Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 21.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 6.3) Schallquellen durch Störung der Massen-, Impuls- oder
Energieerhaltung}
\end{flushleft}

Im vorangegangen Abschnitt wurde die inhomogene Wellengleichung
mit Quelltermen auf der rechten Seite betrachtet.
Im folgenden soll gezeigt werden, daß sich inhomogene Wellengleichungen
dieser Art ergeben, wenn die Erhaltung von Masse, Impuls oder Energie
nicht überall erfüllt ist.
Zuerst wird die Energieerhaltung untersucht.
Die Energieerhaltung ``steckt'' sozusagen in der Gleichung
%
\begin{equation}
p' = c^2 \rho'
\end{equation}
%
Diese Gleichung folgt aus einer Druck-Dichte-Beziehung
%
\begin{equation}
p = p(\rho)
\end{equation}
%
deren Existenz bei der Ableitung der Wellengleichung vorausgesetzt
wurde.
Die Schallgeschwindigkeit $c$ ist durch
%
\begin{equation}
c^2 = \pp{p}{\rho}
\end{equation}
%
definiert.
Damit bestimmt die Funktion $p(\rho)$ die Schallgeschwindigkeit.
Konkret hängt $p(\rho)$ von dem Medium ab.
Bei Gasen ist die Zustandsänderung in den Schallwellen
adiabatisch, und $p(\rho)$ ist eine Adiabatengleichung.

Bei vielen Vorgängen in der Praxis ist jedoch durch
Energiezufuhr die Zustandsänderung nicht mehr adiabatisch.
Ein Beispiel dafür ist die Verbrennung von Gasen.
Dort wird Bindungsenergie in thermische Energie umgewandelt.
Der Druck $p$ ist dann nicht nur von der Dichte sondern
auch noch von der freigesetzten Energie abhängig.

Wird dem Gas irgendwie Energie zugeführt, so hängt der
Druck zusätzlich von der zugeführten Energie $\sdoso ez$ ab.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
p = p(\rho, \sdoso ez)
\end{equation}
%
Bei diesem Zusammenhang ist Beziehung (1) nicht
mehr gültig.
Diese wird jedoch bei der Herleitung der
Wellengleichung benötigt.
Die Wellengleichung wird aus der linearisierten
Kontinuitätsgleichung
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \, \hbox{div} \vec{v}\,' = 0
\end{equation}
%
und der linearisierten Euler-Gleichung
%
\begin{equation}
\rho_0 \, \pp{\vec{v}\,'}{t} + 
\hbox{grad} \, p' = 0
\end{equation}
%
abgeleitet.
Dazu differenziert man (5) nach der Zeit und
bildet die Divergenz von (6).
Anschließend subtrahiert man die entstehenden Gleichungen.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} + \Delta p' = 0
\end{equation}
%
Diese Beziehung stellt sozusagen die ``Vorstufe''
der Wellengleichung für den Druck dar.
Um die Wellengleichung zu erhalten, wird
die Variable $\rho'$ mit (1) durch $p'$ ersetzt.
Dies ist jedoch bei Energiezufuhr nicht möglich, da (1)
nicht gilt.

Um $\rho'$ in (7) zu ersetzen, muß das totale Differential
von $\rho$ bei Energiezufuhr betrachtet werden.
Aus (4) folgt
%
\begin{equation}
\hbox{d} \rho = 
\pp{\rho}{p}\Big|_{\sdoso ez} \hbox{d} p +
\pp{\rho}{\sdoso ez}\Big|_{p} \hbox{d} \sdoso ez
\end{equation}
%
Aus (3) ergibt sich für die partielle Ableitung bei konstanter Energie
$\sdoso ez$
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{p}\Big|_{\sdoso ez} = \ff{1}{c^2}
\end{equation}
%
Ist $\hbox{d} \sdoso ez$ gleich Null, so verschwindet der zweite Term auf der
rechten Seite von (8), und man kann direkt (1) ableiten.
Bei Energiezufuhr ist jedoch $\hbox{d} \sdoso ez$ größer Null und
es ergibt sich eine Abweichung.
Um diese zu berechnen wird im folgenden von einem idealen Gas ausgegangen.
Es gilt
%
\begin{equation}
\ff{p}{\rho} = R T
\end{equation}
%
Dabei ist $R$ die spezifische Gaskonstante.
Gleichung (10) kann zu
%
\begin{equation}
\rho = \ff{p}{R T}
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Damit ergibt sich für die partielle Ableitung bei konstanten Druck
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{\sdoso ez} \Big|_{p} =
- \ff{p}{R T^2} \;
\pp{T}{\sdoso ez} \Big|_{p}
\end{equation}
%
Damit wurde die Ableitung von $\rho$ durch eine Ableitung von der
Temperatur $T$ ausgedrückt.
Bei Zufuhr von Energie steigt die Temperatur.
Das bedeutet, die Ableitung auf der rechten Seite von (12) ist positiv.

