox[c][30pt][c]{3.5cm}
{$\vec{v} = \hbox{grad} \, \phi$} &
$\vec{v}\,' = \hbox{grad} \, \phi$ \\
{\small (Geschwindigkeit)} & {\small (Schnelle)}\\
\hline
$p = p_0 - \ff{\rho}{2} |\vec{v}|^2$ &
\parbox[c][40pt][c]{3.0cm}
{$p' = - \rho_0 \pp{\phi}{t}$}\\
{\small (Druck aus Bernoulli)} & {\small (Schalldruck direkt)}\\
\hline
$\Delta \phi = 0$ &
\parbox[c][40pt][c]{3.0cm}
{$\ff{1}{c^2} \pp{^2 \phi}{t^2} - \Delta \phi = 0$}\\
{\small (Laplace-Gleichung)} & {\small (Wellengleichung)}
\end{tabular}
\end{center}
%
Beide, das Geschwindigkeits- und das
Schnellefeld,
sind als Gradient des Potentials gegeben.
Der Druck kann im Fall des akustischen Potentials direkt
aus $\phi$ berechnet werden.
In der stationären Potentialströmung muß man die
Bernoulli-Gleichung zu Hilfe nehmen, um den
Druck zu bestimmen.
Die Bestimmungsgleichung für $\phi$ ist in einem Fall die
Laplace-Gleichung und im anderen Fall die Wellengleichung.

\begin{flushleft}
{\bf 5.2) Das Schallfeld einer atmenden Kugel}
\end{flushleft}

Gegeben sei eine sogenannte atmende Kugel, deren
Mittelpunkt sich im Koordinatenursprung befindet.
Der Radius der Kugel schwankt sinusförmig
um den mittleren Wert $a$.
Die maximale Abweichung vom Mittelwert
wird mit $\varepsilon$ bezeichnet.
Für den Radius $R(t)$ soll
%
\begin{equation}
R(t) = a + \varepsilon \, \sin(\omega t)
\end{equation}
%
gelten.
Das gegebene Problem wird zweckmäßigerweise
in Kugelkoordinaten ($r$, $\theta$, $\varphi$) dargestellt.
Da das Problem kugelsymmetrisch ist, gibt es
keine Abhängigkeit von den Winkeln $\theta$ und $\varphi$.
Für die Ableitungen gilt entsprechend
%
\begin{equation}
\pp{}{\theta} = 0 \quad \hbox{und} \quad
\pp{}{\varphi} = 0
\end{equation}
%
Dadurch vereinfacht sich der Laplace-Operator in
Kugelkoordinaten, und die Wellengleichung 
bei Kugelsymmetrie lautet
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2}
\pp{^2 p'}{t^2}
-
\ff{1}{r^2}
\,
\pp{}{r}
\left(
r^2 \,
\pp{p'}{r}
\right)
=
0
\end{equation}
%
Die Ableitungen im zweiten Term auf der linken Seite
können ausgeführt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\pp{}{r}
\left(
r^2 \,
\pp{p'}{r}
\right)
&=
r^2 \, \pp{^2 p'}{r^2} + 2 r \, \pp{p'}{r} \\[15pt]
&=
r \, \pp{^2}{r^2} \left( r \, p' \right)
\end{array}
\end{equation}
%
Setzt man dies in (3) ein und multipliziert mit $r$,
folgt
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \,
\pp{^2}{t^2} \left( r \, p' \right) -
\pp{^2}{r^2} \left( r \, p' \right)
= 0
\end{equation}
%
Dabei wurde die unabhängige Variable $r$
im ersten Term mit in die Zeitableitung hineingezogen.
Gleichung (5) hat die Form einer eindimensionalen
Wellengleichung.
Die Variable dieser Wellengleichung ist das Produkt
$(r \,p')$.
Das heißt, $(r \,p')$ erfüllt die Wellengleichung (5),
falls $p'$ die radiale Wellengleichung (3) erfüllt.
Für den eindimensionalen Fall sind die Lösungen bekannt.
Die allgemeine Lösung für (5) lautet
%
\begin{equation}
r \, p'(r,t) = f(r - ct) + g(r + ct)
\end{equation}
%
Dabei sind $f()$ und $g()$ beliebige Funktionen.
Daraus kann die Lösung für (3) abgeleitet werden.
Für den Schalldruck lautet die allgemeine Lösung
%
\begin{equation}
p'(r,t) = \ff{f(r - ct)}{r} + \ff{g(r + ct)}{r}
\end{equation}
%
Die Lösungen werden als Kugelwellen bezeichnet.
Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt eine
nach außen in positive $r$-Richtung laufende Welle.
Der zweite Term stellt eine
nach innen in negative $r$-Richtung laufende Welle dar.
Im Unterschied zu der ebenen Welle nehmen hier die Amplituden
nach außen hin mit $1/r$ ab.
Ein nach außen laufender Puls behält seine Form, denn diese ist
durch die Funktion $f()$ festgelegt.
Jedoch nimmt die Stärke des Pulses mit zunehmendem Abstand vom
Ursprung ab.
Umgekehrt wird ein nach innen laufender Puls immer stärker.
Am Ursprung bei $r=0$ tritt eine Singularität auf.
Dort ist weder die Lösung (7) noch die Wellengleichung (3) gültig.
Die Lösungen sind trotzdem verwendbar, da die Singularität bei
der betrachteten Geometrie im Inneren der Kugel liegt und so
praktisch keine Bedeutung hat.

