Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 14.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 6.1) Monopol}
\end{flushleft}

Es wurde das Integral der Wellengleichung über ein Kugelvolumen
betrachtet.
Das Integral wurde in zwei Teile aufgespalten.
Der erste Term mit den Zeitableitungen wurde bereits untersucht.
Im Grenzfall einer unendlich kleinen Kugel ($a \rightarrow 0$),
verschwindet das erste Teilintegral.
Es bleibt somit nur das zweite Teilintegral.
Dieses enthält den Laplace-Term.
Das Volumenintegral über das Kugelvolumen $\sdoso VK$
wird zunächst mit dem Satz von Gauss
in das Oberflächenintegral über $\sdoso SK$ umgewandelt.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\int \limits_{\sdoso VK} \Delta \phi \; \hbox{d} \sdoso VK
=
\int \limits_{\sdoso SK} \vec{n} \, \hbox{grad} \phi \; \hbox{d} \sdoso SK
=
\int \limits_{\sdoso SK} \pp{\phi}{r} \, \hbox{d} \sdoso SK
\end{equation}
%
Um das Integral für die betrachtete Lösung
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A}{r} \,  e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
zu ermitteln, ist die Ableitung
%
\begin{equation}
\pp{\phi}{r} = - \ff{A}{r^2} \, e^{i \omega (t - r/c)}
- i \, \ff{A \omega}{r c} \, e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
notwendig.
Die Berechnung des Oberflächenintegrals ist einfach, da
der Integrand nach (3) nur von $r$ abhängt und damit auf
der gesamten Oberfläche konstant ist.
Die Integration liefert
%
\begin{equation}
\int \limits_{\sdoso SK} \pp{\phi}{r} \, \hbox{d} \sdoso SK
=
- 4 \pi A \, e^{i \omega (t - a/c)}
- i 4 \pi a \, \ff{A \omega}{c} \, e^{i \omega (t - a/c)}
\end{equation}
%
Untersucht werden soll die singuläre Stelle bei $r = 0$.
Es wird daher wieder der Grenzfall einer unendlich kleinen
Kugel betrachtet.
Es folgt
%
\begin{equation}
\lim_{a \rightarrow 0}
\int \limits_{\sdoso VK} \Delta \phi \; \hbox{d} \sdoso VK
=
- 4 \pi A \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Damit ergibt sich für das gesamte Integral
%
\begin{equation}
\lim_{a \rightarrow 0}
\int \limits_{\sdoso VK} 
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi \; \hbox{d} \sdoso VK
=
+ 4 \pi A \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Das Ergebnis entspricht bis auf das Vorzeichen und dem
$e^{i \omega t}$-Term dem Integral über $\Delta \phi$ für
eine einfache Quellströmung, wie es bereits berechnet wurde.
Der Integrand ist bis auf die Stelle $r = 0$
überall gleich Null.
Dort ist sein Wert singulär.
Das Integral über diese Singularität liefert einen endlichen
Wert.
Damit kann die Singularität quantifiziert werden.
Dies kann formal mit der $\delta$-Funktion
dargestellt werden.
Für die Lösung (2) kann
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi =
4 \pi A \,  e^{i \omega t} \, \delta(\vec{x})
\end{equation}
%
geschrieben werden.
Diese Gleichung gilt nun überall auch in dem singulären
Punkt bei $r = 0$.

Bisher wurde nur der harmonische Fall betrachtet.
Die Überlegungen gelten jedoch auch für
nichtharmonische Lösungen der Form
%
\begin{equation}
\phi = \ff{f(t - r/c)}{r}
\end{equation}
%
Sie erfüllt die Gleichung
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi =
4 \pi \, f(t) \, \delta(\vec{x})
\end{equation}
%
Die Herleitung dieser Beziehung wird hier nicht im Detail
gezeigt.
Zerlegt man die Zeitfunktion $f(t)$ in ihre harmonischen
Anteile, so gilt für die Anteile einzeln die Gleichung (7).
Durch Aufsummieren beziehungsweise Integrieren der
harmonischen Anteile läßt sich dann von (7) auf (9) schließen.

Um auf die Gleichung (7) zu gelangen wurde von der Lösung
(2) ausgegangen.
Analog ergibt sich für die Lösung (8) die Beziehung (9).
Man kann sich aber auch umgekehrt (9) als
Bestimmungsgleichung für die Lösung (8) vorstellen.
Die Lösungen (2) beziehungsweise (8) wurden
bisher als Lösungen der homogenen Wellengleichung
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi = 0
\end{equation}
%
gefunden, die eine Randbedingung an der Oberfläche
einer atmenden Kugel erfüllen.
Das heißt, Gleichung (10) gilt überall außerhalb der
atmenden Kugel.
Im Grenzfall einer unendlich kleinen Kugel ist dies
Überall bis auf den Punkt $r = 0$.
Dagegen gilt (9) auch in diesem Punkt.
Es gibt keinen Rand mehr.
Statt der Randbedingung bestimmt jetzt die rechte Seite von (9)
die Lösung.
Die rechte Seite beschreibt eine punktförmige Monopolquelle.
Man hat sozusagen die Randbedingung gegen den Quellterm
auf der rechten Seite eingetauscht.

