Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 22.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 4) Schallausbreitung in zweidimensionalen Kanälen}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 4.1) Moden im Kanal mit festen Wänden}
\end{flushleft}

Im Abschnitt 3 wurden ebene Wellen betrachtet, die
sich in Rohren ausbreiten.
Alle Vorgänge wurden als eindimensional angenommen und
es gab nur eine Bewegung der Fluidelemente in Richtung der Rohrachse.
Damit wurde die Randbedingung an den festen Rohrwänden
automatisch erfüllt.
An der Wand muß die Schnellekomponente senkrecht zur Oberfläche verschwinden.
Es sind jedoch auch Lösungen denkbar, die im Inneren des Rohres
eine Bewegung quer zur Rohrachse besitzen.
Solche Lösungen sollen im folgenden für einen zweidimensionalen Kanal
mit festen Wänden hergeleitet werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.5,2.2) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kanalfw1a.eps,width=6.0cm}}}
\put(0.4,1.6){\makebox(0,0)[rc]{\small $H$}}
\put(0.4,0.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.7,2.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $x_2$}}
\put(6.3,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(5.9,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(3.7,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $v_1'$}}
\put(2.9,1.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $v_2'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Kanal soll die Breite $H$ besitzen, und er
soll in $x_1$-Richtung unendlich ausgedehnt sein.
Man kann sich den Kanal auch in drei Dimensionen als
zwei unendlich ausgedehnte ebene Platten mit dem Abstand $H$
vorstellen.
Die $x_2$-Achse geht senkrecht durch die Platten und
in $x_3$-Richtung ist alles konstant.

Die Wellengleichung für den Druck in der Ebene lautet
(mit Summationskonvention)
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \zz{p'}{t} - \zz{p'}{x_j} = 0 \qquad \hbox{mit} \quad j = 1,2
\end{equation}
%
Eine Lösung muß neben dieser Gleichung auch die
Randbedingungen an den Wänden erfüllen.
Die Randbedingungen sind jedoch Bedingungen an die Schnelle
und nicht an den Druck.
Um daraus eine Beziehung für den Druck abzuleiten, wird
die linearisierte Euler-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{v'_j}{t} = - \pp{p'}{x_j} \qquad \hbox{mit} \quad j = 1,2
\end{equation}
%
verwendet.
Die Randbedingung an das Schnellefeld lautet
%
\begin{equation}
v_2'(\vec{x}, t) = 0 \qquad \hbox{bei} \quad x_2 = 0 \, , \,
x_2 = H
\end{equation}
%
Um eine Lösung für (1) mit der gegebenen Randbedingung (3) zu
finden, wird der Ansatz
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) = f(x_1) \cdot g(x_2) \cdot e^{i \omega t}
\end{equation}
%
verwendet.
Dabei sind $f(x_1)$ und $g(x_2)$ komplexe Funktionen.
Die Lösung ist harmonisch in der Zeit und die räumlichen Abhängigkeiten
sind separiert.

Eigentlich müßte auf der rechten Seite von Gleichung (4)
der Realteil des komplexen Ausdrucks stehen,
denn $p'$ auf der linken Seite ist eine reelle Größe.
Für eine größere Übersichtlichkeit der Gleichungen
wird im weiteren, wenn keine Gefahr der Verwechslung besteht,
die Bildung des Realteils mit $\Re\{\cdot\}$ nicht explizit hingeschrieben.
Bei allen Gleichungen, in denen eine reell definierte Größe mit
einem komplexen Ausdruck gleichgesetzt wird, ist dann die Bildung
des Realteils
auf der komplexen Seite implizit enthalten.

Einsetzen von (4) in (1) liefert
%
\begin{equation}
\left[
-
\ff{f \, g \, \omega^2}{c^2}
-
\dd{^2 f}{x_1^2} \, g
-
\dd{^2 g}{x_2^2} \, f
\right]
\,
e^{i \omega t}
=
0
\end{equation}
%
Damit (5) gilt, muß der Inhalt der eckigen Klammer
verschwinden.
Daraus folgt
%
\begin{equation}
- \ff{\omega^2}{c^2} - \ff{1}{f} \dd{^2 f}{x_1^2} =
\ff{1}{g} \dd{^2 g}{x_2^2}
\end{equation}
%
Die linke Seite von (6) hängt nur von $x_1$ ab und die rechte Seite nur von
$x_2$.
Dies ist nur möglich, wenn beide Seiten unabhängig von $x_1$ und
$x_2$, also räumlich konstant, sind.
Die Konstante wird zu $-\beta^2$ gesetzt.
Wenn auch komplexe $\beta$ zugelassen sind, ist dies zunächst keine
Einschränkung.
Es gilt also
%
\begin{equation}
\ff{1}{g} \dd{^2 g}{x_2^2} = -\beta^2
\end{equation}
%
Dies ist eine Differentialgleichung für $g(x_2)$.
Die allgemeine Lösung von (7) kann in der Form
%
\begin{equation}
g(x_2) = A_2 \cos ( \beta x_2) + B_2 \sin ( \beta x_2)
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Die Konstanten $A_2$, $B_2$ und $\beta$ müssen so gewählt werden, daß
die Randbedingungen (3) erfüllt werden.

