Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 7.\ Februar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 6.7) Zweidimensionale Schallquellen}
\end{flushleft}
Im rotationssymmetrischen Fall ergab sich eine Lösung
der Form
%
\begin{equation}
p'(r,t) =
\int \limits_{-\infty}^{t - r/c}
\ff{f(\tau)}{\sqrt{c^2 (t - \tau)^2 - r^2}} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Mit $r$ ist der Abstand in Zylinderkoordinaten von der
$x_3$-Achse bezeichnet.
Diese Lösung beschreibt die nach außen laufende Welle,
die durch eine zweidimensionale Monopolquelle bei $r=0$ mit der
Stärke $f(t)$ erzeugt wird.
Die zweidimensionale Monopolquelle kann man sich auch als
kontinuierliche Verteilung identischer dreidimensionaler
Monopole entlang der $x_3$-Achse vorstelle.
Ist die Quellstärke eine harmonische Funktion von der Zeit
gilt
%
\begin{equation}
f(\tau) = A e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Einsetzen in (1) ergibt
%
\begin{equation}
p'(r,t) =
A 
\int \limits_{-\infty}^{t - r/c}
\ff{e^{i \omega t}}{\sqrt{c^2 (t - \tau)^2 - r^2}} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Die rechte Seite von (3) kann etwas einfacher dargestellt, indem
man
%
\begin{equation}
s = \ff{c (t - \tau)}{r}
\end{equation}
%
substituiert.
Es folgt
%
\begin{equation}
p'(r,t) =
\ff{A e^{i \omega t}}{c} \,
\int \limits_{1}^{\infty}
\ff{e^{-i \omega s r/c}}{\sqrt{s^2 - 1}} \;
\hbox{d} s
\end{equation}
%
Das Integral auf der rechten Seite kann nicht explizit
gelöst werden.
Der Wert kann nur numerisch berechnet werden.
Da ein Integral dieses Typs häufiger auftritt wurde
die sogenannte Hankel-Funktion nullter Ordnung mit
%
\begin{equation}
H_0^{\scriptscriptstyle (2)}(\xi) =
\ff{2 i}{\pi} \,
\int \limits_{1}^{\infty}
\ff{e^{-i \xi s}}{\sqrt{s^2 - 1}} \;
\hbox{d} s
\end{equation}
%
definiert.
Die Ordnung der Hankel-Funktion wird als Index geschrieben.
Die hochgestellt ``$(2)$'' gibt an, daß es sich um die zweite
Hankel-Funktion handelt.
Der Funktionswert von $H_0^{\scriptscriptstyle (2)}(\xi)$
ist komplex.
Der Realteil entspricht der Bessel-Funktion nullter Ordnung
%
\begin{equation}
J_0 (s) = \Re \big\{ H_0^{\scriptscriptstyle (2)}(s) \big\}
\end{equation}
%
und der Imaginärteil der Neumann-Funktion nullter Ordnung
%
\begin{equation}
Y_0 (s) = - \, \Im \big\{ H_0^{\scriptscriptstyle (2)}(s) \big\}
\end{equation}
%
Das bedeutet, es gilt
%
\begin{equation}
H_0^{\scriptscriptstyle (2)}(s) = J_0 (s) - i \,Y_0 (s)
\end{equation}
%
Die Bessel- und Neumann-Funktionen lassen sich auch in der Form
von unendlichen Reihen darstellen.
Diese Form ist dann geeignet, die Werte numerisch mit einer
bestimmten Genauigkeit zu berechnen, in dem man die Reihe
entsprechend abbricht.
So sind diese Funktionen in mathematischen Bibliotheken auf
vielen Rechnern implementiert.

