Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 28.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 6.4) Dipol und Quadrupol}
\end{flushleft}

Ein Dipolfeld kann als Überlagerung von zwei Monopolfeldern
angesehen werden.
Die Lösung für ein Dipolfeld erhält man durch differenzieren
der Lösung für ein Monopolfeld.
Um den Zusammenhang zwischen der Ableitung und der Überlagerung
von Feldern deutlich zu machen wird die Definition der Ableitung
betrachtet.
Für ein zunächst beliebiges Feld $a(\vec{x},t)$ gilt
für die partielle Ableitung in $x_1$-Richtung
%
\begin{equation}
\pp{}{x_1} a(\vec{x}, t) =
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}
\ff{a(\vec{x}, t) - a(\vec{x} - \varepsilon \vec{e}_1, t)}{\varepsilon}
\end{equation}
%
Der Ausdruck im Limes auf der rechten Seite kann als Summe zweier
Felder angesehen werden.
Setzt man
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\displaystyle
p'_1 (\vec{x}, t) &= \ff{1}{\varepsilon} \, a (\vec{x}, t) \\[15pt]
\displaystyle
p'_2 (\vec{x}, t) &= - \ff{1}{\varepsilon} \,
a (\vec{x} - \varepsilon \vec{e}_1, t)
\end{array}
\end{equation}
%
so ergibt sich gerade
%
\begin{equation}
\pp{}{x_1} \, a(\vec{x}, t) =
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}
\left[p_1(\vec{x}, t) + p_2(\vec{x}, t)\right]
\end{equation}
%
Das bedeutet, die partielle Ableitung von $a(\vec{x},t)$
entspricht im Limes der Summe aus den
beiden Feldern  $p_1'(\vec{x},t)$ und  $p_2'(\vec{x},t)$.
Zu bemerken ist, daß durch die $1/\varepsilon$-Skalierung
die Stärke der beiden Felder im Limes unendlich wird.
Die Situation wird deutlicher, wenn man ein konkretes
Feld für $a(\vec{x},t)$ einsetzt.
Mit
%
\begin{equation}
a(\vec{x}, t) = \ff{f(t - |\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|}
\end{equation}
%
wird das Feld eines Monopols am Ort $\vec{x} = 0$ und der
Stärke $f(t)$ ausgewählt.
Es beschreibt Kugelwellen, die nach außen laufen und mit $1/r$
abfallen.
Einsetzen in Gleichung (1) ergibt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\pp{}{x_1} \left\{ \ff{f(t - |\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|} \right\}\\[15pt]
\displaystyle
\;
=
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}
\left[
\ff{\frac{1}{\varepsilon}f(t - |\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|}
+
\ff{-\frac{1}{\varepsilon}f(t - |\vec{x} - \varepsilon \vec{e}_1|/c)}
{|\vec{x}  - \varepsilon \vec{e}_1|}
\right]
\end{array}
\end{equation}
%
Auf der linken Seite steht das Feld eines Dipols, der sich bei $\vec{x}=0$
befindet und in $x_1$-Richtung orientiert ist.
Die Stärke des Dipols entspricht $f(t)$.
In der eckigen Klammer auf der rechten Seite steht die Summe aus
zwei Monopolfeldern.
Der erste Monopol befindet sich am Ort $\vec{x}=0$ und hat die
Stärke $f(t)/\varepsilon$.
Der zweite Monopol sitzt bei $\vec{x}=\varepsilon \vec{e}_1$.
Das heißt, er ist auf der $x_1$ Achse um $\varepsilon$ verschoben.
Er hat die Stärke $-f(t)/\varepsilon$.
Die beiden Monopole sind damit gegenphasig.
Im Grenzfall $\varepsilon$ gegen Null rücken die überlagerten
Monopole auf einem Punkt zusammen und werden dabei unendlich stark.
So kann man sich ein Dipolfeld anschaulich als die Überlagerung
von zwei Monopolfeldern vorstellen.

