Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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%

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\begin{document}

\sloppy


\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 22.\ Oktober 1999}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 1.3) Quantitative Beschreibung von Schall}
\end{flushleft}

Die ``wichtigste'' Größe bei der Beschreibung von Schall ist
der Druck.
Dies hat verschiedenen Gründe:
Der Druck ist relativ einfach meßbar.
Er ist eine anschauliche Größe, und vom Menschen physiologisch erfaßbar
also spürbar.

Üblicherweise werden alle Größen in einen Gleichanteil und
einen Schwankungsanteil zerlegt.
Betrachtet man zunächst den Fall eines ruhenden Mediums in
dem sich Störungen durch Schall ausbreiten, ergibt sich
für den Druck $p$, die Dichte $\rho$ und die Geschwindigkeit
$\vec{v}$
(hier auch als Schnelle bezeichnet)
die Zerlegung:
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\hbox{Druck:} & p(\vec{x},t) = p_0 + p'(\vec{x},t)\\
\hbox{Dichte:} & \rho(\vec{x},t) = \rho_0 + \rho'(\vec{x},t)\\
\hbox{Schnelle:} & \vec{v}(\vec{x},t) = \vec{v}\,'(\vec{x},t)
\end{array}
\end{equation}
Die Größen $p_0$ und $\rho_0$ entsprechen dem Druck und der Dichte
in einem Ausgangszustand ohne Schall.
Die Schwankungsanteile sind mit einem Strich $(\cdot)'$ markiert.
Da sich das Medium in Ruhe befindet, verschwindet der
Gleichanteil der Schnelle: $\vec{v}_0 = 0$.

Die Amplituden der im Alltag auftretenden Druckschwankungen erstrecken sich
über viele Größenordnungen.
Sie liegen zwischen der Hörschwelle und der Schmerzschwelle beim 
Menschen etwa sechs Größenordnungen der Amplitude des Schalldrucks.
Jedoch sind die Schwankungen selbst bei der Schmerzschwelle immer noch
sehr klein gegenüber den Gleichanteilen.
Es gilt in Schallwellen immer:

\begin{equation}
|p' / p_0| \ll 1 \quad ; \quad
|\rho' / \rho_0| \ll 1
\end{equation}

Für die praktischen Messungen wurde eine logarithmische Maßeinheit,
der Schalldruckpegel $L_p$, eingeführt:
%
\begin{equation}
L_p = 20 \cdot \log_{10}
\left(
\ff{p_{\hbox{\sx rms}}}{2 \cdot 10^{-5} \hbox{Pa}}
\right)
\label{eq:03}
\end{equation}
%
Dabei ist der Effektiv- oder auch RMS-Wert der Druckschwankung
definiert mit:
%
\begin{equation}
p_{\hbox{\sx rms}} = \sqrt{\overline{\{p'(t)\}^2}}
\end{equation}
%
RMS ist die englische Abkürzung für die Berechnungsvorschrift:
R-root (Wurzel), M-mean (Durchschnitt bzw.\ Mittel), S-square
(Quadrat).
Die zeitliche Mittelung wird mit einem Querstrich symbolisiert.
Sie ist für eine beliebige Funktion $y(t)$ gegeben durch:
%
\begin{equation}
\overline{y(t)} = \ff{1}{T} \int \limits_0^T y(t) dt
\end{equation}
%
Dabei ist $T$ eine Integrationszeit, die hinreichend groß gewählt werden
muß.
Wenn das Signal relativ niedrige Frequenzen enthält, muß entsprechend
länger integriert werden, damit auch über mehrere Schwankungen gemittelt wird.
Der in Gleichung (\ref{eq:03}) auftretende Wert von
${2 \cdot 10^{-5} \hbox{Pa}}$ ist ein international festgelegter
Referenzdruck, der etwa der Hörschwelle des Menschen bei 1 kHz entspricht.

In der folgenden Tabelle sind die Schalldruckpegel für verschiedene
RMS-Werte aufgelistet.
Der letzte Wert ``Atmosphäre'' ist dabei rein theoretisch, da bei
$p_0 = 1 bar$ ein RMS-Wert von einem bar unrealistisch ist
(mit einer Sinusschwingung ohne negativen Druck nicht zu erreichen).

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c}
& $L_p$ & $p_{\hbox{\sx rms}}$ \\
\hline
Hörschwelle & 0 dB & $2 \cdot 10^{-10} \hbox{bar}$\\
Schmerzschwelle & 120 dB & $0.2 \cdot 10^{-3} \hbox{bar}$\\
Atmosphäre & 194 dB & 1 bar\\
\end{tabular}
\end{center}

In der folgenden Tabelle sind für eine ebene Welle in Luft
die maximal auftretenden Geschwindigkeiten und Auslenkungen
der Luftteilchen aufgelistet.
Die Auslenkungen wurden für eine Frequenz von 1 kHz berechnet.

