Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 12.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 3.4) Komplexe Wandimpedanz}
\end{flushleft}

Im Beispiel aus Abschnitt 3.3 war das Rohr durch eine
feste, undurchlässige Wand abgeschlossen, an der die
Wellen reflektiert wurden.
Statt der festen Wand wird nun eine bewegliche Wand angenommen,
die sich wie ein federnd befestigter Kolben
im Rohr verhält.
Der zweite Kolben dient als ein mechanisches Wandmodell,
das in der Realität zum Beispiel eine Gummiwand oder eine zur
Dämmung mit Matten beklebte Wand sein kann.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.0) \thicklines
\put(0.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=mechwand.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.9,0.1){\makebox(0,0)[cb]{$-L$}}
\put(6.3,0.1){\makebox(0,0)[cb]{$0$}}
\put(7.2,0.65){\makebox(0,0)[cb]{$x$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Bereits in Abschnitt 1.4 wurde als Beispiel ein schwingender Kolben
betrachtet.
Wie dort werden hier folgende Annahmen gemacht:
%
\begin{itemize}
\item[1.)]%
Rechts von der beweglichen Wand ist Vakuum (p=0).
Keine Luftkräfe greifen auf dieser Seite an.
\item[2.)]%
Bei Ruhedruck $p=p_0$ im Rohr befindet sich die Wand an der Position $x=0$.
Die Druckkraft durch den Ruhedruck wird die die Vorspannung der Feder
ausgeglichen.
Bei Auslenkung der Wand bewirkt die Feder eine Rückstellkraft
zur Ruheposition.
\item[3.)]%
Alle Störungen sind sinusförmig beziehungsweise harmonisch.
\end{itemize}
%
Die Position der beweglichen Wand wird mit $\sdoso xw$,
die Geschwindigkeit der Wand mit  $\sdoso uw$ und
der Druck an der Wand mit $\sdoso pw$
bezeichnet.
Es ergeben sich die Ansätze
%
\begin{equation}
\sdoso xw(t) = \Re \big\{ \hat{s} \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\sdoso pw(t) = \Re \big\{ \sdoso {\hat{p}}w \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Dabei sind $\hat{s}$ und $\sdoso {\hat{p}}w$ die komplexen Amplituden
der Auslenkung und des Wanddruckes.
Der Betrag $|\hat{s}|$ ergibt die reale maximale Auslenkung
in jeder Richtung.
Aus (1) folgt sich für die Schnelle
%
\begin{equation}
\sdoso uw(t) =
\Re \big\{ i \omega \hat{s} \, e^{i \omega t} \big\} =
\Re \big\{ \sdoso {\hat{u}}w \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
ab.
Die komplexe Amplitude der Schnelle ergibt sich durch
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{u}}w = i \omega \hat{s}
\end{equation}
%
Die Randbedingung an der beweglichen Wand leitet sich aus
dem in Abschnitt 1.4 beschriebenen Kräftegleichgewicht ab.
Die mechanische Kraft $\sdoso K{mech}$ muß der
Kraft $\sdoso K{akustisch}$ durch die Druckstörungen an
der Wand entsprechen
%
\begin{equation}
\sdoso K{mech} =
\sdoso K{akustisch}
\end{equation}
%
Bei beiden Kräften ist der Ruheanteil nicht enthalten.
$\sdoso K{mech}$ ist der Anteil der mechanischen Kraft
ohne die Federkraft durch die Vorspannung in Ruhestellung.
Entsprechend ist $\sdoso K{akustisch}$ der Anteil ohne
die Druckkraft durch den Ruhedruck.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso K{mech} =
\Re \big\{
- \hat{s} \, [-D - i \omega F + \omega^2 M] \, e^{i \omega t}
\big\}
\end{equation}
%
Wobei $D$ die Federkonstante, $F$ der Reibungskoeffizient und $M$ die
Masse des Kolbens beziehungsweise der Wand ist.
Das Minuszeichen vor $\hat{s}$ ergibt sich abweichend zu
Abschnitt 1.4, da der Kolben hier gespiegelt
angeordnet ist.
Dadurch greift die Druckkraft auf der anderen Seite an,
und zweckmäßigerweise wird $\sdoso K{mech}$ mit einem
anderen Vorzeichen definiert.