{\it Das Schnellefeld}

Die Randbedingung an der Oberfläche der atmenden Kugel ist eine
Bedingung an das Schnellefeld.
Es soll daher zunächst
die Schnelle zu den gefundenen Drucklösungen bestimmt
werden.
Dabei wird jedoch nicht von der allgemeinen Lösung
(7) ausgegangen, sondern ein spezielles Druckfeld
%
\begin{equation}
p'(r,t) = A \, \ff{e^{i \omega(t - r/c)}}{r}
\end{equation}
%
betrachtet.
Da die Kugel harmonisch pulsiert, ist es sinnvoll, auch
von einer harmonischen Lösung mit der gleichen Frequenz
für das Druckfeld auszugehen.
Zusätzlich wird davon ausgegangen, daß von außen keine
Wellen eintreffen und alle Wellen von
der Kugel erzeugt werden.
Diese Wellen laufen dann nach außen.
Die
nach innen laufenden Wellen wurden daher in (8)
nicht berücksichtigt.
Rein formal kann der Druck auch mit einer
komplexen Amplitude $\hat{p}$ dargestellt werden.
%
\begin{equation}
p'(r,t) = \hat{p}(r) \, e^{i \omega(t - r/c)}
\end{equation}
%
Die komplexen Amplitude hängt vom Abstand $r$ ab und
ist mit
%
\begin{equation}
\hat{p}(r) = \ff{A}{r}
\end{equation}
%
gegeben.

Die Bestimmung des Schnellefeldes soll mit Hilfe
des akustischen Potentials $\phi$ erfolgen.
Es gilt
%
\begin{equation}
- \rho_0 \pp{\phi}{t} = p'
\end{equation}
%
Damit folgt aus (8) für das Potential
%
\begin{equation}
\phi (r,t) = \ff{i A}{\omega \rho_0} \cdot \ff{e^{i \omega(t - r/c)}}{r}
\end{equation}
%
Formal wurde dabei Gleichung (11) in der Zeit integriert.
Bei dem komplexen Ansatz (8) entspricht eine
Zeitintegration einer Division durch den Faktor $i \omega$.
Die sich rein theoretisch ergebende Integrationskonstante ist gleich Null,
da für $p' = 0$ auch $\phi = 0$ gefordert wird.