Die Überlagerung von Feldern läßt sich noch weiter fortsetzen.
Es können auch zwei Dipolfelder überlagert werden, so daß die
neue Lösung der Ableitung des Dipolfeldes entspricht.
Im folgenden soll ein Überblich über die Möglichkeiten gegeben werden.
Der Ausgangspunkt ist das Monopolfeld.
In der Abbildung ist die Position des Monopols mit einem $(+)$-Zeichen
markiert.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=monopol00.eps,width=3.5cm}}}
\put(3.2,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(1.2,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.5,2.8){\makebox(0,0)[rc]{$p'(\vec{x},t) =
\left\{ \ff{f(t - |\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|} \right\}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Durch Ableiten nach $x_1$ erhält man aus dem Monopolfeld ein Dipolfeld.
Das $(-)$-Zeichen in der Abbildung stellt den gegenphasigen Monopol
dar.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=dipol00.eps,width=3.5cm}}}
\put(3.2,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(1.2,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.5,2.8){\makebox(0,0)[rc]{
$
p'(\vec{x},t) = \pp{}{x_1}
\left\{
\ff{f(t -
|\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|}
\right\}
$
}}
\end{picture}
\end{center}
%
Wird nun die Dipollösung nach $x_2$ differenziert ergibt sich
ein sogenannter Quadrupol.
Wie in der Abbildung deutlich wird, kann der Quadrupol
als Überlagerung von vier Monopolen oder von zwei Dipolen angesehen werden.
Die Monopole liegen alle bei $\vec{x} = 0$ und sind unendlich stark.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=quadrupol00.eps,width=3.5cm}}}
\put(3.2,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(1.2,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.5,2.8){\makebox(0,0)[rc]{
$
p'(\vec{x},t) = \pp{^2}{x_1 x_2}
\left\{
\ff{f(t -
|\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|}
\right\}
$
}}
\end{picture}
\end{center}
%
Für den Quadrupol ergibt sich aber noch eine zweite Konfiguration.
Leitet man das nach der $x_1$-Richtung orientierte Dipolfeld ein zweites
mal nach $x_1$ ab, ergibt sich die Konstellation in der folgenden
Abbildung.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=quadrupol01.eps,width=3.5cm}}}
\put(3.2,1.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(1.2,3.2){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_2$}}
\put(7.5,2.8){\makebox(0,0)[rc]{
$
p'(\vec{x},t) = \pp{^2}{x_1^2}
\left\{
\ff{f(t -
|\vec{x}|/c)}{|\vec{x}|}
\right\}
$
}}
\end{picture}
\end{center}
%
Dieses ``Spiel'' läßt sich noch weiter treiben, jedoch
sind in der Akustik meistens nur Monoplole, Dipole und Quadrupole
von Interesse.
Dipolfelder ergeben sich als Lösung der inhomogenen Wellengleichung,
wenn die Quellverteilung als räumliche Ableitung dargestellt werden kann.
Dies ist zum Beispiel bei Impulszufuhr mit
%
\begin{equation}
q(\vec{x}, t) = - \hbox{div} \, \vec{g} (\vec{x}, t)
\end{equation}
%
der Fall.
Entsprechend ergeben sich Quadrupollösungen, wenn auf der rechten Seite
in der Quellverteilung zweite Ableitungen nach dem Ort vorkommen.
Beispiele dafür werden später noch ausführlich behandelt.

\begin{flushleft}
{\bf 6.5) Kompakte Quelle und Fernfeldapproximation}
\end{flushleft}

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung im freien Raum ohne
Wände läßt sich als Integral in der Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) =
\ff{1}{4 \pi}\,
\iraum
\ff{q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}
{|\vec{x} - \vec{y}|} \; \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
darstellen.
Damit kennt man im Prinzip die Lösung, wenn die Quellstärkeverteilung
$q(\vec{x},t)$ vorgegeben ist.
Jedoch ist es selbst bei relativ einfachen Funktionen $q(\vec{x},t)$
meist nicht möglich das Integral auf der rechten Seite wirklich
geschlossen zu lösen.
Dies ist fast immer nur numerische möglich.
Häufig sind solche numerischen Lösungen aber sehr aufwendig.

