Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 4.\ Februar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 6.7) Zweidimensionale Schallquellen}
\end{flushleft}

Im Abschnitt 4 wurde die Schallausbreitung in
zweidimensionalen Kanälen betrachtet.
Die Überlegungen wurden nur für zwei Dimensionen
durchgeführt, da die Darstellung der Lösungen
einfacher ist und die wesentlichen physikalischen
Effekte auch in der zweidimensionalen Lösung
enthalten sind.
Bei der Schallabstrahlung im offenen Raum wurde
mit der atmenden Kugel gleich ein dreidimensionales
Beispiel untersucht.
Auch dort könnte man zunächst vermuten, daß die
Behandlung des zweidimensionalen Analogons, 
dem atmenden Zylinder, etwas einfacher ist.
In der Strömungsmechanik wird ebenfalls im Rahmen
der Potentialströmung meistens die Zylinderumströmung
ausführlicher behandelt als die umströmte Kugel.
In der Akustik ergibt sich jedoch für den
zweidimensionalen Fall eine wesentlich kompliziertere
Lösung als für den Dreidimensionalen.
Dies soll im folgenden näher betrachtet werden.

Der atmende Zylinder ist ein rotationssymmetrisches
Problem.
Um einen solchen Fall zu untersuchen, wird
zweckmäßigerweise die Wellengleichung in
Zylinderkoordinaten ($r$, $\phi$, $z$) verwendet.
Bei Rotationssymmetrie hängen alle Größen nur vom Abstand
$r$ ab.
Die Ableitungen nach $\phi$ und $z$ verschwinden.
Die Wellengleichung für den Druck lautet
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \pp{^2 p'}{t^2} - \ff{1}{r}
\, \left( r \pp{p'}{r} \right)
= 0
\end{equation}
%
Legt man die Zylinderachse in die $x_3$-Achse, 
so ist der Abstand mit
%
\begin{equation}
r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}
\end{equation}
%
gegeben.
Gleichung (1) ist formal der Wellengleichung
in Kugelkoordinaten bei Kugelsymmetrie
sehr ähnlich.
Im kugelsymmetrischen Fall ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \pp{^2 p'}{t^2} - \ff{1}{r^2}
\, \left( r^2 \pp{p'}{r} \right)
= 0
\end{equation}
%
mit dem Abstand
%
\begin{equation}
r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}
\end{equation}
%
Diese Gleichung wurde in Abschnitt (5)
ausführlich diskutiert.
Sie besitzt die allgemeine Lösung
%
\begin{equation}
p'(r,t) = \ff{f(t - r/c)}{r} +  \ff{g(t + r/c)}{r}
\end{equation}
%
Dabei sind $f()$ und $g()$ zunächst beliebige Funktionen, 
die bei konkreten Problemen durch die Randbedingungen
festgelegt werden.

Es stellt sich die Frage, wie die allgemeine Lösung für
die Gleichung (1) aussieht.
Obwohl sich die Gleichungen (1) und (3) formal nur durch die
Quadrate am $r$-Faktor unterscheiden, ist die Lösung von
(1) völlig anders.
Eine einfache Lösung der Gestalt von (5) kann im
rotationssymmetrischen Fall nicht angegeben werden.
Die formal einfachste Lösung von Gleichung (1) lautet
%
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{equation}
p'(r,t) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\ff{1}{\sqrt{c^2 t^2 - r^2}} & \quad r \leq ct \\
\displaystyle
0 & \quad r > ct
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Diese Lösung besitzt an der Stelle
%
\begin{equation}
r = ct
\end{equation}
%
eine schwache Singularität.
An dieser Stelle wird der Wert von $p'(r,t)$ zwar unendlich, jedoch
bleibt ein Integral von $p'$ über $r$ oder $t$ endlich.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=zw111.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.2,4.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'$}}
\put(0.4,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(1.1,3.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\ff{1}{\sqrt{r}}$}}
\put(7.2,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $r$}}
\put(1.9,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $c t_1$}}
\put(3.2,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $c t_2$}}
\put(5.85,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $c t_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%
In der Abbildung ist der Verlauf von $p'$ nach (6) für drei verschiedene
Zeiten $t_1$, $t_2$ und $t_3$ veranschaulicht.
Die gestrichelte Kurve in der Abbildung markiert einen
$1/\sqrt{r}$-Verlauf.
Dessen Bedeutung wird weiter unten erklärt.
Die Lösung ist eine nach außen laufende Störung mit einer
Singularität an der Spitze.
Im Gegensatz zu allgemeinen Lösung (5) besitzt die einfache Lösung
(6) keine frei wählbare Zeitfunktion.
Das bedeutet, mit (6) kann im allgemeinen keine vorgegebene Randbedingung
(z.B.\ an einer Zylinderwand) erfüllt werden.
Die einfachste Lösung von (1), die eine freie Zeitfunktion $f(\tau)$ enthält,
ist durch ein Integral gegeben:
%
\begin{equation}
p'(r,t) =
\int \limits_{-\infty}^{t - r/c}
\ff{f(\tau)}{\sqrt{c^2 (t-\tau)^2 - r^2}} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Damit lassen sich nun auch Randbedingungen an einem Zylinder erfüllen.
Der Nachweis, daß Gleichung (8) tatsächlich eine Lösung von (1)
ist, wird weiter unten gegeben.

