Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 8.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 3.2) Energie in ebenen Wellen}
\end{flushleft}

Die spezifische akustische Energie wird als
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.75}
\begin{equation}
\sdoso ea
= \ff{1}{2}\, \rho_0 {u'}^2 + \ff{1}{2}\, \ff{c^2}{\rho_0} \, {\rho'}^2
\end{equation}
%
Der erste Summand repräsentiert den kinetische Anteil und der Zweite
den Potentiellen.
Um eine Erhaltungsgleichung für die akustische Energie zu erhalten, 
wird die Zeitableitung von (1) gebildet.
Für den ersten Summand ergibt sich:
%
\begin{equation}
\pp{}{t}\Big( \ff{1}{2} \rho_0 {u'}^2 \Big)
= \rho_0 u' \, \pp{u'}{t}
= - u' \, \pp{p'}{x}
\end{equation}
%
Für die Umformung wurde dabei die linearisierte Euler-Gleichung
ausgenutzt.
Analog ergibt sich für den zweiten Summanden
%
\begin{equation}
\pp{}{t}\Big( \ff{1}{2} \ff{c^2}{\rho_0} {\rho'}^2 \Big)
= \ff{c^2}{\rho_0} {\rho'}  \, \pp{\rho'}{t}
= - c^2 \rho' \, \pp{u'}{x}
\end{equation}
%
Diesmal wurde die linearisierte Kontinuitätsgleichung
zu Hilfe genommen.
Addition von (2) und (3) ergibt
%
\begin{equation}
\pp{\sdoso ea}{t} = - u' \, \pp{p'}{x} - p'\, \pp{u'}{x}
\end{equation}
%
Dies läßt sich in einer für Erhaltungsgleichungen typischen Form
darstellen
%
\begin{equation}
\pp{\sdoso ea}{t} + \pp{}{x} \big( p' u'\big) = 0
\end{equation}
%
Die zeitliche Änderung der mit (1) gegebenen akustischen Energie
ist mit der räumlichen Variation der Größe $p' \cdot u'$ verbunden.
Die Gleichung (5) hat die gleiche Erhaltungsform wie zum Beispiel
die Kontinuitätsgleichung (hier im Beispiel die ``Originalversion''
ohne Linearisierung).
In einer Dimension gilt
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{t} + \pp{}{x} (\rho u) = 0
\end{equation}
%
Die zeitliche Änderung der Dichte ist mit der räumlichen Ableitung
des Massenflusses $\rho \cdot u$ verknüpft.
Analog muß $p' \cdot u'$ dem Fluß der akustischen Energie entsprechen.
Zweckmäßigerweise wird mit
%
\begin{equation}
\sdoso Ia = p' u'
\end{equation}
%
die akustische Intensität eingeführt.
Damit wird (5) zu
%
\begin{equation}
\pp{\sdoso ea}{t} + \pp{\sdoso Ia}{x} = 0
\end{equation}
%
Die Größe $\sdoso Ia$ hat die Dimension
%
\begin{equation}
\ff{\hbox{Kraft}}{\hbox{Fläche}} \times
\ff{\hbox{Weg}}{\hbox{Zeit}} =
\ff{\hbox{Leistung}}{\hbox{Fläche}}
\end{equation}
%
Es handelt sich damit um eine Energieflußdichte.

In der Literatur wird sehr oft die Intensität
als zeitlicher Mittelwert
%
\begin{equation}
I = \overline{p' u'}
\end{equation}
%
definiert, da bei praktische Anwendungen häufig nur die gemittelten
Werte von Energie und Intensität von Interesse sind.
Hier wurde dagegen mit Gleichung (7) eine momentane Intensität $\sdoso Ia$
eingeführt, um der nach (1) vorgegebenen momentanen akustischen
Energie $\sdoso ea$ zu entsprechen.