In einigen Fällen ist es jedoch möglich das Integral
durch eine einfacherer Form zu approximieren.
Dabei beginnt man mit der Ausdehnung des Integrationsgebiets.
In fast allen Fällen braucht nicht über den gesamten Raum integriert zu
werden, da die Quellverteilung irgendwie begrenzt ist.
Im folgenden wird vorausgesetzt, daß ein endliches Volumen $\sdoso VQ$
existiert, welches alle Punkte mit $q(\vec{x},t) \neq 0$ umfaßt.
Außerhalb dieses Volumens ist die Quellstärke gleich Null.
Damit kann das Integral auf das Volumen $\sdoso VQ$ begrenzt werden.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.5,3.5) \thicklines
\put(1.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=vq00.eps,width=3.5cm}}}
\put(1.2,0.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso VQ$}}
\put(2.6,1.85){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso {\vec{y}}M$}}
\put(3.4,2.8){\makebox(0,0)[cc]{\small $D$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es wird die Ausdehnung $D$ des Volumen $\sdoso VQ$ eingeführt.
$D$ entspricht dem
Durchmesser der kleinsten Kugel, das gesamte Volumen $\sdoso VQ$
gerade umschließt.
Weiterhin wird ein Mittelpunkt des Volumens  $\sdoso VQ$ definiert.
Dieser wird mit $\sdoso {\vec{y}}M$ bezeichnet.
Er kann zum Beispiel als geometrischer Schwerpunkt des Volumens gewählt
werden.
Der Abstand aller Punkte in $\sdoso VQ$ ist in jedem Fall kleiner oder
gleich $D$.

Es sind zwei Approximationen von besonderem praktischem Nutzen, da
die benötigten Voraussetzungen in vielen Fällen erfüllt sind.
Das sind die sogenannte ``Fernfeldapproximation'' und die ``kompakte Quelle''.
Die beiden Approximationen werden zunächst einzeln vorgestellt.

