Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\dpp}[2]{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial #1 \partial #2}}
\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 24.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 6.3) Schallquellen durch Störung der Massen-, Impuls- oder
Energieerhaltung}
\end{flushleft}

Bisher wurde gezeigt, daß instationäre Massenzufuhr Schall erzeugt.
Es ergibt sich ein zusätzlicher Term in der Kontinuitätsgleichung,
so das sich als ``Vorstufe'' der Wellengleichung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - \Delta p' =
\pp{^2 \sdoso mz}{t^2}
\end{equation}
%
ergibt.
Mit $\sdoso mz$ ist die zugeführte Masse pro Volumen
bezeichnet.
Hat die zugeführte Masse die gleichen Eigenschaften (Dichte und
Schallgeschwindigkeit) wie die bereits vorhandene Masse, so
gilt überall unverändert
%
\begin{equation}
p' = c^2 \rho'
\end{equation}
%
Damit kann $\rho'$ in (1) ersetzt werden und es folgt die
inhomogene Wellengleichung für den Druck
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p' =
\pp{^2 \sdoso mz}{t^2}
\end{equation}
%
Hat die zugeführte Masse andere Eigenschaften als die
vorhandene Masse -- zum Beispiel es wird ein anderes Gas in Luft
zugeführt oder Luft mit anderer Temperatur --
gilt (2) nicht mehr.
Um $\rho'$ in (1) zu ersetzen, muß die Abhängigkeit
der Dichte von der zugeführten Masse berücksichtigt werden.
Zweckmäßigerweise führt man folgende Bezeichnungen ein
%
\begin{itemize}
\item[$\sdoso {\rho}z$]%
Dichte der zugeführten Masse
\item[$\sdoso {\rho}u$]%
Dichte der ursprünglich vorhandenen Masse
\item[$\beta$]%
Volumenanteil der zugeführten Masse
\end{itemize}
%
Für die gesamte Masse pro Volumen $\rho$ gilt damit
%
\begin{equation}
\rho = \beta \sdoso {\rho}z + (1 - \beta) \sdoso {\rho}u
\end{equation}
%
Der erste Summand auf der rechten Seite entspricht gerade
der zugeführten Masse pro Volumen
%
\begin{equation}
\sdoso mz = \beta \sdoso {\rho}z
\end{equation}
%
Damit kann (4) in der Form
%
\begin{equation}
\rho = \sdoso mz + \sdoso {\rho}u - \beta \sdoso {\rho}u
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Die Größen $\sdoso {\rho}z$ und $\sdoso {\rho}u$
hängen von dem Druck $p$ ab.
Die Dichte $\rho$ der vorhandenen Mischung
hängt damit von $p$ und $\beta$ ab
%
\begin{equation}
\rho = \rho(p, \beta)
\end{equation}
%
Die zeitlichen Schwankungen von $\rho'$ lassen sich entsprechend
durch Schwankungen von $p$ und $\beta$ ausdrücken.
Um den Zusammenhang zu berechnet, wird (6) zweimal nach $t$ differenziert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} =
\pp{^2 \rho}{t^2} =
\pp{^2 \sdoso mz}{t^2} +
\pp{^2 \sdoso {\rho}u}{t^2} -
\pp{^2}{t^2} (\beta \sdoso {\rho}u)
\end{equation}
%
Um die rechte Seite weiter zu vereinfachen, wird vorausgesetzt, daß
für den Volumenanteil
%
\begin{equation}
\beta \ll 1
\end{equation}
%
gilt.
Damit können im Sinne einer Linearisierung Terme