An den Kanalwänden ist $v_2' = 0$.
Daraus folgt für die zeitliche Ableitung
%
\begin{equation}
\pp{v'_2}{t} = 0
\qquad \hbox{bei} \quad x_2 = 0 \, , \, x_2 = H
\end{equation}
%
Durch die Gleichung (2) läßt sich dies in eine Bedingung
für den Druck umwandeln.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{p'_2}{x_2} = 0
\qquad \hbox{bei} \quad x_2 = 0 \, , \, x_2 = H
\end{equation}
%
Das bedeutet, die Normalableitung des Schalldrucks an der
festen Kanalwand verschwindet.
Dies ist eine direkte Folge der Nichtdurchflußbedingung (3).
Umgekehrt folgt aus der Druckbedingung (10), daß sich
$v_2'$ an der Wand nicht zeitlich ändert.
Ist zu einer Zeit an der Wand $v_2'= 0$ und es gilt (10),
so bleibt immer $v_2'= 0$ und die Randbedingung (3) ist erfüllt.

Um die Bedingung (10) anzuwenden, wird
der Ansatz (4) nach $x_2$ differenziert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{p'}{x_2}
(\vec{x},t)
=
f(x_1) \,
\dd{g}{x_2} (x_2) \,
e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Man sieht, daß (10) erfüllt wird, falls
%
\begin{equation}
\dd{g}{x_2} = 0
\qquad \hbox{bei} \quad x_2 = 0 \, , \, x_2 = H
\end{equation}
%
gilt.
Aus der Randbedingung an den Kanalwänden folgt damit
letztlich eine Bedingung an die Ableitung der Funktion $g(x_2)$.
Bildet man die Ableitung ergibt sich
%
\begin{equation}
\dd{g}{x_2} (x_2) =
-\beta A_2 \sin ( \beta x_2) + \beta B_2 \cos ( \beta x_2)
\end{equation}
%
Es wird $B_2 = 0$ gesetzt, wodurch
die Randbedingung bei $x_2 = 0$ immer erfüllt ist.
Damit auch bei $x_2 = H$ die Ableitung von $g$ verschwindet, muß
$A_2 = 0$ oder
%
\begin{equation}
\sin(\beta H) = 0
\end{equation}
%
sein.
Der Fall $A_2 = 0$ führt auf die triviale Lösung $g=0$ und damit
$p'=0$ im gesamten Feld.
Die zweite Möglichkeit ist, die Größe $\beta$ so zu wählen,
daß (14) erfüllt wird.
Dafür gibt es eine ganze Reihe von Lösungen
%
\begin{equation}
\beta = \beta_m = \ff{m \pi}{H} \; ;
\quad
m = 0,1,2,\ldots 
\end{equation}
%
Damit ergibt sich für $g(x_2)$ auch eine 
ganze Reihe von Formen
%
\begin{equation}
g(x_2)
=
A_2 \cos\left( \ff{m \pi x_2}{H} \right)
=
A_2 \cos\left( \beta_m x_2 \right)
\end{equation}
%
In der folgeden Abbildung sind die entsprechenden Verläufe $g(x_2)$
für $m=0,1,2$ dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.5,4.0) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=gxall.eps,width=6.0cm}}}
\put(6.3,2.05){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(5.7,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $H$}}
\put(0.75,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(0.7,0.4){\makebox(0,0)[rc]{\small $-A_2$}}
\put(0.7,3.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $A_2$}}
\put(0.8,3.7){\makebox(0,0)[rc]{\small $g$}}
\put(3.5,3.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $m=0$}}
\put(6.0,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $m=1$}}
\put(2.2,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $m=2$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Um die Lösung vollständig zu bestimmen, muß
noch die Funktion $f(x_1)$ ermittelt werden.
Die Gleichungen (6) und (7) ergeben zusammen
%
\begin{equation}
- \ff{\omega^2}{c^2} - \ff{1}{f} \dd{^2 f}{x_1^2} =
- \beta^2 = - \left( \ff{m \pi}{H} \right)^2
\end{equation}
%
Dies kann zu
%
\begin{equation}
\dd{^2 f}{x_1^2} + \left[
\left(\ff{\omega}{c}\right)^2 -
\left(\ff{m \pi}{H}\right)^2
\right] \, f = 0
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Beziehung (18) ist eine Differentialgleichung 
für $f(x_1)$ wie schon Beziehung (7) für $g(x_2)$.

