Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 29.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 4.3) Schallausbreitung bei Strömung}
\end{flushleft}

In den vorangegangenen Abschnitten wurde
immer davon ausgegangen, daß keine
Grundströmung im Kanal vorhanden ist.
Jedoch ist gerade die Schallausbreitung
in durchströmten Kanälen von großem praktischen Interesse.
Beispiele sind der Schalldämpfer in Auspuffanlagen von Fahrzeugen
oder Gebläse aller Art.
Es stellt sich die Frage, wie eine Strömung die Schallausbreitung
beeinflußt, und ob sich die bisherigen Ergebnisse auf
den Fall mit Strömung übertragen lassen.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,2.2) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kanalstrm2.eps,width=6.5cm}}}
\put(4.0,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $U$}}
\put(6.9,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(6.3,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.9,2.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.45,0.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.45,1.7){\makebox(0,0)[rc]{\small $H$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Für die folgende Betrachtung wird eine homogene Strömung
mit der Geschwindigkeit $U$ in Kanalrichtung angenommen.
Das heißt, das Geschwindigkeitsprofil im Kanal ist eben,
und Reibungseffekte werden vernachlässigt.
Es gilt
%
\begin{equation}
\vec{v}_0 (\vec{x}) = \left( \vektor{U \\ 0} \right)
\end{equation}
%
Diese Grundströmung ist formal eine Lösung der Euler-Gleichung.
Sie erscheint jedoch auf den ersten Blick relativ unrealistisch, da
in Wirklichkeit die Strömung in Kanälen meistens
durch Reibungseffekte dominiert wird.
Das einfache Geschwindigkeitsprofil entspricht am ehesten
dem mittleren Profil in einer turbulenten Kanalströmung oder
einer Kanalströmung kurz nach dem Einlauf.
Hier soll mit einer so einfachen Grundströmung begonnen
werden, um die grundsätzlichen Auswirkung der Strömung
auf die Schallausbreitung zu verdeutlichen.

Bei der Herleitung der Wellengleichung in Abschnitt 2.1 wurde
angenommen, daß keine Grundströmung vorliegt und $\vec{v}_0 = 0$ gilt.
Die Wellengleichung ist daher auf den gegeben Fall nicht mehr so
einfach anwendbar.
Es bieten sich zwei prinzipielle Möglichkeiten an, das Problem zu lösen.
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Die Wellengleichung wird erweitert, um den Fall mit Grundströmung
zu erfassen.
Anschließend werden die Lösungen der erweiterten Wellengleichung
ermittelt.
\item[b)]%
Das Problem wird im einem Bezugssystem betrachtet, das sich mit
der Strömung mitbewegt.
In diesem Bezugssystem ist keine Grundströmung vorhanden, und
die bisherige Wellengleichung mit ihren Lösungen gilt.
Die bekannten Lösungen werden in das kanalfeste Bezugssystem transformiert.
\end{itemize}
%
Der Weg b) hat den Vorteil, daß man die Lösungen 
schon kennt.
Der Nachteil ist die Transformation des Bezugssystems,
deren Schwierigkeiten oft unterschätzt werden.
Dennoch soll hier der Weg b) bestritten werden.
Dazu werden zunächst einige grundlegende Überlegungen
zu einer eindimensionalen harmonischen Welle, die aus einem ruhendem
und einem bewegten Bezugssystem betrachtet werden, vorgestellt.