Die nach außen laufende Welle läßt sich mit der
gegebenen Definition nun einfach als
%
\begin{equation}
p'(r,t) =
\ff{A \pi}{2 i c} \,
e^{i \omega t} \,
H_0^{\scriptscriptstyle (2)} \Big( \ff{\omega r}{c} \Big)
\end{equation}
%
schreiben.
Die erste Hankel-Funktion nullter Ordnung ist mit
%
\begin{equation}
H_0^{\scriptscriptstyle (1)}(s) = J_0 (s) + i \,Y_0 (s)
\end{equation}
%
definiert.
Die beiden Versionen
unterscheidet sich nur durch das Vorzeichen des Imaginärteils.
Würde in Gleichung (10) nicht
$H_0^{\scriptscriptstyle (2)}(s)$
sondern
$H_0^{\scriptscriptstyle (1)}(s)$
stehen, würde
die angegebene Lösung eine nach innen laufende Welle beschreiben.
So stellt die Lösung in (10) eine nach außen laufende
Welle dar.

\goodbreak

\begin{flushleft}
{\bf 7) Schallerzeugung durch Strömungen}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 7.1) Lighthills akustische Analogie}
\end{flushleft}

In der Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts wurden die
ersten Düsentriebwerke entwickelt und eingesetzt.
Mit Hilfe dieser neue Technologie konnte die Leistungsfähigkeit der
Flugzeuge deutlich verbessert werden, jedoch ergab sich durch
die neuen Antriebe ein viel größeres Lärmproblem als
mit den vorhandenen Propellerflugzeugen.
Die Schallentstehung in turbulenten Strömungsfeldern, wie sie
im Strahl eines Düsentriebwerke vorliegt, war bis dahin wenig
erforscht.
Das lag zum Teil auch daran, daß es sich beim turbulenten Freistrahl
um ein relativ kompliziertes Strömungsfeld handelt.

%
Den mit Abstand wichtigsten Beitrag zum Verständnis der
Schallentstehung in turbulenten Strömungen wurde von Lighthill (1951)
gegeben.
Die Idee von Lighthill war es, eine Wellengleichung ohne Näherung
aus den nichtlinearen Gleichungen abzuleiten.
Die Strömung wird in jedem Fall durch die Kontinuitätsgleichung zusammen
mit der Navier-Stokes-Gleichung beschrieben.
Die linearen und die nichtlinearen Terme werden aufgespalten,
und die nichtlinearen Terme werden zusammen mit den Reibungstermen
auf die rechte Seite gebracht.
Auf der linken Seite ergibt sich ein ``normaler'' Wellenausdruck.
Die Terme auf der rechten Seite können als Quellen interpretiert werden.

Die komplette Herleitung der Lighthill-Gleichung wird im
folgenden gezeigt.
Man geht von der Kontinuitätsgleichung
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{t} + \hbox{div} (\rho \vec{v}) = 0
\end{equation}
%
aus.
Diese kann auch in der Form
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{t} + \pp{}{x_i} (\rho v_i) = 0
\end{equation}
%
mit Summationskonvention geschrieben werden.
Gleichung (13) wurde zusammen mit der Euler-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho \ff{\hbox{D} \vec{v}}{\hbox{D} t} + \hbox{grad} \, p = 0
\end{equation}
%
benutzt, um die Wellengleichung in Abschnitt 2.1 herzuleiten.
Die Euler-Gleichung kann auch in der Form
%
\begin{equation}
\pp{}{t} (\rho v_i) + \pp{}{x_j}  (\rho v_i v_j) + \pp{p}{x_i} = 0
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Diese Gleichung enthält keine Reibungseffekte, und auch die äußere Kräfte
sind in der gegebenen Form nicht vorhanden.

Um die Wellengleichung zu erhalten, wurden die Gleichungen (13)
und (15) zunächst linearisiert.
Dadurch vereinfachen sich die Gleichungen etwas.
Dieser Schritt wird jetzt jedoch nicht durchgeführt.
Statt dessen wird sogar die Euler-Gleichung durch die
Navier-Stokes-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho \ff{\hbox{D} \vec{v}}{\hbox{D} t} + \hbox{div} \, P = 0
\end{equation}
%
ersetzt.
Das heißt, es werden Reibungseffekte, die in (14) beziehungsweise (15)
nicht enthalten sind, mit berücksichtigt.
Auch die Navier-Stokes-Gleichung läßt sich komponentenweise mit
%
\begin{equation}
\pp{}{t} (\rho v_i) + \pp{}{x_j}  (\rho v_i v_j + P_{ij}) = 0
\end{equation}
%
schreiben.
Die Reibungseffekte sind in dem Tensor
%
\begin{equation}
P_{ij} = (p - p_0) \delta_{ij} - \tau_{ij}
\end{equation}
%
enthalten.
Dort treten die Schubspannungen $\tau_{ij}$ auf.
Mit
%
\begin{equation}
\delta_{ij} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \quad \hbox{für} \quad i = j\\
0 & \quad \hbox{für} \quad i \neq j
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
ist die sogenannte Kronecker-Deltafunktion bezeichnet.

