Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 10.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 5.6) Schallfeld einer vibrierende Kugel}
\end{flushleft}

Bisher wurde die zur Bewegung der Kugel notwendige Kraft
$F_1(t)$ berechnet.
Mit $F_1$ ist eigentlich nur die Komponente der Kraft in $x_1$-Richtung
-- der Bewegungsrichtung -- bezeichnet.
Da die anderen beiden Komponenten sowieso Null sind, ist die Betrachtung
von $F_1$ ausreichend.
Die an der Kugel geleistete Arbeit pro Zeit ist
durch das Produkt
%
\begin{equation}
P(t) = F_1(t) \cdot \sdoso uK'(t)
\end{equation}
%
gegeben.
Zwischen den komplexen Amplituden der Kraft und Kugelgeschwindigkeit
besteht der Zusammenhang
%
\begin{equation}
\hat{F}_1 = \ff{4}{3} \pi a^2
\, \sdoso ZR (a, \omega)
\, \sdoso {\hat{u}}K
\end{equation}
%
Bei vorgegebener Bewegung mit  $\sdoso {\hat{u}}K$ legt die
radiale Impedanz an der Kugeloberfläche $\sdoso ZR (a, \omega)$
die Kraftamplitude $\hat{F}_1$ und damit letztlich auch die
notwendige Leistung $P(t)$ fest.
Der Betrag von $\sdoso ZR (a, \omega)$ bestimmt die maximale 
Leistung, die auftreten kann.
Durch die Phase von $\sdoso ZR (a, \omega)$ wird die Phasendifferenz
zwischen $F_1$ und $\sdoso uK'$ festgelegt.
Für eine relativ große Kugel, im Sinne von
%
\begin{equation}
a \gg \lambda
\end{equation}
%
ist $\sdoso ZR (a, \omega)$ näherungsweise reell, und Kraft und
Geschwindigkeit sind in Phase.
Die Situation ist in Abbildung a) dargestellt.
Untereinander sind die Zeitverläufe für
$\sdoso uK'$, $F_1$ und $P$ aufgetragen.
Die horizontalen Linien markieren die jeweiligen Nullinien.
$P(t)$ oszilliert mit dem Doppelten  der Frequenz $\omega$.
Die Leistung ist immer größer oder gleich Null.
Ist die Bedingung (3) nicht erfüllt, so liegt eine
Phasenverschiebung zwischen Kraft und Geschwindigkeit vor.
Die Leistung $P$ kann dann auch negativ werden.
Das bedeutet, es wird zeitweise Energie aus dem Schallfeld um die Kugel
in den Antrieb übertragen.
In Abbildung b) und c) sind die entsprechenden Kurven
für eine Phasenverschiebung von $\pi/4$ und $\pi/2$ gezeigt.
Bei $\pi/4$ überwiegt noch der positive Anteil
und im zeitlichen Mittel wird Arbeit geleistet.
Im Fall von 90 Grad Phasendifferenz -- also $\pi/2$ --
oszilliert $P$ um Null. 
Die positiven und negativen Anteile heben sich gegeneinander auf.
Im zeitlichen Mittel wird keine Arbeit geleistet,
sondern es gibt nur Blindleistung.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,5.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ph00.eps,width=5.0cm}}}
\put(0.0,5.3){\makebox(0,0)[lt]{\small a)}}
\put(4.6,4.25){\makebox(0,0)[lc]{\small $\sdoso uK'(t)$}}
\put(4.6,2.55){\makebox(0,0)[lc]{\small $F_1(t)$}}
\put(4.6,0.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $F_1(t) \cdot \sdoso uK'(t)$}}
\put(5.0,5.2){\makebox(0,0)[lt]{\small Phasendifferenz 0}}
\end{picture}
\end{center}
%
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,5.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ph01.eps,width=5.0cm}}}
\put(0.0,5.3){\makebox(0,0)[lt]{\small b)}}
\put(4.6,4.25){\makebox(0,0)[lc]{\small $\sdoso uK'(t)$}}
\put(4.6,2.55){\makebox(0,0)[lc]{\small $F_1(t)$}}
\put(4.6,0.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $F_1(t) \cdot \sdoso uK'(t)$}}
\put(5.0,5.2){\makebox(0,0)[lt]{\small Phasendifferenz $\pi/4$}}
\end{picture}
\end{center}
%
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(8.0,5.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=ph02.eps,width=5.0cm}}}
\put(0.0,5.3){\makebox(0,0)[lt]{\small c)}}
\put(4.6,4.25){\makebox(0,0)[lc]{\small $\sdoso uK'(t)$}}
\put(4.6,2.55){\makebox(0,0)[lc]{\small $F_1(t)$}}
\put(4.6,0.9){\makebox(0,0)[lc]{\small $F_1(t) \cdot \sdoso uK'(t)$}}
\put(5.0,5.2){\makebox(0,0)[lt]{\small Phasendifferenz $\pi/2$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Es stellt sich die Frage, ob 90 Grad Phasendifferenz zwischen
Kraft und Geschwindigkeit überhaupt möglich sind.
Dazu wird der Ausdruck für die radiale Impedanz so umgeformt, 
daß der Nenner reell wird.
Die ist durch Erweitern des Nenners mit seinem komplex konjugierten
Wert möglich.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR =
\ff{\rho_0 c}{2} \,
\ff{i \, \left(\ff{\omega r}{c} \right) \,
\left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\ff{\omega r}{c} \right)^2 \right]
+  \frac{1}{2} \left(\ff{\omega r}{c} \right)^4}
{\left[ 1 - \frac{1}{2} \left(\ff{\omega r}{c} \right)^2 \right]^2
+ \left(\ff{\omega r}{c} \right)}
\end{equation}
%
Der gesamte Ausdruck hängt von dem Term
%
\begin{equation}
\ff{\omega r}{c} = k r = \ff{2 \pi r}{\lambda}
\end{equation}
%
ab.
Speziell an der Kugeloberfläche bei $r = a$ ist demnach
der Faktor
%
\begin{equation}
\ff{\omega a}{c} = \ff{2 \pi a}{\lambda}
\end{equation}
%
für $\sdoso ZR (a,\omega)$ entscheidend.
Der Fall einer relativ großen Kugel wurde bereits oben
diskutiert.
Ist dagegen die Kugel relativ klein ($a \ll \lambda$),
so wird
%
\begin{equation}
\ff{\omega a}{c} \ll 1
\end{equation}
%
und es folgt aus (4) die Näherung
%
\begin{equation}
\sdoso ZR (a, \omega) \approx i \, \ff{\rho_0 c}{2}\, \left(\ff{\omega a}{c} \right)
=
i \omega \, \ff{\rho_0 a}{2}
\end{equation}
%
Es ist tatsächlich in dem Grenzfall (7) der Realteil der radialen
Impedanz vernachlässigbar klein gegenüber dem Imaginärteil.
Damit ergibt sich nach (2) approximativ eine Phasenverschiebung um
90 Grad, die der Abbildung c) entspricht.