Zu Beginn dieses Abschnittes wurde das Gedankenexperiment mit
der immer kleiner werdenden atmenden Kugel vorgestellt.
Im Grenzfall ergab sich dann eine punktförmige Schallquelle.
Man kann sich die Punktquelle jedoch auch noch anders veranschaulichen.
Für das Integral über ein Kugelvolumen $\sdoso VK$ mit Oberfläche
$\sdoso SK$ gilt allgemein
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VK} 
\Delta \phi \; \hbox{d} \sdoso VK
&=
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso SK} 
\vec{n} \, \hbox{grad} \phi \; \hbox{d} \sdoso SK \\[20pt]
&=
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso SK} 
\vec{n} \, \vec{v} \; \hbox{d} \sdoso SK
\end{array}
\end{equation}
%
Der Vektor $\vec{n}$ ist dabei der Normalenvektor nach außen auf der
Oberfläche.
Das Oberflächenintegral über $\vec{n} \, \vec{v}$ ergibt den
Volumenfluß über die Oberfläche.
Multipliziert mit der Dichte $\rho_0$ ergibt sich daraus die Masse, die
pro Zeit durch die Oberfläche bewegt wird, denn es gilt
%
\begin{equation}
\hbox{Volumenfluß} =
\ff{\hbox{Masse}}{\hbox{Zeit} \times \hbox{Dichte}}
\nonumber
\end{equation}
%
Für die Lösung (2)
wurde gezeigt, das in Grenzfall eines unendlich kleinen Volumens
%
\begin{equation}
\displaystyle
\lim_{a \rightarrow 0}
\int \limits_{\sdoso SK} 
\vec{n} \, \vec{v} \; \hbox{d} \sdoso SK
=
- 4 \pi A \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
gilt.
Das bedeutet, die Lösung (2) beschreibt an dem Punkt $r = 0$ eine
Massenquelle.
Der Massenfluß (Masse pro Zeit) aus diesem Punkt ist mit
%
\begin{equation}
\sdoso QM
=
- 4 \pi A \, e^{i \omega t} \, \rho_0
\end{equation}
%
gegeben.
Man kann sich die akustische Punktquelle statt
als kleine atmende Kugel als eine periodisch
schwankende Massenquelle vorstellen.
Diese bewirkt auch ein entsprechendes Schallfeld.

Das Ergebnis (13) stimmt bis auf den $e^{i \omega t}$-Term
mit der Formel für eine Punktquelle
in einer stationäre Potentialströmung überein.
Das bedeutet, in der Nähe der Singularität verhält sich
die akustische Lösung anscheinend wie eine stationäre
Potentialströmung.
In einer kleinen Umgebung um die singuläre Stelle $r = 0$
stimmt das Schnellefeld der Lösung (2)
mit dem Geschwindigkeitsfeld einer angepaßten Potentialströmung
überein.
Allerdings schwankt das Schnellefeld und für jeden Zeitpunkt muß
die Quellstärke der Potentialströmung entsprechend angepaßt werden.
Das akustische Feld kann in der kleinen Umgebung als
quasi-statisch betrachtet werden.
Wie klein die Umgebung tatsächlich ist, hängt davon ab, wie
schnell der Limes in (12) konvergiert.
Eine genauere Untersuchung ergibt, daß der Abstand klein
gegenüber der Wellenlänge sein muß ($r \ll \lambda$).



\begin{flushleft}
{\bf 6.2) Kontinuierliche Quellverteilung}
\end{flushleft}

Bisher wurde eine Punktquelle an der Stelle $r = 0$ betrachtet.
Mit dem im letzten Abschnitt vorgestellten Formalismus ist auch
die Beschreibung von Quellen an einer anderen Stelle einfach möglich.
Die inhomogene Wellengleichung
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi =
4 \pi \, f(t) \, \delta(\vec{x} - \vec{x}_0)
\end{equation}
%
wird durch
%
\begin{equation}
\phi = \ff{f(t - |\vec{x} - \vec{x}_0|/c)}{|\vec{x} - \vec{x}_0|}
\end{equation}
%
gelöst.
Die Lösung besitzt ihre Singularität an der Stelle $\vec{x}_0$.
Sie stellt die Lösung für eine atmende Kugel dar, deren Mittelpunkt sich
bei $\vec{x}_0$ befindet.

