Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 11.\ Februar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 7.1) Lighthills akustische Analogie}
\end{flushleft}

Bisher wurde die Lighthill-Gleichung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - c_0^2 \, \Delta \rho'  =
\pp{^2}{x_i x_j}\,
T_{ij}
\end{equation}
%
mit den Lighthillschen Spannungstensor
%
\begin{equation}
T_{ij} = \rho v_i v_j - \tau_{ij} + \delta_{ij} \, (p' - c_0^2 \rho')
\end{equation}
%
hergeleitet.
Die  Lighthill-Gleichung folgt ohne Näherung und Linearisierungen
aus der Kontinuitäts- und der Navier-Stokes-Gleichung.
Bei der Herleitung der linearen Wellengleichung wurde dagegen die Reibung
vernachlässigt und zuerst die Erhaltungsgleichungen linearisiert.
Das heißt, die Ausgangsgleichungen für die lineare Wellengleichung
sind in der Lighthill-Gleichung auch enthalten.
Es muß daher möglich sein, die lineare Wellengleichung aus
der Lighthill-Gleichung abzuleiten, indem die entsprechenden Näherungen
und Linearisierungen durchgeführt werden.

Auf den ersten Blick scheint es relativ einfach aus der Gleichung (1)
die Wellengleichung abzuleiten, denn
auf der rechten Seite von (1) ist bereits ein Wellenausdruck
vorhanden.
Allerdings ist die physikalische Deutung dieses Ausdrucks
nicht so einfach, weil
die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_0$ ja eine frei wählbare
Konstante ist.
Auch in der Schwankungsgröße
%
\begin{equation}
\rho' = \rho - \rho_0
\end{equation}
%
steckt eine gewisse Unsicherheit über deren Bedeutung, da auch
$\rho_0$ frei wählbar ist.
Um mit der Lighthill-Gleichung sinnvoll Schallwellen zu beschreiben,
müssen die freien Konstanten $p_0$, $\rho_0$ und $c_0$ geeignet
gewählt werden.
Zusätzlich muß auch das Bezugssystem, in dem die Gleichung gilt,
richtig festgelegt werden.
Die Wellengleichung, wie sie in Abschnitt 2 abgeleitet wurde, gilt
nur, wenn das Medium im Mittel ruht.
Entsprechend muß auch hier das Bezugssystem so gewählt werden,
daß die mittlere Geschwindigkeit verschwindet.
Erst dann ist eine sinnvolle Anwendung der Gleichung (1) möglich.
Natürlich gilt die Gleichung unabhängig von der Wahl der Konstanten
und des Bezugssystems.

Im folgenden wird davon ausgegangen, das in einem Bereich nur kleine
Schwankungen um einen Ausgangszustand auftreten.
Das Bezugssystem wird so gewählt, daß im Ausgangszustand überall
$v_i = 0$ gilt.
Alle Schwankungen der Geschwindigkeit werden durch Schall hervorgerufen.
Man kann die Geschwindigkeit als Schnelle auffassen:
%
\begin{equation}
v_i = v_i'
\end{equation}
%
Als Konstante $\rho_0$ wird die Dichte im Ausgangszustand gewählt.
Entsprechend ist $p_0$ der Druck und $c_0$ die Schallgeschwindigkeit
im Ausgangszustand.
Damit ist $\rho'$ einen kleine Schwankung im akustischen Sinn, und die
linke Seite von (1) ergibt einen Wellenausdruck, der die Ausbreitung
der Schwankungen mit Schallgeschwindigkeit beschreibt.

Bis auf einen Fehler von zweiter Ordnung gilt
die lineare Wellengleichung für den Schalldruck $p'$.
Entsprechend gilt auch eine Wellengleichung für die Dichteschwankungen $\rho'$.
Sie kann als
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - c_0^2 \, \Delta \rho'  = 0
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Gleichung (5) gilt näherungsweise, wenn nur kleine Schwankungen
vorliegen.
Daraus folgt, daß die rechte Seite von (1) in dem betrachteten Fall
zu vernachlässigen sei muß.
Der Ausdruck
%
\begin{equation}
\pp{^2}{x_i x_j}\,
T_{ij}
\end{equation}
%
muß im akustischen Sinn
gegenüber den Termen auf der linken Seite, zum Beispiel
%
\begin{equation}
c_0^2 \, \Delta \rho'
\end{equation}
%
verschwindend gering sein.