Die allgemeine Lösung von (18) hat die Gestalt
%
\begin{equation}
f(x_1) = A_1 e^{-i \alpha x_1} + B_1 e^{i \alpha x_1}
\end{equation}
%
Dieser Ansatz ist äquivalent zu dem Ansatz (8)
für $g(x_2)$.
Jedoch ist hier -- wie sich später zeigen wird -- 
die Expotentialdarstellung zweckmäßiger,
da besonders laufende Wellen von Interesse sind.
Die freien Parameter sind $A_1$, $B_1$ und $\alpha$.
Aus (19) folgt
%
\begin{equation}
\dd{f}{x_1}(x_1)
=
- \alpha^2 \, f(x_1)
\end{equation}
%
Damit der Ansatz (19) die Differentialgleichung (18)
erfüllt, muß für $\alpha$ die Beziehung
%
\begin{equation}
\alpha
=
\sqrt{\left(\ff{\omega}{c}\right)^2 -
\left(\ff{m \pi}{H}\right)^2}
=
\sqrt{k^2 - \beta_m^2}
\equiv
\alpha_m
\end{equation}
%
gelten.
Das bedeutet, für jedes $m$ gibt es ein bestimmtes $\beta$ und $\alpha$.
Die Funktionen $f$ und $g$ können damit nicht voneinander
unabhängig gewählt werden.
Zu einem bestimmten $g(x_2)$ gehört ein bestimmtes $f(x_1)$.

Schließlich kann die vollständige Lösung für das Druckfeld
angegeben werden.
Sie lautet
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x}, t) =\\[6pt]
A_2 \cos\left( \beta_m x_2 \right)
\left[
A_1 e^{-i \alpha_m x_1} + B_1 e^{i \alpha_m x_1}
\right]
e^{i \omega t}
\end{array}
\nonumber
\end{equation}
%
oder
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x}, t) =\\[6pt]
A_2 \cos\left( \beta_m x_2 \right)
\left[
A_1 e^{i (\omega t - \alpha_m x_1)} + B_1 e^{i(\omega t + \alpha_m x_1)}
\right]
\end{array}
\end{equation}
%

Die Größen $A_1$, $B_1$ und $A_2$ sind Faktoren die frei
gewählt werden können.
Die Lösung besteht aus einer Überlagerung
von zwei Teilwellen, die in positive und negative $x_1$-Richtung laufen.
Die Amplituden der Teilwellen werden durch $A_1$ und $B_1$
festgelegt.

Die Lösung (22) hängt von der gewählten Zahl $m$ ab.
Die verschiedenen Formen werden Moden genannt.
Die Zahl $m$ heißt Ordnung der Mode.
Die Lösung für $m=0$ wird als Grundmode bezeichnet.
Nach (15) ist
%
\begin{equation}
\beta_0 = 0
\end{equation}
%
und nach (21) folgt daraus
%
\begin{equation}
\alpha_0 = \ff{\omega}{c} = k
\end{equation}
%
Die Grundmode hat damit die Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t)
= A_2
\left[
A_1 e^{i (\omega t - k x_1)} + B_1 e^{i(\omega t + k x_1)}
\right]
\end{equation}
%
Sie entspricht damit den eindimensionalen ebenen Wellen
aus dem Abschnitt 3.

Die Form (22) beschreibt nur eine reguläre
Wellenausbreitung in, falls $\alpha_m$ reell ist.
Dies ist jedoch nach (21) nicht unbedingt gegeben.
Wird für eine feste Frequenz $\omega$ die
Ordnungszahl $m$ immer weiter erhöht, so wird irgendwann
der Ausdruck unter der Wurzel in (21) negativ.
Dadurch ergibt sich ein imaginäres $\alpha_m$
und keine reguläre Wellenausbreitung mehr.
Die Lösung klingt dann mit dem Faktor
$e^{\pm|\alpha_m| x_1}$
in $x_1$-Richtung ab oder wächst entsprechend an.