Im bewegten Bezugssystem ist der Druckverlauf in der Welle
durch
%
\begin{equation}
\sdoso p{B}'(\sdoso xB, t) = A \, e^{i(\sdoso \omega{B} t - k \sdoso xB)}
\end{equation}
%
gegeben.
$\sdoso xB$ ist die Koordinate im bewegten System und $\sdoso \omega{B}$
die Kreisfrequenz.
Entsprechend sieht der Beobachter im ruhenden System die Welle
als
%
\begin{equation}
\sdoso p{R}'(\sdoso xR, t) = A \, e^{i(\sdoso \omega{R} t - k \sdoso xR)}
\end{equation}
%
Er hat die Koordinate $\sdoso xR$ und beobachtet die Kreisfrequenz
$\sdoso \omega{R}$.
Die Wellenzahl $k$ ist nur mit der Wellenlänge $\lambda$ verknüpft
und damit vom Bezugssystem unabhängig.
In dem mitbewegten Bezugssystem soll die Wellengleichung gelten.
Die Welle läuft in diesem System mit der Schallgeschwindigkeit in
positive $x$-Richtung.
Damit ist $k$ festgelegt.
Es muß gelten
%
\begin{equation}
k = \ff{\sdoso \omega{B}}{c} = \ff{2 \pi}{\lambda}
\end{equation}
%
Der Ursprung des bewegten Bezugssystem bewegt sich mit der
Geschwindigkeit $U$ im ruhendem System.
Zur Zeit $t=0$ sollen die Ursprünge der Koordinatensystem
aufeinanderfallen.
Eine Umrechnung der Koordinaten ist dann durch die Beziehung
%
\begin{equation}
\sdoso xR = \sdoso xB + U t
\end{equation}
%
gegeben.
Der Druck hängt nicht vom Bezugssystem ab.
Daher müssen sich die beobachteten Druckverläufe (2) und (3)
am selben Ort (aber mit unterschiedlichen Koordinaten)
entsprechen.
Es muß gelten
%
\begin{equation}
\sdoso p{R}'(\sdoso xB + U t, t) = \sdoso p{B}'(\sdoso xB, t)
\end{equation}
%
Durch Einsetzen von (2) und (3) in (6) folgt
%
\begin{equation}
\sdoso \omega{R} t - k (\sdoso xB + U t) = \sdoso \omega{B} t - k \sdoso xB
\end{equation}
%
Dadurch ergibt sich eine Beziehung zwischen den beobachteten Frequenz
in den beiden Bezugssystemen.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso \omega{R} = \sdoso \omega{B} - k U
\end{equation}
%
oder
%
\begin{equation}
\sdoso \omega{R} = \sdoso \omega{B} - \ff{\sdoso \omega{B}}{c} U
= \sdoso \omega{B} \, (1 + M)
\end{equation}
%
wobei die Machzahl
%
\begin{equation}
M = \ff{U}{c}
\end{equation}
%
eingeführt wurde.
Die Frequenz im ruhendem System ist um den sogenannten Dopplerfaktor $(1 + M)$
gegenüber der im mitbewegten System ``verschoben''.

Die bisherigen Überlegungen zur eindimensionalen Ausbreitung
der ebenen Welle
lassen sich auf die zweidimensionalen Kanalmoden übertragen.
$x$ wird durch die $x_1$-Koordinate in Kanalrichtung
ersetzt.
Statt der Wellenzahl $k$ wird die Wellenzahl $\alpha_m$ in
Kanalrichtung eingesetzt.
Das Druckfeld dem Mode $m$ im mitbewegten System ist dann
durch
%
\begin{equation}
\sdoso p{B}'(\sdoso {\vec{x}}B, t) =
G(x_2) \, e^{i(\sdoso \omega{B} t - \alpha_m x_{1,\hbox{\tiny B}})}
\end{equation}
%
gegeben.
Zu beachten ist, daß die $x_2$-Koordinate in beiden
Bezugssystemen gleich ist.
Die Systeme verschieben sich nur in $x_1$-Richtung nach der
Beziehung
%
\begin{equation}
x_{1,\hbox{\tiny R}} = x_{1,\hbox{\tiny B}} + U t
\end{equation}
%
zueinander.
Analog zur Gleichung (8) ergibt sich für die beobachteten
Frequenzen der Kanalmoden die Relation
%
\begin{equation}
\sdoso \omega{R} = \sdoso \omega{B} - \alpha_m U
\end{equation}
%
In Abschnitt 3.1 wurde die Wellenzahl $\alpha_m$ immer
positiv definiert.
Die Druckverteilung (11) beschreibt dann eine in positive
$x_1$-Richtung laufende Welle.
Um die Wellenausbreitung in negative $x_1$-Richtung zu
betrachten, muß ein Ansatz mit
$(\sdoso \omega{B} t + \alpha_m x_{1,\hbox{\tiny B}})$
im Exponenten
gewählt werden.
Mit der Gleichung (11) können auch beide Lösungen gleichzeitig
erfaßt werden, falls auch negative Wellenzahlen $\alpha_m$
zugelassen werden.
Als Erweiterung der Ergebnisse aus Abschnitt 4.1
setzt man
%
\begin{equation}
\alpha_m =
\pm \sqrt{
\left( \ff{\sdoso \omega{B}}{c} \right)^2 - \left( \ff{m \pi}{H} \right)^2}
=
\pm \sqrt{k^2 - \beta_m^2}
\end{equation}
%
Bisher wurde nur die positive Wurzel genommen.
Jetzt legt das Vorzeichen von $\alpha_m$ die Ausbreitungsrichtung fest.
Ohne Strömung bringt dieses Vorgehen kein Gewinn, da sich die
Wellenausbreitung in den beiden Richtungen nicht
unterscheidet und alles an der Welle in einer Richtung
untersucht werden kann.
Bei Strömung ist die Ausbreitung jedoch unsymmetrisch:
Mit oder gegen die Strömungsrichtung.
Mit dem erweiterten $\alpha_m$ können dann
beide Lösungen gleichzeitig untersucht werden.

