Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\newcommand{\pp}[2]{\displaystyle\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\renewcommand{\Re}{\mathfrak{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
\newcommand{\sx}{\scriptsize}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 1.\ November 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 2.2) Einfache Lösungen}
\end{flushleft}

{\it Dichte- und Schnelleverteilung}

Aus einer gegebenen Druckverteilung $p'(\vec{x},t)$
läßt sich die Dichteverteilung berechnen, indem
durch $c^2$ dividiert wird:
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\rho'(\vec{x},t)
=
\ff{p'(\vec{x},t)}{c^2}
\end{equation}
%
Für die betrachtete ebenen Welle der Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
f(x_1 - ct) + g(x_1 + ct)
\end{equation}
%
ergibt sich
%
\begin{equation}
\rho'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{c^2}
\Big[
f(x_1 - ct) + g(x_1 + ct)
\Big]
\end{equation}
%
Komplizierter ist die Berechnung
der Schnelle $\vec{v}\,'$.
In der ebenen Welle nach (2) ist nur die $v_1$-Komponente
von Null verschieden.
Sie ist durch die linearisierte Kontinuitätsgleichung mit der
Dichteverteilung verknüpft:
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\hbox{div}\,\vec{v}\,'
=
\pp{v_1'}{x_1}
=
-\ff{1}{\rho_0} \pp{\rho'}{t}
\end{equation}
%
Für die zeitliche Ableitung der Dichteverteilung (3) gilt
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t}
= \ff{1}{c^2}
\Big[
f'(x_1 - ct)\,(-c) + g'(x_1 + ct)\,c
\Big]
\end{equation}
%
Daraus ergibt sich für die räumliche Ableitung der Schnelle
%
\begin{equation}
\pp{v_1'}{x_1}
= \ff{1}{\rho_0 c}
\Big[
f'(x_1 - ct) + g'(x_1 + ct)
\Big]
\end{equation}
%
Die Integration dieser Gleichung über $x_1$ ergibt schließlich
die gesuchte Verteilung
%
\begin{equation}
v_1'(\vec{x},t)
=
\ff{1}{\rho_0 c}
\Big[
f(x_1 - ct) - g(x_1 + ct)
\Big]
\end{equation}
%
Dabei ist eine mögliche Integrationskonstante gleich Null
gesetzt worden, da ohne Schall bei $f=g=0$ auch
$\vec{v}\,'=0$ sein muß.

\goodbreak
{\it Wellenwiderstand}

Im Spezialfall, in dem sich nur eine Welle in $x_1$-Richtung
ausbreitet und $g=0$ ist, erhält man aus (7) die Beziehung
%
\begin{equation}
v_1'
=
\ff{1}{\rho_0 c} \,
p'
\end{equation}
%
Analog ergibt sich für reine Wellenausbreitung
entgegen der $x_1$-Richtung
%
\begin{equation}
v_1'
=
-\ff{1}{\rho_0 c} \,
p'
\end{equation}
%
Das bedeutet, wenn nur Wellen in einer Richtung laufen, kann die
Schnelleverteilung direkt aus einer gegebenen Druckverteilung
nach Gleichung (8) oder (9) ausgerechnet werden.
Laufen jedoch Wellen in beide Richtungen, muß die Druckverteilung
zuerst in die in verschiedene Richtungen laufenden Anteile zerlegt
werden.
Das heißt, die Druckverteilung muß in der Form der Gleichung (2)
vorliegen.
Erst dann kann daraus nach (7) die Schnelle berechnet werden.

Der Faktor $\rho_0 c$ zwischen Druck und Schnelle wird
akustische Impedanz oder auch Wellenwiderstand genannt.
Der Wert ist kein reeller Widerstand, der mit Dissipation verbunden ist.
Der Wellenwiderstand repräsentiert vielmehr den Widerstand den
die Fluidelemente der oszillatorischen Bewegung in einer Welle
entgegen bringen.
Bei einem höherem Wellenwiderstand ist eine entsprechend höhere
Druckamplitude notwendig, um in einer Welle die gleiche
Schnelle und Teilchenauslenkung zu erreichen.

Die akustische Impedanz ist analog zum Span\-nungs-Strom-Verhältnis
in der Elektrotechnik zu sehen.
Dort wird der Wellenwiderstand von Leitungen in der Einheit Ohm
angegeben.

