Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 25.\ Oktober 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}


\begin{flushleft}
{\bf zu 1.4) Darstellung mit komplexen Zahlen}
\end{flushleft}

Neben der mechanischen Kraft auf den Kolben soll auch eine
Druckkraft wirken.
Zur Vereinfachung des Beispiels wird
vorausgesetzt:
\begin{enumerate}
\item%
Links vom Kolben herrscht Vakuum.
\item%
Der Druck $p_k(t)$ auf der rechten Seite vom Kolben ist räumlich konstant.
Er wird dargestellt mit:
\begin{equation}
p_k(t) = p_0 + p'_k(t)
\end{equation}
\item%
Die Ruheposition $x_0$ des Kolbens stellt sich bei
$p_k = p_0$ ein.
Die Feder ist entsprechend vorgespannt, um die Kraft durch
den Ruhedruck auszugleichen.
Die Größe $K_{\hbox{\sx mech}}$ repräsentiert somit nicht mehr die
gesamte mechanische Kraft, sondern nur noch die Kraft ohne den Ruheanteil
durch die Vorspannung.
\end{enumerate}
Betrachtet wird eine harmonische Druck\-störung am Kolben
der Form:
\begin{equation}
p'_k(t) = \Re \big\{ \hat{p}_k \cdot e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
Diese Störung bewirkt eine zusätzliche Druckkraft auf den
Kolben:
\begin{equation}
K_{\hbox{\sx akustisch}} = A \cdot p'_k(t) =
\Re \big\{ A \, \hat{p}_k \cdot e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
Dabei ist $A$ die Querschnittsfläche des Rohres.
Damit Kräftegleichgewicht gilt muß
\begin{equation}
K_{\hbox{\sx mech}} =
K_{\hbox{\sx akustisch}}
\end{equation}
erfüllt sein.
Diese Bedingung stellt eine Gleichung der Form
\begin{equation}
\Re \big\{ z_1 \cdot e^{i \omega t} \big\} =
\Re \big\{ z_2 \cdot e^{i \omega t} \big\}
\end{equation}
dar.
Die Größen $z_1$ und $z_2$ sind die komplexen Amplituden
der beiden Kräfte.
Gleichung (5) ist für alle Zeiten $t$ nur erfüllt, wenn $z_1 = z_2$ 
gilt.
Damit folgt aus (3) und Gleichung (15) vom [22-Okt-99]
die Beziehung:
\begin{equation}
\hat{s} \big[ - D - i \omega F + \omega^2 M \big] =
A \, \hat{p}_k
\end{equation}
Dadurch ist es sehr einfach möglich die komplexen Amplituden
der Auslenkung $\hat{s}$ und der Druckstörung $\hat{p}_k$
ineinander umzurechnen.
Dazu müssen natürlich die mechanischen Eigenschaften des
Kolbens ($D$,$F$ und $M$) und die Frequenz $\omega$
bekannt sein.
Dies funktioniert im Komplexen deutlich eleganter als
bei rein reeller Darstellung.

Die komplexe Darstellung ist mit $e^{i \omega t}$ und
auch mit $e^{-i \omega t}$ möglich.
Wird von der einen in die andere Formulierung übergegangen,
müssen die komplexen Amplituden durch ihre konjugiert komplexen
Werte ersetzt werden.
Denn es gilt:
\begin{equation}
\Re \big\{ z \cdot e^{i \omega t} \big\} =
\Re \big\{ z^\ast \cdot e^{-i \omega t} \big\}
\end{equation}
Dabei ist mit $z^\ast$ der  konjugiert komplexe Wert von $z$
bezeichnet.

