Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
\newcommand{\ff}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
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\newcommand{\ivq} {\int \limits_{\sdoso VQ}}

\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 31.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 6.5) Kompakte Quelle und Fernfeldapproximation}
\end{flushleft}

Als Approximation für die Lösung im freien Raum
wurde die Gleichung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \approx \ff{e^{i \omega (t - R/c)}}{4 \pi R}
\ivq
Q(\vec{y})
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
abgeleitet.
Diese Lösung gilt für eine Quellverteilung der Form
%
\begin{equation}
q(\vec{x}, t) = Q(\vec{x}) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Quellstärke ist auf das Volumen $\sdoso VQ$ beschränkt.
Außerhalb von $\sdoso VQ$ ist $Q(\vec{x}) = 0$.
Mit $R$ ist der Abstand des Beobachters zum Mittelpunkt der
Quelle bezeichnet:
%
\begin{equation}
R = | \vec{x} - \sdoso {\vec{y}}M |
\end{equation}
%
Damit die Approximation (1) gilt müssen zwei Bedingungen
erfüllt sein.
Der Beobachter muß weit von der Quelle entfernt sein
und die Quelle muß kompakt sein.
Ist $D$ die Ausdehnung der Quelle (Durchmesser des
Quellvolumens) so muß
%
\begin{equation}
D \ll R
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
D \ll \lambda
\end{equation}
%
gelten.
Dabei ist mit $\lambda$ die Wellenlänge bezeichnet.

Die Approximation (1) hat allerdings eine prinzipielle
Schwäche.
Selbst wenn die beiden Bedingungen (4) und (5)
erfüllt sind kann sich ein relativ große 
Ungenauigkeit der Approximation ergeben.
Dies ist der Fall, wenn das Integral
%
\begin{equation}
\ivq
Q(\vec{y})
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
=
0
\end{equation}
%
wird.
Nach (1) ergibt sich dann kein Schalldruck, und
es gilt näherungsweise überall
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t)
=
0
\end{equation}
%
Ein einfaches Beispiel, welches (6) erfüllt, ist mit
%
\begin{equation}
Q(\vec{y}) = \delta(\vec{y} - \vec{y}_1) - \delta(\vec{y} - \vec{y}_2)
\end{equation}
%
gegeben.
Die räumliche Verteilung beschreibt zwei Monopole an
den Stellen $\vec{y}_1$ und $\vec{y}_2$, die
gegenphasig überlagert sind.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=zweipo01.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.7,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{y}_1$}}
\put(1.7,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{y}_2$}}
\put(2.7,2.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso VQ$}}
\put(7.0,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{x}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Monopole erzeugen am Ort des Beobachters $\vec{x}$ Schall.
Dieser Schall hebt sich größtenteils gegenseitig auf, da die
Signale gegenphasig sind.
Sind die Abstände von den beiden Monopolen zum Beobachter nicht exakt
gleich, so kann eine vollständige Auslöschung nicht eintreten.
Am Beobachtungsort ist damit ein Signal $p' \neq 0$ zu registrieren, selbst
wenn die Voraussetzung (4) erfüllt ist.
Dies bedeutet, die Approximation (1) liefert mit der Näherung (7)
ein 100 \% falsches Ergebnis.
Gemessen an der Amplitude, die ein Einzelner der beiden Monopole
am Ort $\vec{x}$ erzeugen würde, ist der Fehler zwar gering.
Jedoch ist die Vorhersage von Null schlecht, wenn tatsächlich etwas
vorhanden ist.
In diesem Spezialfall ist der relative Fehler maximal.