Für die Kraft durch Druckstörungen gilt
%
\begin{equation}
\sdoso K{akustisch} =
\Re \big\{
Q \, \sdoso {\hat{p}}w \, e^{i \omega t}
\big\}
\end{equation}
%
Dabei ist $Q$ die Fläche der Wand beziehungsweise die
Querschnittsfläche des Rohres.
Aus Bedingung (5) ergibt sich
%
\begin{equation}
Q \, \sdoso {\hat{p}}w =
- \hat{s} \, [-D - i \omega F + \omega^2 M]
\end{equation}
%
Mit der Beziehung (4) kann dies zu
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{p}}w =
\sdoso {\hat{u}}w
\,
\underbrace{\Big[
- \ff{i}{\omega} \ff{D}{Q} + \ff{F}{Q} + i \omega \ff{M}{Q}
\Big]}_{\hbox{$\sdoso Zw$: Wandimpedanz}}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Der Ausdruck zwischen den eckigen Klammern wird praktischerweise
mit $\sdoso Zw$ abgekürzt.
Mit der Abkürzung erhält (9) die einfache Form
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{p}}w = \sdoso {\hat{u}}w
\cdot
\sdoso Zw
\end{equation}
%
Die Größe $\sdoso Zw$ wird als Wandimpedanz bezeichnet.
Sie ist das Verhältnis von Druck und Schnelle an der Wand.
Das ist Analog zum Wellenwiderstand $\rho_0 \cdot c$,
der das Verhältnis von Druck und Schnelle in der ebenen Welle ist.
Anders als $\rho_0 \cdot c$ ist $\sdoso Zw = \sdoso Zw(\omega)$
von der Frequenz abhängig.
Auch ist im Allgemeinen  $\sdoso Zw$ eine komplexe Zahl im Gegensatz
zum rein reellen Wellenwiderstand in der ebenen Welle.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.5) \thicklines
\put(0.2,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kompl00.eps,width=4.5cm}}}
\put(4.6,0.3){\makebox(0,0)[cc]{$\Re$}}
\put(0.3,3.8){\makebox(0,0)[cc]{$\Im$}}
\put(3.9,2.1){\makebox(0,0)[cc]{$ \sdoso {\hat{u}}w$}}
\put(1.9,3.1){\makebox(0,0)[cc]{$ \sdoso {\hat{p}}w$}}
\put(1.6,1.4){\makebox(0,0)[cc]{$\vartheta$}}
\end{picture}
\end{center}
%
In der Abbildung sind $\sdoso {\hat{p}}w$ und $\sdoso {\hat{u}}w$
als Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt.
Der Winkel zwischen den Zeigern ist mit $\vartheta$ bezeichnet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso Zw =
\ff{|\sdoso {\hat{p}}w|}{|\sdoso {\hat{u}}w|} \cdot e^{i \vartheta}
\end{equation}
%
In der Praxis sind zwei Grenzfälle von Interesse.
Sie haben deshalb auch besondere Bezeichnungen:
%
\begin{itemize}
\item[1.)]%
Schallharte Wand: 
$\sdoso {\hat{u}}w=0 \; \rightarrow \; \sdoso Zw = \infty$\\
Dies entspricht der festen, unbewegten Wand aus Abschnitt 3.3.
\item[2.)]%
Schallweiche Wand: 
$\sdoso {\hat{p}}w=0 \; \rightarrow \; \sdoso Zw = 0$\\
Die Wand bewegt sich, jedoch sind keine Druckschwankungen
an der Wand vorhanden.
\end{itemize}
%
Um die Lösung im Rohr zu bestimmen,
wird aus der Beziehung (10) an der beweglichen Wand
eine Randbedingung abgeleitet.
Wie in Abschnitt 3.3 wird der Ansatz
%
\begin{equation}
p'(x,t) = \Re \big\{
A \, e^{i (\omega t - kx)} + B \, e^{i (\omega t + kx)} \big \}
\end{equation}
%
für den Druck und entsprechend
%
\begin{equation}
u'(x,t) =
\Re \big\{
\ff{A}{\rho_0 c} \, e^{i (\omega t - kx)} -
\ff{B}{\rho_0 c} \, e^{i (\omega t + kx)}
\big\}
\end{equation}
%
für die Schnelle im Rohr verwendet.