Um die Lösungen zu bestimmen, die sich bei einer vorgegebenen
Anregungsfrequenz ergeben, muß die Wellenzahl  $\alpha_m$
berechnet werden.
Die Anregung soll im Bezug zum ruhenden System
(z.B.\ mit einem Lautsprecher in der Kanalwand) geschehen,
wodurch nur die Frequenz $\omega_{\hbox{\tiny R}}$
bekannt ist.
Die Beziehung (14) verknüpft die Wellenzahl $\alpha_m$ mit
der Frequenz  $\omega_{\hbox{\tiny B}}$ im mitbewegten System.
Für den Beobachter im ruhenden System ist diese Beziehung so
nicht brauchbar, da er nach (13) nicht  $\omega_{\hbox{\tiny B}}$ 
ermitteln kann, ohne  $\alpha_m$ zu kennen.
Es soll daher eine Beziehung zwischen $\omega_{\hbox{\tiny R}}$
und $\alpha_m$ abgeleitet werden.

Löst man (13) nach  $\omega_{\hbox{\tiny B}}$ auf und
setzt das Ergebnis in (14) ein, ergibt sich
%
\begin{equation}
\alpha_m = \pm \sqrt{
\ff{(\omega_{\hbox{\tiny R}} - \alpha_m U)^2}{c^2} - \beta_m^2}
\end{equation}
%
Daraus folgt nach einigen Umformungen, die im Anhang
gegeben sind, die Beziehung
%
\begin{equation}
\alpha_m = \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{c} \cdot \ff{S_m - M}{1 - M^2}
\end{equation}
%
mit der Abkürzung
%
\begin{equation}
S_m = \pm \sqrt{1 - \left(\ff{\beta_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}}\right)^2 (1 - M^2)}
\end{equation}
%
Für eine gegebene Frequenz $\omega_{\hbox{\tiny R}}$ kann mit
(17) zunächst die Größe $S_m$ und anschließend mit (16) die
Wellenzahl $\alpha_m$ berechnet werden.
Die Wellenzahl $\beta_m$ in $x_2$-Richtung geht in die Berechnung von $S_m$ mit
ein.
$\beta_m$ ist in beiden Bezugssystem gleich und entspricht dem Wert ohne
Strömung.

Eine reguläre Wellenausbreitung liegt vor, falls die Wellenzahl
$\alpha_m$ rein reell ist, also bei $\Im \{ \alpha_m \} = 0$.
Dies ist gegeben, falls $\Im \{ S_m \} = 0$ ist.
Damit muß für reguläre Wellenausbreitung der Ausdruck unter der Wurzel in (17)
größer oder gleich Null sein.
Dies bedeutet
%
\begin{equation}
1 - \left( \ff{\beta_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}} \right)^2 (1 - M^2) \geq 0
\end{equation}
%
oder nach einigen Umformungen
%
\begin{equation}
\omega_{\hbox{\tiny R}} \geq \beta_m c \, \sqrt{1 - M^2} \equiv
\omega_{\hbox{\tiny C},m}
\end{equation}
%
Dabei ist mit $\omega_{\hbox{\tiny C},m}$ -- wie auch im Fall
ohne Strömung -- die Cut-Off-Frequenz
der Mode $m$ bezeichnet.
Die  Cut-Off-Frequenz $\omega_{\hbox{\tiny C},m}$ unterscheidet sich
von der im Fall ohne Strömung durch den Faktor $\sqrt{1 - M^2}$.
Beschränkt man sich auf Unterschallströmungen mit $M < 1$, so wird
durch die Strömung die  Cut-Off-Frequenz abgesenkt.
Das bedeutet, mit Strömung sind eventuell Moden ausbreitungsfähig, die
ohne Strömung abklingen würden.
Dies ist bei praktischen Anwendungen zu beachten, bei denen eine
Ausbreitung höherer Moden unerwünscht ist, und ein Kanal ausgelegt werden
soll, in dem sich nur die Grundmode ausbreiten kann.