Anscheinend ist bei der Herleitung der Approximation an einer Stelle
etwas übersehen worden.
Sonst dürfte sich ein derartig großer relativer Fehler niemals ergeben.
%Um die Abweichung zu erklären, wird
%im folgenden die Situation von einer anderen Seite betrachtet.
Zu Herleitung von Beziehung (1) wurden Abschätzungen für das
Integral in der exakten Lösung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \ivq
\ff{Q(\vec{y}) \, e^{i \omega (t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}}
{4 \pi |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
durchgeführt.
Nun soll die exakte Lösung genauer betrachtet werden.
Die Überlegungen werden jedoch nicht für das Integral (9)
durchgeführt, sondern für eine Lösung der Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \sum \limits_{n=1}^{N}
\left\{
Q_n \,
\ff{e^{i \omega (t - |\vec{x} - \vec{y}_n|/c)}}
{|\vec{x} - \vec{y}_n|}
\right\}
\end{equation}
%
Dies ist ein Spezialfall von (9).
Die Quellverteilung ist diskret und besteht aus $N$ Monopolen:
%
\begin{equation}
Q(\vec{y})
=
\sum \limits_{n=1}^{N}
Q_n \,
\delta(\vec{y} - \vec{y}_n)
\end{equation}
%
Mit $Q_n$ (könnte auch komplex sein)
ist die Stärke und Phase und mit $\vec{y}_n$ die Position des
$n$-ten Monopols gegeben.
Alle Monopole schwingen mit der gleichen Frequenz $\omega$.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.25) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=disquell01.eps,width=7.5cm}}}
\put(1.9,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{y}_n$}}
\put(1.0,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso {\vec{y}}M$}}
\put(0.3,2.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso VQ$}}
\put(7.0,1.1){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{x}$}}
\put(1.35,2.75){\makebox(0,0)[cc]{\small $D$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird weiterhin angenommen, daß sich die Monopole innerhalb eines
Volumens $\sdoso VQ$ befinden.
Die Ausdehnung des Volumens soll mit $D$ und der Mittelpunkt mit
$\sdoso {\vec{y}}M$ gegeben sein.

Um das ``Versagen'' der Approximation (1) zu erklären, ist die
Betrachtung einer Quellverteilung der Form (11) ausreichend.
Auch das Beispiel nach Gleichung (8) entspricht einer diskreten
Quellstärkeverteilung.
Die folgenden Überlegungen lassen sich in jedem Fall auf die kontinuierliche
Verteilung übertragen, jedoch ist der diskrete Fall wesentlich einfacher
darzustellen und anschaulicher.
Zur Abkürzung wird die Funktion
%
\begin{equation}
F(\vec{x},\vec{y},t) =
\ff{e^{i \omega (t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\end{equation}
%
eingeführt.
Damit läßt sich die Lösung (10) kompakter als
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \sum \limits_{n=1}^{N}
\left\{
Q_n \,
F(\vec{x},\vec{y}_n,t)
\right\}
\end{equation}
%
schreiben.
Für eine feste Beobachtungsposition $\vec{x}$ und Beobachtungszeit $t$
hängt $F$ nur von $\vec{y}$ ab.
$F$ entspricht der Lösung für einen harmonisch schwingenden Monopol,
der sich an der Stelle $\vec{y}$ befindet.
Eine Variation von  $\vec{y}$ ist anschaulich eine Verschiebung des
Monopols.
Es stellt sich die Frage, wie stark ändert sich das Feld des Monopols
beim Beobachter an der Stelle $\vec{x}$, wenn des Monopol
eine kleine Strecke verschoben wird.
Zum Beispiel könnte man alle Monopole in die Mitte des Quellvolumens
nach $\sdoso {\vec{y}}M$ verschieben.
Dies würde anschaulich der Approximation (1) entsprechen.
Sind die Bedingungen (4) und (5) erfüllt, kann sich für die
einzelnen Felder nur eine geringe
Änderung durch die Verschiebung ergeben.
Wie oben bereits gezeigt, kann jedoch
für die Summe der Monopolfelder die relative Abweichung sehr groß werden.