Wie bei der Kolbenbewegung am linken Ende des Rohres
wird auch für die bewegliche Wand vorausgesetzt, daß
die Auslenkung klein gegenüber der Wellenlänge im
Sinne von
%
\begin{equation}
|\hat{s}| \ll \lambda = \ff{2 \pi}{k} = \ff{2 \pi c}{\omega}
\end{equation}
%
ist.
Damit kann wie in Abschnitt 3.1 beschrieben
eine vereinfachte Form der Randbedingung verwendet werden.
Die Wandgrößen $\sdoso pw$ und $\sdoso uw$
werden nicht an der momentanen Position des Wand vorgegeben,
sondern vereinfachend an der mittleren Position bei $x=0$.
Es soll gelten
%
\begin{equation}
p'(0,t) = \sdoso pw(t)
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
u'(0,t) = \sdoso uw(t)
\end{equation}
%
Aus den mechanischen Eigenschaften der Wand ergibt sich
die Wandimpedanz $\sdoso Zw$.
Diese komplexe Größe 
beschreibt das akustische Verhalten
der Wand vollständig.
Durch Gleichung (10) ergibt sich
zusammen mit dem vereinfachten Ansatz (15) und (16)
eine Bedingung zwischen $u'$ und $p'$ an der Wand,
d.h.\ eine Randbedingung.

Durch Einsetzen von $x=0$ in (12) folgt mit (2) aus (15)
%
\begin{equation}
\Re \big\{
(A + B) \, e^{i \omega t}
\big\}
=
\Re \big\{
\sdoso {\hat{p}}w \, e^{i \omega t}
\big\}
\end{equation}
%
Entsprechend ergibt sich aus den Gleichungen (3), (13) und (16)
%
\begin{equation}
\Re \big\{
\ff{1}{\rho_0 c}
(A - B) \, e^{i \omega t}
\big\}
=
\Re \big\{
\sdoso {\hat{u}}w \, e^{i \omega t}
\big\}
\end{equation}
%
Aus (17) folgt
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{p}}w = A + B
\end{equation}
%
und aus (18)
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{u}}w = \ff{1}{\rho_0 c} (A - B)
\end{equation}
%
Die Ausdrücke für $\sdoso {\hat{p}}w$ und
$\sdoso {\hat{u}}w$ können in Gleichung (10)
eingesetzt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso Zw = \ff{\sdoso {\hat{p}}w}{\sdoso {\hat{u}}w}
=
\left(
\ff{A + B}{A - B}
\right)
\, \rho_0 c
\end{equation}
%
Dies kann auch in der Form
%
\begin{equation}
\sdoso Zw =
\left(
\ff{1 + \ff{B}{A}}
{1 - \ff{B}{A}}
\right)
\, \rho_0 c
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Die Wandimpedanz ist gleich dem Wellenwiederstand multipliziert
mit dem Faktor in der runden Klammer.
Auflösen von (22) nach dem Quotienten $B/A$ liefert:
%
\begin{equation}
\ff{B}{A}
=
\ff{\ff{\sdoso Zw}{\rho_0 c} - 1}
{\ff{\sdoso Zw}{\rho_0 c} + 1}
\equiv \sdoso Rw
\end{equation}
%
Das Verhältnis der Amplitude
der reflektierten und der eintreffenden Welle $B/A$
wird praktischerweise mit
$\sdoso Rw$ abgekürzt.
Die Größe $\sdoso Rw$ wird als Reflexionsfaktor bezeichnet.
Im Allgemeinen ist der Reflexionsfaktor eine
komplexe Zahl.
Er hängt von der Wandimpedanz und dem Wellenwiderstand ab
%
\begin{equation}
\sdoso Rw = \sdoso Rw\big( \sdoso Zw, (\rho_0 c)\big)
\end{equation}
%
Mit der Abkürzung ergibt sich die einfache Bedingung
%
\begin{equation}
B = \sdoso Rw \, A
\end{equation}
%
Das heißt, die Randbedingung an der Wand bei $x=0$ liefert
wie im vorangegangen Abschnitt 3.3 eine
Beziehung zwischen $A$ und $B$.
Jedoch ist die Beziehung mit (25) etwas komplizierter
als einfach $A=B$, wie im Fall der starren Wand.
