Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\documentclass[a4paper,12pt]{ltnews}

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{exscale}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{array}

\setlength{\hoffset}{-0.5in}
\setlength{\voffset}{-1in}

\setlength{\textwidth}{16.5cm}
\setlength{\textheight}{23.0cm}
\setlength{\topmargin}{1.0cm}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\zz}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
\newcommand{\bix}[1]{\fbox{\parbox[c]{8cm}{#1}}}
\newcommand{\doso}[2]{{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\hdoso}[2]{\widehat{#1}_{\scriptscriptstyle #2}}
\newcommand{\rhoo}{\rho_{\scriptscriptstyle 0}}
\newcommand{\sdoso}[2]{{#1}_{\hbox{\scriptsize #2}}}
\newcommand{\mittel}[1]{\big< #1 \big>}
\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 5.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 3) Ebene Wellen}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 3.1) Eindimensionale Schallwellen im Rohr}
\end{flushleft}

Die in Abschnitt 2.2 als einfache Lösung der Wellengleichung
vorgestellte ebene Welle gilt zunächst nur im
unendlich ausgedehnten freien Raum.
Sie ist damit jedoch nicht zur Beschreibung praktischer Fälle, bei denen
Oberflächen und Wände das Ausbreitungsgebiet begrenzen,
ungeeignet.
Es zeigt sich, daß die ebene Welle die Randbedingungen für
den Fall eines Rohres mit festen, undurchlässigen Wänden erfüllt und
damit auch eine Lösung im Rohr darstellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(5.5,2.2) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=rohr01.eps,width=5.5cm}}}
\put(4.0,1.2){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird angenommen, 
daß die Rohrachse in $x_1$-Richtung zeigt.
An der Rohrwand muß die Normalkomponente der
Schnelle verschwinden.
Die Fluidteilchen dürfen sich nicht in oder aus
der festen Oberfläche bewegen.
Es gilt die Randbedingung
%
\begin{equation}
v_2 = v_3 = 0
\end{equation}
%
In eine Ebenen Welle in $x_1$-Richtung ist
der Druck in der Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = f(x_1 - c t)
\end{equation}
%
gegeben.
Für die Schnelle ergibt sich bei dieser Lösung
nur eine $v_1$-Komponente, und Beziehung (1) ist überall
und damit natürlich auch an der Rohrwand erfüllt.

Neben der ebenen Welle existieren noch andere Lösungen,
die die Randbedingung (1) erfüllen, aber
im Rohrinneren $v_2$ und $v_3$ Komponenten besitzen.
Diese Lösungen werden in einem späteren Kapitel besprochen.
Hier soll zunächst nur der eindimensionale Fall betrachtet
werden, in dem alle Größen nur von $x_1$ abhängen und
nur eine $v_1$-Komponente auftritt.
Um die Darstellung zu vereinfachen, wird im Folgenden
%
\begin{equation}
\begin{array}{c@{\quad \hbox{als} \quad}c}
x_1 & x\\
v_1' & u'
\end{array}
\end{equation}
%
geschrieben.

Breitet sich eine Welle in $x$-Richtung aus, so ist
der Druck und die Schnelle mit der neuen Schreibweise
in der Form
\begin{align}
p'(x,t) &= f(x - c t)\\
u'(x,t) &= \ff{1}{\rho_0 c} \, f(x - ct)
\end{align}
darstellbar.
Die Ausbreitung der Welle kann man sich in der $x,t$-Ebene veranschaulichen.
Die Größen $p'$ und $u'$ sind entlang der Geraden, die durch
$x - ct = const$ gegeben sind, konstant.
Dies verdeutlicht die pseudo-dreidimensionalen Darstellung von
$u'$ über der $x,t$-Ebene für ein Beispielwelle
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{6.4mm}%
\begin{picture}(12.5,8.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=pulse-lauf-02.eps,width=8.0cm}}}
\put(3.75,6.0){\makebox(0,0)[ct]{$t$}}
\put(8.8,1.0){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\put(1.25,6.8){\makebox(0,0)[cc]{$u'$}}
\put(0.25,2.0){\makebox(0,0)[cc]{0}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Geraden $x - ct = const$ verlaufen schräg in der $x,t$-Ebene.