a) Fernfeldapproximation

Der Beobachter befindet sich weit entfernt von dem
Quellvolumen, so daß der Abstand zu Mittelpunkt
%
\begin{equation}
R = |\vec{x} - \sdoso {\vec{y}}M|
\end{equation}
%
groß gegenüber der Ausdehnung
%
\begin{equation}
R \gg D
\end{equation}
%
ist.
Der Beobachter nimmt zu einer bestimmten Zeit Signale aus
dem gesamten Quellvolumen $\sdoso VQ$ war.
Die Signale von verschiedenen Punkten legen jedoch auch
unterschiedliche Entfernungen zurück bis sie den Beobachter
erreichen.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=entbeo00.eps,width=7.5cm}}}
\put(0.25,2.5){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso VQ$}}
\put(1.2,0.85){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso {\vec{y}}M$}}
\put(1.7,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{y}$}}
\put(1.5,2.9){\makebox(0,0)[cc]{\small $d$}}
\put(4.0,1.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $|\vec{x} - \sdoso {\vec{y}}M|$}}
\put(4.1,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $|\vec{x} - \vec{y}|$}}
\put(7.05,1.05){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{x}$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Vergleicht man den Weg von dem Quellpunkt $\vec{y}$ zum Beobachter $\vec{x}$,
mit der Entfernung des Beobachters zu Mittelpunkt des Volumens
ergibt sich die Abweichung $d$.
Es gilt
%
\begin{equation}
|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x} - \sdoso {\vec{y}}M| + d = R + d
\end{equation}
%
In jedem Fall ist die Abweichung kleiner als die
Ausdehnung:
%
\begin{equation}
|d| \leq D
\end{equation}
%
Aus der Annahme (9) folgt damit
%
\begin{equation}
|d| \ll R
\end{equation}
%
Die Entfernung zwischen Quellposition $\vec{y}$ und Beobachter $\vec{x}$
taucht in dem Integral in Gleichung (7) zweimal auf.
Einmal in der retardierten Zeit im Zähler und einmal im Nenner.
Durch letzteres wird die Abschwächung der Signale mit dem Abstand
vom Quellpunkt ausgedrückt.
Die Stärke nimmt mit dem Kehrwert des Abstands ab.
Wird der Abstand $R$ des Beobachters zur Quelle immer größer und
die Ausdehnung $D$ bleibt gleich, so ergibt sich im Grenzfall
%
\begin{equation}
\ff{1}{|\vec{x} - \vec{y}|} =
\ff{1}{R + d} \longrightarrow \ff{1}{R}
\end{equation}
%
bei
%
\begin{equation}
\ff{R}{|d|} \rightarrow \infty
\end{equation}
%
Das bedeutet, für einen hinreichend großen Abstand $R$ kann der
Kehrwert des Abstands durch
%
\begin{equation}
\ff{1}{|\vec{x} - \vec{y}|} \approx \ff{1}{R} =
\ff{1}{|\vec{x} - \sdoso {\vec{y}}M|}
\end{equation}
%
angenähert werden.
Der Fehler, der dabei gemacht wird, nimmt mit der Entfernung von
der Quelle immer weiter ab.
Die Approximation (15) kann nun in die Lösung (7) eingesetzt werden.
Es ergibt sich die Vereinfachung des Integrals
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t) \approx
\ff{1}{4 \pi R} \,
\ivq
q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c) \; \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Diese Lösung gilt approximativ für weite entfernte Beobachter im Sinne
von (9).
Das Integral in (16) hat eine etwas einfachere Form im Vergleich zu
(7).
Jedoch ist oft noch eine weitere Vereinfachung möglich, wie
anschließend gezeigt wird.

