Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 3.\ Dezember 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 4.3) Schallausbreitung bei Strömung}
\end{flushleft}

Bisher wurden zwei Fälle betrachtet, in denen 
Unter\-schall\-strömung im Kanal vorlag.
Einmal war die Frequenz unterhalb der ``Cut-Off''-Frequenz
und einmal oberhalb.
Als drittes soll die Situation bei
Überschallströmung diskutiert werden.

\vspace{5pt}

Fall c) $M > 1$ Überschallströmung

Die Wellenzahl in Kanalrichtung ist durch
%
\begin{equation}
\alpha_m = \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{c} \cdot \ff{S_m - M}{1 - M^2}
\end{equation}
%
gegeben, wobei
%
\begin{equation}
S_m = \pm \sqrt{1 - \left(\ff{\beta_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}}\right)^2 (1 -  M^2)}
\end{equation}
%
definiert ist.
Die Wellenzahl quer zur Kanalrichtung
ist
%
\begin{equation}
\beta_m = \ff{m \pi}{H}
\end{equation}
%
Entscheidend für die Ausbreitungsfähigkeit der Moden
ist, ob die Wellenzahl $\alpha_m$ reell oder komplex ist.
Die hängt von der Größe $S_m$ und damit dem Vorzeichen
des Ausdrucks unter der Wurzel in Gleichung (2) ab.
Für $M > 1$ gilt immer
%
\begin{equation}
(1 - M^2) < 0
\end{equation}
%
Daraus folgt, das der Ausdruck unter der Wurzel immer größer
als Eins ist.
Die Größe $S_m$ ist rein reell, also $\Im\{S_m\} = 0$.
Zusätzlich gilt
%
\begin{equation}
|S_m| > 1
\end{equation}
%
Damit ist nach (1) auch die Wellenzahl $\alpha_m$ reell.
Das gilt unabhängig von der Frequenz $\omega_{\hbox{\tiny R}}$
für alle $m$.
Bei Überschall gibt es also keine ``Cut-Off''-Bedingung,
wie bei Unterschall.
Alle Moden sind ausbreitungsfähig.

Ein interessantes Detail zeigt sich, wenn man die
Phasengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}} =
\ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{\alpha_m} =
c \cdot \ff{(1 - M^2)}{(S_m - M)}
\end{equation}
%
der Moden betrachtet.
In dem Bereich, in dem
%
\begin{equation}
1 < |S_m| < M
\end{equation}
%
gilt, ist $c^{\hbox{\tiny ph}} > 0$ für die
``$+$''- und die ``$-$''-Welle.
Das heißt, beide Wellen laufen in Strömungsrichtung, wie
man es bei Überschallströmung erwartet.
Für den Fall
%
\begin{equation}
|S_m| > M > 1
\end{equation}
%
ergibt sich jedoch eine Welle mit negativer Phasengeschwindigkeit
$c^{\hbox{\tiny ph}} < 0$, die gegen die Überschallströmung läuft.
Nach (2) ist Ungleichung (8) erfüllt, falls für die Frequenz
%
\begin{equation}
\omega_{\hbox{\tiny R}} < \beta_m c
\end{equation}
%
gilt.
Für die Grundmode $m=0$ ist $\beta_0 = 0$ und (9) nicht
erfüllbar.
Jedoch für $m > 0$ gibt es einen Frequenzbereich,
in dem für eine Welle $c^{\hbox{\tiny ph}} < 0$ ist.
Es stellt sich die Frage, ob sich Information in den höheren Moden
gegen die Überschallströmung ausbreiten kann.
Dies kann beantwortet werden, wenn man die
Gruppengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \; \ff{(1 - M^2) \cdot S_m}{1 - MS_m}
\end{equation}
%
betrachtet.
Für $S_m > 0$ sind Nenner und Zähler in (10) negativ, und
für $S_m < 0$ sind beide positiv.
Es ergibt sich in beiden Fällen eine positive Gruppengeschwindigkeit
$c^{\hbox{\tiny gr}} > 0$.
Das heißt, keine Information breitet sich
gegen die Überschallströmung aus.