Um die Abweichung für die Summe quantitativ zu beschreiben, wird die
Funktion $F$ bezüglich der Variablen $\vec{y}$ in eine Reihe um die
Stelle $\sdoso {\vec{y}}M$ entwickelt.
Dazu wird die Abweichung des Quellortes vom Mittelpunkt
%
\begin{equation}
\Delta \vec{y} = \vec{y} - \sdoso {\vec{y}}M
\end{equation}
%
und entsprechend die $i$-te Komponente dieses Vektors
%
\begin{equation}
\Delta y_i = y_i - y_{i,\hbox{\tiny M}}
\end{equation}
%
eingeführt.
Eine Entwicklung ergibt die Darstellung als Reihe in der Form
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\displaystyle
F(\vec{x},\vec{y},t) =&
F(\vec{x},\sdoso {\vec{y}}M,t)\\[12pt]
\displaystyle
+&\pp{F}{y_i} (\vec{x},\sdoso {\vec{y}}M,t) \, \Delta y_i\\[12pt]
\displaystyle
+&
\ff{1}{2} \,
\pp{^2 F}{y_i y_j}  (\vec{x},\sdoso {\vec{y}}M,t) \,
\Delta y_i \, \Delta y_j\\[12pt]
\displaystyle
+& \cdots
\end{array}
\end{equation}
%
Dies kann nun in die Lösung (13) eingesetzt werden.
Damit wird die Lösung ebenfalls als Reihe geschrieben:
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\displaystyle
p'(\vec{x},t) = &
\displaystyle
F(\vec{x},\sdoso {\vec{y}}M,t) \, \sum \limits_{n=1}^{N} Q_n\\[12pt]
\displaystyle
+ &\pp{F}{y_i} (\vec{x},\sdoso {\vec{y}}M,t) \,
 \sum \limits_{n=1}^{N} \left\{ Q_n \Delta y_{i,n} \right\}\\[12pt]
\displaystyle
+ &\pp{^2 F}{y_i y_j} (\vec{x},\sdoso {\vec{y}}M,t) \,
\, \ff{1}{2} \, \sum \limits_{n=1}^{N} 
\left\{ Q_n \Delta y_{i,n} \, \Delta y_{j,n} \right\} \\[12pt]
\displaystyle
+ &\cdots
\end{array}
\end{equation}
%
Die Abweichung der Position des $n$-ten Monopols vom 
Mittelpunkt der Quelle ist dabei mit
%
\begin{equation}
\Delta \vec{y}_n = \vec{y}_n - \sdoso {\vec{y}}M
\end{equation}
%
bezeichnet.
Entsprechend wird die $i$-te Komponente als
%
\begin{equation}
\Delta y_{i,n} = y_{i,n} - y_{i,\hbox{\tiny M}}
\end{equation}
%
bezeichnet.
Zur weiteren Umformung wird die Symmetrie
von $F$ bezüglich der Variablen $\vec{x}$
und $\vec{y}$ ausgenutzt.
$\vec{x}$ und  $\vec{y}$ können vertauscht
werden, ohne daß sich der Wert von $F$
ändert.
Entsprechend gilt für die partiellen
Ableitungen
%
\begin{equation}
\pp{F}{y_i} = -
\pp{F}{x_i}
\end{equation}
%
Anschaulich bedeutet dies, daß es keinen
Unterschied macht, ob man einem Monopol auf den Beobachter
zu verschiebt, oder ob sich der Beobachter
dem Monopol nähert.
In beiden Fallen ändert sich die Funktion $F$ gleich.
Einsetzen von (12) ergibt schließlich
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}lr}
\displaystyle
p'(\vec{x},t) = &
\displaystyle
\left\{ \ff{e^{i \omega (t - R/c)}}{R}\right\} \, A & \hbox{\small (Monopol)}\\[15pt]
\displaystyle
- &\pp{}{x_i} \left\{ \ff{e^{i \omega (t - R/c)}}{R}\right\} \, B_i
& \hbox{\small (Dipol)}\\[15pt]
\displaystyle
+ &\pp{^2 F}{x_i x_j}
\left\{ \ff{e^{i \omega (t - R/c)}}{R}\right\} \, C_{ij}
& \hbox{\small (Quadrupol)}\\[15pt]
\displaystyle
+ &\cdots
\end{array}
\end{equation}
%
mit den Koeffizienten
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
A &=
\displaystyle
\sum \limits_{n=1}^{N} \, Q_n \\[15pt]
B_i &=
\displaystyle
\sum \limits_{n=1}^{N} \left\{ Q_n \Delta y_{i,n} \right\}\\[15pt]
C_{ij} &=
\displaystyle
\ff{1}{2} \, \sum \limits_{n=1}^{N} 
\left\{ Q_n \Delta y_{i,n} \, \Delta y_{j,n} \right\}
\end{array}
\end{equation}
%
Die Darstellung der Lösung als eine Reihe in der Form
(21) wird Multipolentwicklung genannt.
Der erste Term auf der rechten Seite entspricht einem
Monopol.
Der zweite Term stellt einen Dipol und der dritte
einen Quadrupol dar.
Die Lösung für eine verteilte Anordnung von
Monopolen läßt sich als Überlagerung von
Monopol, Dipol, Quadrupol und Punktquellen höherer
Ordnung ansehen, die sich alle am Mittelpunkt
$\sdoso {\vec{y}}M$ befinden.
Wie oben bereits erwähnt, läßt sich
die Überlegung auch auf kontinuierliche Quellverteilungen
übertragen.
Ist die Quelle kompakt im Sinne von Beziehung (5)
so ist für einen Beobachter im Fernfeld, für den (4)
erfüllt ist, die Quelle bereits sehr gut durch das
erste Glied der Reihenentwicklung approximiert.
Denn in diesem Fall ändert sich $F$ in dem Quellvolumen
vernächlässigbar gering.
Die ausgedehnte Quelle erscheint dem entfernten 
Beobachter wie ein punktförmiger Monopol.