höherer Ordnung vernachlässigt werden.
Man führt die Zerlegung in Gleich- und Schwankungsanteil
%
\begin{equation}
\sdoso {\rho}u =
\rho_0 +
\sdoso {\rho}u'
\end{equation}
%
für das ursprüngliche Gas ein.
Mit $\rho_0$ ist die Dichte im Ausgangszustand ohne zugeführte Masse
bezeichnet.
Die Dichteschwankungen sind über die Schallgeschwindigkeit
mit den Druckschwankungen verknüpft.
Wird mit $c$ die Schallgeschwindigkeit in der
ursprünglichen Masse bezeichnet, 
so gilt für infinitesimale Schwankungen
%
\begin{equation}
c^2 \, \hbox{d} \sdoso {\rho}u = \hbox{d} p
\end{equation}
%
Eine analoge Beziehung mit einer
zweiten Schallgeschwindigkeit gilt für die zugeführte Masse.
Diese Beziehung wird hier jedoch gar nicht benötigt.
Mit (10) folgt
%
\begin{equation}
\pp{^2}{t^2} \sdoso {\rho}u =
\pp{^2}{t^2} \sdoso {\rho}u' =
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} p =
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} p'
\end{equation}
%
Damit kann der zweite Summand auf der rechten Seite von (8)
ersetzt werden.
Für den Ausdruck im dritten Summand auf der rechten Seite
ergibt sich
%
\begin{equation}
\beta \sdoso {\rho}u =
\beta \rho_0 +
\beta \sdoso {\rho}u'
\end{equation}
%
Das Produkt $\beta \sdoso {\rho}u'$ zweier kleiner Größen
kann gegenüber $\beta \rho_0$ vernachlässigt werden.
Im Sinne dieser Linearisierung folgt die Näherung
%
\begin{equation}
\pp{^2}{t^2} \, (\beta \, \sdoso {\rho}u) \approx
\pp{^2}{t^2} \, (\beta \, \rho_0) = 
\rho_0 \, \pp{^2 \beta}{t^2}
\end{equation}
%
Somit ergibt sich aus (8) die
linearisierte Beziehung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} =
\pp{^2 \sdoso mz}{t^2} +
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 p'}{t^2} -
\rho_0 \, \pp{^2 \beta}{t^2}
\end{equation}
%
Damit sind die Schwankungen von $\rho'$ durch Schwankungen von
$\sdoso mz$, $p'$ und $\beta$ ausgedrückt.
Beim Einsetzen von (15) in (1) hebt
sich der Term mit $\sdoso mz$ gerade auf.
Es ergibt sich die inhomogene Wellengleichung
für den Druck
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p' =
\rho_0 \, \pp{^2 \beta}{t^2}
\end{equation}
%
Die rechte Seite repräsentiert wieder
die Quellstärkeverteilung.
Das Produkt $\rho_0 \beta$ ist die Masse pro Volumen, die von
der zugeführten Masse verdrängt wurde.
Es ergibt sich, daß zeitliche Schwankungen
des verdrängten Volumens die Quellstärke bestimmen.
Instationäres Verdrängen von Masse ergibt Schall.
Es kommt damit gar nicht auf die zugeführte Masse an.
Die Dichte der zugeführten Masse spielt überhaupt keine Rolle!
Im freien Raum ohne feste Wände kann die Lösung von (16) als
Integral angegeben werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \rho_0 \, \pp{^2}{t^2} \,
\iraum
\ff{\beta(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{4 \pi \, |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Zeitableitung vor das Integral gezogen.