\begin{flushleft}
{\bf 4.4) Kanal mit schallweichen Wänden}
\end{flushleft}

Bei den bisherigen Untersuchungen wurde von einem
Kanal mit festen undurchlässigen Wänden ausgegangen.
Im Abschnitt 3.4 wurden verschiedene Typen von Wänden
betrachtet.
Die Überlegungen dort gingen von eindimensionaler Wellenausbreitung
aus, jedoch lassen sich einige Resultate auf den mehrdimensionalen
Fall direkt übertragen.
Die bisher angenommenen festen Wände sind undurchdringlich.
Die Schnellekomponente senkrecht zur Wand ist immer gleich Null.
Dies entspricht einer Wandimpedanz $\sdoso ZW = \infty$.
Die Wand ist schallhart.
Bei schallweichen Wänden ist die Wandimpedanz $\sdoso ZW = 0$, und
der Schalldruck an der Wand ist immer gleich Null.
Im folgenden soll untersucht werden, wie sich die Schallausbreitung
in einem Kanal mit schallweichen Wänden von der bisher betrachteten
bei schallharten Wänden unterscheidet.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.5,2.2) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kanalfw1b.eps,width=6.0cm}}}
\put(0.4,1.6){\makebox(0,0)[rc]{\small $H$}}
\put(0.4,0.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.7,2.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $x_2$}}
\put(6.3,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(5.9,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(3.7,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $v_1'$}}
\put(2.9,1.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $v_2'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Geometrische Situation ist wie im Abschnitt 4.1.
Die Abbildung zweigt das Koordinatensystem im Kanal.
Die Kanalbreite ist $H$.
Es werden Lösungen der Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \zz{p'}{t} - \zz{p'}{x_j} = 0 \quad \hbox{mit} \quad j = 1,2
\end{equation}
%
gesucht.
Die Lösungen sollen die Randbedingungen
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) = 0 \quad \hbox{bei} \quad x_2 = 0 \, , \,
x_2 = H
\end{equation}
%
erfüllen.
Anders als im Abschnitt 4.1 müssen die
Randbedingungen nicht erst mit der linearisierten Euler-Gleichung
in Bedingungen für den Schalldruck umgewandelt werden.
Mit (12) ist ja schon eine Bedingung an den Druck gegeben.
Es wird der gleiche Lösungsansatz
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) = f(x_1) \cdot g(x_2) \cdot e^{i \omega t}
\end{equation}
%
wie in Abschnitt 4.1 verwendet.
Es ergibt sich wie dort
%
\begin{equation}
- \ff{\omega^2}{c^2} - \ff{1}{f} \dd{^2 f}{x_1^2} =
\ff{1}{g} \dd{^2 g}{x_2^2} =
- \beta^2
\end{equation}
%
Die Größe $\beta$ ist eine Konstante.
Der zweite Teil von (14) stellt eine Differentialgleichung
für $g(x_2)$ dar.
Deren allgemeine Lösung lautet
%
\begin{equation}
g(x_2) = A_2 \cos ( \beta x_2) + B_2 \sin ( \beta x_2)
\end{equation}
%
Bis zu diesem Punkt unterscheidet sich der Lösungsweg
nicht von dem Fall bei schallharten Wänden.
Jetzt müssen jedoch die Größen $A_2$, $B_2$ und $\beta$ so
gewählt werden, daß die Randbedingungen (12) erfüllt werden.
Es sollte erreicht werden, daß
%
\begin{equation}
g(x_2) = 0 \quad \hbox{bei} \quad x_2 = 0 \, , \,
x_2 = H
\end{equation}
%
wird.
Dann ist (12) immer erfüllt.
Die Bedingung (16) gilt, wenn
man $A_2 = 0$ setzt und
%
\begin{equation}
\beta = \beta_m = \ff{m \pi}{H} \; ;
\quad
m = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
wählt.
Daraus folgt, daß
die Lösung der Form
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
B_2 \sin\left( \ff{m \pi}{H}\, x_2 \right)
=
B_2 \sin\left( \beta_m x_2 \right)
\end{equation}
%
Der Unterschied zum Resultat für $g(x_2)$ bei schallharten
Wänden besteht lediglich in dem Sinus statt dem Cosinus.
Die schallharten Randbedingungen fordern, daß
$B_2 = 0$ ist -- statt wie hier $A_2 = 0$.
Die Größe $\beta$ ist in beiden Fällen wie in (17) gegeben.
Der Unterschied ist praktisch nur eine ``Verschiebung''
von $g(x_2)$ um $\pi/2$.