\vspace{0.5cm}

{\it Harmonische Welle}

In einer harmonischen Welle besitzen die Größen
eine sinusförmige Verteilung in Raum und Zeit.
Eine harmonischen Welle, die sich in $x_1$-Richtung ausbreitet,
ist zum Beispiel gegeben mit
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
A \, \cos \big[ \omega \big( t - \ff{x_1}{c}\big) \big]
\end{equation}
%
Wenn man das Argument der Funktion $f$ aus Gleichung (2) mit
%
\begin{equation}
\xi = x_1 - ct
\end{equation}
%
abkürzt, ist in dem gegebenen Beispiel die Funktion $f$ als
%
\begin{equation}
f(\xi) = A \, \cos \big( -\ff{\omega}{c} \, \xi \big)
\end{equation}
%
vorgegeben.
Damit stellt (10)
ein Spezialfall der Druckverteilung (2)
mit $g=0$ und $f$ nach (12) dar.
Im Allgemeinen wird, um eine kompaktere Darstellung
zu erhalten die Wellenzahl
%
\begin{equation}
k = \ff{\omega}{c} = \ff{2 \pi}{\lambda}
\end{equation}
%
eingeführt.
Sie entspricht dem Verhältnis aus Kreisfrequenz $\omega$
und Schallgeschwindigkeit $c$, welches gerade umgekehrt proportional
zur Wellenlänge $\lambda$ ist.
Die Wellenlänge ist der räumliche Abstand der Maxima in der Welle.
Damit läßt sich die Druckverteilung (10) in der Form
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
=
A \, \cos \big( \omega t - k x_1 \big)
\end{equation}
%
schreiben.
Äquivalent dazu ist die komplexe Darstellung
der Welle mit
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t)
= \Re
\Big\{
A \, e^{i(\omega t - k x_1)}
\Big\}
\end{equation}
%
Diese Form hat bei vielen Umformungen
deutliche Vorteile gegenüber der reellen Schreibweisen.

\begin{flushleft}
{\bf 2.3) Die Schallgeschwindigkeit}
\end{flushleft}

{\it Schallgeschwindigkeit in Luft}

In einem idealem Gas kann eine theoretische Druck-Dichte-Beziehung
$p(\rho)$ zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit
abgeleitet werden.
Dies wurde bereits im 17.\ Jahrhundert von Newton versucht.
Er betrachtete die Zustandsänderungen in den Schallwellen
fälschlicherweise isotherm und nahm eine Druck-Dichte-Beziehung der
Form
%
\begin{equation}
\ff{p}{\rho} = F(T)
\quad 
\Leftrightarrow
\quad
p = \rho \, F(T)
\end{equation}
%
an.
Dabei ist $F(T)$ eine Funktion der Temperatur $T$.
Dies ergibt für das Quadrat der Schallgeschwindigkeit
%
\begin{equation}
c^2 = \ff{d p}{d \rho}\Big|_0 = \ff{p_0}{\rho_0} = F(T_0)
\end{equation}
%
Für Luft unter Normalbedingungen bei $T_0 = 293^\circ\,\hbox{K}$ (Grad Kelvin)
erhält man damit $c \approx 290\,\hbox{m/s}$.
Dieses Ergebnis weicht deutlich von dem gemessenen Wert ab.
Eine verbesserte Berechnung der
Schallgeschwindigkeit wurde 1816 von Laplace gegeben.
Er erkannte, daß die Schwankungen in den Schallwellen relativ schnell
ablaufen und durch eine isentrope (adiabatische) Zustandänderung
besser beschrieben werden.
Das bedeutet, der Temperaturausgleich durch 
die Wärmeleitung in der Luft ist vernachlässigbar.
Es gilt die Beziehung
%
\begin{equation}
\ff{p}{p_0} =
\left(
\ff{\rho}{\rho_0}
\right)^{\gamma}
\quad 
\Leftrightarrow
\quad
p = \ff{p_0}{\rho_0^{\gamma}} \, \rho^{\gamma}
\end{equation}
%
wobei die Größe $\gamma$ den Adiabatenexponent
bezeichnet.
Dieser Exponent ist durch das Verhältnis der spezifischen Wärmen
$c_p$ und $c_v$ gegeben: $\gamma = c_p/c_v$
Der Wert für Luft beträgt $\gamma = 1.4$.
Um die Schallgeschwindigkeit zu berechnen, wird die Ableitung
%
\begin{equation}
\ff{d p}{d \rho}
=
\gamma \, \ff{p_0}{\rho_0^{\gamma}} \, \rho^{\gamma-1}
=
\gamma \, \ff{p}{\rho}
\end{equation}
%
benötigt.
Damit folgt
%
\begin{equation}
c^2 = \ff{d p}{d \rho}\Big|_0 = \gamma \, \ff{p_0}{\rho_0}
\end{equation}
%
Für ein thermisch ideales Gas gilt
%
\begin{equation}
\ff{p}{\rho} = R \, T
\end{equation}
%
mit der spezifischen Gaskonstante $R$.
Damit ergibt sich schließlich
%
\begin{equation}
c^2 = \gamma \, R \,T_0
\end{equation}
%
Für Luft unter Normalbedingungen
erhält man mit dieser Formel für die Schallgeschwindigkeit
den Wert $c = 343\,\hbox{m/s}$.
Dies stimmt sehr gut mit den experimentellen Beobachtungen
über\-ein.
Aus Gleichung (22) ist zusätzlich ersichtlich, das die Schallgeschwindigkeit
in einem Gas proportional zur Wurzel der Temperatur ist.