Es läßt sich leicht zeigen, daß die elementare Lösung (6)
ein Spezialfall von der allgemeinen Lösung (8) darstellt.
Wählt man für die Zeitfunktion einen Delta-Puls mit
%
\begin{equation}
f(\tau) = \delta (\tau)
\end{equation}
%
so ergibt sich durch Einsetzen
%
\begin{equation}
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int \limits_{-\infty}^{t - r/c}
\ff{\delta(\tau)}{\sqrt{c^2 (t-\tau)^2 - r^2}} \;
\hbox{d}\tau\\
\qquad \qquad = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\ff{1}{\sqrt{c^2 t^2 - r^2}} & \quad r \leq ct \\
\displaystyle
0 & \quad r > ct
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{equation}
%
aus (8) wieder die Elementarlösung (6).

Im Bereich der Singularität kann der Ausdruck im
Integral vereinfacht werden.
Der Ausdruck unter der Wurzel kann in zwei Faktoren 
zerlegt werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\ff{1}{\sqrt{c^2 (t-\tau)^2 - r^2}}\\
\qquad =
\ff{1}
{\sqrt{ \{ c (t-\tau) + r\} \{c (t-\tau) - r\} }}\\
\qquad =
\ff{1}{\sqrt{ \{ c (t-\tau) + r\} }} \cdot
\ff{1}{\sqrt{ \{c (t-\tau) - r\} }}
\end{array}
\end{equation}
%
Am Ort der Singularität gilt
%
\begin{equation}
c (t - \tau) = r
\end{equation}
%
Die Singularität wird durch den zweiten
Faktor auf der rechten Seite von (11)
verursacht.
Dieser wird Null, falls (12) erfüllt wird.
Der erste Faktor ändert sich dagegen nur gering.
In der Nähe der Singularität gilt
für den ersten Faktor die
Approximation
%
\begin{equation}
\ff{1}{\sqrt{ \{ c (t-\tau) + r\} }} \approx
\ff{1}{\sqrt{ 2 \, r }}
\end{equation}
%
Damit ergibt sich für den gesamten Ausdruck in (11)
die Näherung
%
\begin{equation}
\ff{1}{\sqrt{c^2 (t-\tau)^2 - r^2}}
\approx
\ff{1}
{\sqrt{ 2 \, r\, \{c (t-\tau) - r\} }}
\end{equation}
%
Diese Näherung gilt umso besser, je
größer der Abstand $r$ ist.
Dies wird in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=za01bb.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.2,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\frac{1}{\sqrt{c^2 (t-\tau)^2 - r^2}}$}}
\put(1.6,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.3,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $\tau$}}
\put(2.3,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $c=1$}}
\put(2.3,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $r=1$}}
\put(2.3,0.8){\makebox(0,0)[cc]{\small $t=1$}}
\end{picture}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=za02bb.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.2,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\frac{1}{\sqrt{c^2 (t-\tau)^2 - r^2}}$}}
\put(1.6,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(3.3,0.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $\tau$}}
\put(2.3,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $c=1$}}
\put(2.3,1.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $r=4$}}
\put(2.3,0.8){\makebox(0,0)[cc]{\small $t=4$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Dort ist für zwei konkrete Abstände $r$ und Zeiten $t$ der
Ausdruck in (11) als Funktion von $\tau$ aufgetragen.
In beiden Fällen ist die Schallgeschwindigkeit $c = 1$ gesetzt.
Die Approximation nach (14) ist gestrichelt eingezeichnet.
Bei dem größeren Abstand $r$ stimmt die Approximation in dem
gezeigten Ausschnitt relativ gut mit dem exakten Verlauf überein.
Die Übereinstimmung im Bereich der Singularität 
nimmt mit steigendem Abstand $r$ immer weiter zu.

