Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 15.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 3.5) Reflexion und Transmission an Mediengrenzen}
\end{flushleft}

Im letzten Abschnitt wurde die Reflexion von Schallwellen an
einer flexiblen Wand betrachtet.
Eine Reflexion kann auch an Trennflächen zwischen zwei verschiedenen
Medien auftreten.
Eine solche Trennfläche oder Mediengrenze liegt zum Beispiel
in einem senkrecht ausgerichtetem Rohr vor, das bis
zu einer bestimmten Höhe mit Wasser angefüllt ist.
Über der Wasseroberfläche befindet sich Luft.
Im folgenden soll betrachtet werden, was passiert, wenn eine ebene Welle
von oben auf die Trennfläche trifft.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{8.0mm}%
\begin{picture}(6.5,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=trennflaeche.eps,height=3.6cm}}}
\put(3.0,1.4){\makebox(0,0)[lc]{Wasser}}
\put(3.0,2.9){\makebox(0,0)[lc]{Luft}}
\put(3.3,2.15){\makebox(0,0)[lc]{Trennfläche}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es sind zwei Bereiche mit verschiedenen Fluiden vorhanden, in denen
eine unterschiedliche Schallgeschwindigkeit und Dichte -- und damit
ein unterschiedlicher Wellenwiderstand -- vorliegt.
Zweckmäßigerweise wird das Koordinatensystem so gewählt, daß
die Trennfläche bei $x=0$ liegt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.0,4.6) \thicklines
\put(0.0,0.6){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=trenntheo.eps,width=7.0cm}}}
\put(4.0,2.3){\makebox(0,0)[lb]{$A_2 \, e^{i(\omega t - k_2 x)}$}}
\put(3.0,1.7){\makebox(0,0)[rb]{$B_2 \, e^{i(\omega t + k_1 x)}$}}
\put(0.5,3.0){\makebox(0,0)[lb]{$A_1 \, e^{i(\omega t - k_1 x)}$}}
\put(3.5,0.5){\makebox(0,0)[ct]{$0$}}
\put(7.0,0.5){\makebox(0,0)[rt]{$x$}}
\put(3.0,4.0){\makebox(0,0)[rb]{Fluid 1}}
\put(4.0,4.0){\makebox(0,0)[lb]{Fluid 2}}
\end{picture}
\end{center}
%
Betrachtet wird der Fall, daß eine harmonische Welle
mit der komplexen Amplitude $A_1$ sich im Bereich mit Fluid~1
ausbreitet und auf die Trennfläche trifft.
Dabei entsteht eine reflektierte Welle mit der Amplitude $B_1$
und eine transmittierte Welle mit der Amplitude $A_2$ im Bereich
des Fluids~2.

Die Lösung für den Druck wird mit
%
\begin{equation}
p'(x,t) =
\left\{
\begin{array}{l@{\quad \hbox{für} \quad}l}
p_1'(x,t) & x < 0\\[6pt]
p_2'(x,t) & x > 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
und für die Schnelle mit
%
\begin{equation}
u'(x,t) =
\left\{
\begin{array}{l@{\quad \hbox{für} \quad}l}
u_1'(x,t) & x < 0\\[6pt]
u_2'(x,t) & x > 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
in Teillösungen unterteilt.
Für den Druck im Bereich~1 gilt der Ansatz
%
\begin{equation}
p_1'(x,t) = \Re
\big\{
A_1 \, e^{i(\omega t - k_1 x)} +
B_1 \, e^{i(\omega t + k_1 x)}
\big\}
\end{equation}
%
und im Bereich 2
%
\begin{equation}
p_2'(x,t) = \Re
\big\{
A_2 \, e^{i(\omega t - k_2 x)}
\big\}
\end{equation}
%
Entsprechen ergibt sich für die Schnelle im Bereich~1
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
u_1'(x,t) =\\[6pt]
\quad \Re
\big\{
\ff{A_1}{(\rho_0 c)_1} \, e^{i(\omega t - k_1 x)} +
\ff{B_1}{(\rho_0 c)_1} \, e^{i(\omega t + k_1 x)}
\big\}
\end{array}
\end{equation}
%
und im Bereich~2
%
\begin{equation}
u_2'(x,t) =
\Re
\big\{
\ff{A_2}{(\rho_0 c)_2} \, e^{i(\omega t - k_2 x)}
\big\}
\end{equation}
%
Die Indizes an den runden Klammern zeigen, von welchem Fluid
der Wellenwiderstand $(\rho_0 c)$ gemeint ist.
Auch die Wellenzahl $k = \omega/c$ ist über die Schallgeschwindigkeit
$c$ von dem Fluid abhängig und entsprechend mit einem Index versehen.
Sonst entspricht die Darstellung der üblichen komplexen Schreibweise.