Bisher wurde nicht betrachtet, daß auch eine Kraft notwendig
ist, um die Masse der Kugel bei der Bewegung zu beschleunigen.
%Das heißt, bisher wurde von einer masselosen Kugel ausgegangen.
Die mechanische Kraft ergibt zusammen mit $F_1$, die im folgenden
als akustische Kraft bezeichnet wird, die
Gesamtkraft.
Für die mechanische Kraft (Masse $\times$ Beschleunigung) gilt
%
\begin{equation}
\sdoso F{mech} = \sdoso MK \; \dd{\sdoso uK'}{t}
\end{equation}
%
Dabei ist $\sdoso MK$ die Masse der Kugel.
In komplexer Formulierung ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso F{mech} = i \omega \sdoso MK \; \sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Aus (2) und (4) folgt im Grenzfall einer sehr kleinen Kugel für die
akustische Kraft
%
\begin{equation}
F_1 = \hat{F}_1 \, e^{i \omega t} \approx i \omega \,
\ff{1}{2} \, 4 \pi a^3 \, \rho_0 \, \sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega t} 
\end{equation}
%
In diesem Grenzfall sind die
Kräfte $F_1$ und $\sdoso F{mech}$ näherungsweise in Phase.
Ohne Fluid -- also im Vakuum -- wäre nur  $\sdoso F{mech}$
notwendig um die Kugel zu bewegen.
Durch das Fluid entsteht eine zusätzliche Kraft $F_1$.
Diese kann so interpretiert werden, daß die Kugel scheinbar mehr Masse
besitzt, die mitbewegt wird.
Die Gesamtkraft wird zu
%
\begin{equation}
\sdoso F{ges} = \sdoso F{mech} + F_1 
\approx i \omega \,
(\sdoso MK + \sdoso M{Fluid}) \, \sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega t} 
\end{equation}
%
Dabei ist die mitbewegte Masse als $\sdoso M{Fluid}$ bezeichnet.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso M{Fluid} = 
\ff{1}{2} \, 4 \pi a^3 \, \rho_0
=
\ff{1}{2} \, \sdoso VK \, \rho_0
\end{equation}
%
Die Größe $\sdoso VK$ ist das Volumen der Kugel.
Die scheinbar mitbewegte Masse entspricht der halben Masse des Fluids,
welches durch die Kugel verdrängt wird.
Hier sei nochmals darauf hingewiesen, das dieses Resultat nur im
Grenzfall $a \ll \lambda$ gilt.