Dennoch kann analog zu diesem Fall auch hier
Gleichung (25) verwendet werden, um eine der beiden
Unbekannten $A$ und $B$ zu eliminieren.
Durch die Randbedingung am Kolben bei $x=-L$ kann
dann -- wie in Abschnitt 3.3 -- 
die verbleibende Unbekannte bestimmt werden.

Die konkrete Rechnung dazu wird hier jedoch nicht durchgeführt.
Stattdessen werden im Folgenden einige Spezialfälle betrachtet:
%
\begin{itemize}
%
\item[1.)]%
Schallharte Wand\\
$\sdoso {\hat{u}}w=0, \sdoso Zw = \infty \; \rightarrow \; \sdoso Rw = 1$\\
Damit führt Gleichung (25) auf $B=A$, was dem Resultat für die
unbewegliche Wand entspricht.
Eine eintreffende Welle wird in gleicher Stärke reflektiert.
In der Praxis gilt eine Wand als schallhart, falls
%
\begin{equation}
|\sdoso Zw| \gg \rho_0 c
\end{equation}
%
gilt.
Nach Gleichung (23) ist dann $\sdoso Rw \approx 1$ und
$A = B$ ist eine gute Approximation.
%
\item[2.)]%
Schallweiche Wand\\
$\sdoso {\hat{p}}w=0, \sdoso Zw = 0 \; \rightarrow \; \sdoso Rw = -1$\\
Eine eintreffende Welle wird in gleicher Stärke jedoch mit
umgekehrten Vorzeichen (auf den Druck $p'$ bezogen) reflektiert.
Analog zu oben gilt eine Wand als schallweich, falls
%
\begin{equation}
|\sdoso Zw| \ll \rho_0 c
\end{equation}
%
gilt.
Dann ergibt sich $\sdoso Rw \approx -1$.
Da der Wellenwiderstand von Luft relativ klein ist, sind für
Luft keine Oberflächen schallweich.
Eine Styroporplatte im Wasser wird in Experimenten oft als
schallweiche Wand verwendet.
%
\item[3.)]%
Reflexionsfreier Abschluß oder reflexionsfreie Anpassung\\
$\sdoso Zw = \rho_0 c \; \rightarrow \; \sdoso Rw = 0$\\
Eine eintreffende Welle wird komplett von der Wand verschluckt
und keine Welle wird reflektiert.
In diesem Fall muß $\sdoso Zw$ rein reell sein.
Das mechanische Wandmodell liefert
%
\begin{equation}
\sdoso Zw
=
- \ff{i}{\omega} \ff{D}{Q} + \ff{F}{Q} + i \omega \ff{M}{Q}
\end{equation}
%
Ein reflexionsfreier Abschluß ergibt sich zum Beispiel für
%
\begin{equation}
M=0 \; ; \; D=0 \; ; \; \ff{F}{Q} = \rho_0 c
\end{equation}
%
Die Masse und die Federkonstante sind Null.
Der Reibungskoeffizient ist so angepaßt, daß durch die Reibung
die Energie der Welle gerade absorbiert wird.
Dies ist analog zu den Abschlußwiderstanden von $50\,\hbox{Ohm}$ oder
$75\,\hbox{Ohm}$, die häufig an Koaxialleitungen eingesetzt werden,
um störende Reflexionen an den Leitungsenden zu vermeiden.
%
\end{itemize}
%
Auch bei endlicher Masse und Federkonstante ist ein
reflexionsfreier Abschluß möglich.
Dazu müssen $M$, $D$ und $\omega$ die Bedingung
%
\begin{equation}
- \ff{i}{\omega} \ff{D}{Q} + i \omega \ff{M}{Q} = 0
\end{equation}
%
erfüllen.
Dies ist äquivalent zu
%
\begin{equation}
\omega = \sqrt{\ff{D}{M}}
\end{equation}
%
Das heißt, bei einer Frequenz $\omega$
verschwindet
der Imaginärteil von
$\sdoso Zw$.
Ist zusätzlich $F/Q = \rho_0 c$ wie in (29), so
wird die Welle nicht reflektiert.
Dies gilt jedoch nur für die nach (31) gegebenen speziellen Frequenz,
die der Resonanzfrequenz der Wand entspricht.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---