Mit der  Cut-Off-Frequenz kann die Größe $S_m$ als
%
\begin{equation}
S_m = \pm \sqrt{1 - \left(\ff{\omega_{\hbox{\tiny C},m}}
{\omega_{\hbox{\tiny R}}}\right)^2}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Diese Beziehung wird weiter unten noch benötigt.

Durch $\alpha_m$ wird die Form der Mode festgelegt.
In den unterschiedlichen Frequenzbereichen ergeben sich verschiedene
Typen von Lösungen.
Im folgenden werden einige Fälle diskutiert.

\vspace{5pt}

Fall a) $\omega_{\hbox{\tiny R}} < \omega_{\hbox{\tiny C},m}$ und $M < 1$

In diesem Fall ist die Mode $m$ nicht ausbreitungsfähig.
Ohne Strömung ist die Wellenzahl $\alpha_m$ für die
nicht ausbreitungsfähigen Moden rein imaginär, also $\Re \{ \alpha_m \} = 0$.
Mit Strömung ergibt sich jetzt aber ein von Null verschiedener Realteil.
Die Größe $S_m$ wird rein imaginär, und
nach (16) gilt
%
\begin{equation}
\Re \{ \alpha_m \} < 0
\end{equation}
%
und natürlich
%
\begin{equation}
\Im \{ \alpha_m \} \neq 0
\end{equation}
%
Die Lösung, die der Beobachter im ruhenden System sieht, ist mit
%
\begin{equation}
\sdoso p{R}'(\sdoso {\vec{x}}R, t) =
G(x_2) \, e^{i(\sdoso \omega{R} t - \alpha_m x_{1,\hbox{\tiny R}})}
\end{equation}
%
gegeben.
Dadurch, daß sowohl Real- und Imaginärteil von $\alpha_m$ von Null
verschieden sind, hat die Lösung eine andere Form wie im Fall
ohne Strömung.
Spaltet man die Wellenzahl mit
%
\begin{equation}
\alpha_m =
\Re \{ \alpha_m \}
+ i \, \Im \{ \alpha_m \}
\end{equation}
%
auf, und setzt dies in (23) ein ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
\sdoso p{R}'(\sdoso {\vec{x}}R, t) =
G(x_2) &\times e^{i(\sdoso \omega{R} t - \Re\{\alpha_m\}
x_{1,\hbox{\tiny R}})}\\[6pt]
&\times e^{\Im\{\alpha_m\} x_{1,\hbox{\tiny R}}}
\end{array}
\end{equation}
%
Der Faktor $e^{\Im\{\alpha_m\} x_{1,\hbox{\tiny R}}}$ beschreibt
ein Abklingen oder ein Anfachen der Lösung, je nach Vorzeichen von
$\Im\{\alpha_m\}$ beziehungsweise $S_m$.
Der zweite Faktor  $e^{i(\sdoso \omega{R} t - \Re\{\alpha_m\} x_{1,\hbox{\tiny R}})}$
beschreibt eine Wellenausbreitung, die wegen (21) in negative $x_1$-Richtung
läuft.
Die Wellenbewegung ist dem Abklingen überlagert.
%
\begin{center}
\epsfig{file=skanal01.eps,width=7.5cm}
\end{center}
Die Abbildung zeigt für den Fall $m = 1$
eine Lösung nach (25), die in negativer $x_1$-Richtung abklingt, also für
$\Im\{\alpha_m\} > 0$.
In $x_2$-Richtung ist die gesamte Kanalbreite $H$ dargestellt.
In $x_1$-Richtung ist eine Strecke von $3 H$ herausgegriffen.