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$L_p$ & $|v'|_{\hbox{\sx max}}$ & $|\varepsilon|_{\hbox{\sx max}}$\\
\hline
120 dB & $0.069 \frac{\hbox{m}}{\hbox{sec}}$ & $1.1 \cdot 10^{-5} \hbox{m}$ \\
0 dB & $6.93 \cdot 10^{-8} \frac{\hbox{m}}{\hbox{sec}}$ &
$1.1 \cdot 10^{-11} \hbox{m}$ \\
\end{tabular}
\end{center}

Bemerkenswert ist, das bei der Hörschwelle die Auslenkung der Luftteilchen
in der Größenordnung von 1/1000 der mittleren freien Weglänge der
Moleküle ist (für Luft unter Normalbedingungen: 1 bar, 20 Grad Celsius).

Das menschliche Ohr reagiert frequenz\-ab\-hängig auf Schall.
Zur Beschreibung der empfundenen Stärke des Schalls wurde die
Maßeinheit Phon eingeführt:

%\begin{center}
\vspace{5pt}
\vrule width 1pt
\hfill
\begin{minipage}[c]{7.5cm}
Die Lautstärke eines Schalls in Phon entspricht dem Schalldruckpegel des
gleichlaut empfundenen $1\,\hbox{kHz}$-Tones.
\end{minipage}
\vspace{5pt}
%\end{center}

Das Phon ist damit ein Wert, der durch einen subjektiven Vergleich
zweier Schall\-drücke bestimmt wird (zweiohriges Hören!).
Für die Lautstärkebestimmung mit Meßgeräten (also ohne Testhörer)
wurden sogenannten Bewertungskurven eingeführt.
Durch Filter wird die Signalstärke in verschiedenen Frequenzbereichen 
unterschiedlich verstärkt bzw.\ abgeschwächt, um so den Frequenzgang
des menschlichen Ohrs zu berücksichtigen.

\begin{flushleft}
{\bf 1.4) Darstellung mit komplexen Zahlen}
\end{flushleft}

In der Praxis sind besonders sogenannte harmonische
Schwingungen von Interesse.
Die harmonische Druckschwankung an einer Stelle kann dargestellt werden
mit:
%
\begin{equation}
p'(t) = B \cdot \cos (\omega t + \varphi)
\end{equation}
%
Dabei ist $B$ die Amplitude, $\omega$ die Kreisfrequenz und
$\varphi$ eine Phasenverschiebung.
Jeder sinusförmige Zeitverlauf kann durch die drei Parameter
erreicht werden.
Für die Kreisfrequenz gilt dabei $\omega = 2 \pi f$, wobei $f$ die
Frequenz in Hz ist.