Als drittes soll noch die Störung der Impulserhaltung
betrachtet werden.
Die Impulserhaltung wird durch die linearisierte Euler-Gleichung
ausgedrückt.
Wird irgendwo Impuls zugeführt ergibt sich folgende Form
dieser Gleichung
%
\begin{equation}
\rho_0 \, \pp{\vec{v}\,'}{t} + 
\hbox{grad} \, p' = \vec{g} (\vec{x}, t)
\end{equation}
%
Dabei ist $\vec{g} (\vec{x}, t)$ der Impuls,
der pro Volumen und pro Zeiteinheit am Ort $\vec{x}$ zur Zeit $t$
zugeführt wird.
Dies kann auch als eine äußere Kraft pro Volumen, die auf das Medium wirkt,
interpretiert werden.
Die linearisierte Kontinuitätsgleichung bleibt durch die
Impulszufuhr unverändert.
Es gilt
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \, \hbox{div} \vec{v}\,' = 0
\end{equation}
%
Weiterhin wird durch die Impulszufuhr die Druck-Dichte-Beziehung nicht
beeinträchtigt.
Damit gilt Gleichung (2).
Um eine Wellengleichung für den Druck zu erhalten, wird wie gewohnt
(19) nach der Zeit abgeleitet und die Divergenz von (18) gebildet.
Die resultierenden Gleichungen werden voneinander subtrahiert und mit
(2) die Größe $\rho'$ durch $p'$ ersetzt.
Man erhält die inhomogene Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p' = - \hbox{div} \, \vec{g}
\end{equation}
%
Diesmal ergibt sich für die Quellstärke kein Zeitableitungsterm, sondern
ein Ausdruck mit Divergenz-Operator.
Das bedeutet, die Schallentstehung hängt von dem räumlichen Gradient
der Impulszufuhr ab.
Analog zu (17) kann auch für (20) die Lösung im freien Raum ohne
Wände als Integral angegeben werden.
Sie lautet
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = -
\iraum
\ff{ \big\{ \hbox{div} \, \vec{g} \big\}
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{4 \pi \, |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Dabei ist zu beachten, daß sich der Ausdruck
%
\begin{equation}
\big\{ \hbox{div} \, \vec{g} \big\}
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)
\end{equation}
%
von
%
\begin{equation}
\hbox{div} \, 
\big\{
\vec{g}
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)
\big\}
\end{equation}
%
unterscheidet.
Um dies deutlich zu machen, wurden in (21) die geschweiften Klammern um
den Divergenzterm verwendet.
Mit (22) ist die Divergenz von $\vec{g}$ an der Stelle $\vec{y}$
zur retardierten Zeit $t - |\vec{x} - \vec{y}|/c$ gemeint.
Dagegen ist bei (23) gar nicht eindeutig klar, auf welche Koordinaten
sich die Divergenzbildung bezieht.
Der Ausdruck in den geschweiften Klammern in (23) hängt von $\vec{x}$,
$\vec{y}$ und $t$ ab.
Das heißt, die räumliche Divergenz könnte bezüglich $\vec{x}$ oder
$\vec{y}$ gemeint sein.
Zu beachten ist, daß
in den vorliegenden Integralen fast immer nur Ausdrücke der Form (22)
auftreten.