Es stellt sich die Frage, wie stark die reflektierte und die
transmittierte Welle ist.
Das heißt, es soll für ein gegebenes $A_1$ die Größen $B_1$ und $A_2$
berechnet werden.
Um die beiden Unbekannten bestimmen zu können, sind zwei Bedingungen
notwendig.
Diese ergeben sich durch die Bedingungen, die an der Trennfläche
erfüllt sein müssen.
Wenn die Trennfläche durch die eintreffende Störung ausgelenkt wird,
folgen auf beiden Seiten die Fluidelemente.
Damit herrscht auf beiden Seiten die gleiche Geschwindigkeit, und an
der Trennfläche gilt $u_1' = u_2'$.
Genauso ist eine Unstetigkeit des Druckes in der nichtdurchströmten
Trennfläche unmöglich.
Ein Drucksprung würde sofort zu einer unendlichen Beschleunigung von
Fluidelementen führen.
Es muß daher auch $p_1' = p_2'$ gelten.

Die Bedingungen für Druck und Schnelle stellen Randbedingungen
an die Teillösungen (3) bis (6) dar.
Die Randbedingungen gelten an der momentanen Position der Trennfläche.
Es kann hier -- analog zu der Randbedingung am Kolben in den
vorherigen in Abschnitten --
die Auslenkung der Wand vernachlässigt werden, und
die Bedingungen für $u'$ und $p'$ 
vereinfacht an der mittleren Position der Trennfläche
$x=0$ angenommen werden.
Für den Druck ergibt sich
%
\begin{equation}
p_1'(0,t) = p_2'(0,t)
\end{equation}
%
und für die Schnelle
%
\begin{equation}
u_1'(0,t) = u_2'(0,t)
\end{equation}
%
Wie in Abschnitt 3.1 diskutiert, ist
die Voraussetzung für diese Vereinfachung,
daß die Auslenkung der Trennfläche klein gegenüber der Wellenlänge
ist.
Hier kann es für eine feste Frequenz zwei verschiedene Wellenlängen
durch unterschiedliche Schallgeschwindigkeiten geben.
Die Auslenkung muß dann klein gegenüber beiden Wellenlängen sein.

Setzt man (3) und (4) in die Bedingung (7) ein, ergibt sich
%
\begin{equation}
\Re \big\{
[A_1 + B_1]
\, e^{i \omega t}
\big\}
=
\Re \big\{
A_2
\, e^{i \omega t}
\big\}
\end{equation}
%
Daraus folgt sofort die erste Beziehung
%
\begin{equation}
A_1 + B_1 = A_2
\end{equation}
%
zwischen den gesuchten Größen.
Einsetzen von (5) und (6) in Gleichung (8) ergibt
%
\begin{equation}
\Re \big\{
\ff{[A_1 - B_1]}{(\rho_0 c)_1}
\, e^{i \omega t}
\big\}
=
\Re \big\{
\ff{A_2}{(\rho_0 c)_2}
\, e^{i \omega t}
\big\}
\end{equation}
%
Man erhält die zweite Beziehung
%
\begin{equation}
\ff{[A_1 - B_1]}{(\rho_0 c)_1}
=
\ff{A_2}{(\rho_0 c)_2}
\end{equation}
%
mit der die gesuchten Größen bestimmt werden können.
Auflösen des Gleichungsystems (10) und (12) nach der
Amplitude der reflektierten Welle ergibt
%
\begin{equation}
B_1 =
\underbrace{\ff{\quad(\rho_0 c)_2 - (\rho_0 c)_1 \quad}
{(\rho_0 c)_2 + (\rho_0 c)_1}}_{\hbox{$R$: Reflexionsfaktor}}
\cdot A_1
\end{equation}
%
Erwartungsgemäß ist die Stärke der reflektierten Welle
proportional zur Stärke der einfallenden Welle.
Der Proportionalitätsfaktor wird sinnvollerweise mit $R$
abgekürzt und wird wieder als Reflexionsfaktor bezeichnet.
Es gilt
%
\begin{equation}
R =
\ff{\quad \ff{(\rho_0 c)_2}{(\rho_0 c)_1} - 1 \quad}
{\ff{(\rho_0 c)_2}{(\rho_0 c)_1} + 1}
\end{equation}
%
Nach (10) ergibt sich schließlich für die transmittierte Welle
%
\begin{equation}
A_2 = A_1 + B_1 = (1 + R) \, A_1
\end{equation}
%
Das heißt, der Transmissionsfaktor ist $(1 + R)$.
Im Gegensatz zu dem komplexen Reflexionsfaktor $\sdoso Rw$
aus dem letzten Abschnitt,
der die Reflexion an der flexiblen Wand beschreibt,
ist $R$ nach (14) rein reell.
Auch hängt $R$ und damit die Reflexion an der Trennfläche
nicht von der Frequenz $\omega$ ab. 
Die Größe $\sdoso Rw$ war über die Wandimpedanz von der
Frequenz abhängig.