Die Lösung (4) und (5) beschreibt eine Welle in einen nach beiden
Seiten unendlich ausgedehnten Rohr.
Die Frage bleibt, wie eine derartige Welle in einem Rohr
entstehen kann.
Eine Möglichkeit ist -- wie in der Abbildung dargestellt --
ein Kolben mit fester und undurchlässiger Oberfläche,
der das Rohr nach einer Seite
hin abschließt.
Wird der Kolben bewegt, so muß das Fluid an der Kolbenoberfläche
der Auslenkung folgen.
Bezeichnet man die
Position des Kolbens mit $\sdoso xk$ und seine Geschwindigkeit
mit $\sdoso uk$, so ist die Randbedingung am Kolben durch
%
\begin{equation}
u'\big(\sdoso xk(t),t\big) = \sdoso uk(t)
\end{equation}
%
gegeben.
Das heißt, die Schnelle $u'$ am Ort des Kolbens stimmt mit
der Kolbengeschwindigkeit überein.
Dadurch ist die Lösung in dem Rohr festgelegt.

Dies soll an einem Beispiel mit harmonisch bewegtem Kolben
verdeutlicht werden.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird angenommen, die
mittlere Kolbenposition liegt bei $x=0$.
Der Ort des Kolbens wird durch
%
\begin{equation}
\sdoso xk(t) = \varepsilon \,\sin (\omega t)
\end{equation}
%
gegeben.
Daraus folgt für die Kolbengeschwindigkeit
%
\begin{equation}
\sdoso uk(t) = \varepsilon \,\omega \,\cos (\omega t)
\end{equation}
%
Für die Schnelle zur Zeit $\sdoso tb$
am Ort $\sdoso xb$ gilt
%
\begin{equation}
u'(\sdoso xb, \sdoso tb) = \varepsilon  \, \omega \, \cos (\omega \tau)
\end{equation}
%
Dabei ist $\tau$ eine retardierte Zeit für die
%
\begin{equation}
(\sdoso tb - \tau) \, c = 
\sdoso xb -
\underbrace{\varepsilon  \,\sin(\omega \tau)}_{\sdoso xk(\tau)}
\end{equation}
%
gelten muß.
$\tau$ ist sozusagen die Ursprungszeit der Störung, die zur
Zeit $t=\sdoso tb$
am Ort $x=\sdoso xb$ angekommen ist.
Die retardierte Zeit kann man sich in der $x,t$-Ebene veranschaulichen:
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,8.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=xtebene0.eps,width=7.5cm}}}
\put(3.0,3.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(3.75,3.75){\makebox(0,0)[cc]{$\frac{1}{c}$}}
\put(0.5,7.4){\makebox(0,0)[cc]{$t$}}
\put(0.5,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$\tau$}}
\put(1.5,6.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso xk(t)$}}
\put(0.4,6.8){\makebox(0,0)[cc]{$\sdoso tb$}}
\put(5.3,0.4){\makebox(0,0)[cc]{$\sdoso xb$}}
\put(7.3,0.45){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\put(6.9,7.65){\makebox(0,0)[cc]{\small $x - ct = \sdoso {\xi}b$}}
\put(0.55,1.0){\makebox(0,0)[cc]{0}}
\end{picture}
\end{center}
%
Durch die Gleichung
\begin{equation}
x - ct  
= \sdoso xb - c \, \sdoso tb
\equiv \sdoso {\xi}b 
\end{equation}
%
wird eine Gerade in der $x,t$-Ebene festgelegt, die
durch den Punkt $(\sdoso xb, \sdoso tb)$ läuft.
Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Kurve $\sdoso xk(t)$
liegt bei der durch Gleichung (10) festgelegten retardierten Zeit $\tau$.