Um dies zu überprüfen, wird
der Lighthillsche Spannungstensor $T_{ij}$ im genauer betrachtet.
Der Term
%
\begin{equation}
\rho v_i v_j
\end{equation}
%
ist von zweiter Ordnung in den Schwankungsgrößen.
In akustischen Wellen sind die Spannungen durch Reibung gegenüber den
Druckspannungen sehr gering.
Damit ist auch $\tau_{ij}$ gegenüber $p'$ oder $c_0^2 \rho'$
zu vernachlässigen.
Bis auf einen Fehler höherer Ordnung gilt für die Schwankungen
%
\begin{equation}
p' = c_0^2 \rho'
\end{equation}
%
Damit ist die Differenz $p' - c_0^2 \rho'$, die in $T_{ij}$
enthalten ist, auch von höherer Ordnung.
Zusammen ergibt sich daher tatsächlich, daß
die Lighthillschen Spannungen $T_{ij}$ in einem Gebiet,
in dem nur kleine Schwankungen im akustischen Sinn auftreten,
gegenüber den Termen von erster Ornung in den Schwankungsgrößen
vernachlässigt werden kann.
Formal kann man schreiben
%
\begin{equation}
|T_{ij}|_{\hbox{\tiny max}} \ll |c_0^2 \rho'|_{\hbox{\tiny max}}
\end{equation}
%
Das Maximum ist dabei über den betrachteten Bereich und
über die Zeit gemeint.

In der Lighthill-Gleichung treten die Ableitungen von $T_{ij}$
und  $c_0^2 \rho'$ auf.
Es stellt sich die Frage, ob aus (10) auch
%
\begin{equation}
\Big|\pp{^2}{x_i x_j}T_{ij}\Big|_{\hbox{\tiny max}}
\ll |c_0^2 \Delta \rho'|_{\hbox{\tiny max}}
\end{equation}
%
folgt.
Man könnte sich vorstellen, daß die Größe $T_{ij}$
räumlich mit einer relativ kurzen Wellenlänge oszilliert.
Obwohl die Amplitude von $T_{ij}$ viel kleiner als die
von $c_0^2 \rho'$ ist, könnte rein theoretisch für
die zweiten Ableitungen das Gegenteil gelten.
In einer Schallwelle sind jedoch die Schwankungen aller
Größen miteinander verknüpft.
Daher können die Lighthillschen Spannungen auch nur mit
der gleichen Wellenlänge oszillieren wie die anderen Größen.
Unter diesen Bedingungen folgt dann wirklich aus (10)
immer auch (11).

Die bisherigen Überlegungen führen auf den typischen Anwendungsfall
der Lighthill-Gleichung.
Im allgemeinen kann der Bereich, in dem die nichtlinearen Effekte
und die Reibung eine Rolle spielt, räumlich eingegrenzt werden.
Es wird dann angenommen, das außerhalb dieses Bereiches nur kleine
Störungen auftreten und die Lighthillschen Schubspannungen  $T_{ij}$
werden dort gleich Null gesetzt.
So folgt für 
die Lösung im Fall ohne feste Wände näherungsweise
%
\begin{equation}
\rho'(\vec{x}, t) =
\pp{^2}{x_i x_j}
\ivq
\ff{T_{ij}(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c_0)}
{4 \pi c_0^2 |\vec{x} - \vec{y}|}\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Dabei ist im Vergleich zur exakten Lösung nur der Integrationsbereich
auf das Gebiet mit nichtlinearen Effekten, das im folgenden
als Volumen $\sdoso VQ$ bezeichnet wird, eingeschränkt worden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,7.0) \thicklines
\put(0.0,1.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=turbo01.eps,width=7.5cm}}}
\put(4.0,4.9){\makebox(0,0)[cc]{\small Turbulenter Freistrahl}}
\put(3.75,2.8){\makebox(0,0)[cc]{\small Gebiet mit}}
\put(3.75,2.4){\makebox(0,0)[cc]{\small nichtlinearen Effekten}}
\put(0.5,0.9){\makebox(0,0)[lc]{\small Außerhalb:}}
\put(0.5,0.4){\makebox(0,0)[lc]{\small $T_{ij} = 0$ gesetzt.}}
\end{picture}
\end{center}
%
So läßt sich die Lighthill-Gleichung praktisch einsetzen.
Ist in einem begrenzen Bereich durch numerische Simulation
die Strömung bekannt, können die akustischen Schwankungen außerhalb des
Rechengebietes mit der Lösung (12) ermittelt werden.
Damit läßt sich der Schall im Fernfeld berechnen.
Dies ist durch eine numerische Simulation der nach außen laufenden Wellen
wegen der Größe des benötigten Rechengitters im allgemeinen nicht
möglich.
Lighthill selbst benutzte die Lösung seiner Gleichung für eine
Abschätzung des durch einen turbulenten Freistrahl erzeugten Schalls.
Dabei geht er ebenfalls davon aus, daß das ``aktive Gebiet'', in dem
die $T_{ij}$ wirklich einen nennenswerten Beitrag liefern, um den
Freistrahl eingeschränkt werden kann.