Für die momentanen Größen lassen sich für den Fall reiner
Wellenausbreitung in einer Richtung einige interessante Eigenschaften
ableiten.
Angenommen es breiten sich nur Wellen in positive $x$-Richtung aus, dann 
gilt die Relation
%
\begin{equation}
u' = \ff{p'}{\rho_0 c} = \ff{c}{\rho_0} \, \rho'
\end{equation}
%
Damit folgt für die Anteile der akustischen Energie
%
\begin{equation}
\sdoso e{kin} = \ff{1}{2} \rho_0 {u'}^2 = \ff{1}{2} \,
\ff{c^2}{\rho_0} \, {\rho'}^2 = \sdoso e{pot}
\end{equation}
%
Das gleiche Resultat ergibt sich wenn reine Ausbreitung in
negativer $x$-Richtung vorliegt.
Das bedeutet, bei reiner Wellenausbreitung in einer Richtung ist
die potentielle und kinetische (spezifische, akustische) Energie
gleich groß und
%
\begin{equation}
\sdoso e{a} = 2 \, \sdoso e{kin} = 2 \, \sdoso e{pot}
\end{equation}
%
Eine solche Gleichverteilung ist typische für viele Schwingungsprozesse.

Für eine reine Welle in positiver $x$-Richtung ergibt sich für die
Intensität
%
\begin{equation}
\sdoso Ia = p' \, u' = \ff{c^3}{\rho_0} \, {\rho'}^2 = c \, \sdoso ea
\end{equation}
%
Damit läßt sich die Erhaltungsgleichung (8) als
%
\begin{equation}
\pp{\sdoso ea}{t} + c \, \pp{\sdoso ea}{x} = 0
\end{equation}
%
schreiben.
Anschaulich bedeutet dies, daß sich die spezifische akustische Energie
einfach mit Schallgeschwindigkeit -- also mit der Welle -- bewegt.

Eine Grundlegende Schwierigkeit bei der Definition der akustischen
Energie ist die Tatsache, daß
aus einer Theorie mit linearisierten Gleichungen
quadratische Größen wie Energie und Intensität 
berechnet werden sollen.
Die Energieerhaltung gilt im Prinzip nur für die Gesamtenergie.
Diese wird durch die nichtlinearen Gleichungen exakt beschrieben.
Die akustische Energie ist nur ein ausgewählter Anteil der Gesamtenergie.
Die linearisierten Gleichungen der Akustik beschreiben nicht notwendigerweise
die Energieerhaltung.
Das dennoch eine Erhaltungsgleichung in der Form (6) abgeleitet
werden kann
(aus den linearisierten Gleichungen in den Schritten (2) und (3)),
ist durch die geschickte Aufteilung der potentiellen Energie 
in einen akustischen Anteil,
der durch die Schallwelle bewirkt wird, und den restlichen Anteil
möglich.
Die Problematik wird in einem späteren Kapitel noch weiter vertieft,
wenn die akustische Energie in Strömungen betrachtet wird.
Dort sind die prinzipiellen Schwierigkeiten deutlich größer als in dem
einfachen Fall,
wenn das Medium in Ruhe ist und keine Strömung vorliegt.