Für die Funktion $f(x_1)$ wird der Ansatz
%
\begin{equation}
f(x_1) = A_1 e^{-i \alpha x_1} + B_1 e^{i \alpha x_1}
\end{equation}
%
verwendet.
Nach (14) ergibt sich daraus
%
\begin{equation}
\alpha
=
\sqrt{\left(\ff{\omega}{c}\right)^2 -
\left(\ff{m \pi}{H}\right)^2}
=
\sqrt{k^2 - \beta_m^2}
\equiv
\alpha_m
\end{equation}
%
Wie die Größen $\beta_m$ ist daher auch die Wellenzahl
$\alpha_m$ für alle Moden die gleiche wie im Kanal
mit schallharten Wänden.
Entsprechend ergeben sich auch wieder die gleichen
Cut-Off-Bedingungen für die einzelnen Moden
%
\begin{equation}
\omega > \beta_m c \equiv
\omega_{\hbox{\tiny C},m}
\end{equation}
%
Dabei ist $\omega_{\hbox{\tiny C},m}$ die Cut-Off-Frequenz
der Mode $m$.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=modeh02.eps,width=7.6cm}}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Schallhart}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(4.7,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.6,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=modew02.eps,width=7.6cm}}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small Schallweich}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(4.7,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.6,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
In den Abbildungen sind die Unterschiede der Lösung für die
Mode $m=2$ gegenübergestellt.
Die Bilder zeigen das Druckfeld in einem Ausschnitt, der sich
in $x_2$-Richtung
über die gesamte Kanalbreite $H$ erstreckt.
Die Länge des Ausschnitts in $x_1$-Richtung entspricht $3H$.
Bei schallharten Wänden hat das Druckfeld gerade an
der Kanalwand die maximalen Auslenkungen.
Im Fall schallweicher Wand ist dagegen die Druckschwankung an
der Wand Null.
Die Lösung ist praktisch in $x_2$-Richtung verschoben.

Der Hauptunterschied zwischen den beiden Fällen zeigt sich, wenn
man die Grundmode $m=0$ betrachtet.
Bei schallharten Wänden ergab sich bei $m=0$ gerade eine ebene
Welle in $x_1$-Richtung.
Jetzt wird jedoch bei $m=0$ wegen $\beta_0 = 0$
auch $g(x_2) = 0$ für alle $x_2$.
Das heißt, für $m=0$ ergibt sich die triviale Lösung $p'(\vec{x},t) = 0$.
Es existiert also gar keine Grundmode, die sich ausbreitet.
Daraus folgt, daß in einem Kanal mit schallweichen Wänden
sich unterhalb der Cut-Off-Frequenz der ersten Mode
%
\begin{equation}
\omega_{\hbox{\tiny C},1} = \ff{c \pi}{H}
\end{equation}
%
überhaupt keine Moden ausbreiten können.
Findet an einer Stelle im Kanal eine Anregung statt, klingt die
gesamte Störung nur
exponentiell ab, falls die Frequenz entsprechend gering ist.
Erst oberhalb der Frequenz $\omega_{\hbox{\tiny C},1}$ ist eine
Wellenausbreitung überhaupt erst möglich.

\begin{flushleft}
{\bf 5) Schallabstrahlung im offenen Raum}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 5.1) Das Geschwindigkeitspotential}
\end{flushleft}

Bevor an einigen Beispielen typische Lösungen der Wellengleichung
im offenen Raum diskutiert werden, soll ein rein formales Hilfsmittel,
das Geschwindigkeitspotential, vorgestellt werden.
Das Geschwindigkeitspotential vereinfacht nicht die Lösung
der Gleichungen, es erlaubt jedoch eine elegantere Darstellung.