Im Folgenden soll am Beispiel eines schwingenden Kolbens die
Vorteile einer komplexen Formulierung deutlich gemacht werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(6.0,3.8) \thicklines
\put(0.0,0.25){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kolben.eps,width=6.0cm}}}
\put(2.9,0.25){\makebox(0,0)[ct]{$x_0$}}
\put(5.8,0.25){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Ein Kolben bewegt sich in einem Rohr sinusförmig um eine Ruhelage.
Mit $x_k$ wird die Position der Kolbenvorderkante bezeichnet.
Es gilt:
\begin{equation}
x_k(t) = x_0 + s(t)
\end{equation}
wobei mit
\begin{equation}
s(t) = B_k \cdot \cos (\omega_k t + \varphi_k)
\end{equation}
die Auslenkung aus der Ruhelage gegeben ist.
Es folgt für die Geschwindigkeit des Kolbens:
\begin{equation}
u_k(t) = \ff{ds}{dt} = - \omega_k B_k \sin (\omega_k t + \varphi_k)
\end{equation}
und die Beschleunigung ist mit
\begin{equation}
\ff{d^2 s}{d t^2} = - \omega_k^2 B_k \cos (\omega_k t + \varphi_k)
\end{equation}
gegeben.
Der Kolben sei federnd befestigt.
Eine Auslenkung bewirkt eine Rückstellkraft.
Die Reibung im Rohr bewirkt eine Kraft entgegen der Bewegungsrichtung.
Die gesamte mechanische Kraft, die am Kolben angreift ist gegeben mit:
\begin{equation}
K_{\hbox{\sx mech}}
= - s D - \ff{ds}{dt} F - \ff{d^2 s}{d t^2} M
\end{equation}
Dabei ist $D$ die Federkonstante, $F$ der Reibungskoeffizient und
$M$ die Masse des Kolbens.
Setzt man Gleichungen (8) bis (10) in (11) ein, ergibt sich:
\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
K_{\hbox{\sx mech}}
= B_k \big[
&- D \cos (\omega_k t + \varphi_k)\\
&+ \omega_k F \sin (\omega_k t + \varphi_k)\\
&+ \omega_k^2 B_k \cos (\omega_k t + \varphi_k) \big]
\end{array}
\end{equation}
Will man zum Beispiel
die maximalen Kraft $K_{\hbox{\sx mech}}$ bei einer gegeben Auslenkung
$B_k$ berechnen, zeigt sich das Gleichung (12) relativ unhandlich ist.
Dies wird deutlich einfacher, wenn man zu einer komplexen Formulierung
übergeht.
Anstatt Gleichung (8) wird die momentane Auslenkung jetzt formuliert mit:
\begin{equation}
s(t) = \Re \big\{ \hat{s} \cdot e^{i \omega_k t}\big\}
\end{equation}
Dabei ist $\hat{s}$ eine komplexe Amplitude.
In ihr ``steckt'' die Information der reelle Amplitude $B_k$ und
die Phaseninformation $\varphi_k$.
Damit (8) und (13) gleichwertig sind, muß gelten:
\begin{equation}
B_k = | \hat{s} | \quad \hbox{und} \quad
\ff{\Im (\hat{s})}{\Re (\hat{s})} = \tan \varphi_k
\end{equation}

Anschaulich kann man sich die komplexen Zahlen $\hat{s}$ und $e^{i \omega_k t}$
als Vektoren in der komplexen Ebene vorstellen.
Die geometrische Situation ist in der Abbildung dargestellt:

\setlength{\unitlength}{10mm}%
\begin{picture}(3.8,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=imag01.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.2,3.5){\makebox(0,0)[cc]{$\Im$}}
\put(3.3,1.3){\makebox(0,0)[cc]{$\Re$}}
\put(2.85,2.75){\makebox(0,0)[cc]{$\hat{s}$}}
\put(2.7,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\scriptsize $s(0)$}}
\put(2.15,1.85){\makebox(0,0)[cc]{\scriptsize $\varphi_k$}}
\end{picture}
\hfill
%
\begin{picture}(3.8,4.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=imag02.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.2,3.5){\makebox(0,0)[cc]{$\Im$}}
\put(3.3,1.3){\makebox(0,0)[cc]{$\Re$}}
\put(2.85,3.0){\makebox(0,0)[cc]{$e^{i \omega_k t}$}}
\put(2.1,1.9){\makebox(0,0)[cc]{\scriptsize $\omega_k t$}}
\end{picture}

Der Winkel zwischen $\hat{s}$ und der reellen Achse ist gerade $\varphi_k$.
Der Betrag von  $e^{i \omega_k t}$ ist immer gleich eins.
Der Winkel zwischen $e^{i \omega_k t}$ und der reellen Achse ist
$\omega_k t$.
Das Produkt  $\hat{s} \cdot e^{i \omega_k t}$ ist wieder eine komplexe Zahl
mit dem gleichen Betrag wie $\hat{s}$.
Der Winkel zwischen $\hat{s} \cdot e^{i \omega_k t}$ und der reellen Achse
ist die Summe $(\omega_k t + \varphi_k)$.
Das Produkt stellt praktisch einen Zeiger der Länge $|\hat{s}|$ dar,
der sich mit der Kreisfrequenz $\omega_k$ um den Ursprung dreht.
Die Projektion dieses Zeigers auf die reelle Achse ergibt den Realteil
und damit $s(t)$.

Mit der komplexen Formulierung erhält man statt Gleichung (12)
für die mechanische Kraft den Ausdruck:
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
%
\begin{equation}
K_{\hbox{\sx mech}}
= \Re \Big\{
\underbrace{
\hat{s} \big[ - D - i \omega_k F + \omega_k^2 M \big]}_{
\begin{array}{c}
\hbox{komplexe}\\
\hbox{Kraftamplitude}
\end{array}
}
e^{i \omega_k t}
\Big\}
\end{equation}
Damit ist die Berechnung der mechanischen Kraft bei gegebener Auslenkung
sehr elegant durch einfache Multiplikation von komplexen Zahlen
möglich.



\end{multicols}
\end{document}

% --- FIN ---