Im folgenden wird eine Umformung des in (21) auftretenden Integrales
vorgestellt, die später noch öfters benutzt werden wird.
Die Divergenz kann in einer anderen Schreibweise mit 
Summationskonvention als
%
\begin{equation}
\hbox{div} \, \vec{g} =
\pp{g_i}{x_i}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Damit kann das in (21) auftretende Integral
als Summe einzelner Integrale geschrieben werden.
Es ergibt sich nach einigen Umformungen die
Beziehung
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
-
\iraum
\ff{ \big\{ \hbox{div} \, \vec{g} \big\}
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{4 \pi \, |\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\\[5pt]
\displaystyle
\quad
=
-
\ff{1}{4 \pi} \,
\pp{}{x_i}
\iraum
\ff{ g_i
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Die räumliche Ableitung nach $x_i$ ist scheinbar
einfach aus dem Integral herausgezogen worden.
Dies ist allerdings nur durch die spezielle
Form des Integranden möglich.
Die Details der Herleitung von (25) sind im Anhang
dargestellt.


\begin{flushleft}
{\bf 6.4) Dipol und Quadrupol}
\end{flushleft}

Im Abschnitt 6.1 wurde der punktförmige
Monopol vorgestellt.
Diesen kann man sich als punktförmige Massenquelle
vorstellen, die Zeitlich schwankt.
Durch eine räumlich verteilte Zufuhr von Masse ergab
sich eine kontinuierliche Quellverteilung.
Diese kann man als verteilte Monopolquelle ansehen.
Eine besondere Quellverteilung ergab sich durch
Impulszufuhr, wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.
Sie hat die Form
%
\begin{equation}
q (\vec{x}, t) =
- \hbox{div} \, \vec{g} (\vec{x}, t)
\end{equation}
%
Eine solche Quellverteilung wird als Dipolverteilung
bezeichnet.
Im folgenden soll verdeutlicht werden, wie diese 
Verteilung mit einem Dipol zusammenhängt.
Dazu wird ein einfaches Beispiel betrachtet.
Es wird das spezielle Feld
%
\begin{equation}
\vec{g} (\vec{x}, t) =
\left(
\vektor{f(t) \, \delta(\vec{x}) \\ 0 \\ 0}
\right)
\end{equation}
%
in (26) eingesetzt.
Es beschreibt eine punktförmige Zufuhr von Impuls
in $x_1$-Richtung der Stärke $f(t)$
an der Stelle $\vec{x} = 0$.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
q (\vec{x}, t) =
- f(t) \, \pp{}{x_1} \, \delta(\vec{x})
\end{equation}
%
Da $g_2$ und $g_3$ überall gleich Null sind
erhält man
unter Verwendung der Beziehung (25) als
Lösung im freien Raum ohne Wände
das Integral
%
\begin{equation}
\displaystyle
p'(\vec{x}, t)
=
-
\ff{1}{4 \pi} \,
\pp{}{x_1}
\iraum
\ff{ g_1
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Mit der konkreten Gestalt von $g_1$ ergibt sich
%
\begin{equation}
\displaystyle
p'(\vec{x}, t)
=
-
\ff{1}{4 \pi} \,
\pp{}{x_1}
\iraum
\ff{ f \big(t - |\vec{x} - \vec{y}|/c\big) \, \delta(\vec{y})}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Das Integral kann berechnet werden, da der Integrand ein
Produkt aus einem Faktor mit der $\delta(\vec{y})$ darstellt.
Als Resultat ergibt sich der Wert des Faktors bei $\vec{y} = 0$.
Man erhält damit
%
\begin{equation}
\displaystyle
p'(\vec{x}, t)
=
-
\ff{1}{4 \pi} \,
\pp{}{x_1} \,
\left\{
\ff{f \big( t - |\vec{x}|/c \big)}{|\vec{x}|}
\right\}
\end{equation}
%
Eine Lösung dieser Form wurde bereits ausführlich in Abschnitt 5.6
behandelt.
Die Lösung entspricht dem Schallfeld einer vibrierenden Kugel,
deren Mittelpunkt sich bei $\vec{x} = 0$ befindet.
Im Abschnitt 5.6 wurde der Abstand
%
\begin{equation}
r = |\vec{x}|
\end{equation}
%
zur Darstellung verwendet.
Der Ausdruck in den geschweiften Klammern lautet damit
%
\begin{equation}
\displaystyle
\ff{f \big( t - r/c \big)}{r}
\end{equation}
%
Setzt man für $f(t)$ eine harmonische Funktion der Form
%
\begin{equation}
f(t) = A \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
ein, erhält man bis auf einen konstanten Vorfaktor
genau die Lösung für die harmonisch vibrierenden Kugel:
%
\begin{equation}
\displaystyle
p'(\vec{x}, t)
=
-
\ff{A}{4 \pi} \,
\pp{}{x_1} \,
\left\{
\ff{e^{i \omega (t - r/c)}}{r}
\right\}
\end{equation}
%
Die Kugel bewegt sich dabei in $x_1$-Richtung.
Zur Bewegung der Kugel ist eine Kraft notwendig.
Es wird daher auch Impuls auf das Medium übertragen.
Die Impulsübertragung der endlichen Kugel auf das Medium
entspricht einer
punktförmigen Impulsquelle im Kugelmittelpunkt.

Führt man die Differentation in (35) aus, erhält man
die Form
%
\begin{equation}
p'(\vec{x}, t)
=
\ff{A}{4 \pi} \, \cos \theta \,
\left[
\ff{i \omega}{rc} + \ff{1}{r^2}
\right] \,
e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
Daraus wird die Richtungsabhängigkeit des erzeugten Schalls deutlich.
Senkrecht zur Richtung des zugeführten Impulses -- beziehungsweise
zur Bewegungsrichtung der Kugel -- ist $\cos \theta = 0$ und es
ergibt sich keine Druckschwankung.
Die maximale Amplitude wird in Richtung des zugeführten Impulses
beobachtet.