Das Ganze gilt nur, wenn der Koeffizient $A$ nicht
verschwindet.
Für eine Quellverteilung nach (8) ist $A = 0$.
In diesem Fall dominiert der Dipolterm die
Lösung im Fernfeld.
Entsprechend ergibt sich eine Quadrupolverteilung im
Fernfeld, falls zusätzlich alle $B_i$ gleich Null sind.
Dieses Ergebnis läßt nun die Approximation
nach Beziehung (1) besser einordnen.
Diese Approximation stellt eine
Näherung für den Monopolanteil dar.
Die rechte Seite von (1)
entspricht dem ersten Glied in der Reihenentwicklung
für den kontinuierlichen Fall.
Die Beziehung (6) entspricht dann $A = 0$ in dem
diskreten Fall.
Wenn (6) gilt, muß eigentlich der Dipolanteil betrachtet
werden.
Für diesen läßt sich analog zu (1) eine Beziehung
herleiten.
Darauf wird hier jedoch verzichtet.

Die gesamte Betrachtung wurde nur für eine feste
Frequenz durchgeführt.
Ist eine nichtharmonische Quellverteilungen gegeben,
so muß man eine spektrale Zerlegung vornehmen.
Für die Abschätzung (5) ist die höchste auftretende
Frequenz (beziehungsweise kürzeste Wellenlänge)
entscheidend.
Die einzelnen Spektralkomponenten können in Reihen
der Form (21) entwickelt werden.
Die Glieder der Reihen lassen sich dann anschließend
wieder überlagern.
So erhält man die entsprechende Multipoldarstellung
für nichtharmonische Quellverteilungen.

\begin{flushleft}
{\bf 6.6) Beispiel: Schall beim Zünden vom Feuerzeug}
\end{flushleft}

Die theoretischen Überlegungen zur approximativen
Lösung der inhomogenen Wellengleichung sollen
in einem konkreten Beispiel angewendet werden.
Dazu wird eine recht grobe Abschätzung des
Schalls, der sich durch das Zünden eines Feuerzeugs
ergibt, gegeben.
Die Annahmen sind teilweise stark vereinfachend, so
daß das Ergebnis sicherlich mit einem großen Fehler
behaftet ist.
Jedoch sind in der Praxis oft solche groben Abschätzungen
sehr hilfreich, um überhaupt ein Anhaltspunkt über
die auftretenden Größenordnungen der Schalldruckamplituden zu
gewinnen.
Es soll der maximale Schalldruck, der durch die Monopolanteile entsteht,
abgeschätzt werden.
Schall wird durch die Energie- und die Massenzufuhr
bewirkt.
Die beiden Anteile werden getrennt betrachtet.
Es werden die Lösungen für den freien Raum ohne 
feste Wände verwendet.
Das heißt, die Reflexionen von 
Oberflächen sowie die Abschattung von 
Schall durch Hindernisse werden nicht berücksichtigt. 
Das Feuerzeug selbst und auch die haltende Hand
sind für die Lösung sozusagen nicht vorhanden.