%Die Schnelle zeigt in dem Kugelsymmetrischen Fall
%immer in radialer Richtung.
In Kugelkoordinaten
ist es zweckmäßig die radiale Schnelle
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = \vec{v}\,' \cdot
\ff{\vec{x}}{r}
\end{equation}
%
einzuführen.
Dabei ist
%
\begin{equation}
\ff{\vec{x}}{r} =
\ff{\vec{x}}{|\vec{x}|}
\nonumber
\end{equation}
%
der nach außen zeigende Einheitsvektor
an der Stelle $\vec{x}$.
Für den Gradienten des Potentials gilt
%
\begin{equation}
\hbox{grad} \, \phi
\cdot 
\ff{\vec{x}}{r}
=
\pp{\phi}{r}
\end{equation}
%
Für die radiale Schnelle folgt damit
%
\begin{equation}
u'_{\hbox{\tiny R}} = \pp{\phi}{r}
\end{equation}
%
Damit kann die Schnelle für das in (12) gegebene Potential
berechnet werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
u'_{\hbox{\tiny R}} (r,t)
=
\ff{i A}{\omega \rho_0} \,
\left[
- \ff{i \omega}{r \, c}
- \ff{1}{r^2}
\right] \,
e^{i \omega(t - r/c)}
\end{equation}
%
Dies kann zu 
%
\begin{equation}
u'_{\hbox{\tiny R}} (r,t)
=
\left[
\ff{1}{\rho_0 \, c}
- \ff{i}{\rho_0 \omega r}
\right] \,
\ff{A}{r} \,
e^{i \omega(t - r/c)}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Rechts von der eckigen Klammer steht nun der Schalldruck nach (8).
Damit ergibt sich eine Beziehung zwischen Druck und Schnelle
in der nach außen laufenden harmonischen Kugelwelle.
Sie lautet
%
\begin{equation}
u'_{\hbox{\tiny R}} (r,t)
=
\ff{1}{\rho_0 \, c}
\left[ 1
- \ff{i c}{\omega r}
\right] \,
p' (r,t)
\end{equation}
%
Formal kann wie für den Druck auch für die Schnelle eine
komplexe Amplitude eingeführt werden.
Das Schnellefeld kann dann mit
%
\begin{equation}
u'_{\hbox{\tiny R}}(r,t) = \hat{u}_{\hbox{\tiny R}}(r) \, e^{i \omega(t - r/c)}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Zwischen den komplexen Amplituden besteht der Zusammenhang
%
\begin{equation}
\hat{u}_{\hbox{\tiny R}} (r)
=
\ff{1}{\rho_0 \, c}
\left[ 1
- \ff{i c}{\omega r}
\right] \,
\hat{p} (r)
\end{equation}
%
Vergleicht man dies mit den Verhältnissen bei der ebenen Welle,
so erkennt man deutliche Unterschiede.
In einer eindimensionalen ebenen Welle gilt
%
\begin{equation}
p' = \rho_0 c \, u'
\end{equation}
%
Diese Beziehung ist unabhängig von der Form der Welle.
Sie gilt für harmonische Wellen aber auch für einzelne Pulse.
Die Beziehung (18) gilt dagegen nur für den harmonischen Fall.
Das Verhältnis zwischen Druck und Schnelle in der Kugelwelle
hängt von der Frequenz $\omega$ ab.
In der ebenen Welle ist der Wellenwiderstand reell.
Das bedeutet, Druck und Schnelle sind immer in Phase.
Das Verhältnis in der Kugelwelle ist durch einen komplexen Faktor
in (18) gegeben.
Es kann sich eine Phasenverschiebung ergeben.

Analog zum Wellenwiderstand wird die radiale Impedanz $\sdoso ZR$
eingeführt.
Es soll
%
\begin{equation}
\hat{p} = \sdoso ZR \, \sdoso {\hat{u}}R
\end{equation}
%
gelten.
Damit muß
%
\begin{equation}
\sdoso ZR
=
\rho_0 c \,
\left[ 1
- \ff{i c}{\omega r}
\right]^{-1}
\end{equation}
%
sein.
Rein formal kann man auch
%
\begin{equation}
p' = \sdoso ZR \, \sdoso uR'
\end{equation}
%
schreiben.
Diese Form verdeutlicht jedoch nicht so gut wie (22), daß
die Druck-Schnelle-Relation nur für den Fall eines harmonischen
Wellenfeldes gilt.
Gleichung (24) kann nicht dazu verwendet werden,
das Schnellefeld zu beliebigen Druckwellen $p'$ auszurechnen.
Die Größe $\sdoso ZR$ ist keine Konstante des Mediums (wie im Fall der
ebenen Wellen der Wellenwiderstand), sondern hängt von der
Frequenz ab.

