Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 26.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 4.1) Moden im Kanal mit festen Wänden}
\end{flushleft}

Der Schalldruck im Kanal ist für die Mode $m$ in der
Form
%
\begin{equation}
p' = A_1 A_2 \, \cos(\beta_m x_2) \, e^{i(\omega t - \alpha_m x_1)}
\end{equation}
%
gegeben.
Falls $\alpha_m$ reell ist, liegt reguläre Wellenausbreitung vor.
Die Lösung (1) besagt in diesem Fall,
daß sich die Wellenberge
in $x_1$-Richtung mit der
Geschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{ph} = \omega/\alpha_m
\end{equation}
%
ausbreiten.
Die Phasengeschwindigkeit $c^{ph}$ wird durch die Wellenzahl $\alpha_m$
in $x_1$-Richtung festgelegt.
Die Wert für $\alpha_m$ ergibt sich zunächst ganz formal aus der Rechnung.
Die Wellenzahlen können aber auch auf eine anschaulichere Art
geometrisch interpretiert werden.
Dies soll im folgenden gezeigt werden.

Wird der $\cos$-Term in (1) umgeschrieben als
%
\begin{equation}
\cos(\beta_m x_2)
=
\ff{1}{2}\,
\left(
e^{i \beta_m x_2}
+
e^{-i \beta_m x_2}
\right)
\end{equation}
%
und so kann die Lösung mit einer Summe
%
\begin{equation}
p' = \ff{A_1 A_2}{2} \, (p'_+ + p'_-)
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Die beiden Anteile sind dabei mit
%
\begin{equation}
p'_+ = e^{i(\omega t - \alpha_m x_1 + \beta_m x_2)}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p'_- = e^{i(\omega t - \alpha_m x_1 - \beta_m x_2)}
\end{equation}
%
gegeben.
Anders als in der bisherigen Lösung tritt hier nicht
nur eine räumliche Variable $x_1$
im Exponenten auf, sondern auch $x_2$.
Die Ausdrücke in (5) und (6) beschreiben ebenfalls
eine Wellenausbreitung, jedoch nicht in $x_1$-Richtung.
Die Ausbreitungsrichtung der Wellen wird durch $\alpha_m$ und
$\beta_m$ in der $(x_1,x_2)$-Ebene festgelegt.

Zweckmäßigerweise werden die Vektoren
%
\begin{equation}
\vec{k}_m^+
=
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_m \\ - \beta_m
\end{array}
\right)
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\vec{k}_m^-
=
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_m \\ + \beta_m
\end{array}
\right)
\end{equation}
%
eingeführt.
Damit können (5) und (6) in der Form
%
\begin{equation}
p'_+ = e^{i(\omega t - \vec{k}_m^+ \vec{x})}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
p'_- = e^{i(\omega t - \vec{k}_m^- \vec{x})}
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Durch einen Ausdruck der Form
%
\begin{equation}
e^{i(\omega t - \vec{k} \vec{x})}
\end{equation}
%
wird eine Wellenausbreitung in der Richtung des Vektors $\vec{k}$
beschrieben.
Der Vektor wird üblicherweise als Wellenzahlvektor bezeichnet.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle nach (11)
ist $\omega/|\vec{k}|$.
Es stellt sich die Frage, mit welcher Geschwindigkeit
sich die Anteile $p'_+$ und $p'_-$ ausbreiten.
Es gilt
%
\begin{equation}
\alpha_m = \sqrt{k^2 - \beta_m^2}
\end{equation}
%
beziehungsweise
%
\begin{equation}
k^2 = \alpha_m^2 + \beta_m^2
\end{equation}
%
Daraus folgt für die Beträge
%
\begin{equation}
|\vec{k}_m^+|
=
|\vec{k}_m^-|
=
k
=
\ff{\omega}{c}
\end{equation}
%
Das bedeutet, die Anteile  $p'_+$ und $p'_-$ sind
ebene Wellen, die sich mit der ``normalen'' Schallgeschwindigkeit $c$
ausbreiten.
Die Lösung (1)
läßt sich also durch eine Überlagerung von zwei ebenen Wellen erzeugen.
Die Wellen müssen sich nur in bestimmte Richtungen ausbreiten
und gleichstark sein.