\begin{flushleft}
{\bf 3.3) Stehende Welle und Resonanz}
\end{flushleft}

Im Abschnitt 3.1 wurde die Anregung von Wellen in einem
halbunendlichen Rohr betrachtet.
Die vom Kolben erzeugten Wellen breiten sich in dem unendlichen
Teil theoretisch immer weiter aus.
In der Realität wird natürlich das Rohr irgendwo einen Abschluß
haben müssen.
Dadurch wird sich auch die Wellenausbreitung in der Praxis anders sein.
Im Folgenden wird das Beispiel aus 3.1 erweitert und eine
feste, undurchlässige Wand als Abschluß angenommen.
Der Abstand zwischen Kolben und gegenüberliegender Wand sei mit $L$
bezeichnet.
Das Koordinatensystem wird so gewählt, daß die Wand bei $x=0$ liegt.
Der Kolben befindet sich dann bei $x=-L$.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.5,3.0) \thicklines
\put(0.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kolben2b.eps,width=6.5cm}}}
\put(0.9,0.1){\makebox(0,0)[cb]{$-L$}}
\put(5.85,0.1){\makebox(0,0)[cb]{$0$}}
\put(6.4,0.3){\makebox(0,0)[cb]{$x$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird vorausgesetzt, daß die Kolbenauslenkung klein gegenüber
den auftretenden Wellenlängen ist.
Damit kann die in Abschnitt 3.1 beschriebene einfache Version
der Randbedingung
%
\begin{equation}
u'(-L, t) = \sdoso uk (t)
\end{equation}
%
verwendet werden.
Die Kolbengeschwindigkeit $\sdoso uk (t)$ wird also in der mittleren
Kolbenposition $x=-L$ vorgegeben.
Weiter wird eine harmonischen Bewegung des Kolbens angenommen.
Die momentane Position des Kolbens ist durch den komplexen Ansatz
%
\begin{equation}
\sdoso xk(t) = -L + \Re \{ \varepsilon \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
gegeben.
Daraus folgt für die Geschwindigkeit des Kolbens
%
\begin{equation}
\sdoso uk(t) = \Re \{ i \omega \varepsilon \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
Die Randbedingung
an der gegenüberliegenden festen Wand läßt sich
einfach durch
%
\begin{equation}
u'(0, t) = 0
\end{equation}
%
ausdrücken.

Die Lösung setzt sich aus zwei Teilwellen -- in und entgegen der
positiven $x$-Richtung -- zusammen.
In Abschnitt 3.1 wurde gezeigt, daß durch
die harmonische Kolbenbewegung nach (18)
mit der vereinfachten Randbedingung (16) eine sinusförmige Welle
als Lösung entsteht.
Daher werden hier auch nur
sinusförmige bzw.\ harmonische Teilwellen betrachtet.
Für den Schalldruck wird entsprechend der komplexe Ansatz
%
\begin{equation}
p'(x,t) = \Re \big\{
A \, e^{i (\omega t - kx)} + B \, e^{i (\omega t + kx)} \big \}
\end{equation}
%
aufgestellt.
Die Größe $A$ ist die Amplitude der Teilwelle in positiver $x$-Richtung
und $B$ in Negativer.
$A$ und $B$ können auch komplex sein.

Da in der Druckverteilung (20)
die Teilwellen getrennt gegeben sind, kann
nach Abschnitt 2.2 in der ebenen Welle
die Schnelleverteilung direkt angegeben werden.
Die Schnelle- und Druckamplituden der Teilwellen
sind durch Multiplikation beziehungsweise Division
durch den Wellenwiderstand $\rho_0 c$ miteinander
verknüpft.
Es gilt
%
\begin{equation}
u'(x,t) = \Re \big\{
\ff{A}{\rho_0 c} \, e^{i (\omega t - kx)} -
\ff{B}{\rho_0 c} \, e^{i (\omega t + kx)} \big\}
\end{equation}
%
Mit Gleichung (20) und (21) ist die Lösung bis auf die beiden
unbekannten Amplituden $A$ und $B$ gegeben.
$A$ und $B$ werden durch die beiden Randbedingungen
(16) und (19)
eindeutig festgelegt.