b) Kompakte Quelle

Die Ausdehnung der Quelle ist klein gegenüber
den auftretenden Wellenlängen.
Dazu muß die Quelle ein begrenzten Frequenzbereich besitzen.
Die höchste Frequenz, die im Spektrum auftritt, ist entscheidend
für die Abschätzung.
Ist die Wellenlänge $\lambda$, die der höchsten Frequenz entspricht,
groß gegenüber der Ausdehnung $D$, wird von einer kompakten
Quelle gesprochen.
Im folgenden wird die Betrachtung nur für eine feste Frequenz $\omega$
durchgeführt.
Eine Quelle mit einem ausgedehnten Spektrum kann als Überlagerung
der einzelnen Spektralanteile angesehen werden.
Es ist daher ausreichend nur eine Frequenz zu betrachten.
Es wird angenommen, die Quellverteilung besitzt die Form
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t) = 
Q(\vec{x}) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Das Feld $Q(\vec{x})$ gibt die räumliche Verteilung der Quellstärke vor.
Setzt man (17) in (7) ein, ergibt sich für die Lösung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \ivq
\ff{Q(\vec{y}) \, e^{i \omega (t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}}
{4 \pi |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Im Integral taucht die retardierte Zeit
%
\begin{equation}
\tau = t - \ff{ |\vec{x} - \vec{y}|}{c}
\end{equation}
%
auf.
Sie ist die Zeit, zu der ein Signal am Ort $\vec{y}$ ausgesandt wurde,
welches zur Zeit $t$ den Beobachter am Ort $\vec{x}$ erreicht.
Das bedeutet, den Beobachter erreichen gleichzeitig Signale, die
zu unterschiedlichen Zeiten ausgesandt wurden.
Die empfangenen Signale sind dann nicht mehr in Phase, auch wenn
die gesamte Quelle in Phase ist.
Es stellt sich die Frage, wie groß ist die Abweichung von $\tau$
innerhalb des Quellvolumens, und wie wirkt sich diese Abweichung
auf die beobachteten Signale aus.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(4.5,3.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ctau2.eps,width=4.5cm}}}
\put(0.9,2.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $\Re\{e^{i \omega \tau}\}$}}
\put(0.4,2.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(1.9,0.6){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso {\tau}M$}}
\put(4.4,0.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $\tau$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Zunächst wird eine mittlere retardierte Zeit mit
%
\begin{equation}
\sdoso {\tau}M = t - \ff{ |\vec{x} - \sdoso {\vec{y}}M |}{c}
=
t - \ff{R}{c}
\end{equation}
%
definiert.
Sie stellt die Zeit dar, zu der ein Signal am Mittelpunkt des Quellvolumens
ausgesandt wurde, welches zur Zeit $t$ den Beobachter erreicht.
Durch die unterschiedlichen Wegstrecken ergeben sich unterschiedliche
Werte für $\tau$.
Dies ist in der Abbildung durch den grauen Bereich dargestellt.
Dort ist repräsentativ für den komplexen Ausdruck
$e^{i \omega \tau}$ sein Realteil aufgetragen.
Der Realteil besitzt eine Cosinusform.
Eine gewisse Schwankung von $\tau$ bewirkt, wie in der Darstellung
angedeutet, eine entsprechende Abweichung von  $e^{i \omega \tau}$.
Die Abweichung ist umso geringer, je kleiner die Schwankungen von $\tau$
sind.
Für die Abweichungen gilt
%
\begin{equation}
\Delta \tau = \tau - \sdoso {\tau}M = 
\ff{d}{c}
\end{equation}
%
wobei mit $d$ wieder der Unterschied im Abstand zum Quellpunkt bezeichnet
ist.
Ist nun die Schwankung von $\tau$ so klein, daß für das Produkt
$\omega \, \Delta \tau$ die Abschätzung
%
\begin{equation}
|\omega \, \Delta \tau| \ll 2 \pi
\end{equation}
%
gilt, so ergibt sich keine nennenswerte Abweichung bei
$e^{i \omega \tau}$.
Das exakte $\tau$ könnte durch $\sdoso {\tau}M$ ersetzt werden.
Die Ungleichung (22) ist erfüllt, falls
%
\begin{equation}
\Big| \omega \, \ff{d}{c} \Big| = 2 \pi \, \ff{|d|}{\lambda} \ll 2 \pi
\end{equation}
%
gilt.
Dies ist gleichbedeutend mit
%
\begin{equation}
\ff{|d|}{\lambda} \ll 1
\end{equation}
%
Dies ist für die kompakte Quelle erfüllt, da nach Voraussetzung
%
\begin{equation}
|d| \leq D \ll \lambda = \ff{2 \pi c}{\omega}
\end{equation}
%
gilt.
Damit kann tatsächlich die Abweichung der retardierten Zeit
in dem Quellbereich vernachlässigt werden.
Für die Lösung ergibt sich die Approximation
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \approx \ivq
\ff{Q(\vec{y}) \, e^{i \omega (t - R/c)}}{4 \pi |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Der von der Laufzeit abhängige Term ist
damit für eine bestimmte Beobachtungszeit $t$
eine Konstante und kann vor das Integral gezogen werden.
Man erhält
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \approx \ff{e^{i \omega (t - R/c)}}{4 \pi}
\ivq
\ff{Q(\vec{y})}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Diese Approximation gilt für den Fall, daß
%
\begin{equation}
D \ll \lambda
\end{equation}
%
erfüllt ist.

Das Integral in (27) ist genau wie bei der approximativen Lösung in (16)
einfacher als die exakte Form in (7).
Jedoch ergibt sich eine wirklich nützliche Form erst, wenn
man beide Approximationen zusammennimmt.
Für eine Kompakte Quelle im Sinne von (28) ergibt sich im
Fernfeld für weit entfernte Beobachter nach (9)
näherungsweise die Lösung
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) \approx \ff{e^{i \omega (t - R/c)}}{4 \pi R}
\ivq
Q(\vec{y})
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Damit wird die Integration auf ein einfaches Integral über
die Quellstärke reduziert.


\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------