\begin{flushleft}
{\bf 1.5) Spektrale Zerlegung}
\end{flushleft}

Ein wichtiges Instrument der spektralen Analyse von
Signalen ist die Fourier-Tranformation.
Betrachtet man ein reelle oder komplexe
Funktion $s(t)$, so ist dessen Fourier-Transformierte
gegeben durch:
\begin{equation}
\tilde{s}(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{\infty}
s(t) \cdot  e^{-i \omega t} dt
\end{equation}
Die Transformierte $\tilde{s}(\omega)$ enthält die gesamte
Information von $s(t)$.
Durch die Rücktransformation
\begin{equation}
s(t) = \ff{1}{2 \pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}
\tilde{s}(\omega) \cdot  e^{i \omega t} d \omega
\end{equation}
kann $s(t)$ wieder rekonstruiert werden.
In der Literatur wird oft $\tilde{s}(\omega)$
auch mit $e^{+i \omega t}$ definiert.
Ebenso wird häufig die Fourier-Transformierte mit dem
Vorfaktoren $\ff{1}{\sqrt{2 \pi}}$ definiert.
Die Rücktransformation hat dann entsprechend auch einen
anderen Vorfaktor oder ein anderes Vorzeichen im $e^{-i \omega t}$-Term.

Für komplexe Zahlen $z$ gilt allgemein die Beziehung
\begin{equation}
e^{iz} = \cos(z) + i \, \sin(z)
\end{equation}
Mit $z = \omega t$ folgt aus (8)
%\setlength{\extrarowheight}{15pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
\tilde{s}(\omega) = &
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
s(t) \, \cos(\omega t) \, dt\\
&- \, i
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
s(t) \, \sin(\omega t) \, dt\\
\end{array}
\end{equation}
Das erste Integral in (11) repräsentiert
den Realteil
der Fourier-Transformierten und das zweite den Imaginärteil.
Ist $s(t)$ eine gerade Funktion, d.h.\ $s(t) = s(-t)$, verschwindet das
zweite Integral und $\tilde{s}(\omega)$ ist rein reell.
Falls $s(t)$ eine ungerade Funktion ist, d.h.\ $s(t) = -s(-t)$, wird
das erste Integral Null und $\tilde{s}(\omega)$ ist rein imaginär.

Es wird die Fourier-Transformierte eines Rechteckpulses
betrachtet:\\
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(7.5,3.0) \thicklines
\put(1.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=svont.eps,width=5.5cm}}}
\put(1.0,2.5){\makebox(0,0)[cc]{$s(t)$}}
\put(1.25,1.65){\makebox(0,0)[rc]{$A$}}
\put(6.25,0.75){\makebox(0,0)[cc]{$t$}}
\put(1.25,0.1){\makebox(0,0)[rb]{$0$}}
\put(2.6,0.0){\makebox(0,0)[cb]{$t_0$}}
\put(4.7,0.0){\makebox(0,0)[cb]{$t_0 + \tau$}}
\end{picture}\\
Formal ist die Funktion $s(t)$ gegeben durch:
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{equation}
s(t) = \left\{
\begin{array}{r@{\qquad}l}
A & \hbox{für} \quad t_0 < t < t_0 + \tau\\
0 & \hbox{sonst}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Einsetzen in (8) ergibt:
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
\tilde{s}(\omega) &= A \, \int \limits_{t_0}^{t_0 + \tau}
e^{-i \omega t} dt\\
&=- \ff{i A}{\omega} \,
e^{-i \omega t_0} \, (1 - e^{-i \omega \tau})
\end{array}
\end{equation}
Dies läßt sich mit einigen Zwischenschritten in den Ausdruck
%
\begin{equation}
\tilde{s}(\omega) = A \tau \cdot e^{-i \omega (t_0 + \tau/2)} \cdot
\ff{\sin \big(\frac{ \omega \tau}{2} \big)}{\big(\frac{ \omega \tau}{2} \big)}
\end{equation}
%
umformen.
Der Betrag der ersten beiden Faktoren in (14) ist unabhängig von $\omega$.
Der dritte Faktor geht für $\omega \tau \rightarrow 0$ gegen Eins
und für $\omega \tau \rightarrow \pm \infty$ gegen Null.
Das bedeutet, daß der Betrag $|\tilde{s}(\omega)|$ für ein festes
$\tau$ mit $1/\omega$ abnimmt.
Dieser Abnahme ist entsprechend dem $\sin$-Term in (14) ein
oszillatorische Abhängigkeit von $\omega$ überlagert.
Die Abnahme ist umso stärker je größer $\tau$, also je breiter
der Rechteckpuls, ist.
Das bedeutet anschaulich, daß lange Pulse
relativ geringe hochfrequente Anteile enthalten.
Dagegen sind für relativ kurze Pulse auch für relativ große $\omega$
die Anteile noch bedeutend.
Theoretisch kann man die Pulsdauer gegen Null ($\tau \rightarrow 0$) und
gleichzeitig die Amplitude gegen unendlich
($A \rightarrow \infty$) gehen lassen,
so daß die Pulsstärke $B = \tau A$ konstant bleibt.
Für die Fourier-Transformierte ergibt sich für diesen Grenzfall:
%
\begin{equation}
\tilde{s}(\omega) \longrightarrow
B e^{-i \omega t_0}
\end{equation}
D.h., der unendlich kurze Puls mit endlicher Stärke besitzt
Anteile in allen Frequenzbereichen.
Der Betrag $\tilde{s}(\omega)$ ist für alle $\omega$ gleich groß!