Setzt man $x=0$ in Gleichung (21) ein, so ergibt sich mit (19)
die Relation
%
\begin{equation}
0 = u'(0, t) = \Re \big\{
\ff{1}{\rho_0 c} (A - B) \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Daraus folgt unmittelbar, daß
%
\begin{equation}
A = B
\end{equation}
%
sein muß.
Das heißt, die beiden Teilwellen müssen gleiche Amplituden besitzen,
um die Randbedingung an der Wand zu erfüllen.
Nur zwei gleichstarke Sinuswellen können
so überlagern, daß sich die beiden Schnelleanteil
an einer Stelle vollständig gegeneinander aufheben.
Für den Druck folgt aus (23)
%
\begin{equation}
p'(x, t) = \Re \big\{
A \big[  e^{-i k x} + e^{i k x} \big] \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Mit der Beziehung
%
\begin{equation}
\cos(z) =
\ff{e^{-i z} + e^{i z}}{2}
\end{equation}
%
kann dies zu
%
\begin{equation}
p'(x, t) = \Re \big\{
2 A \, \cos(kx) \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Die Verteilung der Druckamplitude besitzt danach räumlich eine Sinusform.
An den Stellen mit
%
\begin{equation}
kx = 0,\pm \pi,\pm 2\pi,\pm 3\pi,\ldots 
\end{equation}
%
ist $\cos(kx) = \pm 1$ und die Druckschwankungen sind maximal.
Dagegen ist an Stellen mit
%
\begin{equation}
kx = \pm \ff{1}{2} \pi,\pm \ff{3}{2}  \pi,\pm \ff{5}{2}  \pi,\ldots
\end{equation}
%
immer $p'=0$, da dort $\cos(kx) = 0$ gilt.
Eine ähnliche Verteilung ergibt sich für die Schnelle.
Mit (23) folgt aus (21)
%
\begin{equation}
u'(x, t) = \Re \big\{
\ff{A}{\rho_0 c}
\big[  e^{-i k x} - e^{i k x} \big] \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Unter Verwendung der Beziehung
%
\begin{equation}
\sin(z) =
\ff{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}
\end{equation}
%
wird dies zu
%
\begin{equation}
u'(x, t) = \Re \big\{
- i \ff{2A}{\rho_0 c}
\, \sin(kx) \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Wie die Druckamplitude besitzt auch die Schnelleamplitude
eine sinusförmige Verteilung mit Extrema und Nullstellen.
Die Form der Lösungen ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.5,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=swelle.eps,width=6.5cm}}}
\put(0.6,0.3){\makebox(0,0)[cb]{$-L$}}
\put(5.85,0.3){\makebox(0,0)[cb]{$0$}}
\put(3.4,0.45){\makebox(0,0)[cb]{$x$}}
\put(6.2,4.0){\makebox(0,0)[cc]{$p'$}}
\put(6.2,2.1){\makebox(0,0)[cc]{$u'$}}
\put(2.7,0.25){\vector(1,0){1.5}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Nullstellen in den Verteilungen werden Knoten genannt.
Dazwischen liegen die Bereiche extremer Amplituden, die als Bäuche
bezeichnet werden.
Die Knoten der Druckverteilung fallen mit den Bäuchen der
Schnelleverteilung zusammen und umgekehrt.
An der Wand bei $x=0$ liegt in jedem Fall ein Schnelleknoten und
ein Druckbauch.
Die Position des nächsten Knotens hängt entsprechend (27)
von der Wellenzahl $k$ und damit der Kreisfrequenz $\omega$ ab.
Der Abstand zwischen zwei Knoten entspricht der halben Wellenlänge.

Um die Amplitude der Lösung zu ermitteln, wird die Randbedingung
am Kolben betrachtet.
Gleichung (16) und (18) ergeben zusammen
%
\begin{equation}
u'(-L, t) = \Re \{ i \omega \varepsilon \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
Setzt man $x=-L$ in die Schnelleverteilung (31) ein folgt
%
\begin{equation}
\Re \big\{
- i \ff{2A}{\rho_0 c}
\, \sin(-kL) \, e^{i \omega t} \big\}
=
\Re \{ i \omega \varepsilon \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
Die Beziehung ist nur erfüllt, falls
%
\begin{equation}
- i \ff{2A}{\rho_0 c} \, \sin(- k L) = i \omega \varepsilon
\end{equation}
%
ist.
Gleichung (34) kann nach $A$ aufgelöst werden.
Man erhält für die Amplitude
%
\begin{equation}
A = \ff{\rho_0 \, c \, \omega \, \varepsilon}{2 \, \sin(kL)}
\end{equation}
%
Wie man es erwartet, ist
die Stärke der Schwankungen im Rohr proportional zur
Auslenkung des Kolbens $\varepsilon$.
Eine kompliziertere Abhängigkeit ergibt sich von der
Kreisfrequenz $\omega$.
Falls
%
\begin{equation}
k L = \ff{\omega}{c} \, L = n \pi, \quad n=1,2,\ldots 
\end{equation}
%
ist, wird $\sin(kL)=0$.
Dann ergibt sich eine unendliche große Schwankung im Rohr.
%
\begin{center}
\epsfig{file=rohr_resonanz.eps,width=7.5cm}
\end{center}
%
Die Abbildung zeigt die typische
Frequenzabhängigkeit der maximalen Schalldruckamplitude
nach Gleichung (35).
In dem Beispiel wurde
ein luftgefülltes Rohr (unter Normalbedingungen $p_0 = 1\,\hbox{bar}$ etc.)
mit der Länge $L = 1.7\,\hbox{m}$ und eine
Kolbenauslenkung von $\varepsilon = 1\,\hbox{mm}$ angenommen.
%