Um die Abhängigkeit der radialen Impedanz vom Abstand und der Frequenz zu
betrachtet, wird der Ausdruck in (23) umgeformt.
Durch Erweitern mit dem konjugiert komplexen der eckigen Klammer ergibt
sich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR
=
\rho_0 c \; 
\ff{1 + i \,\ff{c}{\omega r}}
{1 + \left(\ff{c}{\omega r}\right)^2}
\end{equation}
%
Jetzt ist der Nenner reell und Real- und Imaginärteil von
$\sdoso ZR$ können angegeben werden.
In (25) tritt der Faktor
%
\begin{equation}
\ff{c}{\omega r} = \ff{\lambda}{2 \pi r}
\end{equation}
%
auf.
Er bestimmt die radiale Impedanz.
Betrachtet man den Grenzfall, ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR \rightarrow \rho_0 c \quad \hbox{für} \quad
\ff{c}{\omega r} \rightarrow \infty
\end{equation}
%
Das bedeutet, es gilt näherungsweise
%
\begin{equation}
\sdoso ZR \approx \rho_0 c \quad \hbox{falls} \quad r \gg \lambda
\end{equation}
%
Diese Erkenntnis ist für die Praxis von großem Nutzen.
Sie besagt, daß in Kugelwellen die Verhältnisse den ebenen Wellen
entsprechen, wenn man sich -- relativ zur Wellenlänge -- weit
entfernt von Ursprung befindet.
Dort ist die akustische Impedanz gleich dem Wellenwiderstand
in der ebenen Welle, und Druck und Schnelle sind in Phase.

Der Vollständigkeit halber
wird hier auch noch der andere Grenzfall betrachtet.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR \rightarrow 0 \quad \hbox{für} \quad r \rightarrow 0
\end{equation}
%
Dies verdeutlicht, daß die Singularität im Schnellefeld ($1/r^2$) stärker
als die im Druckfeld ist.
Rein formal könnte man auch den Ursprung als schallweich ansehen.

{\it Beispielaufgabe}

Die bisherigen Erkenntnisse über Druck und Schnelle in den
Kugelwellen sollen jetzt auf ein konkretes Beispiel mit einer atmenden
Kugel angewendet werden.
Die atmende Kugel kann als ein perfekter Kugellautsprecher angesehen
werden.
Es sei ein solcher Kugellautsprecher mit einem Radius von $a = 0.25\,\hbox{m}$
gegeben.
Mit diesem Lautsprecher soll in $30\,\hbox{m}$ Entfernung
vom Mittelpunkt ein Schalldruckpegel von
$110 \, \hbox{dB}$ bei den Frequenzen
$10 \,\hbox{kHz}$, 
$1 \,\hbox{kHz}$ und
$50 \,\hbox{Hz}$
erzeugt werden.
Beantwortet werden sollen die beiden Fragen:
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Wie groß muß die Auslenkung $\varepsilon$ der Kugeloberfläche sein, um
die geforderte Lautstärke zu erreichen?
\item[b)]%
Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Druck und Schnelle
an der Kugeloberfläche bei den drei Frequenzen?
\end{itemize}
%
Zuerst wird der Pegel in einem Effektivwert umgerechnet.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
L_p = 110 \, \hbox{dB}
\quad \leftrightarrow \quad
\sdoso p{rms} = 6.32\,\hbox{Pa}
\end{equation}
%
Bei einer harmonischen Schwingung ist die maximale Auslenkung
immer um den Faktor $\sqrt{2}$ größer als der Effektivwert.
Damit kann der Betrag der komplexen Amplitude in $30\,\hbox{m}$
Entfernung berechnet werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\big| \hat{p} (30\,\hbox{m})\big| = \sqrt{2} \cdot 6.32\,\hbox{Pa} =
8.93\,\hbox{Pa}
\end{equation}
%
Im folgenden werden nur die Beträge der Größen betrachtet.
Dies reicht völlig aus, um die Frage a) zu beantworten.