Anschaulich kann man sich die überlagerte Wellenbewegung in der
Lösung mit Strömung auch plausibel machen.
Wird durch ein Lautsprecher in der Kanalwand eine höhere Mode angeregt, 
die nicht ausbreitungsfähig ist, so klingt die Mode im Fall ohne Strömung
nach beiden Seiten einfach ab.

Mit Strömung würde jedoch die Schallenergie in dem angeregten Wellenfeld vor
dem Lautsprecher ständig stromabwärts durch die Grundströmung
fortbewegt werden.
Weit entfernt von dem Lautsprecher wird die Amplitude der Mode beliebig
klein.
Es kann in der abklingenden Mode im Mittel daher keine Schallenergie
transportiert werden.
Da auch kein Austausch von Schallenergie mit anderen Moden oder ein
Ansammeln von Energie an irgendeinem Punkt stattfindet, muß auch im
Bereich vor dem Lautsprecher im Mittel der Energiefluß verschwinden.
Die überlagerte Wellenbewegung transportiert Schallenergie entgegen der Strömung.
Sie kompensiert so den Energietransport durch die Grundströmung.

\vspace{5pt}

Fall b) $\omega_{\hbox{\tiny R}} > \omega_{\hbox{\tiny C},m}$ und $M < 1$

In diesem Fall ist die Mode $m$ ausbreitungsfähig.
Betrachtet man die Phasengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}} = \ff{\sdoso \omega{R}}{\alpha_m}
\end{equation}
%
der Moden im ruhendem Bezugssystem ergibt sich nach (16)
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}} = c \cdot \ff{(1 - M^2)}{(S_m - M)}
\end{equation}
%
Aus der Bedingung, daß $\omega_{\hbox{\tiny R}} > \omega_{\hbox{\tiny C},m}$
ist, folgt nach Gleichung (20)
%
\begin{equation}
0 < | S_m | < 1
\end{equation}
%
Interessant ist der Bereich in dem
%
\begin{equation}
| S_m | < M
\end{equation}
%
gilt.
Dort ist dann $c^{\hbox{\tiny ph}} < 0$ unabhängig von dem Vorzeichen
von $S_m$.
Das heißt, beide Lösungen -- die ``$+$'' und die ``$-$''-Welle --
breiten sich scheinbar entgegen der Strömungsrichtung aus.
Ein solches Phänomen gibt es im Fall ohne Strömung nicht.
Aus (17) folgt, daß
%
\begin{equation}
\ff{\beta_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}} > 1
\end{equation}
%
gelten muß, damit (29) erfüllt ist.
Das ist gerade die Cut-Off-Bedingung ohne Strömung.
Es ist also in dem Zwischenbereich
%
\begin{equation}
\beta_m c \, \sqrt{1 - M^2} < \omega_{\hbox{\tiny R}} < \beta_m c
\end{equation}
%
die Mode $m$ zwar ausbreitungsfähig (obwohl sie ohne Strömung nicht
ausbreitungsfähig ist), jedoch ergeben sich nur Wellen entgegen der
Strömungsrichtung.

Betrachtet man die Gruppengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = \dd{\sdoso \omega{R}}{\alpha_m}
\end{equation}
%
der Mode $m$, so ergibt sich
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \; \ff{(1 - M^2) \cdot S_m}{1 - MS_m}
\end{equation}
%
Die Herleitung dieser Beziehung ist im Anhang ausführlich dargestellt.
Für $M < 1$ und wegen (28) ist der Nenner auf der rechten Seite von (33)
immer positiv.
Das heißt, die Gruppengeschwindigkeit hat das gleiche Vorzeichen wie $S_m$.
Es tritt in dem Zwischenbereich nach (31) also der interessante
Fall ein, daß die ``$+$''-Welle negative Phasengeschwindigkeit und positive
Gruppengeschwindigkeit besitzt.
Die Wellenberge bewegen sich gegen die Strömung, aber Information breitet
sich in Strömungsrichtung aus.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,10.0) \thicklines
\put(-1.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kplot2.eps,width=8.5cm}}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Abbildung zeigt für den Fall $m = 1$ das Verhalten der
Wellenzahl $\alpha_m$ in Abhängigkeit der Frequenz im ruhenden
Bezugssystem.
Im oberen Teil des Bildes ist der Realteil und im unteren Teil
der Imaginärteil aufgetragen.
Beide Werte sind mit der Kanalbreite $H$ entdimensionalisiert.
Entsprechend ist die Frequenz mit $H/c$ normiert.
Dadurch gilt die Darstellung für beliebige Kanalbreiten und
Schallgeschwindigkeiten.