Durch den  $\cos \theta$-Term ergibt sich die typische Verteilung für
ein Dipolfeld.
Es stellt sich jedoch die Frage, woher der Name ``Dipol'' eigentlich kommt.
Der Name rührt daher, daß man ein Dipolfeld als Überlagerung
aus zwei Monopolfeldern ansehen kann.
Um dies zu verdeutlichen wird zunächst ganz allgemein die Überlagerung
von Lösungen der inhomogenen Wellengleichung betrachtet.
Das Druckfeld $p_1(\vec{x},t)$ sei die Lösung
für die Quellverteilung $q_1(\vec{x},t)$ 
und entsprechend $p_2(\vec{x},t)$ für  $q_2(\vec{x},t)$.
Das bedeutet es gilt
%
\begin{equation}
\left(
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta
\right)
\,
p'_{1,2} (\vec{x}, t) =
q'_{1,2} (\vec{x}, t)
\end{equation}
%
Dies stellt zwei Gleichungen für die beiden
Indizes 1 und 2 dar.
Da der Wellenausdruck in (37) linear ist,
ergibt die Überlagerung der Lösungen eine
Lösung für die Überlagerung der Quellverteilungen.
Das bedeutet, es gilt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\left(
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta
\right)
\,
\big[
p'_1 (\vec{x}, t) +
p'_2 (\vec{x}, t)
\big]\\[10pt]
\displaystyle
\quad
=
q'_1 (\vec{x}, t) +
q'_2 (\vec{x}, t)
\end{array}
\end{equation}
%
Nun werden nicht zwei beliebige Felder
überlagert, sondern es wird eine spezielle
Wahl getroffen.
Es soll
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\displaystyle
p'_1 (\vec{x}, t) &= \ff{1}{\varepsilon} \, a (\vec{x}, t) \\[15pt]
\displaystyle
p'_2 (\vec{x}, t) &= - \ff{1}{\varepsilon} \,
a (\vec{x} - \varepsilon \vec{e}_1, t)
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei ist $ a (\vec{x}, t)$ ein näher zu bestimmendes Feld,
das zunächst noch beliebig sein kann.
Die Größe $\varepsilon$ stellt einen Parameter dar und
mit
%
\begin{equation}
\vec{e}_1 = \left( \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \right)
\end{equation}
%
ist der Einheitsvektor in $x_1$-Richtung gegeben.
Zur Veranschaulichung wird ein Beispiel betrachtet, in
dem $a(\vec{x}, t)$ einen Puls um die Stelle $\vec{x} = 0$ besitzt.
In der Abbildung sind die Werte $p_1'$, $p_2'$ und $p_1'+p_2'$
entlang der $x_1$-Achse dargestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,5.4) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=v2.eps,width=7.5cm}}}
\put(2.9,2.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(7.4,2.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(2.9,5.1){\makebox(0,0)[rc]{\small $p'$}}
\put(4.45,2.15){\makebox(0,0)[cc]{\small $\varepsilon$}}
\put(4.45,3.75){\makebox(0,0)[lc]{\small $p'_1 + p'_2$}}
\put(5.5,0.95){\makebox(0,0)[lc]{\small $p'_2$}}
\put(1.9,4.0){\makebox(0,0)[rc]{\small $p'_1$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Das Feld $p_1'$ gleicht bis auf den Faktor $1/\varepsilon$
dem $a$-Feld.
Das Feld $p_2'$ ist das gespiegelte und um $\varepsilon$ verschobene
$a$-Feld.

%\end{multicols}

\vspace{16pt}

\hrule


%\begin{multicols}

\begin{flushleft}
{\bf Anhang: Überlegungen zur Lösung der inhomogenen Wellengleichung}
\end{flushleft}