Die gesamten Überlegungen basieren auf der Wellengleichung für den
Schalldruck
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2}\,\zz{p'}{t} - \Delta \,p' = 0
\end{equation}
%
Weiterhin wird auch die linearisierte Euler-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{\vec{v}\,'}{t} + \hbox{grad} \, p' = 0
\end{equation}
%
benötigt.
Wendet man den rot-Operator auf die Gleichung (24) an, ergibt sich
%
\begin{equation}
\rho_0 \, \hbox{rot} \left( \pp{\vec{v}\,'}{t}\right)
+ \underbrace{\hbox{rot} \, \hbox{grad}}_{= 0} \, p' = 0
\end{equation}
%
Die Rotation von einem Gradientenfeld ist immer gleich Null.
Durch Vertauschen der Ableitungen folgt damit
%
\begin{equation}
\pp{}{t}
\big( \hbox{rot} \, \vec{v}\,' \big) = 0
\end{equation}
%
Die bedeutet, die Größe $\hbox{rot} \, \vec{v}\,'$ ist an jedem Ort
zeitlich konstant.
Geht man von einem Ausgangszustand $\vec{v}\,' = 0$ im gesamten Raum
aus, und ``schaltet'' dann die Störungen ein, so bleibt
%
\begin{equation}
\hbox{rot} \, \vec{v}\,' = 0
\end{equation}
%
überall erhalten.
Mathematisch kann gezeigt werden, daß ein rotationsfreies
Vektorfeld immer als Gradientenfeld von einem Potential
dargestellt werden kann.
Es gibt also ein $\phi$, so daß
%
\begin{equation}
\vec{v}\,' = \hbox{grad} \, \phi
\end{equation}
%
gilt.
Bisher sind die Überlegungen analog zu denen, die auch bei
der Potentialtheorie in der Strömungsmechanik angestellt werden.
Spielen Reibungseffekte keine Rolle,
kann im Strömungsfeld $\hbox{rot} \, \vec{v} = 0$ angenommen werden.
Anschaulich kann man sich das anhand eines Fluidelementes klarmachen,
an dem nur Druckkräfte angreifen.
Die Druckkräfte sind nicht in der Lage das Fluidelement in Drehung
zu versetzen.
Dazu ist Reibung und Schubspannung notwendig.
Ohne Reibung bleibt ein rotationsfreies Strömungsfeld immer
rotationsfrei.
%
In der Euler-Gleichung ist die Reibung vernachlässigt.
Daher lassen sich daraus die obigen Beziehungen ableiten.
Dabei spielt keine Rolle, daß die Euler-Gleichung linearisiert wurde.
Das Potential kann auch in diesem Fall eingeführt werden.

Das Geschwindigkeitspotential zu einem vorgegebenen
Schnellefeld $\vec{v}\,' (\vec{x},t)$ ist nicht eindeutig.
Es ist lediglich seine Existenz gegeben.
Angenommen es sei ein Potential $\phi_1$ mit
%
\begin{equation}
\hbox{grad} \, \phi_1 (\vec{x},t)
=
\vec{v}\,' (\vec{x},t)
\end{equation}
%
bekannt.
Damit kann man sich leicht ein weiteres Potential
%
\begin{equation}
\phi_2 (\vec{x},t)
=
\phi_1 (\vec{x},t)
+
h(t)
\end{equation}
%
ableiten, das ebenfalls
%
\begin{equation}
\hbox{grad} \, \phi_2 (\vec{x},t)
=
\vec{v}\,' (\vec{x},t)
\end{equation}
%
erfüllt.
Die Funktion $h(t)$ kann eine beliebige Funktion der Zeit sein.
Damit wird klar, daß es für jedes Schnellefeld eine unendliche Vielzahl
von möglichen Potentialen gibt.