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=s2ff.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.7,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $f(\tau)$}}
\put(3.3,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\tau$}}
\put(1.6,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Angenommen die Zeitfunktion $f(\tau)$
beschreibt einen Puls endlicher Stärke und
Breite um den Zeitpunkt $\tau = 0$.
Die resultierende Lösung ist mit (6) zu vergleichen,
nur das jetzt keine Singularität mehr sondern ein
endliches Maximum vorhanden ist.
Das Maximum befindet sich am Ort $r = ct$, wie
die Singularität von (6).
Für das Integral in (8) gehen
nur Anteile um $\tau = 0$ ein.
Das bedeutet, im Bereich des Maximums der Lösung
wird nur in der Umgebung der Singularität integriert.
Damit kann die Approximation (14) in (8) eingesetzt werden, und
für die Lösung im Bereich des Maximums ergibt sich näherungsweise
%
\begin{equation}
p'(r,t) \approx
\ff{1}{\sqrt{2 \, r \, c}}
\int \limits_{-\infty}^{t - r/c}
\ff{f(\tau)}{\sqrt{(t- r/c) - \tau}} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Dieser Ausdruck besitzt die Gestalt
%
\begin{equation}
p'(r,t) \approx
\ff{F(t - r/c)}{\sqrt{r}}
\end{equation}
%
mit der Funktion $F()$ gegeben durch
%
\begin{equation}
F(t - r/c) =
\ff{1}{\sqrt{2 \, c}}
\int \limits_{-\infty}^{t - r/c}
\ff{f(\tau)}{\sqrt{(t- r/c) - \tau}} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Die rechte Seite von (16) beschreibt eine
nach außen laufende Welle, deren
Form erhalten bleibt.

Der nach außen laufende Puls verhält sich im Bereich seines
Maximums bei großen Abständen
so ähnlich wie die Kugelwellen im dreidimensonalen Fall.
Nur nimmt hier die Amplitude mit $1/\sqrt{r}$ und nicht mit $1/r$
ab, wie es bei den Kugelwellen der Fall ist.
Allerdings entwickelt der endliche Puls im rotationssymmetrischen Fall einen
unendlich langen ``Nachlauf''.
Die Form des Pulses bleibt nicht erhalten wie etwa im kugelsymmetrischen
Fall nach der Lösung (5).
Nur näherungsweise bei großen Abständen ergibt sich eine Formerhaltung
der nach außen laufenden Welle.