\vspace{0.5cm}

Die Inhomogene Wellengleichung für den Druck lautet
%
\begin{equation}
\left(\ff{1}{c^2} \zz{}{t} - \Delta \right) \, p'( \vec{x} , t)
=
q( \vec{x} , t)
\end{equation}
%
Die Lösung im freien Raum ohne Wände ist mit
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) =
\displaystyle
\iraum
\ff{q \left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
gegeben.
Das Integral braucht im allgemeinen nicht über den gesamten Raum
erstreckt sein.
Es genügt meistens über ein Volumen
$\sdoso VQ$ zu integrieren, welches alle Quellgebiete umfaßt.
Das heißt außerhalb von $\sdoso VQ$ ist $q(\vec{x},t)$ gleich Null.
Einsetzen der Lösung in die Wellengleichung liefert
%
\begin{equation}
\left(\ff{1}{c^2} \zz{}{t} - \Delta \right)
\,
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VQ}
\ff{q \left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
=
q( \vec{x} , t)
\end{equation}
%
Zunächst wird eine spezielle Quellverteilung
%
\begin{equation}
q( \vec{x} , t) = \hbox{div} \vec{f} ( \vec{x} , t)
\end{equation}
%
mit einem Vektorfeld
%
\begin{equation}
\vec{f} = \left( \vektor{f_1\\ f_2\\ f_3} \right)
\end{equation}
%
ausgewählt.
Für diese ergibt sich dann
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\left(\ff{1}{c^2} \zz{}{t} - \Delta \right)
\,
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VQ}
\ff{\big\{\hbox{div} \vec{f}\,\big\} \left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\\
\quad =
\big\{\hbox{div} \vec{f}\,\big\} ( \vec{x} , t)
=
\pp{f_i}{x_i}  ( \vec{x} , t)
\end{array}
\end{equation}
Als zweites wird die Quellverteilung
%
\begin{equation}
q( \vec{x} , t) = f_i (\vec{x}, t)
\end{equation}
%
betrachtet.
Das heißt, die Quellstärkeverteilung entspricht einer Komponente von
$\vec{f}$.
Setzt man dies in (43) ein, ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\left(\ff{1}{c^2} \zz{}{t} - \Delta \right)
\,
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VQ}
\ff{f_i\left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\\
\quad =
f_i (\vec{x}, t)
\end{array}
\end{equation}
%
Diese Gleichung wird nun nach $x_i$ differenziert.
Wiederholt man dies für $i = 1,2,3$ und summiert die resultierenden
drei Gleichungen auf erhält man
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\left(\ff{1}{c^2} \zz{}{t} - \Delta \right)
\,
\displaystyle
\pp{}{x_i} \,
\int \limits_{\sdoso VQ}
\ff{f_i\left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\\
\quad
=
\pp{}{x_i} \,
f_i (\vec{x}, t)
=
\big\{\hbox{div} \vec{f}\,\big\} ( \vec{x} , t)
\end{array}
\end{equation}
Dabei wurde die Ableitung nach $x_i$ mit dem Wellenausdruck
vertauscht und vor das Integral gezogen.
Gleichung (49) stellt wieder eine inhomogene Wellengleichung dar.
Ein Vergleich zeigt, daß die rechten Seiten von (46) und (49)
übereinstimmen.
Das bedeutet, die Quellstärkeverteilungen sind gleich.
Damit müssen auch die Lösungen, die auf der linken Seite
hinter dem Wellenausdruck stehen, gleich sein.
Die Quellverteilung legt nämlich die Lösung eindeutig fest.
Es muß daher
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VQ}
\ff{\big\{\hbox{div} \vec{f}\,\big\} \left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\\
\quad
=
\pp{}{x_i} \,
\int \limits_{\sdoso VQ}
\ff{f_i\left(\vec{y}, t - | \vec{x} - \vec{y}| / c \right)}
{4 \pi | \vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
gelten.
Diese Beziehung wird bei Umformungen häufig ausgenutzt.


\end{multicols}

\hrule

\vspace{8pt}

Es ist auch eine direkte Herleitung von Gleichung (50)
möglich, die nicht darauf basiert, 
daß mit (42) die Lösung der inhomogenen Wellengleichung (41)
gegeben ist.