In der Literatur findet man manchmal eine Variante der Lighthill-Gleichung,
die auf der rechnten Seite die Druck- statt den Dichteschwankungen
enthält.
Im folgenden soll gezeigt werden, wie man die Lighthill-Gleichung
für die Druckschwankungen ableiten kann.
Bei der gezeigten Herleitung ergab sich als Zwischenergebnis die
Beziehung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} =
\pp{^2}{x_i x_j}
\big(
\rho v_i v_j + P_{ij}
\big)
\end{equation}
%
Durch Subtraktion eines geeigneten Ausdrucks von beiden Seiten
folgte daraus die klassische Lighthill-Gleichung.
Nun wird abweichend von der ursprünglichen Herleitung
der Ausdruck
%
\begin{equation}
\pp{^2 p'}{x_i^2}
=
\pp{^2}{x_i x_j} (p' \delta_{ij})
\end{equation}
%
subtrahiert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - \pp{^2 p'}{x_i^2} =
\pp{^2}{x_i x_j}
\big(
\rho v_i v_j + P_{ij} - p' \delta_{ij}
\big)
\end{equation}
%
Setzt man den Tensor
%
\begin{equation}
P_{ij} = p' \delta_{ij} + \tau_{ij}
\end{equation}
%
ein,
vereinfacht sich die rechte Seite, und es folgt
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - \pp{^2 p'}{x_i^2} =
\pp{^2}{x_i x_j}
\big(
\rho v_i v_j + \tau_{ij}
\big)
\end{equation}
%
Im nächsten Schritt wird auf beiden Seiten
%
\begin{equation}
\ff{1}{c_0^2} \pp{^2 p'}{t^2} - \pp{^2 \rho'}{t^2} =
\pp{^2}{t^2}
\left(
\ff{1}{c_0^2} p' - \rho'
\right)
\end{equation}
%
addiert.
Es ergibt sich
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.25}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{1}{c_0^2}\pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p' \\
\quad
=
\pp{^2}{x_i x_j}
\big(
\rho v_i v_j + \tau_{ij}
\big)
+
\pp{^2}{t^2}
\left(
\ff{1}{c_0^2} \, p' - \rho'
\right)
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei wurden die zweiten Ableitungen entsprechend
%
\begin{equation}
\pp{^2 p'}{x_i^2}
=
\Delta p'
\end{equation}
%
mit dem Laplace-Operator dargestellt.
Gleichung (19) erhält die einfache Form
%
\begin{equation}
\ff{1}{c_0^2}\pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p'
=
\pp{^2}{x_i x_j} \, T_{ij}^\ast
+
\pp{^2}{t^2} \, W
\end{equation}
%
wenn man die Abkürzungen
%
\begin{equation}
T_{ij}^\ast
=
\rho v_i v_j + \tau_{ij}
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
W
=
\ff{1}{c_0^2} \, p' - \rho'
\end{equation}
%
einführt.
Dabei ist $T_{ij}^\ast$ ein verallgemeinerter Spannungstensor,
der dem Lighthillschen Spannungstensor ähnlich ist, jedoch nicht mit
ihm übereinstimmt.
Um den Unterschied deutlich zu machen wurde das Symbol $\ast$ verwendet.
Die Größe $W$ kann als ein Maß für die Abweichung
von der linearen Beziehung (9) angesehen werden.
Gleichung (21) stellt eine inhomogene Wellengeleichung für die
Druckschwankungen $p'$ dar.
Sie folgt wie die orginale Lighthill-Gleichung ohne Näherungen
aus der Kontinuitäts- und der Navier-Stokes-Gleichung.
Die linke Seite besitzt die übliche Form der Wellengleichung
für den Schalldruck.
Auf der rechten Seite stehen zwei Ausdrücke, ein Quadrupol- und ein
Monopol-Quellterm.
Dies ist sozusagen der Preis dafür, daß man auf der linken Seite die
gewohnte Form wiederfindet.