Zuerst muß festgestellt werden, ob es sich
tatsächlich um eine kompakte Quelle handelt.
Dazu ist eine Abschätzung der Wellenlängen, die
auftreten können, notwendig.
Es wird für das Ausströmen und Entzünden der
Flamme einen typische Zeitkonstante
%
\begin{equation}
\Delta t = 1/100\,\hbox{s}
\end{equation}
%
angenommen.
Das heißt, in dieser Zeit entwickelt sich der gesamte Vorgang von Null auf
volles Ausströmen und volle Verbrennung.
Bildet man mit dieser Zeitspanne als Periode
eine Frequenz beziehungsweise eine Wellenlänge, so ergibt sich
mit $c = 340\,\hbox{m/s}$ eine Wellenlänge $\lambda = 3.4\,\hbox{m}$.
Diese Strecke ist groß gegenüber der Ausdehnung $D$ des Quellvolumens, das
sich auf die Flamme des Feuerzeugs mit einer Länge von wenigen
Zentimetern beschränkt.


a) Schalldruck durch Energiezufuhr:

Im freien Raum gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x},t) =\\[10pt]
\displaystyle
\quad
\ff{\rho_0 (\gamma -1)}{4 \pi c^2} \,
\pp{^2}{t^2}
\iraum
\ff{\sdoso ez
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei ist $\sdoso ez$ die zugeführte Energie pro Volumen.
Bei kompakter Quelle gilt im Fernfeld die Approximation
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x},t) \approx \\[10pt]
\displaystyle
\quad
\ff{\rho_0 (\gamma -1)}{4 \pi c^2} \, \ff{1}{R}\,
\pp{^2}{t^2}
\underbrace{
\ivq
\sdoso ez (\vec{y}, t - R/c)
\, \hbox{d}^3 \vec{y}}_{\displaystyle \sdoso Ez (t - R/c)}
\end{array}
\end{equation}
%
Mit $\sdoso Ez (t)$ ist die gesamte zugeführte Energie zur Zeit $t$
gegeben.
Um die Zeitableitung von $\sdoso Ez$ zu berechnen, wird
die zugeführte Masse $\sdoso Mz$ betrachtet.
Es wird angenommen, daß maximal ein Kubikzentimeter
$n$-Butan aus dem Feuerzeug strömt.
Für die zugeführte Masse ergibt sich
%
\begin{equation}
\left(
\pp{\sdoso Mz}{t}
\right)_{\hbox{max}}
=
10^{-6} \ff{\hbox{m}^3}{\hbox{s}} \; \sdoso {\rho}B
\end{equation}
%
Der untere Heizwert $\sdoso Hu$ gibt an, wieviel Energie pro Masse
bei der Verbrennung freigesetzt wird.
Bei maximaler Flamme ergibt sich
%
\begin{equation}
\left(
\pp{\sdoso Ez}{t}
\right)_{\hbox{max}}
=
\left(
\pp{\sdoso Mz}{t}
\right)_{\hbox{max}}
\;
\sdoso Hu
\end{equation}
%
Die Dichte des $n$-Butans wird mit $\sdoso {\rho}B = 2.7 \, \hbox{kg/m}^3$
angenommen.
Als unteren Heizwert entnimmt man Tabellenwerken den Wert
$\sdoso Hu = 45775 \, \hbox{kJ/kg}$.
Einsetzen der Werte ergibt
%
\begin{equation}
\left(
\pp{\sdoso Ez}{t}
\right)_{\hbox{max}}
=
0.123 \; \ff{\hbox{kJ}}{\hbox{s}}
\end{equation}
%
Dies ist der maximale Leistung der Verbrennung,
die nach der Zeit $\Delta t$ erreicht wird.
In (25) tritt die zweite Zeitableitung von $\sdoso Ez$ auf.
Um sie zu berechnen, muß der genaue Verlauf des
Anstiegs bekannt sein.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.0,3.8) \thicklines
\put(0.5,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=siman00.eps,width=4.0cm}}}
\put(0.9,0.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $0$}}
\put(2.35,0.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $\Delta t$}}
\put(0.9,3.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $\left(\pp{\sdoso Ez}{t}\right)$}}
\put(0.8,2.2){\makebox(0,0)[rc]{\small Maximum}}
\put(4.2,0.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $t$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Hier wird die einfachste Möglichkeit angenommen, daß die Energiezufuhr
(Energie pro Zeit) linear mit der Zeit ansteigt,
wie es in der Abbildung dargestellt ist.
Wieder wird nur das Maximum betrachtet.
Es ergibt sich mit $\Delta t = 0.01\,\hbox{s}$ der Wert
%
\begin{equation}
\left(
\pp{^2 \sdoso Ez}{t^2}
\right)_{\hbox{max}}
=
12300 \; \ff{\hbox{J}}{\hbox{s}^2}
\end{equation}
%
Eine Abweichung von dem linearen Verlauf würde in jedem Fall
ein höheres Maximum ergeben.