Dazu werden einige Definitionen benötigt:
%
\begin{equation}
\vec{x} = \left( \vektor{x_1\\ x_2\\ x_3} \right)
\qquad
\vec{x} = \left( \vektor{y_1\\ y_2\\ y_3} \right)
\qquad
\vec{f} = \left( \vektor{f_1\\ f_2\\ f_3} \right)
\qquad
\end{equation}
%
\begin{equation}
\begin{array}{llll}
f_i &= f_i(\vec{y},t) &= f_i(y_1,y_2,y_3,t)\\
b &= b(\vec{x},\vec{y}) &= b(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3) &=
1/|\vec{x} - \vec{y}|\\
\tau &= \tau(\vec{x},\vec{y},t) &= \tau(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,t) &=
t - |\vec{x} - \vec{y}|/c
\end{array}
\end{equation}
%
Es gilt für die Ableitung:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\pp{}{y_i}
\left\{ f_i(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) \right\}
\\ \\
\qquad =
\left\{ \pp{f_i}{y_i}(\vec{y},\tau)
+ \pp{f_i}{t}(\vec{y},\tau) \cdot 
\pp{\tau}{y_i}(\vec{x},\vec{y},\tau)\right\}
\cdot b(\vec{x},\vec{y})
+ 
\displaystyle
f_i(\vec{y},t) \cdot \pp{b}{y_i} (\vec{x},\vec{y})
\end{array}
\end{equation}
%
Die Antisymmetrie von $b$ und $\tau$ bezüglich $\vec{x}$ und $\vec{y}$
kann formal ausgedrückt werden durch
%
\begin{equation}
\left(
\pp{b}{y_i} = -\pp{b}{x_i}
\right)
\, , \,
\left(
\pp{\tau}{y_i} = -\pp{\tau}{x_i}
\right)
\end{equation}
%
Damit läßt sich (53) weiter umformen.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\pp{}{y_i}
\left\{ f_i(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) \right\}
\\ \\
\qquad =
\pp{f_i}{y_i}(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) -
\left\{
\pp{f_i}{t}(\vec{y},\tau) \cdot 
\pp{\tau}{x_i}(\vec{x},\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) +
f_i(\vec{y},\tau) \cdot \pp{b}{x_i}(\vec{x},\vec{y})
\right\}\\ \\
\qquad =
\pp{f_i}{y_i}(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) -
\pp{}{x_i} \left\{ f_i(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) \right\}
\end{array}
\end{equation}
%
Die Integration von (55)
über ein Volumen $\sdoso VQ$
ergibt
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle 
\int\limits_{\sdoso VQ}
\pp{}{y_i}\left\{ f_i(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) \right\}
d y_1 \, d y_2 \, d y_3 \\ \\
\displaystyle 
\qquad=
\int \limits_{\sdoso VQ}
\pp{f_i}{y_i}(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y})\, d y_1 \, d y_2 \, d y_3 
-
\pp{}{x_i}
\int \limits_{\sdoso VQ}
\left\{ f_i(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) \right\}
d y_1 \, d y_2 \, d y_3
\end{array}
\end{equation}
Wird vorausgesetzt, daß
$\vec{f}(\vec{x},t)$ nur innerhalb von $\sdoso VQ$
ungleich Null ist.
Auch auf der Oberfläche von $\sdoso VQ$, die mit $S(\sdoso VQ)$
bezeichnet wird, soll $\vec{f}(\vec{x},t) = 0$ gelten.
Dann kann mit Hilfe des Satzes von Gauss die Umformung
der linken Seite von (56) erfolgen.
Es ergibt sich, daß die linke Seite gleich Null ein muß:
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle 
\int\limits_{\sdoso VQ}
\pp{}{y_i}\left\{ f_i(\vec{y},\tau) \cdot b(\vec{x},\vec{y}) \right\}
d y_1 \, d y_2 \, d y_3 =
\displaystyle 
\int\limits_{\sdoso VQ}
\pp{}{y_i}\left\{
\ff{f_i(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}
{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\}
d y_1 \, d y_2 \, d y_3
\\ \\
\quad =
\displaystyle
\int\limits_{\sdoso VQ}
\hbox{div}_{\vec{y}}\left\{
\ff{\vec{f}(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\}
\hbox{d}^3 \vec{y}
=
\displaystyle 
\int\limits_{S(\sdoso VQ)}
\vec{n}
\cdot
\left\{ 
\ff{\vec{f}(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\} \,
\hbox{d} S_{\vec{y}}
= 0
\end{array}
\end{equation}
%
Damit müssen die Integrale auf der rechten Seite von (56)
gleich sein.
Es folgt
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VQ}
\left\{
\ff{\pp{f_i}{y_i}(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\}
\, d y_1 \, d y_2 \, d y_3 
=
\pp{}{x_i} \,
\int \limits_{\sdoso VQ}
\left\{
\ff{f_i(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\}\,
d y_1 \, d y_2 \, d y_3
\end{equation}
%
In anderer Schreibweise bedeutet dies
%
\begin{equation}
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VQ}
\left\{
\ff{\big\{\hbox{div}\vec{f}\,\big\}(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
=
\pp{}{x_i} \,
\int \limits_{\sdoso VQ}
\left\{
\ff{f_i(\vec{y},t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\right\}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
was mit Gleichung (50) übereinstimmt.


\end{document}

% -------- FIN ----------------