Da die Wellengleichung (14) linear ist, lassen sich auch mehrere
Punktquellen an verschiedenen Orten einfach überlagern.
Auf der rechten Seite erscheint dabei eine Summe über mehrere
$\delta$-Funktionen.
Für $N$ Punktquellen ergibt sich
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi =
4 \pi \, \sum \limits_{n=1}^{N} f_n(t) \, \delta(\vec{x} - \vec{x}_n)
\end{equation}
%
Dabei ist $f_n(t)$ die Stärke der Quelle $n$ zur Zeit $t$.
Mit $\vec{x}_n$ ist der Ort der Quelle $n$ bezeichnet.
Als Lösung von (16) ergibt sich entsprechend auch eine Summe
%
\begin{equation}
\phi =  \sum \limits_{n=1}^{N}
\ff{f_n(t - |\vec{x} - \vec{x}_n|/c)}{|\vec{x} - \vec{x}_n|}
\end{equation}
%
Hier sei angemerkt, daß für jede Quelle ein andere Zeit
%
\begin{equation}
t - \ff{|\vec{x} - \vec{x}_n|}{c}
\end{equation}
%
in die Funktion $f_n()$ eingesetzt werden muß.
Diese Zeit wird retardierte Zeit genannt.
Sie ist die Zeit, zu der das Signal, welches zur Zeit $t$ am
Beobachter $\vec{x}$ ankommt, von der Quelle am Ort $\vec{x}_n$
ausgesandt wurde.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,4.0) \thicklines
\put(1.0,0.5){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=triangle.eps,width=5.0cm}}}
\put(1.0,0.4){\makebox(0,0)[ct]{\small $0$}}
\put(5.9,2.8){\makebox(0,0)[lc]{\small Beobachter}}
\put(1.6,3.6){\makebox(0,0)[cc]{\small Quelle $n$}}
\put(4.0,3.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $|\vec{x} - \vec{x}_n|$}}
\put(4.0,1.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{x}$}}
\put(1.2,2.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $\vec{x}_n$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Wie in der Abbildung verdeutlicht, muß das Signal die
Strecke $|\vec{x} - \vec{x}_n|$ zurücklegen.
Dabei vergeht die Zeitspanne $|\vec{x} - \vec{x}_n|/c$.
Diese muß von der aktuellen Zeit $t$ abgezogen werden, um 
die Quellzeit zu erhalten.
Die retardierte Zeit hängt damit von dem Beobachtungsort, dem
Quellort und der aktuellen Zeit ab.
Im folgenden werden noch häufiger Ausdrücke der Form (18) vorkommen.

Die Lösung für mehrere Punktquellen (17) wird durch
einfaches Aufsummieren der Lösungen für die einzelnen Quellen
gebildet.
Auf analoge Weise kann auch die Lösung für eine kontinuierliche
Quellverteilung gewonnen werden.
Die inhomogene Wellengleichung
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi =
4 \pi \, q(\vec{x}, t)
\end{equation}
%
enthält auf der rechten Seite eine Feldfunktion $q(\vec{x}, t)$, die
die Quellen beschreibt.
Damit kann übrigens auch die Quellverteilung aus (14) oder (16)
dargestellt werden.
Das Feld $q(\vec{x}, t)$ muß nur entsprechend gewählt werden.
Um nun $q(\vec{x}, t)$ aus $\delta$-Funktionen zusammenzusetzen wird
ein Integral statt einer Summe benötigt.
Nach den Rechenregeln für $\delta$-Funktionen gilt
%
\begin{equation}
q(\vec{x}, t) =
\iraum \, q(\vec{y}, t) \, \delta(\vec{x} - \vec{y}) \, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
Dies ist eine allgemeine Regel.
Ihr entspricht im eindimensional Fall die Beziehung
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{\infty} \,
h(y) \, \delta(y - x) \, \hbox{d}y = h (x)
\end{equation}
%
Diese wurde bereits in einem vorangegangen Kapitel verwendet.
Die Quellverteilung $q(\vec{x}, t)$ wird nun in Anteile zerlegt,
die dem Integrand in (20) entsprechen.
Diese Anteile sind Punktquellen, für die die Lösung bekannt ist.
Der Integrand hängt sowohl von $\vec{x}$ als auch von $\vec{y}$ ab.