\begin{flushleft}
{\bf 7.2) Freistrahllärm}
\end{flushleft}

Lighthill benutzte die Lösung (12), um
die Abhängigkeit des Freistrahllärms
von den Parametern des Freistrahls zu bestimmen.
Dazu führte er die im folgenden dargestellten
Abschätzungen und Dimensionsüberlegungen durch.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.7,5.0) \thicklines
\put(0.2,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=freistr03.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.2,3.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $D$}}
\put(2.0,4.7){\makebox(0,0)[cc]{\small Turbulente Scherschicht}}
\put(2.2,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $U$}}
\put(2.2,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $\rho_0$}}
\put(3.0,1.8){\makebox(0,0)[cc]{\small Turbulenter Freistrahl}}
\put(5.2,4.8){\makebox(0,0)[cc]{\small Wirbel}}
\put(4.9,3.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $T_{ij}$}}
\put(7.3,1.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $\lambda$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Freistahl tritt aus einer Düse mit einem Durchmesser $D$ aus.
Das Geschwindigkeitsprofil am Austritt wird eben angenommen.
Die Geschwindigkeit des Freistrahls wird mit $U$ bezeichnet.
Der Freistrahl wird als kalt angenommen.
Das bedeutet, die Dichte im Inneren entspricht der Dichte im
Außenbereich, die mit $\rho_0$ bezeichnet wird.

Am Rand des Freistrahls bildet sich eine turbulente Scherschicht.
In dem turbulenten Bereich entstehen Wirbel.
Mit den Wirbeln sind ebenfalls Scherungen verbunden, so daß in
diesem Bereich die Lighthillschen Spannungen $T_{ij}$ besonders groß sind.
Es wird davon ausgegangen, das eine typische Zeitkonstante $\Delta t$
in dem turbulenten Gebiet existiert.
Dies kann man zu Beispiel als die Zeit ansehen werden, die im Mittel
zwischen dem Eintreffen von zwei Wirbeln an einem festgelegten Punkt
vergeht.
Mit dieser Zeitkonstante ist eine Frequenz und eine typische
Wellenlänge $\lambda$ verknüpft.
Das bedeutet, wenn sich die Vorgänge im Freistrahl durchschnittlich
nach der Zeitspanne $\Delta t$ wiederholen, ergibt sich im Mittel
diese Wellenlänge.

Die Abläufe im Freihstrahl werden durch $U$, $D$, $\rho_0$ und weitere
Parameter, wie zum Beispiel die Zähigkeit, festgelegt.
Aus einer Dimensionsbetrachtung
ergibt sich für die typische Zeitkonstante
die Proportionalität
%
\begin{equation}
\Delta t \sim \ff{D}{U}
\end{equation}
%
Damit folgt für die Wellenlänge
%
\begin{equation}
\lambda = c_0 \, \Delta t \sim c_0 \, \ff{D}{U}
\end{equation}
%
Dies kann durch
%
\begin{equation}
\lambda \sim \ff{D}{M}
\end{equation}
%
ausgedrückt werden, wenn man die mit der Schallgeschwindigkeit
im Außenbereich gebildete Machzahl
%
\begin{equation}
M = \ff{U}{c_0}
\end{equation}
%
einführt.

Unabhängig, wie groß die Proportionalitätskonstante in
(26) wirklich ist, ergibt gilt für eine hinreichend kleine Machzahl $M$
immer
%
\begin{equation}
\lambda \gg D
\end{equation}
%
Das bedeutet, im Grenzfall $M \rightarrow 0$ ist die Schallquelle, die
durch den Freistrahl entsteht, kompakt.
Diese Eigenschaft wird im weiteren verwendet, um einige Näherungen
durchzuführen.
Das bedeutet, die gesamte Betrachtung wird
auf sehr kleine Machzahlen eingeschränkt.
Zusätzlich werden alle festen Wände und damit auch die Düse, die
den Freistrahl erzeugt, vernachlässigt.
Man geht von der Lösung (12) für den freien Raum aus.