Die Lösung für $u'$ und damit auch für $p'$ ist mit Gleichung (9) und
(10) nur implizit gegeben, da sich
Gleichung (10) nicht nach $\tau$ auflösen läßt.
Um $u'$ in einer geschlossenen Form angeben zu können wird die
Randbedingung (6) vereinfacht.
Die Geschwindigkeit des Kolbens wird nicht an der aktuellen Position
des Kolbens vorgegeben, sondern an seiner mittleren Position $x=0$.
Es gilt statt (6) die Randbedingung
%
\begin{equation}
u'(0,t) = \sdoso uk(t)
\end{equation}
%
Für die retardierte Zeit gilt nun
%
\begin{equation}
(\sdoso tb - \tau) \, c = \sdoso xb
\end{equation}
%
Anschaulich bedeutet dies, daß man den Schnittpunkt der Geraden
$x - c\,t = \sdoso {\xi}b$ mit der $t$-Achse statt mit der Kurve
$\sdoso xk(t)$ nimmt, um $\tau$ und damit $u'$ zu bestimmen.
Im Gegensatz zu (10) kann (13) nach $\tau$ aufgelöst werden:
%
\begin{equation}
\tau = \sdoso tb - \ff{1}{c} \sdoso xb
\end{equation}
%
Einsetzen in (9) ergibt
%
\begin{equation}
u'(\sdoso xb, \sdoso tb) = \varepsilon  \, \omega \,
\cos (\omega \sdoso tb - k \sdoso xb)
\end{equation}
%
Dies ist die typische Formulierung für eine sinusförmige Welle.
Sie ergibt sich allerdings nur, wenn die vereinfachte Randbedingung (12)
verwendet wird.
Mit der exakten Randbedingung (6) ergibt sich aus der sinusförmigen
Kolbenbewegung keine sinusförmige Welle, sondern eine verzerrte Welle.
Die Formen der Lösungen sind in der folgenden Abbildung gegenübergestellt.
Die durchgezogene Linie ist eine Lösung, die für ein willkürlich
ausgewähltes $\varepsilon$
aus der exakten Randbedingung folgt.
Die gestrichelte Kurve zeigt die exakte Sinuswelle, die sich
aus der vereinfachten Randbedingung ergibt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.75) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=k1.eps,width=7.5cm}}}
\end{picture}
\end{center}
%
Im Folgenden wird die aus Gleichung (10) bestimmte retardierte Zeit
mit $\sdoso \tau{exakt}$ bezeichnet.
Nach (10) gilt
%
\begin{equation}
\sdoso \tau{exakt} = \sdoso tb - \ff{1}{c} \sdoso xb -
\ff{\varepsilon}{c}\, \sin(\omega \sdoso \tau{exakt})
\end{equation}
%
Entsprechend wird die aus Gleichung (14) bestimmte retardierte Zeit mit
$\sdoso \tau{approx}$ bezeichnet.
Für die Differenz der beiden Werte ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{split}
\Delta \tau &= \sdoso \tau{exakt} - \sdoso \tau{approx}\\
&= - \ff{\varepsilon}{c}\, \sin(\omega \sdoso \tau{exakt})
\end{split}
\end{equation}
%
Dies läßt sich mit
%
\begin{equation}
\big| \Delta \tau \big| \le \ff{\varepsilon}{c}
\end{equation}
%
abschätzen.
Bei einer Variation von $\tau$ bleibt der Unterschied
in $u'$ gemäß (9) klein, falls
die Bedingung
%
\begin{equation}
\omega \big| \Delta \tau \big| \ll 2 \pi
\end{equation}
%
erfüllt ist.
Das bedeutet, die Änderung des Cosinuses von $\omega \tau$ durch
die Verschiebung um $\Delta \tau$ 
ist vernachlässigbar falls (19) erfüllt ist.
Hinreichende Bedingung dafür ist nach der Ungleichung (18)
%
\begin{equation}
\omega \, \ff{\varepsilon}{c} \ll 2 \pi
\end{equation}
%
Die ist äquivalent zu
%
\begin{equation}
k \varepsilon = \ff{2 \pi}{\lambda} \ll 2 \pi
\end{equation}
%
oder einfach
%
\begin{equation}
\varepsilon \ll \lambda
\end{equation}
%
Die Vereinfachung der Randbedingung ist demnach erlaubt, 
falls die maximale Auslenkung des Kolbens klein gegenüber der
Wellenlänge ist.
In diesem Fall ergibt eine sinusförmige Kolbenbewegung auch
eine sinusförmige Welle.
Bei größeren Auslenkungen tritt eine Verzerrung auf, wie sie
in der Abbildung zu sehen ist.
Wenn sich der Kolben nicht rein sinusförmig bewegt,
sind die harmonischen Anteile mit den höchsten Frequenzen --
und den zugehörigen kleinsten Wellenlängen -- entscheidend.
Die Auslenkung muß klein gegenüber diesen Wellenlängen sein,
damit die vereinfachte Randbedingung eine brauchbare Approximation
darstellt.