Für einen Anteil, also für ein festes $\vec{y}$, ergibt sich die
Wellengleichung der Form
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi =
4 \pi \, q(\vec{y}, t) \, \delta(\vec{x} - \vec{y})
\end{equation}
%
Sei entspricht (14), wenn man
%
\begin{equation}
f(t) =  q(\vec{y}, t)
\end{equation}
%
und $\vec{x}_0$ mit $\vec{y}$ ersetzt.
Damit lautet die Lösung für (22)
%
\begin{equation}
\phi_{\vec{y}} (\vec{x}, t) =
\ff{f(t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\end{equation}
%
Das Symbol $\phi_{\vec{y}}$ soll deutlich machen, daß die Lösung
jetzt auch von $\vec{y}$ abhängt.
Ersetzt man wieder $f$ durch $q$ in (24) so erhält man
%
\begin{equation}
\phi_{\vec{y}} (\vec{x}, t) =
\ff{q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\end{equation}
%
Dies wird in (22) eingesetzt und anschließend werden beide Seiten
über den gesamten Raum integriert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\iraum
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta_{\vec{x}} \right)
\phi_{\vec{y}} (\vec{x}, t) \, \hbox{d}^3 \vec{y} \\[20pt]
\displaystyle
=
\iraum
4 \pi \, q(\vec{y}, t) \, \delta(\vec{x} - \vec{y}) \, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{array}
\end{equation}
%
Das Symbol $\Delta_{\vec{x}}$ soll verdeutlichen, daß die Ableitung
nach der $\vec{x}$-Variablen und nicht nach $\vec{y}$ gemeint ist.

Die rechte Seite entspricht bis auf den Faktor $4 \pi$ dem Integral in (20).
Auf der linken Seite kann man den Wellenoperator mit den Ableitungen
nach Ort und Zeit mit der Integration vertauschen.
Die ist dann ohne Probleme möglich, wenn die Integrationsgrenzen nicht
von den Größen $\vec{x}$ und $t$ abhängen.
Die Integrationsgrenzen liegen um Unendlichen.
Es wird daher gefordert, daß das Feld  $q(\vec{y}, t)$ im
Unendlichen verschwindet.
Dies bedeutet keine wirkliche Einschränkung, da Quellen im Unendlichen
sowieso nie betrachtet werden.
In fast allen Fällen kann sogar der Bereich der Quellen mit einem
Volumen endlicher Ausdehnung abgedeckt werden.
Es ergibt sich aus (26)
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta_{\vec{x}} \right)
\iraum
\ff{q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y} \\[20pt]
\displaystyle
=
4 \pi q(\vec{x}, t)
\end{array}
\end{equation}
%
Diese Beziehung hat die Form (19), wenn man $\phi$ gleich dem
Integral in (27) setzt.
In der Literatur hat es sich jedoch so ergeben, daß
der Faktor $4 \pi$ üblicherweise in die Lösung geschrieben wird.
Dazu muß man (27) nur durch $4 \pi$ dividieren.

Die Lösung
%
\begin{equation}
\phi (\vec{x}, t) =
\ff{1}{4 \pi} \,
\iraum
\ff{q(\vec{y}, t - |\vec{x} - \vec{y}|/c)}{|\vec{x} - \vec{y}|}
\, \hbox{d}^3 \vec{y}
\end{equation}
%
erfüllt damit die inhomogene Wellengleichung der Form
%
\begin{equation}
\left( \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} - \Delta \right) \phi = q(\vec{x}, t)
\end{equation}
%
Anzumerken ist, daß die Lösung (28) nur im unendlich ausgedehnten
offenen Raum gilt.
Im folgenden Schema ist zusammengefaßt, auf welchem Wege sich die
Gleichung (29) ergeben hat.
\end{multicols}

%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(12.0,10.0) \thicklines
\put(3.0,7.0){\vector(0,-1){1.0}}
\put(10.0,7.0){\vector(0,-1){1.0}}
\put(3.0,4.0){\vector(1,-1){2.0}}
\put(10.0,4.0){\vector(-1,-1){2.0}}
\put(1.0,7.0){\framebox(4,2)[cc]{\parbox[c]{3cm}{Monopolfeld\\(atmende Kugel)}}}
\put(8.0,7.0){\framebox(4,2)[cc]{\parbox[c]{3cm}
{Kontinuierliche \\Quellverteilung\\ $q(\vec{x}, t)$}}}
\put(1.0,4.0){\framebox(4,2)[cc]{\parbox[c]{3cm}{Inhomogene\\Wellengleichung\\für
Punktquellen}}}
\put(8.0,4.0){\framebox(4,2)[cc]{\parbox[c]{3cm}{Darstellung als\\
Integral\\von Punktquellen}}}
\put(4.0,0.0){\framebox(5,2)[cc]{\parbox[c]{4cm}{Inhomogene\\Wellengleichung\\für
kontinuierliche\\Quellverteilung}}}
\end{picture}
\end{center}
%



\end{document}

% -------- FIN ----------------