Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 19.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.6) Anfangswertproblem mit einer Unstetigkeit}
\end{flushleft}

Bisher wurde die Lösung für den Schalldruck nach dem
Platzen der Membran berechnet.
Dabei wurde nicht berücksichtigt, daß die angegebene Lösung
zwei Sprungstellen besitzt.
Diese ergeben sich notwendigerweise aus der Unstetigkeit in
der Anfangsbedingung.
Strenggenommen ist die angegebene Druckverteilung mit
Sprungstellen als Lösung der Wellengleichung nicht zulässig,
da sie nicht überall differenzierbar ist.
Die gegebene Anfangswertaufgabe wäre also mit der Wellengleichung
gar nicht vernünftig zu beschreiben.

Das Problem läßt sich auflösen, wenn man den Begriff der
Differenzierbarkeit sinnvoll erweitert.
Dazu wird die partielle Differentialgleichung erster Ordnung
%
\begin{equation}
\pp{R_1}{t} + c \pp{R_1}{x} = 0
\end{equation}
%
betrachtet.
Als ein Beispiel mit Unstetigkeit sei die Lösung
%
\begin{equation}
R_1(x,t) = H (x - ct)
\end{equation}
%
gegeben.
Die Funktion $H()$ ist durch
%
\begin{equation}
H(s) =
\left\{
\begin{array}{c@{\quad \hbox{für} \quad }l}
1 & s > 0\\
0 & s < 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
definiert und wird in der Literatur als Heaviside-Funktion bezeichnet.
$H(s)$ besitzt eine Unstetigkeit an der Stelle $s=0$.
Dort ist sie im klassischen Sinne nicht differenzierbar.
Erweitert man den Funktionenraum um die sogenannten Distributionen
(auch als verallgemeinerte Funktionen bezeichnet), zu denen die
bekannte Dirac'sche $\delta$-Funktion zählt, kann
auch an der Stelle $s=0$ eine Ableitung angegeben werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\dd{H(s)}{s} \equiv H'(s) = \delta(s)
\end{equation}
%
Das heißt, die $\delta$-Funktion ist gerade die Ableitung der
Heaviside-Funktion und zwar ohne Einschränkung auch bei $s=0$.
Dies wird klar, wenn man die Eigenschaften der $\delta$-Funktion
betrachtet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\delta(\xi) = 0 \quad \hbox{für} \quad \xi \neq 0
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
\delta(\xi) \, \hbox{d} \xi = 1
\end{equation}
%
Die Funktion $\delta(\xi)$ ist bei $\xi = 0$ Unendlich, und sonst ist sie Null.
Das Integral über die Singularität ist gerade gleich Eins.
Integriert man nur von $-\infty$ bis $s$, so ergibt sich
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{s}
\delta(\xi) \, \hbox{d} \xi = H(s)
\end{equation}
%
Das bedeutet, $H(s)$ ist die Stammfunktion der $\delta$-Funktion
und Gleichung (4) wäre bewiesen.

Durch die Erweiterung des Funktionenraums kann auch $H(s)$ als
differenzierbare Funktion betrachtet werden.
Die Ableitung ist zwar eine verallgemeinerte Funktion, die sind aber
jetzt auch zugelassen.

Die Frage bleibt, ob mit der gegebenen Erweiterung die Lösung (2)
wirklich die Differentialgleichung (1) erfüllt.
Für die Zeitableitung folgt
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\begin{array}{l@{}l}
\pp{R_1}{t} &= H'(x - ct) \; \pp{}{t} \big[x - ct \big]\\
&=  - c \, \delta(x - ct)
\end{array}
\end{equation}
%
und für die räumliche Ableitung gilt entsprechend
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\begin{array}{l@{}l}
\pp{R_1}{x} &= H'(x - ct) \; \pp{}{x} \big[x - ct \big]\\
&=  \delta(x - ct)
\end{array}
\end{equation}
%
Durch Einsetzen in (1) ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{R_1}{t} + c \pp{R_1}{x} = [\, -c + c \,] \cdot \delta(x - ct) = 0
\end{equation}
%
und damit ist (2) tatsächliche eine Lösung von (1).

Die gesamte Überlegung läßt sich auf Systeme von partiellen
Differentialgleichungen erweitern und damit auch auf 
die zu den Systemen äquivalenten
partiellen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung übertragen.

Das ganze Vorgehen erscheint zunächst rein formal.
Man kann sich jedoch plausibel machen, daß Verteilungen mit
Unstetigkeiten sinnvolle Lösungen sein können.
Die Wellengleichung wurde aus einem System zweier partieller
Differentialgleichungen erster Ordnung abgeleitet.
Im klassischen Sinn müssen die Lösungen des Systems einmal
differenzierbar sein und die der Wellengleichung zweimal.
Das heißt, beim Übergang auf die Wellengleichung wurde der
mögliche Lösungsraum sozusagen ``künstlich'' eingeschränkt.

Das  System erster Ordnung besteht aus der linearisierten
Kontinuitätsgleichung und der linearisierten Euler-Gleichung.
Beide Gleichungen wurden aus den entsprechenden nichtlinearen
``Originalen'' gewonnen.
Die Kontinuitätsgleichung und die  Euler-Gleichung lassen
sich aus Bilanzgleichungen an einem beliebigen
Kontrollvolumen ableiten.
Die Bilanzgleichungen sind Integralgleichungen.
An dieser Stelle sind in jedem Fall auch Lösungen 
mit Unstetigkeiten erlaubt.
Erst durch den Übergang von der Integral- auf die
partielle Differentialgleichung wird der Lösungsraum
eingeschränkt.
Dies ist jedoch eine rein formale und keine physikalische
Einschränkung.
Mit der Erweiterung des Funktionenraums werden sozusagen
die künstlichen Einschränkungen des Lösungsraums wieder
aufgehoben.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---