\begin{flushleft}
{\bf 3.2) Energie in ebenen Wellen}
\end{flushleft}

Bei der Anregung der Schallwellen durch einen Kolben wird
Arbeit an dem Fluid geleistet.
Das bedeutet, durch die Schallwelle wird Energie vom Kolben
in das Fluid transferiert.
Im Folgenden soll die Verteilung der Energie in Schallwellen
analysiert werden.
Dazu wird ein Fluidelement mit dem Volumen $V$ und der Masse $M$ betrachtet.
Es wird angenommen, das Medium sei in Ruhe und alle Bewegungen
entstehen nur durch die Schallwelle.
Dann besitzt das betrachtete Fluidelement bei einer Bewegung mit
der Geschwindigkeit $U$ die kinetische Energie
%
\begin{equation}
\sdoso E{kin} = \ff{1}{2} \, M U^2
\end{equation}
%
Für die spezifische kinetische Energie (pro Volumen)
gilt entsprechend
%
\begin{equation}
\sdoso e{kin} = \ff{1}{2} \, \rho_0 {u'}^2
\end{equation}
%
Durch die Schallwelle ergibt sich auch eine Änderung der
inneren Energie $\sdoso E{innere}$ in dem Fluidelement.
Es gilt nach den Regeln der Thermodynamik
%
\begin{equation}
d \sdoso E{innere} = T \, dS - p\, dV
\end{equation}
%
In der Schallwelle spielt Wärmeleitung keine Rolle und
alle Vorgänge können isentrop $dS = 0$ betrachtet werden.
Das bedeutet, die innere Energie ist durch ein Integral
der Form
%
\begin{equation}
- \int p \,dV
\end{equation}
%
gegeben.
Allerdings ist darin auch die im Ruhezustand des Mediums vorhandene
innere Energie enthalten.
Für die akustische Betrachtung ist jedoch nur die Änderung der inneren Energie
interessant, die durch die Welle in dem Fluidelement bewirkt wird.

Die inneren Energie in dem Fluidelement läßt sich mit der potentiellen
Energie in einer Feder vergleichen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=feder3.eps,width=3.5cm}}}
\put(3.8,2.4){\makebox(0,0)[cc]{$s'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Das große Gewicht ergibt eine Vorspannung, die der
Kompression des Fluidelementes durch den Ruhedruck $p_0$ entspricht.
Durch die Schallwelle wird das Fluidelement etwas weiter komprimiert
oder expandiert.
Dem entspricht bei der Feder eine kleine Störung durch ein
winziges Zusatzgewicht -- wie in der Skizze -- oder etwa einen
leichten Daumendruck auf das Gewicht.
Durch die Störung wird eine Zusätzliche Kraft $F'$ ausgeübt, die
eine kleine Auslenkung $s'$ von der Ruheposition bewirkt.
Dabei wird von der Störung -- dem Daumendruck -- die Arbeit
$F' \cdot s'$ geleistet.

Analog wird hier für die potentielle Energie, die durch die
Störung an dem Fluidelement geleistet wird, nur der Anteil durch
die Druckstörung $p'$ (entsprechend zu $F'$ bei der Feder) berücksichtigt.
Im Weiteren wird dieser Anteil der inneren Energie im Fluidelement
auch als potentielle Energie bezeichnet.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso E{pot} = 
- \int \limits_{V_0}^{V_0 + V'} p' \,dV
\end{equation}
%
Dabei ist $V_0$ das Volumen des Fluidelementes im Ruhezustand ($p = p_0$), und
$V'$ ist die Änderung des Volumens, der $s'$ bei der Feder entspricht.
Die Masse im Fluidelement ist konstant.
Es gilt
%
\begin{equation}
M = \rho V
\end{equation}
%
Daraus folgt für die Differentiale
%
\begin{equation}
dV = - \ff{V_0}{\rho_0} \, d \rho
\end{equation}
%
Für das in (27) auftretende Integral folgt damit
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.75}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{$\,$}l}
- \int p' \,dV &= \ff{V_0 c^2}{\rho_0} \int \rho' \, d \rho'\\
&= \ff{V_0 c^2}{2 \rho_0} \, {\rho'}^2
\end{array}
\end{equation}
%
Die spezifische potentielle Energie ergibt sich
nach Division durch $V_0$ mit
%
\begin{equation}
\sdoso e{pot} = \ff{1}{2}\, \ff{c^2}{\rho_0} \, {\rho'}^2
\end{equation}
%
Damit
läßt sich die spezifische akustische Energie
mit $\sdoso ea = \sdoso e{kin} + \sdoso e{pot}$
zusammenfassen.
Man erhält schließlich
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.75}
\begin{equation}
\sdoso ea
= \ff{1}{2}\, \rho {u'}^2 + \ff{1}{2}\, \ff{c^2}{\rho_0} \, {\rho'}^2
\end{equation}
%


\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---