Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 29.\ Oktober 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 2.) Die Wellengleichung der linearen Akustik}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 2.1) Herleitung der Wellengleichung}
\end{flushleft}

Es wird von drei nichtlinearen Gleichungen ausgegangen:
\begin{itemize}
\item[a)]%
Kontinuitätsgleichung
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{t} + \hbox{div} (\rho \vec{v}) = 0
\end{equation}
%
\item[b)]%
Euler-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho \ff{D \vec{v}}{D t} = - \hbox{grad} \, p
\end{equation}
%
\item[c)]%
Druck-Dichte-Beziehung
%
\begin{equation}
p = p(\rho)
\end{equation}
%
\end{itemize}
Die Euler-Gleichung (2) gilt für ein reibungsfreies Fluid ohne
Volumenkräfte.
Das bedeutet, daß hier die Reibungs- und Volumenkräfte vernachlässigt werden.
Die konkrete Form der Druck-Dichte-Beziehung (3) ist zunächst nicht
von Bedeutung.
Sie hängt davon ab, ob es sich bei dem Fluid um ein Gas oder eine
Flüssigkeit handelt.
Lediglich die Existenz der Beziehung mit der angegebenen Abhängigkeit ist
bei der Herleitung der Wellengleichung vorauszusetzen.
Der Druck darf nicht von weiteren Größen, wie zum Beispiel der
Geschwindigkeit oder Geschwindigkeitsgradienten, abhängen.
Er ist lediglich Funktion der momentanen Dichte. 
Damit sind auch Fälle, in denen mit Relaxation behaftete Prozesse
-- wie zum Beispiel Kondensation -- das Verhältnis von Druck und Dichte
beeinflussen, ausgeschlossen.

Zur Herleitung der linearen Wellengleichung werden
die Gleichungen (1) bis (3) linearisiert.
Dazu werden die Zerlegung in Gleich- und
Schwankungsanteile
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%
\begin{align}
\label{eq:r1} 
p &= p_0 + p'\\
\rho &=\rho_0 + \rho'\\
\vec{v} &=\vec{v}_0 + \vec{v}\,' \equiv \vec{v}\,'
\end{align}
%
eingesetzt.
In Gleichung (6) wird vorausgesetzt, daß sich das
Fluid im Ruhezustand $\vec{v}_0 = 0$ befindet und alle Bewegungen
nur durch die Schwankungen verursacht werden.
Anschließend werden alle Terme höherer Ordnung in den 
gestrichenen Größen vernachlässigt.
Es ergibt sich:

a) Kontinuitätsgleichung\\
Einsetzen ergibt
%
\begin{equation}
\pp{}{t}(\rho_0 + \rho') + \hbox{div} \big[ (\rho_0 + \rho') \vec{v}\,'
\big] = 0
\end{equation}
und damit folgt die linearisierte Kontinuitätsgleichung
\begin{equation}
\fbox{$\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \;\hbox{div} \,\vec{v}\,' = 0$}
\end{equation}
%

b) Euler-Gleichung\\
Mit 
%
\begin{equation}
\ff{D \vec{v}\,'}{D t}
= \pp{\vec{v}\,'}{t} + \vec{v}\,' \, \hbox{grad} \, \vec{v}\,'
\end{equation}
%
folgt beim Einsetzen
\begin{equation}
(\rho_0 + \rho')
\Big[
\pp{\vec{v}\,'}{t} + \vec{v}\,' \, \hbox{grad} \, \vec{v}\,'
\Big]
= - \hbox{grad} \, (p_0 + p')
\end{equation}
%
Die linearisierte Euler-Gleichung wird damit
\begin{equation}
\fbox{$\rho_0 \pp{\vec{v}\,'}{t} = - \hbox{grad} \, p'$}
\end{equation}