\goodbreak

{\it Schallgeschwindigkeit in Wasser}

Die theoretische Berechnung der Schallgeschwindigkeit in
Wasser ist im Vergleich zum idealen Gas ungleich komplizierter.
In Flüssigkeiten ist man in erster Linie auf eine experimentelle
Bestimmung der Schallgeschwindigkeit angewiesen.
Man verwendet häufig den Ansatz
%
\begin{equation}
c^2 = \ff{K}{\rho_0}
\end{equation}
%
Dabei ist $K$ das (adiabatische) Kompressionsmodul des Wassers.
Allerdings ist es relativ schwierig, $K$ direkt zu messen.
Wie komplex die Vorgänge im Wasser sind wird deutlich, wenn
man die Parameter betrachtet, von denen die Schallgeschwindigkeit
abhängt.
Dies die Temperatur, der Druck, der Salzgehalt und
die Menge an gelösten Gasen.
Dagegen steht bei idealen Gasen mit der Temperatur nur ein Parameter.

\begin{flushleft}
{\bf 2.4) Einfluß der Schwerkraft}
\end{flushleft}

In schweren Flüssigkeiten wie Wasser ist die Druckzunahme mit der
Tiefe so groß, das eine Aufspaltung des Drucks in einen
Gleichanteil, der
räumlich und zeitlich konstant ist,
und einen Schwankungsanteil einen relativ großen Fehler ergibt.
So nimmt der Druck in Wasser
mit jedem Meter Tiefe um $100\,\hbox{mbar}$ zu.
Sinnvollerweise wird ein ortsabhängiger Gleichanteil eingeführt,
und die Aufspaltung ist damit durch
%
\begin{equation}
p(\vec{x}, t) = p_0(\vec{x}) + p'(\vec{x}, t)
\end{equation}
%
gegeben.
Die Gleichanteile müssen die hydrostatische Beziehung
%
\begin{equation}
\hbox{grad} \, p_0 = \rho_0 \, \vec{g}
\end{equation}
%
erfüllen.
Der Vektor $\vec{g}$ ist die Schwerebeschleunigung.
Die Dichte $\rho_0$ wird dabei als räumlich konstant angenommen.
Dies ist erlaubt, da die Kompressibilität des Wassers relativ gering ist
und sich die Dichte mit der Tiefe nur unwesentlich ändert.

In Abschnitt 2.1 wurde
bei der Herleitung der Wellengleichung
die Schwerkraft vernachlässigt.
Es wurde von der Euler-Gleichung ohne Volumenkräfte ausgegengen.
Um die hydrostatische Druckzunahme mit der Tiefe zu erfassen muß nun
von der Euler-Gleichung mit Schwerkraftterm
%
\begin{equation}
\rho \, \ff{D \vec{v}}{D t} = - \hbox{grad} \, p + \rho \, \vec{g}
\end{equation}
%
ausgegangen werden.
Im weiteren wird analog zu Abschnitt 2.1 vorgegangen.
Einsetzen der Aufspaltungen ergibt
%
\begin{equation}
(\rho_0 + \rho') \, \ff{D \vec{v}\,'}{D t} =
- \hbox{grad} \, (p_0 + p') + (\rho_0 + \rho') \, \vec{g}
\end{equation}
%
Unter
Berücksichtigung der Gleichung (25)
folgt nach dem Weglassen der Terme höherer Ordnung
die linearisierte Euler-Gleichung bei Schwerkraft
%
\begin{equation}
\rho_0 \pp{\vec{v}\,'}{t} = - \hbox{grad} \, p' + \rho' \, \vec{g}
\end{equation}
%
Im Vergleich zum Resultat aus Abschnitt 2.1
ergibt sich ein zusätzlicher Term $\rho' \, \vec{g}$
auf der rechten Seite.