Um zu erklären, warum im rotationssymmetrischen Fall die
Lösung so komplizierte Formen besitzen, wird
sie als Überlagerung von kugelförmigen ``Elementarwellen''
konstruiert.
Bevor jedoch der rotationssymmetrischen Fall betrachtet wird, soll
zunächst zum Vergleich eine eindimensionale ebene Welle untersucht werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.5,6.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=wandmono00.eps,width=5.5cm}}}
\put(1.85,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(4.5,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $l$}}
\put(5.4,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(3.9,3.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $R$}}
\put(4.1,4.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(2.6,4.75){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{y}$}}
\put(2.25,3.95){\makebox(0,0)[cc]{\small $s$}}
\put(1.75,5.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Dazu wird folgende Situation betrachtet.
Von allen Punkten in der ($x_2$,$x_3$)-Ebene gehen identische Kugelwellen
aus.
Das heißt, die ($x_2$,$x_3$)-Ebene ist homogen mit identischen Monopolen
besetzt.
Die Stärke der Monopole ist mit $f(t)$ gegeben.
Für einen Beobachter am Ort $\vec{x}$ ergibt sich der Druck durch
Integration über die Quellverteilung.
Es gilt
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
\ff{f(t - R/c)}{R} \;
\hbox{d}y_2 \,
\hbox{d}y_3
\end{equation}
%
mit
%
\begin{equation}
R = |\vec{x} - \vec{y}|
\end{equation}
%
Das Doppelintegral in (18) erstreckt sich über die gesamte
Ebene $x_1 = 0$.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird angenommen, daß der
Beobachter auf der $x_1$-Achse sitzt.
Der Abstand zur Quelleben sei mit $l$ bezeichnet.
Es gilt damit für die Beobachtungsposition
%
\begin{equation}
\vec{x} = \left( \vektor{l \\ 0 \\ 0} \right)
\end{equation}
%
Die Quellpositionen sind mit den Vektor
%
\begin{equation}
\vec{y} = \left( \vektor{0 \\ y_2 \\ y_3} \right)
\end{equation}
%
bezeichnet.
Der Integrand in (18) hängt nur vom Abstand $s$ des Quellpunktes
zum Ursprung ab.
Es gilt
%
\begin{equation}
s = \sqrt{y_2^2 + y_3^2}
\end{equation}
%
und für den Abstand des Quellpunktes zum Beobachter folgt
entsprechend
%
\begin{equation}
R = \sqrt{s^2 + l^2}
\end{equation}
%
Zweckmäßigerweise wird die Integration nicht über $x_2$ und $x_3$
durchgeführt, sondern es wird über den Anstand $s$ integriert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\int \limits_{0}^{\infty}
\ff{f(t - R/c)}{R} \, 2 \pi s\;
\hbox{d}s
\end{equation}
%
Zur endgültigen Lösung wird $s$ durch $\tau$ mit
%
\begin{equation}
\tau = t - \ff{R}{c} = t - \ff{\sqrt{s^2 + l^2}}{c}
\end{equation}
%
substituiert.
Es gilt für die Differentiale
%
\begin{equation}
\hbox{d}s =
- \ff{c \, \sqrt{s^2 + l^2}}{s} \; \hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Durchführen der Substitution ergibt
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = -
\int \limits_{t - l/c}^{-\infty}
\ff{f(\tau)}{ \sqrt{s^2 + l^2}} \; 2 \pi s \; \ff{c \, \sqrt{s^2 + l^2}}{s}\;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Im Integrand heben sich einige Terme heraus, so daß sich
das Integral wesentlich vereinfacht.
Man erhält schließlich
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
2 \pi c
\int \limits_{-\infty}^{t - l/c}
f(\tau) \;
\hbox{d}\tau
\equiv F(t - l/c)
\end{equation}
%
Das Integral in (28) hängt bei gegebener Funktion $f(\tau)$
ausschließlich von der oberen Integrationsgrenze $(t - l/c)$ ab.
Das heißt, das Integral kann als Funktion  $F(t - l/c)$
aufgefaßt werden.
Damit wird eine Welle in $l$-Richtung beschrieben.
Die Form der Welle ist durch die Funktion $F()$ gegeben.
Dies wird in den folgenden Abbildungen veranschaulicht.
Dort ist die Form des Signals der Monopole $f(\tau)$ und
der resultierende Druckverlauf am Beobachtungsort $\vec{x}$ 
gegenübergestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=s2a.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.7,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $f(\tau)$}}
\put(3.3,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\tau$}}
\put(1.6,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\end{picture}
\hfill
\begin{picture}(3.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=s1a.eps,width=3.5cm}}}
\put(0.2,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(0.6,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'(\vec{x},t)$}}
\put(3.3,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $t$}}
\put(1.65,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $l/c$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Senden die Monopole einen einfachen Puls aus, so ergibt sich
ein einmaliger Druckanstieg am Beobachtungsort.
Die Form des Anstiegs ist nicht vom Abstand $l$ abhängig.
Für größere $l$ folgt der Anstieg nur etwas später.
Das Ergebnis ist auch anschaulich.
Zuerst erreichen den Beobachter die Wellen von den nächsten
Monopolen in der Ebene $x_1 = 0$.
Zu späteren Zeitpunkten treffen die Anteile von den weiter
entfernten Quellpunkten ein.
Die Monopole, deren Anteile synchron eintreffen, liegen alle
auf einem Kreis um den Ursprung.
Die späteren Anteile sind entsprechend dem $1/R$-Abfall schwächer,
da sie eine längere Strecke zurückgelegt haben.
Jedoch ist das Gesamtgewicht dieser Anteile gleich, da entsprechend
mehr Monopole auf dem größeren Kreis beteiligt sind.
Der $1/R$-Abfall wird durch die $R$-proportionale Zunahme des
Kreisumfangs gerade kompensiert, so daß sich ein konstantes Signal
ergibt.