c) Druck-Dichte-Beziehung\\
Eine Reihenentwicklung ergibt
\begin{equation}
p(\rho) = p(\rho_0) + (\rho - \rho_0) \, \ff{d p}{d \rho}(\rho_0) + \ldots
\end{equation}
Wird $p_0 = p(\rho_0)$ auf die linke Seite gebracht, liefert
Einsetzen und Vernachlässigen der Terme höherer Ordnung
\begin{equation}
p' = \rho' \, \ff{d p}{d \rho}(\rho_0)
\end{equation}
Die auftretende Ableitung wird mit
\begin{equation}
\ff{d p}{d \rho}(\rho_0) = c^2
\end{equation}
abgekürzt.
Später wird sich zeigen, daß die so definierte Größe $c$ die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen also die Schallgeschwindigkeit
darstellt.
Die linearisierte Druck-Dichte-Beziehung lautet schließlich
\begin{equation}
\fbox{$p' = \rho' \, c^2$}
\end{equation}

Die linearisierten Gleichungen (8), (11) und (15) 
stellen nur unter bestimmten Voraussetzungen eine
gute Approximation der nichtlinearen Beziehungen dar.
Es muß gelten, daß die Amplituden der Störungen klein gegen den
Gleichanteil sind:
\begin{equation}
|p'| \ll p_0 \; ; \quad |\rho'| \ll \rho_0
\end{equation}
Dies ist jedoch nicht ausreichend, da auch Ableitungen
der Schwankungsgrößen in den weggelassenen Termen höherer vorkommen.
Betrachtet man zum Beispiel den Ausdruck in der eckigen Klammer
in Gleichung (10):
%
\begin{equation}
\Big[
\pp{\vec{v}\,'}{t} + \vec{v}\,' \, \hbox{grad} \, \vec{v}\,'
\Big]
\end{equation}
%
Dort tritt als Term erster Ordnung die Zeitableitung
$\pp{\vec{v}\,'}{t}$ auf, und
das Produkt $\vec{v}\,' \cdot \hbox{grad} \, \vec{v}\,'$
ist ein quadratischer Term.
Theoretisch ist es möglich, daß $\vec{v}\,'$ räumlich stark 
schwankt, während die zeitlichen Änderungen relativ klein sind.
Der Gradient von $\vec{v}\,'$ könnte stellenweise so groß
werden, das der quadratische Term gegenüber der Zeitableitung nicht
zu vernachlässigen ist.
In der Praxis sind natürlich die zeitlichen und räumlichen Ableitungen
nicht unabhängig voneinander.

Bezeichnet man die charakteristische Länge der Störungen mit $l$
und deren charakteristische Zeit mit $\tau$, so können die
Größenordnung der Ableitungen der Schwankungsgrößen angegeben werden.
Sei  $\psi'$  eine beliebige Schwankungsgröße (z.B.\ $p$, $\rho'$ oder
Komponente von $\vec{v}\,'$) so
ist die räumliche Ableitung $\pp{\psi'}{x_i}$ von der Größenordnung
$\psi'/l$.
Die Zeitableitung $\pp{\psi'}{t}$ ist von der Größenordnung $\psi'/\tau$.
Mit den charakteristischen Größen lassen sich nun Zusatzbedingungen
formulieren, die erfüllt sein müssen, damit die linearisierten
Gleichungen eine brauchbare Approximation darstellen.
Die Bedingungen lauten:
%
\begin{align}
|\vec{v}\,'| &\ll \ff{l}{\tau}\\
|p'| &\ll \rho_0 \left( \ff{l}{\tau} \right)^2\\
\ff{|\rho'|}{\rho_0}  &\ll \ff{2 c^2}{\rho_0 
\left| \ff{d^2p}{d \rho^2}(\rho_0) \right|}
\end{align}
%
Im Allgemeinen stellen die Bedingungen (18) bis (20) keine
echte Einschränkung des Gültigkeitsbereichs der Linearisierung dar.
Falls eine der Bedingungen verletzt ist, werden auch fast immer 
die Grundbedingungen (16) nicht erfüllt.
Dies ist zum Beispiel in Fokuspunkten oder in der Nähe von lokalisierten
Schallquellen der Fall.