Die lineariserte
Kontinuitätsgleichung gilt weiterhin in der bisherigen Form
auch bei Schwerkraft.
Würde man aus Gleichung (28) zusammen mit der Kontinuitätsgleichung
eine Wellengleichung ableiten, so würde man in dieser neuen
Wellengleichung ebenfalls zusätzliche Terme erhalten.
Die Wellengleichung wäre komplexer, und
die bisher betrachteten Lösungen wären nicht mehr gültig.

Durch eine Abschätzung kann gezeigt werden, das der
$\rho' \, \vec{g}$-Term, obwohl er von erster Ordnung ist,
gegenüber den anderen Termen in (28) vernachlässigt werden kann.
Dazu wird eine ebene Welle betrachtet, die sich ohne Beschränkung
der Allgemeinheit in $x_1$-Richtung ausbreitet.
Der Druck ist durch
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) = A \, \cos \big( \omega t - k x_1 \big)
\end{equation}
%
gegeben.
Für den in Gleichung (28) auftretenden Gradienten gilt
in diesem Fall
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{equation}
\hbox{grad} \, p' =
\left(
\begin{array}{c}
\partial p'/ \partial x_1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\end{equation}
%
Um den Gradienten Abzuschätzen wird die Ableitung
von (29) nach $x_1$ gebildet:
%
\begin{equation}
\pp{p'}{x_1}
= A \, k \, \sin \big( \omega t - k x_1 \big)
\end{equation}
%
Damit folgt für den maximalen Wert in der Welle
%
\begin{equation}
\big|
\hbox{grad} \, p'
\big|_{\hbox{\sx max}}
=
A \, k
=
A \, \ff{\omega}{c}
=
A \ff{2 \pi}{\lambda}
\end{equation}
%
Eine entsprechende Berechnung wird für den
Schwerkraftterm durchgeführt.
Hier ergibt sich in der vorgegebenen Welle
%
\begin{equation}
\big|
\rho' \, \vec{g}
\big|_{\hbox{\sx max}}
=
\big|
\ff{p'}{c^2} \, \vec{g}
\big|_{\hbox{\sx max}}
=
\ff{A}{c^2}\, g
\end{equation}
%
mit $g = |\vec{g}|$.
Das Verhältnis der Maxima ist erwartungsgemäß unabhängig von der
Amplitude $A$.
Es wird durch die Wellenlänge, die Schallgeschwindigkeit und
die Erdbeschleunigung bestimmt:
%
\begin{equation}
\ff{\big| \rho' \, \vec{g} \big|_{\hbox{\sx max}}}
{\big| \hbox{grad} \, p' \big|_{\hbox{\sx max}}}
=
\ff{\lambda g}{2 \pi c^2}
\end{equation}
%
Für Wasser mit $c = 1450\,\hbox{m/s}$ ergibt sich bei $1\,\hbox{m}$
Wellenlänge ein Verhältnis von
%
\begin{equation}
\ff{\lambda g}{2 \pi c^2}
\approx
10^{-6}
\end{equation}
%
Damit wird klar, daß der Schwerkraftterm in diesem Fall,
ohne einen großen Fehler zu erhalten, vernachlässigt werden kann.
Sowohl für Wasser als auch für Luft mit $c=340\,\hbox{m/s}$
ist der Schwerkraftterm erst für sehr große Wellenlängen -- weit
außerhalb des hörbaren Bereichs -- von Bedeutung.
In diesem Fall ändert sich die Wellenausbreitung
und es ergeben sich Gravitationswellen.
Für alle Berechnungen von Schall in Luft oder Wasser
in technischen Anwendungen kann die Wellengleichung
unter Vernachlässigung der Schwerkraft angenommen werden.
Im Wasser muß lediglich bedacht werden, das der Gleichanteil
des Drucks $p_0$ ortsabhängig ist. 
Dies bedeutet jedoch für die meisten praktischen Berechnungen
keinen Unterschied zum bisherigen Fall.
Die in Abschnitt 2.2 angegebenen Lösungen gelten weiterhin.
\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---