Üblicherweise wird in der Thermodynamik die inverse Funktion $\sdoso ez (T)$
betrachtet.
Es wird die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck mit
%
\begin{equation}
c_p =
\pp{\sdoso ez}{T} \Big|_{p}
\end{equation}
%
eingeführt.
Daraus ergibt sich für die gesuchte Ableitung
%
\begin{equation}
\pp{T}{\sdoso ez} \Big|_{p} =
\ff{1}{c_p}
\end{equation}
%
Die Größen $R$ und $c_p$ sind über
%
\begin{equation}
R = c_p - c_v
\end{equation}
%
miteinander verknüpft.
Dabei ist $c_v$ die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen.
In der Akustik werden meistens -- wie in der Strömungsmechanik --
alle Größen spezifisch auf das Volumen bezogen.
In diesem Fall entspricht ein konstantes Volumen eines Fluidelementes
im Sinne von $c_v$ einer konstanten Dichte $\rho$ in dem Fluidelement.

Für das ideale Gas läßt sich (3) berechnen.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
c^2 = \gamma \, \ff{p}{\rho}
\end{equation}
%
Dabei ist der sogenannte Adiabatenexponent mit
%
\begin{equation}
\gamma = \ff{c_p}{c_v}
\end{equation}
%
gegeben.
Mit Hilfe der Beziehungen (13) bis (17) läßt sich
nun Gleichung (12) auf eine ``schönere'' Form bringen.
Mit (14) folgt
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{\sdoso ez} \Big|_{p} =
- \ff{p}{R T^2} \; \ff{1}{c_p}
\end{equation}
%
Löst man (10) nach $T$ auf und setzt in (18) ein,
ergibt sich unter Berücksichtigung von (15) bis (17)
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{\sdoso ez} \Big|_{p} =
- \ff{\rho^2 R}{p c_p} =
- \ff{\gamma}{c^2} \, \rho \, \ff{c_p - c_v}{c_p}
\end{equation}
%
Damit erhält man schließlich
%
\begin{equation}
\pp{\rho}{\sdoso ez} \Big|_{p} =
- \ff{\rho}{c^2} \, (\gamma - 1)
\end{equation}
%
Setzt man die Ausdrücke in (9) und (20) für
die Ableitungen in (8) ein, ergibt sich für das totale Differential
%
\begin{equation}
\hbox{d} \rho =
\ff{1}{c^2} \, \hbox{d} p
- \ff{\rho \,(\gamma - 1)}{c^2} \, \hbox{d} \sdoso ez 
\end{equation}
%
Dies kann nun verwendet werden, um die Ableitung von $\rho'$
in (7) zu ersetzen.
Dabei ist zu bemerken, daß für die Differentiale
%
\begin{equation}
\hbox{d} p =
\hbox{d} p'
\end{equation}
%
und
%
\begin{equation}
\hbox{d} \rho =
\hbox{d} \rho'
\end{equation}
%
gilt.
Es ergibt sich für die zweite Ableitung nach der Zeit
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} = \ff{1}{c^2} \, \pp{^2 p'}{t^2}
- \ff{\rho_0 \,(\gamma - 1)}{c^2} \, \pp{^2 \sdoso ez}{t^2}
\end{equation}
%
Dabei ist $\rho$ durch $\rho_0$ ersetzt worden.
Das bedeutet, die Ableitungen in (8) werden für den Ausgangszustand mit
$p_0$ und $\rho_0$ berechnet, genau wie die Schallgeschwindigkeit
jetzt mit
%
\begin{equation}
c^2 = \gamma \, \ff{p_0}{\rho_0}
\end{equation}
%
gegeben ist.
Eigentlich müßte man $c_0$ statt $c$ schreiben.
Das gilt übrigens auch für Gleichung (1).
Der Index $0$ wurde jedoch von Anfang an weggelassen,
da normalerweise keine Verwechselungsgefahr besteht.
Bei den thermodynamischen Überlegungen ist jedoch die Schallgeschwindigkeit
nach (16) der tatsächliche Wert und nicht der Wert im Ausgangszustand.
Das heißt, die Größe $c$ schwankt dann auch zeitlich in einer Schallwelle.
Im folgenden bedeutet $c$ wieder die Schallgeschwindigkeit im akustischen
Sinn nach Gleichung (25).