Bei regulärer Wellenausbreitung ist $\alpha_m$ positiv.
Die Vektoren $\vec{k}_m^+$ und $\vec{k}_m^-$
stehen dann, wie in der Abbildung dargestellt, unter einem Winkel
$\theta$ schräg zur $x_1$-Achse.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.5,4.0) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=schraeg.eps,width=4.0cm}}}
\put(4.3,1.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(0.7,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(0.8,0.7){\makebox(0,0)[rc]{\small $-\beta_m$}}
\put(0.8,2.6){\makebox(0,0)[rc]{\small $\beta_m$}}
\put(3.0,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\alpha_m$}}
\put(2.0,1.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $\theta$}}
\put(3.1,2.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{k}_m^-$}}
\put(3.1,0.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{k}_m^+$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Für den Winkel $\theta$ gilt die Beziehung
%
\begin{equation}
\tan \theta = \ff{\beta_m}{\alpha_m}
\end{equation}
%
Die ebenen Wellen  $p'_+$ und $p'_-$ erfüllen natürlich nicht
die Randbedingung an den Kanalwänden.
Sie besitzen eine Schnelle, die parallel zu
$\vec{k}_m^+$ beziehungsweise $\vec{k}_m^-$ liegt und durch die
Wand hindurchzeigt.
Die Wellen überlagern sich so, daß sich die $x_2$-Komponenten
der Schnelle an den Kanalwänden
gerade gegeneinander aufheben.
Dazu müssen die Wellen an den Kanalwänden immer die gleiche Phase
besitzen.

Die geometrische Situation ist in der folgenden Abbildung
für den Fall $m = 1$ dargestellt.
Die Druckmaxima der Wellen sind mit durchgezogegen und die
Minima mit gestrichelten Linien markiert.
An den Wänden überlagern sich die Minima und Maxima
konstruktiv.
Dadurch sind dort die $x_2$-Komponenten der Schnelle
in den einzelnen Wellen
immer gleichstark und heben sich gegenseitig auf.
In der Kanalmitte fallen immer Minima und Maxima zusammen
und die Druckschwankungen löschen sich gegenseitig aus.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,5.5) \thicklines
\put(0.5,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=zickzack.eps,width=7.0cm}}}
\put(0.6,2.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $H$}}
\put(3.4,4.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $\lambda$}}
\put(3.6,4.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $\theta$}}
\put(4.5,0.3){\makebox(0,0)[lc]{\small $\Delta x_1$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Abstand der Wellenmaxima an der Wand sei mit $\Delta x_1$ bezeichnet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\Delta x_1 = \ff{\lambda}{\cos \theta}
\end{equation}
%
Das heißt, die an der Kanalwand beobachtete
Wellenlänge in $x_1$-Richtung ist immer
größer als die Freifeldwellenlänge $\lambda$.
Währen einer Periode Wandern die Maxima in den ebenen Wellen
um die Strecke $\lambda$ in Ausbreitungsrichtung, und damit
bewegen sich die Maxima an der Wand
gerade um diese Strecke $\Delta x_1$ in Kanalrichtung.
Entsprechend ist die Phasengeschwindigkeit in $x_1$-Richtung um
den Faktor $1/\cos \theta$ größer als $c$.

Der Abstand der Maxima an der Wand ist mit der Wellenzahl $\alpha_m$
verknüpft.
Es gilt
%
\begin{equation}
\Delta x_1 = \ff{2 \pi}{\alpha_m}
\end{equation}
%
Ist eine Frequenz beziehungsweise Wellenlänge vorgegeben,
kann man geometrisch die möglichen Winkel $\theta$ ermitteln,
bei denen eine Überlagerung der Extrema an der Wand gegeben ist.
Aus den Winkeln lassen sich dann die Abstände $\Delta x_1$ und
damit die Wellenzahlen $\alpha_m$ berechnen.
Die ist umgekehrt zu dem oben beschriebenen rein formalen Weg, bei dem
erst $\alpha_m$ mit (12) und daraus $\theta$ mit (15) berechnet wird.

\begin{flushleft}
{\bf 4.2) Dispersion, Phasen und Gruppengeschwindigkeit}
\end{flushleft}

Für die höheren Kanalmoden ergab sich im letzten Abschnitt
eine Ausbreitungsgeschwindigkeit, die oberhalb der Schallgeschwindigkeit
liegt.
Es stellt sich die Frage, mit welcher Geschwindigkeit 
breitet sich die Information aus, wenn sie von höheren Moden getragen wird.
Eine einzelne Mode mit konstanter Amplitude transportiert keine
Information.
Um Information zu übertragen muß zum Beispiel
die Stärke der Mode variiert werden, wodurch sich ein amplitudenmoduliertes
Signal ergibt.