Natürlich gilt die bisherige Betrachtung auch für
Trennflächen zwischen zwei Flüssigkeiten,
aber in der Praxis sind Trennflächen zwischen einer Flüssigkeit und
einem Gas besonders häufig.
Typischerweise sind die Wellenwiderstände
in Gasen deutlich niedriger als in Flüssigkeiten.
Zum Beispiel ist der in
Wasser etwa 4000 mal so groß wie der in Luft.
Die Dichte in Flüssigkeiten ist höher, und auch
die Schallgeschwindigkeit ist größer, da Flüssigkeiten
inkompressibler als Gase sind.
Ist zum Beispiel
%
\begin{equation}
(\rho_0 c)_2 \gg (\rho_0 c)_1
\end{equation}
%
so wird nach (14) der Reflexionsfaktor $R \approx 1$.
Das bedeutet, eine aus Luft kommende und
senkrecht auf eine Wasseroberfläche treffende
Welle wird total reflektiert.
Die transmittierten Welle besitzt nach (15) die doppelte
Druckamplitude der einfallenden Welle $A_2 \approx 2 \, A_1$.
Umgekehrt wird bei
%
\begin{equation}
(\rho_0 c)_2 \ll (\rho_0 c)_1
\end{equation}
%
der Wert $R \approx -1$.
Die reflektierte Welle besitzt die gleiche Stärke der einfallenden
Welle, jedoch ist die Phase gespiegelt.
Die Druckamplitude der transmittierte Welle ist mit
$|A_2| \ll |A_1|$ vernachlässigbar gering.

\begin{flushleft}
{\bf 3.6) Anfangswertproblem mit einer Unstetigkeit}
\end{flushleft}

In den vorangegangenen Abschnitten wurden
harmonische Lösungen der Wellengleichung betrachtet.
Dabei wurden alle Einschwingvorgänge vernachlässigt, da
in der Praxis häufig nur die periodischen Lösungen wichtig sind,
die sich nach dem Einschwingvorgang einstellen.
Wird der Kolben langsam in Bewegung gesetzt und
erreicht erst nach einiger Zeit seine endgültige Frequenz
und Auslenkung, so können sich zwischendurch ganz 
unterschiedliche transiente Lösungen ergeben.
Bei einigen Aufgabenstellungen sind besonders diese
transienten Vorgänge von Interesse.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.0,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.4){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=membran.eps,width=7.0cm}}}
\put(3.5,0.0){\makebox(0,0)[cb]{Membran}}
\put(5.75,0.5){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\put(3.5,3.2){\makebox(0,0)[cc]{$x = 0$}}
\put(1.75,1.9){\makebox(0,0)[cc]{$p' < 0$}}
\put(5.25,1.9){\makebox(0,0)[cc]{$p' > 0$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Ein klassisches Beispiel ist ein beidseitig abgeschlossenes
Rohr mit einer undurchlässigen Membran in der Mitte.
Die beiden Rohrhälften sind mit einem unterschiedlichen Druck
gefüllt.
Zum Beispiel ist links der Druck niedriger als rechts.
Zur Zeit $t=0$ platzt die Membran, und der Druck im Rohr
gleicht sich aus.
In der Realität sind
nach einiger Zeit alle Störungen
abgeklungen (durch nichtakustische Effekte wie z.B.\ Dissipation),
und es stellt sich der mittlere Druck $p = p_0$ im gesamten Rohr ein.
Die akustischen Gleichungen beschreiben natürlich nicht das Abklingen,
jedoch kann mit ihnen berechnet werden, wie die Druckwellen kurz nach
dem Platzen der Membran aussehen und wie der Ausgleichsvorgang
im einzelnen abläuft.
Hierbei handelt es sich um ein sogenanntes Anfangswertproblem.
Die Anfangswerte bei $t=0$ sind gegeben.
Die Druckverteilung hat die Form
%
\begin{equation}
p'(x,0) =
\left\{
\begin{array}{l@{\quad \hbox{für} \quad}l}
-A & x < 0\\[6pt]
A & x > 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Dabei ist $A > 0$ der Über- beziehungsweise Unterdruck
in den beiden Hälften.
Der Druckunterschied beträgt $2\,A$.
Vor der Platzen der Membran ist alles in Ruhe und damit
%
\begin{equation}
u'(x,0) = 0
\end{equation}
%
Gesucht ist nun die Druckverteilung
%
\begin{equation}
p'(0,t) = f(x - ct) + g(x + ct)
\end{equation}
%
für spätere Zeitpunkte $t > 0$.
Das bedeutet, die Funktionen $f()$ und $g()$ sollen bestimmt
werden.