Schließlich kann (24) in die ``Vorstufe'' der Wellengleichung (7)
eingesetzt werden.
Es wird so umgeformt, daß die linken Seite der homogenen
Wellengleichung entspricht.
Der zusätzliche Term wird auf die rechte Seite gebracht.
Man erhält
%
\begin{equation}
\pp{^2 p'}{t^2} + \Delta p' = 
\ff{\rho_0 \,(\gamma - 1)}{c^2} \, \pp{^2 \sdoso ez}{t^2}
\end{equation}
%
Diese Gleichung stellt nun tatsächlich eine inhomogene Wellengleichung
dar, wie sie im letzten Abschnitt besprochen wurde.
Dort wurde zwar die Wellengleichung für das Potential $\phi$ betrachtet,
aber alle Ergebnisse lassen sich auch auf die Wellengleichung für 
den Schalldruck übertragen.
Die Gleichung (26) entspricht der allgemeinen Form
%
\begin{equation}
\pp{^2 p'}{t^2} + \Delta p' = q(\vec{x},t)
\end{equation}
%
mit der Quellstärkeverteilung
%
\begin{equation}
q(\vec{x},t) = \ff{\rho_0 \,(\gamma - 1)}{c^2} \, \pp{^2 \sdoso ez}{t^2}
\end{equation}
%
Die Quellstärke hängt von der zweiten Ableitung der zugeführten Energie
nach der Zeit ab.
Dies Ergebnis scheint plausibel zu sein.
Zum Beispiel brennt eine Kerze ohne Geräusche.
Zweifellos wird bei der Verbrennung Energie freigesetzt,
jedoch ist bei gleichmäßiger Verbrennung die zweite Ableitung gleich Null.
Eine instationäre Verbrennung -- wie zum Beispiel das Zünden eines
Feuerzeugs -- ist dagegen hörbar.
Ein extremes Beispiel ist der Blitz bei einem Gewitter.
Dort ist $\sdoso ez$ relativ hoch und zudem ist der Vorgang extrem
instationär.
Dies ergibt eine relativ starke zweite Ableitung und damit ein lautes
Geräusche, den Donner.

Für den freien Raum läßt sich die Lösung von (27)
als Integral darstellen.
Es gilt
%
\begin{equation}
p'(\vec{x},t) = \ff{1}{4 \pi} \,
\iraum
\ff{q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Für die spezielle Quellstärke (28) ergibt sich
als Lösung
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p'(\vec{x},t) =\\[10pt]
\displaystyle
\quad
\ff{\rho_0 (\gamma -1)}{4 \pi c^2} \,
\pp{^2}{t^2}
\iraum
\ff{\sdoso ez
(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei wurde die Zeitableitung mit der Integration
vertauscht.
In der Praxis sind natürlich immer irgendwo Begrenzungen
vorhanden, und die Lösung für den freien Raum ist nicht
gültig.
Die Lösung beinhaltet nämlich nicht die Reflexionen, die
von vorhandenen Rändern ausgehen.
Die Lösung für den freien Raum kann dennoch für Abschätzungen
verwendet werden.

Bisher wurde nur die Störung der Energieerhaltung betrachtet.
Analog kann auch die Verletzung der Massenerhaltung untersucht werden.
Jedoch lassen sich für die Massenzuführung im Raum nicht so einfach
praktische Beispiele nennen, denn
Masse kann nicht einfach im Raum entstehen oder verschwinden.
Natürlich kann Gas irgendwo ausströmen.
Dazu ist aber immer eine Leitung also eine Berandung notwendig.
Nur wenn die Berandung vernachlässigt werden kann, wird sich
eine Massenquelle im freien Raum näherungsweise realisieren lassen.

Die Massenerhaltung wird durch die linearisierte Kontinuitätsgleichung
(5) beschrieben.
Durch Massenzufuhr ändert sich die Dichte, selbst wenn die Bewegung
$\vec{v}\,'$ gleich Null ist.
Dies kann durch
%
\begin{equation}
\pp{\rho'}{t} + \rho_0 \, \hbox{div} \vec{v}\,' =
\pp{\sdoso mz}{t}
\end{equation}
%
ausgedrückt werden.
Dabei ist $\sdoso mz$ die zugeführte Masse pro Volumen.
Im Gegensatz zu (5) ist die neue Kontinuitätsgleichung (31) inhomogen.
Die linearisierte Euler-Gleichung (6) gilt weiterhin auch bei
Massenzufuhr.
Um eine Wellengleichung für den Druck zu erhalten wird wie bisher
die Zeitableitung der Kontinuitätsgleichung gebildet.
Davon wird die Divergenz von Gleichung (6) subtrahiert.
Es ergibt sich eine ``Vorstufe'' zur Wellengleichung
%
\begin{equation}
\pp{^2 \rho'}{t^2} - \Delta p' =
\pp{^2 \sdoso mz}{t^2}
\end{equation}
%
Diese ist jedoch im Gegensatz zu (7) bereits inhomogen.
Um eine Wellengleichung für den Druck zu erhalten muß noch
$\rho'$ in (32) ersetzt werden.
Dazu ist jedoch eine weitere Annahme notwendig.
Es wird vorausgesetzt, daß die zugeführte Masse die gleiche Dichte $\rho_0$
wie die bereits vorhandene Masse besitzt.
Dies kann man sich so vorstellen, daß irgendwie Gas mit den gleichen
Eigenschaften und der gleichen Temperatur zugeführt wird.
In diesem Fall gilt weiterhin die
Gleichung (1) und $\rho'$ kann einfach durch $p'$ ersetzt werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2 p'}{t^2} - \Delta p' =
\pp{^2 \sdoso mz}{t^2}
\end{equation}
%
Dies ist wieder eine inhomogene Wellengleichung der Form (27) mit
der Quellverteilung
%
\begin{equation}
q(\vec{x}, t) = \pp{^2 \sdoso mz}{t^2}
\end{equation}
%
Es zeigt sich, daß instationäres Zuführen von Masse Schall bewirkt.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------