Als einfaches Modell für ein moduliertes
Signal $s(t)$ wird eine einzelne Wellengruppe
wie in der folgenden Abbildung betrachtet.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.7) \thicklines
\put(0.5,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=gruppe.eps,width=7.0cm}}}
\put(0.8,3.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $s(t)$}}
\put(7.3,2.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $t$}}
\put(4.7,0.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $T$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Grundschwingung besitzt die Periode $T$.
Die Amplitude der Schwingung ist nur in einem begrenzten Zeitintervall
von Null verschieden.
Die Information in dieser Wellengruppe ist die Form der Hüllkurve
der Grundschwingung.

Mit einer ebenen Welle wird ein solches Signal ohne
Veränderung ideal übertragen.
Die räumliche Verteilung
entspricht dem dargestellten Zeitverlauf und die Wellengruppe
verschiebt sich mit der Geschwindigkeit $c$ in Ausbreitungsrichtung.
Im Kanal ist die Ausbreitung in Achsrichtung
von Bedeutung.
Nun soll als Grundschwingung zur Signalübertragung die $m$-te Mode verwendet
werden.
Die Phasengeschwindigkeit $c_m^{ph}$ ist Frequenzabhängig, und das
betrachteten Signal besitzt nicht nur eine Frequenz.
Zerlegt man das Signal spektral in seine
harmonischen Anteile, so breiten sich
diese mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus.
Damit kann die exakte Form des Signals nicht erhalten bleiben.

Da das dargestellte Zeitsignal nicht periodisch ist, besitzt es ein
kontinuierliches Spektrum, das um die Frequenz $\omega = 2 \pi/T$
konzentriert ist.
Je breiter die Einhüllende ist, desto schmaler ist der
beteiligte Frequenzbereich.
Im Grenzfall der unendlich ausgedehnten Hüllkurve ergibt sich
eine harmonische Schwingung und entsprechend nur eine Linie im Spektrum.

Im folgenden soll plausibel gemacht werden, daß
unter bestimmten Umständen die Form der Hüllkurve
erhalten bleibt, obwohl sich die einzelnen harmonischen Anteile
unterschiedlich verhalten.
Es ist sogar möglich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Hüllkurve
zu berechnen.
Dazu wird die Überlagerung von nur zwei harmonischen Wellen
%
\begin{equation}
s(x,t)
=
A \,
\left[
\cos(\omega_1 t - k_1 x)
+
\cos(\omega_2 t - k_2 x)
\right]
\end{equation}
%
betrachtet.
Die Größe $s(x,t)$ sei eine beliebige Feldgröße, wie zum Beispiel
der Schalldurck oder eine elektrische Feldstärke.
Die Wellenzahlen $k_1$ und $k_2$ sind mit den Frequenzen $\omega_1$ und
$\omega_2$ durch eine gegebene Funktion $\omega(k)$ verknüpft.
Wie diese Funktion in konkreten Fällen aussieht, wird weiter unten
besprochen.
Es gilt
%
\begin{equation}
\cos(a) \, \cos(b)
=
\ff{1}{2}
\cos(a+b)
+
\ff{1}{2}
\cos(a-b)
\end{equation}
%
Wählt man die Größen
%
\begin{equation}
a = \ff{1}{2}
\left\{
(\omega_1 + \omega_2) t -
(k_1 + k_2) t
\right\}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
b = \ff{1}{2}
\left\{
(\omega_1 - \omega_2) t -
(k_1 - k_2) t
\right\}
\end{equation}
%
so folgt nach dem Einsetzen in (18)
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
s(x,t)
=
2 \, A \,
&
\cos
\left[
\ff{\omega_1 - \omega_2}{2} \, t -
\ff{k_1 - k_2}{2} \, x
\right]
\\[12pt]
\times
&
\cos
\left[
\ff{\omega_1 + \omega_2}{2} \, t -
\ff{k_1 + k_2}{2} \, x
\right]
\end{array}
\end{equation}
%
Liegen nun die Frequenzen im Sinne von
%
\begin{equation}
\left|
\ff{\omega_1 - \omega_2}{2}
\right|
\ll
\ff{\omega_1 + \omega_2}{2}
\end{equation}
%
sehr dicht beisammen (was dem sehr schmalen Spektrum der Wellengruppe
entspricht), so ergibt sich das typische Bild einer Schwebung,
wie in der folgenden Abbildung dargestellt ist.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.5,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=schweb.eps,width=7.0cm}}}
\put(2.4,2.9){\makebox(0,0)[rc]{\small $s(x,0)$}}
\put(7.3,1.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Grundschwingung wird durch den zweiten Cosinusterm
in Gleichung (22) beschrieben.
Sie hat die Frequenz $(\omega_1 + \omega_2)/2$.
Die Einhüllende wird durch den ersten Cosinusterm
dargestellt.
Die Frequenz der Einhüllenden ist $(\omega_1 - \omega_2)/2$.
Die Grundschwingung
breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
\ff{\omega_1 + \omega_2}{k_1 + k_2}
\end{equation}
%
aus.
Wenn $\omega_1$ und $\omega_2$ eng beisammen sind, ist das etwa die
mittlere Phasengeschwindigkeit der überlagerten harmonischen Wellen.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Einhüllenden ist mit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}}
=
\ff{\omega_1 - \omega_2}{k_1 - k_2}
\end{equation}
%
gegeben.
Die Größe $c^{\hbox{\tiny gr}}$ wird als Gruppengeschwindigkeit
bezeichnet.
Wie weiter oben bereits angedeutet, soll eine Funktion
$\omega = \omega(k)$ gegeben sein.
Es gilt
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}}
=
\ff{\omega(k_1) - \omega(k_2)}{k_1 - k_2}
\end{equation}
%
Daraus folgt für den Grenzfall, daß die Frequenzen unendlich 
dicht beieinander liegen
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}}
=
\dd{\omega}{k}
\quad \hbox{für} \quad
k_1 \rightarrow k_2
\end{equation}
%
Die oben gezeigten Wellengruppe besitzt ein kontinuierliches
Spektrum, in dem die Frequenzen beliebig dicht liegen.
Es ist daher plausibel, daß sich die Einhüllende
der Wellengruppe mit der Gruppengeschwindigkeit nach (27) bewegt.