Der maximale Schalldruck im Fernfeld ist durch
%
\begin{equation}
\sdoso p{max}' =
\ff{\rho_0 (\gamma -1)}{4 \pi c^2} \, \ff{1}{R}\,
\left(
\pp{^2 \sdoso Ez}{t^2}
\right)_{\hbox{max}}
\end{equation}
%
gegeben.
Mit dem Zahlenwert in (29) ergibt sich in $1\,\hbox{m}$ Entfernung
der maximale Schalldruck
%
\begin{equation}
\sdoso p{max}'\Big|_{R = 1 \,\hbox{m}} =
4.1 \cdot 10^{-3} \, \hbox{Pa}
\end{equation}
%
Dies entspricht $46\,\hbox{dB}$ und ist damit hörbar.

b) Schalldruck durch Massenzufuhr

Das austretende $n$-Butan verdrängt Luft.
Dadurch allein wird Schall erzeugt, selbst wenn das Feuerzeug nicht
gezündet wird.
Es gilt im freien Raum ohne Wände die Lösung
bei Massenzufuhr
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \rho_0 \, \pp{^2}{t^2} \,
\iraum
\ff{\beta(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{4 \pi \, |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Dabei ist $\beta$ der Volumenanteil der zugeführten Masse.
Im Fall der kompakten Quelle gilt im Fernfeld
näherungsweise
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \approx \ff{\rho_0}{4 \pi R} \, \pp{^2}{t^2} \,
\underbrace{\ivq
\beta(\vec{y}, t - R/c)
\, \hbox{d}^3 \vec{y}}_{\displaystyle \sdoso Vz (t - R/c)}
\end{equation}
%
Dabei ist $\sdoso Vz (t)$ das gesamte Volumen der zur Zeit
$t$ verdrängten Luft (also das Volumen des ausgetretenen
Gases).
Es wird wieder von einem Kubikzentimeter pro Sekunde
ausgegangen.
Es gilt damit
%
\begin{equation}
\left(
\pp{\sdoso Vz}{t}
\right)_{\hbox{max}}
=
10^{-6} \; \ff{\hbox{m}^3}{\hbox{s}}
\end{equation}
%
Daraus wird die zweite Ableitung gebildet, wobei
wieder ein linearer Zeitverlauf der ersten Ableitung
angenommen wird.
Es ergibt sich für $1/100\,\hbox{s}$ Zeitspanne der Wert
%
\begin{equation}
\left(
\pp{^2 \sdoso Vz}{t^2}
\right)_{\hbox{max}}
=
10^{-4} \; \ff{\hbox{m}^3}{\hbox{s}^2}
\end{equation}
%
Der maximale Schalldruck ist nach (33) mit
%
\begin{equation}
\sdoso p{max}' =
\ff{\rho_0}{4 \pi R} \,
\left(
\pp{^2 \sdoso Vz}{t^2}
\right)_{\hbox{max}}
\end{equation}
%
gegeben.
Das einsetzen der Zahlenwerte ergibt
schließlich
%
\begin{equation}
\sdoso p{max}'\Big|_{R = 1 \,\hbox{m}} =
9.5 \cdot 10^{-6} \, \hbox{Pa}
\end{equation}
%
Dies liegt unterhalb der Hörschwelle und entspricht
$-6\,\hbox{dB}$.
Das Geräusch ist damit in $1\,\hbox{m}$ Entfernung 
nicht wahrnehmbar.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------