Für einen Beobachter im Fernfeld, dessen Abstand von der Quelle groß
gegenüber der Ausdehnung des Quellvolumens ist, gilt näherungsweise
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\ivq
\ff{T_{ij}(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c_0)}
{4 \pi c_0^2 |\vec{x} - \vec{y}|}
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}\\
\quad
\approx
\ff{1}{R}
\displaystyle
\ivq
T_{ij}(\vec{y}, t - R/c_0)
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei ist $R$ der Abstand zwischen dem Beobachter und einem festgelegten
Mittelpunkt des Quellevolumens.
In der Näherung (29) ist sowohl die Fernfeldapproximation als auch die
Kompaktheit der Quelle mit eingegangen.
Der exakte Abstand $|\vec{x} - \vec{y}|$ wurde überall
durch den mittlern Abstand $R$ ersetzt.
Dadurch vereinfacht sich das Integral wesentlich.
Es wird die Abkürzung
%
\begin{equation}
Q_{ij}(t - R/c_0) =
\ivq
T_{ij}(\vec{y}, t - R/c_0)
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
eingeführt.
Damit gilt für die Lösung im Fernfeld
%
\begin{equation}
\rho'(\vec{x}, t) \approx
\pp{^2}{x_i x_j}
\left\{
\ff{Q_{ij}(t - R/c_0)}{4 \pi c_0^2 R}
\right\}
\end{equation}
%
Um die Dichteschwankungen abzuschätzen, werden zunächst
die Spannungen $T_{ij}$ betrachtet.
Aus Dimensionsüberlegungen folgt die Proportionalität
%
\begin{equation}
T_{ij} \sim \rho_0 U^2
\end{equation}
%
Die Spannungen $T_{ij}$, die typischerweise auftreten, sind damit
bei doppelter Geschwindigkeit viermal so groß.
Das Integral über das Volumen $\sdoso VQ$ ist proportional zur
Ausdehnung von $\sdoso VQ$ und damit aus Dimensionsgründen
proportional zu $D^3$.
Es folgt entsprechend
%
\begin{equation}
Q_{ij} =
\ivq
T_{ij}
\;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\; \sim \; \rho_0 U^2 D^3
\end{equation}
%
Um eine endgültige Aussage für $\rho'$ zu gewinnen, muß noch die
Ableitung in (31) abgeschätzt werden.
Der Ausdruck in den geschweiften Klammern hat bis auf einen
konstanten Faktor die Form
%
\begin{equation}
\ff{Q_{ij}(t - R/c_0)}{R}
\end{equation}
%
Damit wird das Feld eines Monopols beschrieben, der sich bei $R = 0$
also im Mittelpunkt des Quellvolumens befindet.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.7,6.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=kringel00.eps,width=7.5cm}}}
\put(3.0,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $Q_{ij}$}}
\put(7.3,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_i$}}
\put(4.3,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\lambda$}}
\put(6.6,4.6){\makebox(0,0)[cc]{\small Beobachter}}
\end{picture}
\end{center}
%
Zunächst wird nur die erste Ableitung des Ausdrucks (34) nach $x_i$
betrachtet.
Diese Ableitung ist ein Maß dafür, wie stark sich das Feld des
Monopols (34) ändert, wenn die Position des Beobachters in
$x_i$-Richtung verschoben wird.
Die Situation ist in der obigen Abbildung veranschaulicht.
Der Monopol mit der Quellstärke $Q_{ij}$ sendet im Mittel Wellen
mit einer typischen Wellenlänge $\lambda$ aus.
Befindet sich der Beobachtet gerade auf einem Wellenberg ist die
Ableitung Null.
Das Vorzeichen der Ableitung schwankt mit der Zeit.
Die Ableitung ist in jedem Fall proportional zur maximalen Stärke
der Welle, die am Beobachtungsort ankommt.
Zusätzlich ist die Ableitung umgekehrt proportional zum
Abstand der Wellenberge in $x_i$-Richtung, wie es in der Abbildung
angedeutet ist.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.5,4.8) \thicklines
\put(0.0,0.3){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=beo00.eps,width=5.5cm}}}
\put(0.5,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\frac{Q_{ij}(t - R/c)}{R}$}}
\put(5.3,2.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_i$}}
\put(2.4,4.0){\makebox(0,0)[cc]{\small Beobachter}}
\put(2.7,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Delta x_i$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Je enger die Wellenberge zusammenliegen umso steiler ist der Anstieg
des Signals bei gleichbleibender Amplitude.
Der Abstand $\Delta x_i$ ist wiederum proportional zur Wellenlänge
$\lambda$.
Insgesamt ergibt sich damit für die Ableitung
%
\begin{equation}
\pp{}{x_i}
\left\{
\ff{Q_{ij}(t - R/c_0)}{R}
\right\}
\sim
\ff{1}{\lambda} \, \ff{|Q_{ij}(t)|_{\hbox{\tiny max}}}{R}
\end{equation}
%
Dabei ist mit $|Q_{ij}(t)|_{\hbox{\tiny max}}$ das Maximum der
Quellstärke über der Zeit gemeint.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------