Die Darstellung mit dem gegebenen Tensor $P_{ij}$ ist aus Sicht der
klassischen Strömungsmechanik etwas ungewöhnlich.
Abweichend von der üblichen Form ist hier die Größe $p_0$
enthalten.
Sie ist eine Konstante, die zunächst frei gewählt werden kann.
Da in der Navier-Stokes-Gleichung nur die Ableitung von $P_{ij}$ vorkommt,
ist es möglich wie in (17) eine Konstante zu addieren.
Die Gleichung gilt dann immer noch.
Definiert man
%
\begin{equation}
p' = p - p_0
\end{equation}
%
so ergibt sich
%
\begin{equation}
P_{ij} = p'\, \delta_{ij} - \tau_{ij}
\end{equation}
%
Dabei ist zu bemerken, daß die Einführung der Größe $p'$ hier eine
reine Definition darstellt und nicht mit einer Linearisierung oder
sonstigen Näherung verbunden ist.
Komponentenweise kann der Tensor $P_{ij}$ als Matrix mit
%
\begin{equation}
P_{ij} = -
\left(
\begin{array}{ccc}
\tau_{11} - p' & \tau_{12} & \tau_{13} \\
\tau_{21} & \tau_{22} - p' & \tau_{23} \\
\tau_{31} & \tau_{32} & \tau_{33} -p'
\end{array}
\right)
\end{equation}
%
geschrieben werden.

Für die folgenden Umformungen spielt die konkrete Form
des Spannungstensors $\tau_{ij}$ keine Rolle.
So sind zum Beispiel die Schubspannungen in einen Newtonschen Fluid
durch den Ansatz
%
\begin{equation}
\tau_{ij} = \eta \left( \pp{v_j}{x_i} + \pp{v_i}{x_j} \right)
\end{equation}
%
gegeben, wobei $\eta$ die Viskosität bezeichnet.
Eine solche Beziehung wird hier jedoch überhaupt nicht benötigt.

Bei der Herleitung der linearen Wellengleichung wurde zuerst die
linearisierte Kontinuitätsgleichung nach der Zeit differenziert.
Die Ableitung wird nun auf die nichtlinearen Variante angewendet.
Aus (13) ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho}{t^2} + \pp{}{x_i} \pp{}{t} (\rho v_i) = 0
\end{equation}
%
In nächsten Schritt wurde die Divergenz von der
linearisierten Euler-Gleichung gebildet.
Das Entsprechende wird hier mit der nichtlinearen
Navier-Stokes-Gleichung durchgeführt.
Aus (17) erhält man
%
\begin{equation}
\pp{}{x_i} \pp{}{t} (\rho v_i) + \pp{^2}{x_i x_j}  (\rho v_i v_j + P_{ij}) = 0
\end{equation}
%
Dabei wurden im ersten Term die Ableitungen vertauscht.
Der zweite Term in (24) ist mit den ersten Term in (25)
identisch.
Daran hat sich durch das Übergehen der Linearisierung
nichts geändert.
Zieht man (25) von (24) ab, folgt die Beziehung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho}{t^2} - \pp{^2}{x_i x_j}  (\rho v_i v_j + P_{ij}) = 0
\end{equation}
%
Im zweiten Term dieser Gleichung sind die Nichtlinearitäten
und Reibungseffekte enthalten.