Bisher wurde die konkrete Form der Funktion $\omega(k)$ nicht
verwendet.
Die einfachste Version ist eine lineare Beziehung.
In der ebenen Welle gilt
%
\begin{equation}
k =
\ff{\omega}{c}
\end{equation}
%
Wird die Schallgeschwindigkeit wie bisher immer als konstant angenommen,
so ergibt sich die lineare Funktion
%
\begin{equation}
\omega(k) = c \, k
\end{equation}
%
Daraus folgt erwartungsgemäß
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
\ff{\omega(k_1) + \omega(k_2)}{k_1 + k_2}
=
c
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}}
=
\dd{\omega}{k}
=
c
\end{equation}
%
Das heißt, in der ebenen Welle gibt es nur eine Ausbreitungsgeschwindigkeit
und das ist die Schallgeschwindigkeit.

Anders ist es, wenn die Phasengeschwindigkeit von der Frequenz abhängt.
Ein Beispiel dafür sind Lichtwellen in Glas.
Der Effekt kann ausgenutzt werde, um mit einem Prisma das Licht
spektral zu zerlegen.
Es gilt:
%
\begin{equation}
k =
\ff{\omega}{c(\omega)}
\end{equation}
%
wobei jetzt $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Glas ist.
Ist der Verlauf $c(\omega)$ aus Experimenten bekannt,
kann eine Funktion $\omega(k)$ angegeben werden.
Damit ist es möglich, auch die Gruppengeschwindigkeit für
die Lichtwellen zu ermittelt.

Im Fall der Kanalmoden können die Geschwindigkeiten
berechnet werden.
Die Wellenzahl in Kanalrichtung wurde
mit $\alpha_m$ bezeichnet.
Es ist also jetzt die Funktion $\omega(\alpha_m)$
entscheidend.
Die Wellenzahl war durch
%
\begin{equation}
\alpha_m = \sqrt{\left( \ff{\omega}{c} \right)^2 - \beta_m^2}
\end{equation}
%
bestimmt.
Daraus folgt
%
\begin{equation}
\omega(\alpha_m) = c \,
\sqrt{\alpha_m^2 + \beta_m^2}
\end{equation}
%
Es ergibt sich für die Phasengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
\ff{\omega}{\alpha_m}
=
c\,
\ff{\sqrt{\alpha_m^2 + \beta_m^2}}{\alpha_m}
\end{equation}
%
Dies formal abgeleitete Ergebnis entspricht der
geometrischen Überlegung aus dem letzten Abschnitt.
Denn aus (35) folgt
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
\ff{c}{\cos \theta}
\end{equation}
%
wobei der Winkel $\theta$ wie im letzten Abschnitt definiert ist.

Für die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny gr}}
=
\dd{\omega}{\alpha_m}
=
c\,
\ff
{\alpha_m}
{\sqrt{\alpha_m^2 + \beta_m^2}}
\end{equation}
%
Die läßt sich einfacher als
%
\begin{equation}
c^{\hbox{\tiny ph}}
=
c \, \cos \theta
\end{equation}
%
schreiben.
Damit wird klar, das mit den höheren Moden die
Ausbreitung von Information in Kanalrichtung
langsamer als mit Schallgeschwindigkeit abläuft.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---