Die Wellengleichung für den Druck ist eine partielle Differentialgleichung
zweiter Ordnung.
Wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung müssen
auch hier zwei Bedingungen, zum Beispiel der Wert und die
Zeitableitung am Anfang, vorgegeben werden, damit die Lösung
eindeutig bestimmt werden kann.
Allein mit der Vorgabe des Druckes nach (18), wäre die Lösung nicht
eindeutig.
Erst mit der zweiten Bedingung (19) für $u'$ ist die Lösung festgelegt.
Allerdings muß man erst die Bedingung für $u'$ in eine zweite
Bedingung für $p'$ umrechnen.
Das geht unter Verwendung der linearisierten Kontinuitätsgleichung.
Diese lautet in einer Dimension
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \, \pp{u'}{x} = 0
\end{equation}
%
Ersetzt man mit $p'=c^2 \rho'$ die Dichte durch den Druck
erhält man
%
\begin{equation}
\pp{p'}{t} + \rho_0 c^2 \, \pp{u'}{x} = 0
\end{equation}
%
Mit $u'(x,0)$ ist auch die räumliche Ableitung von $u'$ zur Zeit $t=0$
gegeben.
Daraus kann mit (22) die Zeitableitung für $p'$
berechnet werden.
Es sind dann zwei Bedingungen an $p'$ gegeben, und eine Lösung
der Wellengleichung ist möglich.

Hier soll ein etwas anderer Weg vorgestellt werden, an dem
einige mathematischen Eigenschaften der Wellengleichung
und ihrer Lösungen deutlich werden.
Die Wellengleichung wurde aus der linearisierten Kontinuitätsgleichung
und der linearisierten Euler-Gleichung abgeleitet.
Im eindimensionalen Fall lautet letztere
%
\begin{equation}
\pp{u'}{t} + \ff{1}{\rho_0} \, \pp{p'}{x} = 0
\end{equation}
%
Die linearisierte  Kontinuitätsgleichung war bereits in die
Gleichung (22) umgeformt worden.
Zusammen bilden die beiden Gleichungen (22) und (23) ein
System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung
für die abhängigen Variablen $p'$ und $u'$.
Dieses System ist voll äquivalent zur Wellengleichung für $p'$.
Das heißt, jede Lösung der Wellengleichung erfüllt (22) und (23).
Umgekehrt erfüllen die Lösungen des Systems auch die Wellengleichung.

Das System  partieller Differentialgleichungen erster Ordnung
kann nun auf eine interessante Form gebracht werden.
Multipliziert man Gleichung (23) mit $\rho_0 c$ und addiert
das Resultat zu (22) ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{}{t} (p' + \rho_0 c \, u') + 
c \, \pp{}{x} (p' + \rho_0 c \, u') = 0
\end{equation}
%
Analog erhält man durch Subtraktion die Beziehung
%
\begin{equation}
\pp{}{t} (p' - \rho_0 c \, u') -
c \, \pp{}{x} (p' - \rho_0 c \, u') = 0
\end{equation}
%
Die beiden neuen Gleichungen sind wieder ein
System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung.
Das neue System ist zum alten System und damit zur
Wellengleichung für den Schalldruck immer noch voll äquivalent.
Es hat nur mathematische eine besondere Eigenschaft.
Die wird deutlich wenn man eine Substitution der
abhängigen Variablen durchführt.
Statt den physikalischen Größen $p'$ und $u'$ werden die
Variablen
%
\begin{equation}
R_1 = p' + \rho_0 c \, u'
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
R_2 = p' - \rho_0 c \, u'
\end{equation}
%
eingeführt.
Damit kann das Differentialgleichungssystem als
%
\begin{equation}
\pp{R_1}{t} + c \, \pp{R_1}{x} = 0
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\pp{R_2}{t} - c \, \pp{R_2}{x} = 0
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Die Lösung dieses Systems ist relativ einfach, da
beide Gleichungen entkoppelt sind.
Die Variable $R_1$ tritt nur in (28) auf und $R_2$ nur
in (29).
Im ursprünglichen System waren $p'$ und $u'$ immer gemischt
vorgekommen.
Die Lösung für (28) hat die allgemeine Form
%
\begin{equation}
R_1(x,t) = F(x - ct)
\end{equation}
%
Entsprechend lautet die Lösung für (29)
%
\begin{equation}
R_2(x,t) = G(x + ct)
\end{equation}
%
Dabei sind $F()$ und $G()$ Funktionen, die
durch die Anfangs und Randbedingungen festegelegt werden.