Um eine pulsförmige Welle zu erzeugen, muß die Quellstärke
der Monopole einen Verlauf besitzen, wie in der folgenden
Abbildung gezeigt wird.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(3.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=s3a.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.7,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $f(\tau)$}}
\put(3.3,1.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $\tau$}}
\put(1.6,1.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\end{picture}
\hfill
\begin{picture}(3.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.2){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=s4a.eps,width=3.5cm}}}
\put(0.2,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(0.6,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $p'(\vec{x},t)$}}
\put(3.3,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $t$}}
\put(1.65,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $l/c$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Als nächstes wird die Zylinderwelle betrachtet.
Es wird angenommen, daß von allen Punkten auf der $x_3$-Achse
identische Kugelwellen ausgehen.
Das bedeutet, auf der $x_3$-Achse sitzen identische Monopole, deren
Stärke wieder mit $f(\tau)$ bezeichnet wird.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.5,6.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=linmon00.eps,width=5.5cm}}}
\put(1.7,2.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(4.45,1.85){\makebox(0,0)[cc]{\small $l$}}
\put(5.3,2.45){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(3.0,3.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $R$}}
\put(3.95,3.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(2.1,4.35){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{y}$}}
\put(1.5,5.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_3$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Der Quellort ist jetzt durch den Vektor
%
\begin{equation}
\vec{y} = \left( \vektor{0 \\ 0 \\ y_3} \right)
\end{equation}
%
gegeben.
Die Lösung ist durch das Integral über die Quellverteilung
bestimmt.
Aus Symmetriegründen braucht jedoch nur über die halbe
$x_3$-Achse integriert zu werden.
Die andere Halbachse liefert den gleichen Beitrag.
Es gilt
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
2 \,
\int \limits_{0}^{\infty}
\ff{f(t - R/c)}{R} \;
\hbox{d}y_3
\end{equation}
%
mit dem Abstand zwischen Quellpunkt und
Beobachtungspunkt
%
\begin{equation}
R = \sqrt{y_3^2 + l^2}
\end{equation}
%
Analog zum vorigen Fall wird wieder eine
Substitution mit
%
\begin{equation}
\tau = t - \ff{\sqrt{y_3^2 + l^2}}{c}
\end{equation}
%
durchgeführt.
Es gilt
%
\begin{equation}
\hbox{d}y_3 =
- \ff{c \, \sqrt{y_3^2 + l^2}}{y_3} \; \hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Damit folgt für das Integral
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
- 2 \, c\,
\int \limits_{t - l/c}^{-\infty}
\ff{f(\tau)}{y_3} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Diesmal heben sich die Terme im
Integranden nicht alle auf.
Im Nenner bleibt $y_3$ übrig.
Diese Größe ist nun eine Funktion von $\tau$.
Aus (32) erhält man
%
\begin{equation}
y_3(\tau) =
\sqrt{c^2 (t - \tau)^2 - l^2}
\end{equation}
%
Einsetzen in (34) ergibt letztlich als Lösung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
2 \, c\,
\int \limits_{-\infty}^{t - l/c}
\ff{f(\tau)}{\sqrt{c^2 (t - \tau)^2 - l^2}} \;
\hbox{d}\tau
\end{equation}
%
Da der Abstand $l$ von der $x_3$-Achse dem Abstand $r$ in
Zylinderkoordinaten entspricht, 
ist diese Lösung bis auf den konstanten Vorfaktor $2 c$
mit der obigen Lösung (8) identisch.
Es ist damit gezeigt, daß (8) tatsächlich eine Lösung
von (1) ist.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------