\begin{flushleft}
{\bf 6) Schallquellen}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
{\bf 6.1) Monopol}
\end{flushleft}

Im letzten Kapitel wurden einfache Lösungen
der Wellengleichung für die Abstrahlung von Schall in den
unendlich ausgedehnten Raum vorgestellt.
Die Lösungen für die atmende und die vibrierende Kugel
besitzen beide eine Singularität im Kugelmittelpunkt.
Im folgenden soll diese Singularität genauer untersucht
werden.
Dazu wird die Lösung für die atmende Kugel betrachtet.
Der Schalldruck ist durch
%
\begin{equation}
p' = \ff{A}{r}\,e^{i \omega (t - r/c)} 
\end{equation}
%
und die radiale Schnelle durch
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = \ff{A}{r}\, 
\left[
\ff{1}{\rho_0 c} -
\ff{i}{\omega \rho_0 r}
\right]
\,e^{i \omega (t - r/c)} 
\end{equation}
%
gegeben.
Die Stärke des Schallfeldes ist durch die
komplexe Konstante $A$ festgelegt.
Sie muß so gewählt werden, daß die Randbedingung an der
Kugeloberfläche erfüllt wird.
Genaugenommen ist für die Stärke nur $|A|$
entscheidend.
Wird die Auslenkung der Kugeloberfläche verdoppelt,
ergibt sich auch eine Verdopplung von $|A|$.

Es ist möglich mit verschieden großen Kugeln
genau die gleiche Lösung zu erzeugen, wenn die
Auslenkung der Oberflächen mit Phase und Amplitude
angepaßt wird.
Die kleinere Kugel müßte entsprechend mehr auslenken.
Außerhalb der Kugeln kann man die Lösungen nicht unterscheiden.
In einem Gedankenexperiment kann man sich sogar überlegen, wenn
man immer kleinere Kugeln nimmt um das gleiche Feld zu erzeugen.
Das bedeutet, der mittlere Kugelradius $a$ wird immer kleiner
und die Stärke $|A|$ wird konstant gehalten, indem die Auslenkung
der Kugeloberfläche immer weiter erhöht wird.
Es ergibt sich folgendes Szenario
%
\begin{itemize}
\item%
Die Auslenkung der Kugeloberfläche wird größer als der
mittlere Radius $a$.
Eine solche Kugel ist damit praktisch gar nicht mehr
denkbar.
\item%
Die Druckamplitude und die Schnelleamplitude
an der Oberfläche werden immer größer.
Irgendwann ist die Druckamplitude größer als der
Ruhedruck $p_0$ und es ergibt sich 
zeitweise ein negativer Druck.
\item%
Die Voraussetzungen für die linearen Gleichungen
der Akustik sind wegen der großen Amplituden in
Kugelnähe dort auch nicht mehr erfüllt.
\end{itemize}
%
Im Grenzfall
%
\begin{equation}
a \rightarrow 0
\end{equation}
%
ergibt sich schließlich eine unendlich kleine Kugel mit
unendlicher großer Auslenkung der Oberfläche.
Das Schallfeld geht scheinbar von einem Punkt aus.
Man erhält eine Punktquelle, die Monopol genannt wird.

Obwohl mit den Punktquellen viele prinzipielle Probleme,
wie die unendlich großen Amplituden und der negative Druck,
verknüpft sind, ist das Konzept der Punktquellen durchaus ein
nützliches Hilfsmittel in der Akustik.
Es ist zu Vergleichen mit den Quellen und Senken in
einer stationären Potentialströmung.
In der Nähe der Quellen wird auch die Geschwindigkeit unendlich
groß.
Das gleiche gilt für das Zentrum
eines Potentialwirbels.
Die genannten Ansätze besitzen alle prinzipielle
``Schwierigkeiten'' wie der Monopol.
Dennoch lassen sich mit der
Potentialtheorie viele praktische Strömungsprobleme
lösen.