Die durchgezogene Linie entspricht dem Fall ohne Strömung, also $M = 0$.
Die gestrichelte Linie zeigt das Ergebnis für $M=0.5$.
Der Punkt 7 markiert den Verzweigungspunkt der durchgezogenen Kurven.
Er liegt bei der Cut-Off-Frequenz für den Fall ohne Strömung.
Dort wo die gestrichelte Kurven verzweigen liegt die Cut-Off-Frequenz für
den Fall mit Strömung.
In dem Zwischenbereich, zum Beispiel an den Punkten 3 und 6, ergeben sich
zwei reelle aber negative $\alpha_m$.
Das heißt, dort laufen beide Wellen entgegen der Strömung mit
$c^{\hbox{\tiny ph}} < 0$.
Die Punkten 8 und 9 repräsentieren Lösungen, die sich auch bei Strömung
in beide Richtungen ausbreiten.
Die Punkte 4 und 5 entsprechen abklingenden beziehungsweise anfachenden Lösungen 
mit einer überlagerten Wellenbewegung.
Der Punkt 2 steht für eine abklingenden beziehungsweise anfachenden Lösungen
ohne Grundströmung und damit auch ohne überlagerten Wellenbewegung.
Letztlich markiert der Punkt 1 eine sich regulär ausbreitende Welle
ohne Grundströmung.
%\end{multicols}

%\newpage
\begin{flushleft}
{\bf Anhang: Herleitungen zur Wellenausbreitung in Strömungskanälen}
\end{flushleft}

{\bf A)} Die Wellenzahl als Funktion der Frequenz im ruhendem Bezugssystem

Gegeben ist:

%
\begin{equation}
\alpha_m = \pm \sqrt{\ff{\omega_{\hbox{\tiny B}}^2}{c^2} - \beta_m^2}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
\omega_{\hbox{\tiny R}} = \omega_{\hbox{\tiny B}} + \alpha_m U
\end{equation}
%
Auflösen von (2) nach $\omega_{\hbox{\tiny B}}$ und einsetzen in (1) ergibt:

\begin{equation}
\alpha_m = \pm \left(
\ff{(\omega_{\hbox{\tiny R}} - \alpha_m U)^2}{c^2} - \beta_m^2
\right)^{\frac{1}{2}}
\end{equation}

Und das wird jetzt nach $\alpha_m$ aufgelöst:

\begin{equation}
c^2 \alpha_m^2 = \omega_{\hbox{\tiny R}}^2 - 2 \omega_{\hbox{\tiny R}} \alpha_m U + \alpha_m^2 U^2 - c^2 \beta_m^2
\end{equation}

\begin{equation}
0 = \omega_{\hbox{\tiny R}}^2 - 2 \omega_{\hbox{\tiny R}} \alpha_m U + \alpha_m^2 (U^2 -c^2) - c^2 \beta_m^2
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha_m^2 (c^2 - U^2) + 2 \alpha_m \omega_{\hbox{\tiny R}} U  = \omega_{\hbox{\tiny R}}^2 - c^2 \beta_m^2
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha_m^2 + 2 \alpha_m \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}} U}{\;c^2 - U^2\;} =
\ff{\;\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 - c^2 \beta_m^2\;}{c^2 - U^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
\left(
\alpha_m + \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}} U}{\;c^2 - U^2\;}
\right)^2
=&
\ff{\;\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 - c^2 \beta_m^2\;}{c^2 - U^2}\\[15pt]
&
+
\ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 U^2}{\;(c^2 - U^2)^2\;}
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
\alpha_m =&
- \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}} U}{\;c^2 - U^2\;}\\[10pt]
&\pm
\left[
\ff{\;(\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 - c^2 \beta_m^2)(c^2 - U^2) +
\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 U^2\;}{\;(c^2 - U^2)^2\;}
\right]^{\frac{1}{2}}
\end{array}
\end{equation}