Es lassen sich jedoch spezielle Potentiale mit besonderen Eigenschaften
finden, die für die Lösung akustischer Probleme eine elegante
Darstellung ermöglichen.
Angenommen, daß Schnellefeld $\vec{v}\,' (\vec{x},t)$ entspricht
einer Lösung der Wellengleichung und erfüllt damit auch die
linearisierte Euler-Gleichung (24).
$\phi_1$ sei ein beliebiges Potential, das (29) erfüllt.
Dann kann man (29) in (24) einsetzen und erhält
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{}{t} (\hbox{grad} \, \phi_1) + \hbox{grad} \, p' = 0
\end{equation}
%
Vertauscht man die Ableitungen ergibt sich
%
\begin{equation}
\hbox{grad}
\left( \rho_0 \pp{\phi_1}{t} +  p' \right) = 0
\end{equation}
%
Das bedeutet, der Ausdruck in den runden Klammern ist
räumlich konstant.
Er ist eine reine Funktion der Zeit, die mit
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{\phi_1}{t} +  p' \equiv K_1(t)
\end{equation}
%
dargestellt werden kann.
Es läßt sich nun ein spezielles Potential finden, 
für das die Konstante immer gleich Null ist.
Dazu konstruiert man
%
\begin{equation}
\phi_{\hbox{\tiny Spezial}} (\vec{x},t)
=
\phi_1 (\vec{x},t)
+
h_1(t)
\end{equation}
%
mit der speziellen Wahl einer Funktion $h_1(t)$, die
%
\begin{equation}
\dd{h_1}{t} = - \ff{1}{\rho_0} K_1(t)
\end{equation}
%
erfüllt.
Die Funktion  $h_1(t)$ und damit auch
$\phi_{\hbox{\tiny Spezial}}$ ist bis auf eine Konstante
bestimmt.
Es gilt
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{\phi_{\hbox{\tiny Spezial}}}{t} +  p' =
\underbrace{\rho_0 \pp{\phi_1}{t} +  p'}_{K_1(t)} +
\underbrace{\rho_0 \dd{h_1}{t}}_{-K_1(t)}
\end{equation}
%
Und damit folgt
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{\phi_{\hbox{\tiny Spezial}}}{t} +  p' = 0
\end{equation}
%
Der Vorteil dieses speziellen Potentials ist, daß beide
in dem Schallfeld interessanten Größen Schnelle und Druck
mit den Beziehungen
%
\begin{equation}
\vec{v}\,' = \hbox{grad} \, \phi_{\hbox{\tiny Spezial}}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p' = - \rho_0 \, \pp{\phi_{\hbox{\tiny Spezial}}}{t}
\end{equation}
%
aus dem Potential relativ einfach berechnet werden können.
Ein Potential mit den Eigenschaften (39) und (40) wird
akustisches Potential genannt.
Im folgenden wird statt $\phi_{\hbox{\tiny Spezial}}$
nur noch $\phi$ geschrieben.
Es wird immer davon ausgegangen, daß ein Potential $\phi$ beide
Bedingungen (39) und (40) erfüllt.

Es zeigt sich, daß das Schallfeld besonders
elegant durch das akustische Potential ausgedrückt werden kann.
Es stellt sich die Frage, wie das akustische Potential $\phi$
praktisch berechnet werden kann.
Die bisherigen Überlegungen zeigten lediglich die Existenz
ausgehenden von einem gegebenen $\phi_1$.
Um eine Bestimmungsgleichung für $\phi$ zu erhalten, wird
(40) in die Wellengleichung (23) eingesetzt.
Soll das akustische Potential $\phi$ eine Lösung der Wellengleichung
beschreiben, muß es
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2}\,\pp{^2}{t^2} \left( - \rho_0 \, \pp{\phi}{t} \right)
-
\Delta \,  \left( - \rho_0 \, \pp{\phi}{t} \right) = 0
\end{equation}
%
erfüllen.
Durch Vertauschen von Ableitungen folgt daraus
%
\begin{equation}
- \rho_0 \, \pp{}{t}
\left[ \ff{1}{c^2}\,\pp{\phi^2}{t^2} - \Delta \, \phi \right] = 0
\end{equation}
%
Der Ausdruck in den eckigen Klammern ist an jedem Ort Zeitlich konstant.
Für einem Ausgangszustand mit $\vec{v}\,' = 0$ und $p'= 0$ müssen
die räumlichen und Zeitlichen Ableitungen von $\phi$ verschwinden.
Das heißt, die eckige Klammer ist im Ausgangszustand überall gleich Null.
Werden dann die Störungen ``eingeschaltet'', so bleibt der Wert
überall gleich Null.
Es muß daher auch für $\phi$ die Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2}\,\pp{\phi^2}{t^2} - \Delta \, \phi = 0
\end{equation}
%
gelten.
Zweckmäßigerweise wird noch $\phi = 0$
im Ausgangszustand mit $\vec{v}\,' = 0$ und $p'= 0$
festgelegt.
Dadurch ist $\phi$ dann mit der Wellengleichung eindeutig bestimmbar.
Satt der Wellengleichung für den Druck kann Gleichung (43) gelöst werden,
und der Druck dann anschließend mit (40) berechnet werden.
Auf diesem Wege kann auch gleich die Schnelle mit (39) angegeben werden,
ohne erst wieder die linearisierte Euler-Gleichung zum umrechnen
zwischen Druck und Schnelle zu bemühen.

\end{multicols}


\end{document}

% -------- FIN ----------------