Bei den durch (36) bestimmten Frequenzen ergibt sich bei 
eine Resonanzkatastrophe mit unendlich großer Amplitude.
Für stärkere Schwankungen sind jedoch die Annahmen der linearen
Akustik verletzt, und die akustische Lösung beschreibt nicht mehr
die Realität.
In der Praxis stellt eine durch Dissipation und
nichtlineare Effekte begrenzte Amplitude ein.

Für ein festen Wert $L$ sind die Frequenzen, bei denen die
Resonanzfälle eintreten durch
%
\begin{equation}
\omega = \omega_n = n \ff{c \pi}{L}
\end{equation}
%
gegeben.

Betrachtet man die Lösung der Wellengleichung
für eines dieser $\omega_n$ und
legt die Amplitude künstlich auf einen endlichen Wert $A = A_0$
fest, ergibt sich
%
\begin{equation}
u_n'(x, t) = \Re \big\{
- i \ff{2A_0}{\rho_0 c}
\, \sin(\ff{\omega_n}{c} x) \, e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
%
Die so definierten $u_n'$ erfüllen natürlich nicht die
Randbedingung am Kolben, da die Amplitude nicht nach (35) bestimmt wurde.
Es gilt dagegen
%
\begin{equation}
u_n'(0,t) = 0 \quad \hbox{und} \quad
u_n'(-L,t) = 0
\end{equation}
%
Das bedeutet, daß die Lösungen $u_n'$ nach (38) die Randbedingung
einer zweiten festen Wand bei $x=-L$ statt dem Kolben erfüllt.
Die Lösung beschreibt eine sogenannte Eigenschwingung des Rohres, die
ohne Anregung existiert und unendlich lange fortbesteht.
In der Praxis würde eine solche Schwingung durch Verluste irgendwann
natürlich abklingen.
Rein theoretisch ist sogar die Überlagerung der Eigenschwingungen
%
\begin{equation}
u'(x,t) = \sum \limits_{n=1}^\infty \, u_n'(x,t) \, \alpha_n
\end{equation}
%
eine Lösung der Wellengleichung bei den Randbedingungen (39).
Die Faktoren $\alpha_n$ können dabei frei gewählt werden.

Für eine bestimmte Kreisfrequenz $\omega$ und Auslenkung $\varepsilon$
sei die Lösung mit $u'_{\omega,\varepsilon}$ bezeichnet.
Sie erfüllt die Randbedingung (32) am Kolben.
Damit erfüllt aber auch die Überlagerung
%
\begin{equation}
u'(x,t) = u'_{\omega,\varepsilon}(x,t) + \sum \limits_{n=1}^\infty \, u_n'(x,t) \, \alpha_n
\end{equation}
%
diese Bedingung.
Überlagert man der Lösung für den angeregten Fall mit Kolbenbewegung
eine Eigenschwingung, so erfüllt das Resultat auch die Randbedingung
am Kolben.
Das bedeutet, die Lösung für den angeregten Fall ist gar nicht
eindeutig.
Rein theoretisch könnten immer beliebige Eigenschwingungen
zusätzlich im Rohr überlagert sein.
In der Realität würden diese jedoch mit der Zeit abklingen, und das
beobachtete Wellenfeld entspricht der angeregte Lösung
$u'_{\omega,\varepsilon}(x,t)$ in reiner Form.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---