Es ergibt sich nach (10) für die Größe $A$
%
\begin{equation}
\big| A \big| =
30\,\hbox{m} \cdot 8.93\,\hbox{Pa} =
268.13\,\hbox{Pa} \cdot \hbox{m}
\end{equation}
%
Damit kann der Betrag der Schalldruckamplitude an der Kugel
berechnet werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\big| \hat{p} (0.25\,\hbox{m})\big| = \ff{\big| A \big|}{0.25\,\hbox{m}} =
1072.52\,\hbox{Pa}
\end{equation}
%
Dieser Wert entspricht einem Pegel von etwa $155 \, \hbox{dB}$ und
soll durch das Pulsieren der Kugel erzeugt werden.

Die atmende Kugel stellt eine Randbedingung an das Schnellefeld.
Exakterweise müßte die radiale Schnelle $\sdoso uR'$
am momentanen Kugelradius $R(t)$ der Geschwindigkeit der Oberfläche
entsprechen.
Analog wie im Fall der Anregung von ebenen Wellen durch einen
bewegten Kolben wird auch hier eine vereinfachte Version der
Randbedingung angenommen.
Die  Geschwindigkeit der Oberfläche wird nicht am momentanen Radius
sondern am mittleren Radius angenommen.
Es soll also
%
\begin{equation}
\sdoso uR' (a,t) =
\pp{R}{t}(t) = \omega \, \varepsilon \, \cos(\omega t)
\end{equation}
%
gelten.
In der exakten Formulierung müßte auf der linken Seite
$\sdoso uR' (R(t),t)$ stehen.
Dies würde jedoch wie beim Kolben zu Lösungen führen, die
nicht sinusförmig sind.
Die vereinfachte Randbedingung (34) ist eine gute Approximation,
falls die Auslenkung klein gegenüber der Wellenlänge ist.

Aus (34) folgt für die Schnelleamplitude
%
\begin{equation}
\big| \sdoso {\hat{u}}R (a) \big| = \omega \, \varepsilon
\end{equation}
%
Bildet man den Betrag auf beiden Seiten von Gleichung (20) folgt
%
\begin{equation}
\big| \sdoso {\hat{u}}R \big| = 
\ff{1}{\rho_0 \, c} \;
\sqrt{1 + \left(\ff{c}{\omega r}\right)^2} \;
\big| \hat{p} \big|
\end{equation}
%
Damit kann schließlich die Auslenkung der Oberfläche
in Abhängigkeit der Druckamplitude an der Oberfläche
ausgedrückt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\varepsilon &= \ff{\big| \sdoso {\hat{u}}R (a) \big|}{\omega}\\[15pt]
&=
\ff{1}{\omega} \,
\ff{1}{\rho_0 c} \,
\sqrt{1 + \left(\ff{c}{\omega a}\right)^2} \,
\big| \hat{p} (a) \big|
\end{array}
\end{equation}
%
Um $\varepsilon$ zu berechnen, ist nur der Betrag der Druckamplitude
erforderlich.
Die folgende Tabelle faßt das Ergebnis für die drei Frequenzen
zusammen.

\end{multicols}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$f = \ff{\omega}{2 \pi}$ &
$\ff{c}{\omega a}$ &
$\sqrt{1 + \left(\ff{c}{\omega a}\right)^2}$ &
$|\sdoso {\hat{u}}R (a)|$ &
$\varepsilon$\\
\hline
10 kHz & 0.0216 & 1.00023 & 2.62 m/s & $4.18 \cdot 10^{-5}$ m\\
1 kHz & 0.2164 & 1.023 & 2.689 m/s & $4.28 \cdot 10^{-4}$ m\\
50 Hz & 4.329 & 4.44 & 11.679 m/s & 0.037 m\\
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}

% -------- FIN ----------------