Entsprechend zu $p_0$ wird mit $\rho_0$ eine
weitere Konstante eingeführt, die zunächst frei wählbar ist.
Analog wird auch
%
\begin{equation}
\rho' = \rho - \rho_0
\end{equation}
%
definiert.
Es gilt für die Ableitung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho}{t^2} =
\pp{^2 \rho'}{t^2} 
\end{equation}
%
Damit kann (26) in
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} =
\pp{^2}{x_i x_j}  (\rho v_i v_j + P_{ij})
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Um schließlich auf der rechten Seite einen
Wellenausdruck zu erhalten, wird von beiden
Seiten der Gleichung (29) der Ausdruck
%
\begin{equation}
c_0^2 \, \Delta \rho' =
c_0^2 \, \pp{^2 \rho'}{x_k^2} =
c_0^2 \, \pp{^2}{x_i x_j}(\delta_{ij} \, \rho')
\end{equation}
%
abgezogen.
Dabei ist $c_0$ eine weitere Konstante,
die zunächst frei wählbar ist.
Man erhält
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - c_0^2 \, \Delta \rho'  =
\pp{^2}{x_i x_j}  (\rho v_i v_j + P_{ij} - c_0^2 \delta_{ij} \, \rho')
\end{equation}
%
Damit ergibt sich tatsächlich auf der rechten Seite
ein Term wie in der Wellengleichung.
Ungewöhnlich ist, daß 
in dem Wellenausdruck die Abweichung der Dichte $\rho'$
und nicht die Druckschwankung auftritt.
Gegenüber der üblichen Form ist der Ausdruck auch noch mit $c_0^2$
multipliziert.
Dies ändert jedoch nichts an den Eigenschaften der Gleichung.
Beziehung (31) stellt eine inhomogene Wellengleichung für $\rho'$ dar.
Die Quellverteilung ist durch die rechte Seite gegeben.

Zweckmäßigerweise wird der Ausdruck in den Klammern auf der rechten Seite
mit
%
\begin{equation}
T_{ij} = \rho v_i v_j + P_{ij} - c_0^2 \delta_{ij} \, \rho'
\end{equation}
%
abgekürzt.
Setzt man $P_{ij}$ nach (21) ein, ergibt sich
%
\begin{equation}
T_{ij} = \rho v_i v_j - \tau_{ij} + \delta_{ij} \, (p' - c_0^2 \rho')
\end{equation}
%
Damit wird die inhomogene Wellengleichung zu
%
\begin{equation}
\fbox{$
\pp{^2 \rho'}{t^2} - c_0^2 \, \Delta \rho'  =
\pp{^2 T_{ij}}{x_i x_j}
$}
\end{equation}
%
Dies ist die typische Form der Lighthill-Gleichung, wie man sie
häufig in der Literatur findet.
Der Tensor $T_{ij}$ wird als Lighthillscher Spannungstensor
bezeichnet.
Durch die zweite räumliche Ableitung der $T_{ij}$ ergibt sich
eine Quadrupolverteilung für die Quellstärke.

Bemerkenswert ist, daß die Lighthill-Gleichung (34) ohne Näherung
aus den nichtlinearen Gleichungen folgt.
Sie gilt damit überall, wenn man die Gültigkeit der Kontinuitäts- und
der Navier-Stokes-Gleichung voraussetzt.

Im freien Raum ohne Wände kann die Lösung von (34) angegeben werden.
Sie lautet
%
\begin{equation}
\rho'(\vec{x}, t) =
\pp{^2}{x_i x_j}
\iraum
\ff{T_{ij}(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c_0)}{4 \pi c_0^2 |\vec{x} - \vec{y}|} \;
\hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Diese Lösung ist jedoch zunächst nicht von großen praktischen Nutzen.
Die zu berechnende Größe $\rho'$ tritt auch auf der rechten Seite
auf.
Um sie mit (35) zu bestimmen, muß sie überall bekannt sein.
Dies macht wenig Sinn.
Zudem sind die drei Konstanten $p_0$, $\rho_0$ und $c_0$
noch frei wählbar.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------