Für eine feste Frequenz gibt es also ein maximale
Ordnung, mit der sich die Moden noch ausbreiten.
Umgekehrt gibt es für eine feste Ordnung $m$ --
also eine bestimmte Mode --
eine untere Grenzfrequenz $\omega_m$,
ab der sich die Mode ausbreitet.
Damit $\alpha_m$ reell ist, muß
%
\begin{equation}
\left(\ff{\omega}{c}\right)^2 -
\left(\ff{m \pi}{H}\right)^2
\geq 0
\end{equation}
%
gelten.
Dazu muß die Kreisfrequenz
%
\begin{equation}
\omega > m \, \ff{c \pi}{H} \equiv \omega_m
\end{equation}
%
erfüllen.
Die Frequenz $\omega_m$ wird als ``Cut-Off''-Frequenz
der $m$-ten Mode bezeichnet.
Wird keine Ordnung angegeben ist mit der ``Cut-Off''-Frequenz
immer der Wert für die erste Mode $m=1$ also
$\omega_1$ gemeint.
Für Frequenzen
%
\begin{equation}
\omega < \omega_1 =  \ff{c \pi}{H}
\end{equation}
%
breitet sich nur die Grundmode aus, die bei allen Frequenzen
ausbreitungsfähig ist.
Die Ungleichung (28) kann zu
%
\begin{equation}
\ff{\pi}{H} <
\ff{\omega}{c} =
k =
\ff{2 \pi}{\lambda}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Dabei bezeichnet $\lambda$ die zu der Frequenz
$\omega$ passende Freifeldwellenlänge.
Aus (29) folgt
%
\begin{equation}
\lambda < 2 H
\end{equation}
%
Das heißt, nur wenn die Freifeldwellenlänge kleiner
als die doppelte Kanalbreite ist, breitet sich
die erste Mode mit der entsprechenden Frequenz regulär aus.

Beschränkt man sich auf die Wellenausbreitung in positive
$x_1$-Richtung und setzt $B_2=0$, ergibt sich
für den Druck
%
\begin{equation}
p' =
\underbrace{A_1 A_2 \cos(\ff{m \pi}{H}x_2)}_{G(x_2)}
\; e^{i(\omega t - \alpha_m x_1)}
\end{equation}
%
Die kann umgeschrieben werden zu
%
\begin{equation}
p' = G(x_2) \; e^{i \omega (t - x_1/c_m^{ph})}
\end{equation}
%
Das ist die typische Form einer Welle, die sich mit der
Geschwindigkeit
%
\begin{equation}
c_m^{ph} = \omega/\alpha_m
\end{equation}
%
in positive $x_1$-Richtung ausbreitet.
Die Größe $c_m^{ph}$ wird als die Phasengeschwindigkeit der
$m$-ten Mode bezeichnet.
Die Phasengeschwindigkeit gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich die
Wellenberge in $x_1$-Richtung bewegen.
Dies ist nicht unbedingt die Schallgeschwindigkeit.
Nur die Grundmode $m=0$ bewegt sich mit der Schallgeschwindigkeit, denn
es gilt
%
\begin{equation}
c_0^{ph} = \omega/\alpha_0 = \omega/k = c
\end{equation}
%
Für höhere Moden $m > 0$ ergibt sich
eine Phasengeschwindigkeit $c_m^{ph} > c$.
Die gesamte Überlegung gilt natürlich nur, 
solange $\alpha_m$ reell ist.

In den Abbildungen sind die Moden für $m = 0,1,2,3$
veranschaulicht.
In den Beispielen wurde $B_2 = 0$ gesetzt und
die Teilwelle in positive $x_1$-Richtung dargestellt.
Der Bereich in $x_2$-Richtung entspricht der
gesamten Kanalbreite von $x_2 = 0$ bis $H$.
Die gewählte Frequenz beträgt
%
\begin{equation}
\omega = \ff{2 \pi c}{0.8 \, H}
\end{equation}
%
Das entspricht gerade
%
\begin{equation}
\lambda = 0.8 \, H
\end{equation}
%
Damit ergeben sich für $m = 0,1,2$ reelle $\alpha_m$.
Für $\alpha_3$ ist komplex, und die Lösung klingt in
$x_1$-Richtung entsprechend ab.

\end{multicols}

\vspace{1.0cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{c@{$\qquad$}c}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.6,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mode00.eps,width=7.6cm}}}
\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $m=0$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $\beta_0 = 0$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $\alpha_0 = 7.85 / H$}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(4.7,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.5,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\end{picture}
&
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.6,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mode01.eps,width=7.6cm}}}
\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $m=1$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $\beta_1 = \pi / H$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $\alpha_1 = 7.19 / H$}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(4.7,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.5,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\end{picture}
\\[1cm]
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.6,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mode02.eps,width=7.6cm}}}
\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $m=2$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $\beta_2 = 2 \pi / H$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $\alpha_2 = 4.71 / H$}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(4.7,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.5,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\end{picture}
&
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.6,4.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mode03.eps,width=7.6cm}}}
\put(0.0,4.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $m=3$}}
\put(0.0,4.0){\makebox(0,0)[lc]{\small $\beta_3 = 3 \pi / H$}}
\put(0.0,3.5){\makebox(0,0)[lc]{\small $\alpha_3 = i \, 5.2 / H$}}
\put(0.4,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(4.7,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(7.5,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\end{picture}
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}

% --- FIN ---