Um die Wellengleichung für den Schalldruck zu erhalten wird
die linearisierte Kontinuitätsgleichung (8) nach der Zeit abgeleitet.
Es ergibt sich nach Vertauschen der Zeitableitung mit der Divergenz:
%
\begin{align}
\zz{\rho'}{t} + \rho_0 \;\hbox{div} \left( \pp{\vec{v}\,'}{t} \right)= 0
\end{align}
%
Die Divergenz wird von der linearisierten Euler-Gleichung (11) gebildet.
Man erhält:
%
\begin{equation}
\rho_0 \;\hbox{div} \left( \pp{\vec{v}\,'}{t} \right)
+ \hbox{div} \; \hbox{grad} \, p' = 0
\end{equation}
%
Subtrahiert man die beiden Gleichungen voneinander, fallen die Terme
mit $\vec{v}\,'$ heraus:
%
\begin{equation}
\zz{\rho'}{t} - \Delta \,p' = 0
\end{equation}
%
Dabei ist der Laplace-Operator $\Delta$ als Ab\-kürz\-ung für die Kombination
``div grad'' eingeführt worden.
Schließlich kann $\rho'$ mit Hilfe der linearisierten Druck-Dichte-Beziehung
(15) durch $p'$ ersetzt werden.
Man erhält die Wellengleichung für den Schalldruck:
%
\begin{equation}
\fbox{$\ff{1}{c^2}\,\zz{p'}{t} - \Delta \,p' = 0$}
\end{equation}
%

\begin{flushleft}
{\bf 2.2) Einfache Lösungen}
\end{flushleft}

Eine der einfachsten Lösungen der Wellengleichung
stellt die eindimensionale Wellenausbreitung
dar.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird angenommen,
daß sich die Wellen in $x_1$-Richtung ausbreiten.
Alle Bewegungen, die durch die Welle verursachst werden
sind in dieser Richtung, d.h.\ $v_2 = 0$, $v_3 = 0$.
Die Lösung hat die allgemeine Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = f(x_1 - ct) + g(x_1 + ct)
\end{equation}
%
$f$ und $g$ sind beliebige Funktionen, die jedoch
mathematisch ``gutartig'' sein müssen.
Dies sind zum Beispiel alle Funktionen die zweimal
differenzierbar sind.
Allerdings wird später noch gezeigt, daß es durchaus sinnvoll ist
auch Funktionen mit Sprungstellen als Lösungen der Wellengleichung
zuzulassen.
Der Begriff ``gutartig'' wird dann in diesem Zusammenhang noch
weiter erläutert.

Eine Lösung der Form (25) wird ebene Welle genannt.
Der Ausdruck ``eben'' besagt, daß die Wellenfronten ebene Flächen
sind, und hat nichts mit einer Lösung im 2D-Fall zu tun.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,3.4) \thicklines
\put(0.0,0.25){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=welle.eps,width=7.5cm}}}
\put(3.75,0.6){\makebox(0,0)[ct]{\small $\Delta x = c \cdot \Delta t$}}
\put(7.2,0.8){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\put(3.0,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$t_0$}}
\put(5.7,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$t_0 + \Delta t$}}
\put(0.5,3.25){\makebox(0,0)[cc]{$p'(x_1)$}}
\end{picture}
\end{center}
%

Anschaulich ist die Lösung eine Überlagerung aus einfachen
Wellenbewegungen in und entgegen der $x_1$-Richtung.
Die Abbildung illustriert ein Beispiel für den Fall $g=0$.
Die Funktion $f$ beschreibt einen Hügel, der sich zur Zeit $t = t_0$
an einer bestimmten Stelle befindet.
Zum späteren Zeitpunkt $t_0 + \Delta t$ hat sich der Hügel einfach
um die Strecke $\Delta x = c \, \Delta t$ in $x_1$-Richtung
verschoben ohne sich zu verformen.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---