Für das betrachtete Anfangswertproblem
ergibt sich aus (26) und (27)
%
\begin{equation}
R_1(x,0) = p'(x,0) + \rho_0 c \, u'(x,0) = F(x)
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
R_2(x,0) = p'(x,0) - \rho_0 c \, u'(x,0) = G(x)
\end{equation}
%
Das bedeutet, die gesuchten Funktionen $F()$ und $G()$ sind
durch die Anfangsbedingung direkt gegeben.
Damit ist aber auch die Lösung für $p'$ und $u'$ bekannt.
Denn, die mathematischen Größen $R_1$ und $R_2$ können mit
%
\begin{equation}
p' = \ff{1}{2} \, (R_1 + R_2)
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
u' = \ff{1}{2 \rho c} \, (R_1 - R_2)
\end{equation}
%
wieder in Schalldruck und Schnelle umgerechnet werden.
Man erhält letztlich
%
\begin{equation}
p' = \ff{1}{2} \,
\big[
F(x - ct) + G(x + ct)
\big]
\end{equation}
%
womit die gesuchten Funktion $f()$ und $g()$ aus (20)
auch bestimmt sind: $f = F/2$ und $g = G/2$.

Wenn, wie in dem Rohr, die Schnelle nach (19) zu Beginn gleich Null ist
folgt einfach
%
\begin{equation}
F(x) = G(x) = p'(x,0)
\end{equation}
%
Die Lösung (36) läßt sich damit darstellen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ri00.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.6,0.9){\makebox(0,0)[lt]{\tiny $0$}}
\put(3.5,0.8){\makebox(0,0)[rt]{\tiny $x$}}
\put(1.4,1.7){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $+A$}}
\put(1.6,0.35){\makebox(0,0)[lc]{\tiny $-A$}}
\put(1.5,2.6){\makebox(0,0)[cb]{\tiny $F(x),G(x)$}}
\end{picture}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ri00.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.6,0.9){\makebox(0,0)[lt]{\tiny $0$}}
\put(3.5,0.8){\makebox(0,0)[rt]{\tiny $x$}}
\put(1.4,1.7){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $+A$}}
\put(1.6,0.35){\makebox(0,0)[lc]{\tiny $-A$}}
\put(1.5,2.6){\makebox(0,0)[cb]{\tiny $p(x,0)$}}
\end{picture}
\end{center}
%
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ri01.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.6,0.9){\makebox(0,0)[lt]{\tiny $0$}}
\put(3.5,0.8){\makebox(0,0)[rt]{\tiny $x$}}
\put(2.35,0.95){\makebox(0,0)[lt]{\tiny $c t_1$}}
\put(0.7,0.95){\makebox(0,0)[rt]{\tiny $-c t_1$}}
\put(1.5,2.6){\makebox(0,0)[cb]{\tiny $F(x-c t_1),G(x + c t_1)$}}
\end{picture}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ri02.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.6,0.9){\makebox(0,0)[lt]{\tiny $0$}}
\put(3.5,0.8){\makebox(0,0)[rt]{\tiny $x$}}
\put(2.4,0.9){\makebox(0,0)[ct]{\tiny $c t_1$}}
\put(0.7,1.2){\makebox(0,0)[cb]{\tiny $-c t_1$}}
\put(1.4,1.7){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $+A$}}
\put(1.4,0.35){\makebox(0,0)[rc]{\tiny $-A$}}
\put(1.5,2.6){\makebox(0,0)[cb]{\tiny $p(x,t_1)$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Das obere linke Bild zeigt den Verlauf von $F(x -c t)$ und $G(x + ct)$
bei $t=0$.
Die Kurven entsprechen dem Druckverlauf $p'(x,0)$, der rechts daneben
aufgezeichnet ist.
Darunter sind die gleichen Kurven für einen Zeitpunkt $t_1 > 0$
dargestellt.
Die durchgezogene $F()$-Kurve hat sich nach rechts und die
gestrichelte $G()$-Kurve nach links verschoben.
Entsprechend ergibt sich nach (36) von $x = -c t_1$ bis $x = c t_1$
der Druck $p'(x,t_1) = 0$.
Außerhalb dieses Bereichs ist der Druck noch gleich dem Anfangswert.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---