\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
\alpha_m =&
- \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}} U}{\;c^2 - U^2\;}\\[10pt]
&\pm
\left[
\ff{\;\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 c^2 - c^2 \beta_m^2 (c^2 - U^2)\;}{\;(c^2 - U^2)^2\;}
\right]^{\frac{1}{2}}
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha_m =
\ff{\pm
\left[
\omega_{\hbox{\tiny R}}^2 c^2 - c^2 \beta_m^2 (c^2 - U^2)
\right]^{\frac{1}{2}} - \omega_{\hbox{\tiny R}} U\;}
{\;c^2 - U^2\;}
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha_m =
\ff{\pm
c \;\omega_{\hbox{\tiny R}} \left[
1 - \ff{\beta_m^2}{\omega_{\hbox{\tiny R}}^2} (c^2 - U^2)
\right]^{\frac{1}{2}} - c \;\omega_{\hbox{\tiny R}} M\;}
{\;c^2 (1 - M^2)\;}
\end{equation}

\begin{equation}
\alpha_m =
\ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{c} \cdot
\ff{\pm
\left[
1 - \left(\ff{\beta_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}}\right)^2 (1 - M^2)
\right]^{\frac{1}{2}} - M\;}
{\;(1 - M^2)\;}
\end{equation}
%
Schließlich folgt
%
\begin{equation}
\alpha_m = \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{c} \cdot \ff{(S - M)}{(1 - M^2)}
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
S = \pm \sqrt{1 - \left(\ff{\beta_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}}\right)^2 (1 - M^2)}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
M = \ff{U}{c}
\end{equation}


{\bf B)} Gruppengeschwindigkeit der Kanalmoden bei Strömung

Gegeben ist:

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = \dd{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{\alpha_m}
\end{equation}
%

%
\begin{equation}
\alpha_m = \pm \left(
\ff{(\omega_{\hbox{\tiny R}} - \alpha_m U)^2}{c^2} - \beta_m^2
\right)^{\frac{1}{2}}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\alpha_m = \ff{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{c} \cdot \ff{(S - M)}{(1 - M^2)}
\end{equation}

Zunächst wird (18) nach $\omega_{\hbox{\tiny R}}$ aufgelöst:

\begin{equation}
\alpha_m^2 c^2 = (\omega_{\hbox{\tiny R}} - \alpha_m U)^2 - \beta_m^2 c^2
\end{equation}

\begin{equation}
\pm c \sqrt{\alpha_m^2 + \beta_m^2} = \omega_{\hbox{\tiny R}} - \alpha_m U
\end{equation}

\begin{equation}
\omega_{\hbox{\tiny R}} = \pm c \sqrt{\alpha_m^2 + \beta_m^2} + \alpha_m U
\end{equation}

Dann wird die Ableitung gebildet:

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = \dd{\omega_{\hbox{\tiny R}}}{\alpha_m}
\end{equation}

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} =
\pm \, c \;
\ff{\alpha_m}{\sqrt{\alpha_m^2 + \beta_m^2}} + U
\end{equation}

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} =
c^2 \; \ff{\alpha_m}{\;\omega_{\hbox{\tiny R}} - \alpha_m U\;} + U
\end{equation}

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c^2 \; 
\ff{ \left( \ff{\alpha_m}{\omega_{\hbox{\tiny R}}} \right)}
{\;1 - \left( \ff{\alpha_m}{\omega_{\hbox{\tiny R}}} \right) \; U\;} + U
\end{equation}

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \; 
\ff{ \left( \ff{\alpha_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}} \right)}
{\;1 - \left( \ff{\alpha_m c}{\omega_{\hbox{\tiny R}}} \right) \; M\;} + U
\end{equation}

\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \; 
\ff{ \left( \ff{S - M}{1 - M^2} \right)}
{\;1 - \left( \ff{S - M}{1 - M^2} \right) \; M\;} + U
\end{equation}



\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \;
\ff{S - M}
{\;1 - M^2 - M S + M^2\;} + U
\end{equation}


\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \; \left[
\ff{S - M}
{\;1 - M S\;} + \ff{M \cdot (1 - MS)}{1 - MS} \right]
\end{equation}


\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} =  c \;
\ff{S - M + M - M^2 S}{1 - MS}
\end{equation}
%
Und es ergibt sich
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}} = c \;
\ff{(1 - M^2) \cdot S}{1 - MS}
\end{equation}

\end{multicols}


\end{document}

% -------- FIN ----------------