Ein unendlich kurzer Puls mit der Stärke Eins wird
mathematisch durch die Dirac'sche $\delta$-Funktion ausgedrückt.
Für die $\delta$-Funktion gilt:
\begin{equation}
\int  \limits_{-\infty}^{\infty}
\delta (t - t_0) \, dt = 1
\end{equation}
Die Funktion $\delta(t)$ ist außer bei $t=0$, wo
ist ihr Wert unendlich wird, gleich Null.
Für beliebige Funktionen $g(t)$ gilt:
%
\begin{equation}
\int  \limits_{-\infty}^{\infty}
g(t) \, \delta (t - t_0) \, dt = g (t_0)
\end{equation}
%
Damit läßt sich für die Funktion
\begin{equation}
s(t) = B \, \delta (t - t_0)
\end{equation}
die Fourier-Transformierte bestimmen.
Einsetzen von (18) in (8) liefert:
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
\tilde{s}(\omega) &=
\int  \limits_{-\infty}^{\infty}
e^{-i \omega t} \delta (t - t_0) dt\\
&=
B e^{-i \omega t_0}
\end{array}
\end{equation}
Die Ergebnis für die $\delta$-Funktion
stimmt mit dem Grenzfall (15) überein.
%
Die Rücktransformation ergibt nach (9):
\begin{equation}
s(t) = \ff{1}{2 \pi} B \int \limits_{-\infty}^{\infty}
e^{i \omega (t - t_0)} d \omega
\end{equation}
Vergleicht man (20) mit (18) folgt eine
weitere allgemeine Beziehung für die $\delta$-Funktion:
\begin{equation}
\int  \limits_{-\infty}^{\infty}
e^{i x y} dx = 2 \pi \, \delta(y)
\end{equation}
Dabei sind $x$ und $y$ reelle Zahlen.
Mit der Gleichung (21) kann nun einfach die
Fourier-Transformierte eines harmonischen Signals angegeben werden.
Aus
\begin{equation}
s(t) = B \, e^{i \omega_0 t}
\end{equation}
folgt mit (21)
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
\tilde{s}(\omega) &=
B \,
\int  \limits_{-\infty}^{\infty}
e^{i (\omega_0 - \omega) t} dt\\
&=
2 \pi B \, \delta(\omega_0 - \omega)
\end{array}
\end{equation}
Dies bedeutet, ein harmonisches Signal besitzt im Spektrum lediglich ein
unendlich scharfen $\delta$-Puls.
In diesem Fall spricht man von einem diskreten Spektrum.
Ist das Signal eine Überlagerung aus mehreren harmonischen
Anteilen, zum Beispiel mit
\begin{equation}
s(t) = \sum \limits_{n=1}^{N} B_n \, e^{i \omega_n t}
\end{equation}
so wird die Transformierte zu
\begin{equation}
\tilde{s}(\omega) = \sum \limits_{n=1}^{N} B_n \delta(\omega_n - \omega)
\end{equation}
Die Fourier-Tranformation (8) mit der Rücktransformation (9)
kann als der Übergang von einem Zeitsignal, welches ein diskretes Spektrum
besitzt und als Summe in der Form (24) dargestellt werden kann, zu einem 
Signal mit kontinuierlichem Spektrum betrachtet werden.

\end{multicols}

\end{document}

% --- FIN ---