Die Punktquellen in der Akustik lassen sich direkt mit
den Quellen und Senken in einer stationären Potentialströmung vergleichen.
Auch lassen sich beide Arten von Quellen in analoger Weise
mathematische beschreiben.
Es wird daher im folgenden zunächst eine einfache Potentialströmung
mit einer Quelle im Ursprung bei $\vec{x} = 0$ betrachtet.
Das Potential für eine solche Strömung ist mit
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A}{r}
\end{equation}
%
gegeben.
Dabei ist $A$ eine reelle Konstante, die die Stärke der Quelle
festlegt.
Das Vorzeichen von $A$ bestimmt, ob es sich um eine Quelle oder eine
Senke handelt.
Die Lösung (17) erfüllt die Gleichung
%
\begin{equation}
\Delta \phi = 0
\end{equation}
%
überall, außer im Punkt $\vec{x} = 0$ beziehungsweise $r = 0$.
Dort besitzt die Lösung eine Singularität und $\Delta \phi$ ist
dort nicht definiert.

Das Problem ist kugelsymmetrisch.
Alle Größen hängen nur vom Abstand $r$ zum Ursprung ab.
Es ist zweckmäßig die radiale Geschwindigkeit
%
\begin{equation}
\sdoso uR = \vec{v} \, \ff{\vec{x}}{r}
\end{equation}
%
einzuführen.
Die Geschwindigkeit $\vec{v}$ entspricht dem Gradienten des Potentials. 
Es folgt
%
\begin{equation}
\sdoso uR = \hbox{grad} \phi \, \ff{\vec{x}}{r} = \pp{\phi}{r}
\end{equation}
%

Das gesamte Strömungsfeld wird von der Massenquelle am Punkt $r=0$
bestimmt.
Die Lösung besitzt dort jedoch eine Singularität.
Für ein anderen Faktor $A$ ändert sich der Wert von $\phi$ bei $r=0$ nicht:
Er bleibt unendlich.
Die Singularität muß sich aber irgendwie verändert haben, denn
die Quellstärke hat sich verändert.
Es soll im folgenden eine quantitative Beschreibung für die Singularität
bei $r = 0$ gefunden werden.

Dazu betrachtet man zunächst die Masse pro Zeit, die von der Quelle
ausgeht.
Sie wird mit $\sdoso QM$ bezeichnet.
Um ihren Wert zu berechnen wird ein Kugelvolumen mit Radius $a$
um die Stelle $r=0$ konstruiert.
Der Massenfluß ist durch ein Integral über 
die Oberfläche des Kugelvolumens $\sdoso SK$ zu berechnen.
Es gilt
%
\begin{equation}
\sdoso QM = \int \limits_{\sdoso SK} \rho_0 \sdoso uR \, \hbox{d} \sdoso SK
\end{equation}
%
Das Produkt $\rho_0 \sdoso uR$ ist die Massenflußdichte in radialer
Richtung im Abstand $r$.
Mit Gleichung (20) folgt
%
\begin{equation}
\sdoso QM = \rho_0 \int \limits_{\sdoso SK}  \pp{\phi}{r} \, \hbox{d} \sdoso SK
\end{equation}
%
Für die Lösung (17) ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{\phi}{r} = - \ff{A}{r^2}
\end{equation}
%
Auf der Kugeloberfläche ist überall $r = a$.
Das Integral in (22) kann daher leicht berechnet werden,
da der Integrand konstant ist.
Man erhält
%
\begin{equation}
\sdoso QM = 4 \pi a^2 \, \left( - \ff{A}{a^2} \right) \, \rho_0
\end{equation}
%
Dies kann in
%
\begin{equation}
\sdoso QM = - 4 \pi A \, \rho_0
\end{equation}
%
umgeformt werden.
Damit ist der Massenfluß bestimmt.
Ein positives $A$ ergibt eine negativen Massenfluß, 
also eine Senke.

Die Größe $\sdoso QM$ wurde durch Integration über
die Kugeloberfläche gewonnen.
In dem Oberflächenintegral ``steckt'' sozusagen
Information über die Verhältnisse am Quellpunkt $r = 0$.
Der Radius der gedachten Kugel, über deren Oberfläche integriert wurde,
kann jedoch frei gewählt werden.
Das Ergebnis für $\sdoso QM$ muß immer das gleiche sein -- unabhängig von $a$.
In dem Oberflächenintegral scheint daher ausschließlich Information
über den Punkt $r = 0$ zu stecken.
Dies wird deutlich wenn man das Oberflächenintegral in ein
Volumenintegral mit Hilfe des Satzes von Gauss umwandelt.
Dazu wird der nach außen zeigende Normalenvektor auf der
Kugeloberfläche mit
%
\begin{equation}
\vec{n} =
\ff{\vec{x}}{r}
\end{equation}
%
definiert.
Es ergibt sich damit auf der Oberfläche
%
\begin{equation}
\pp{\phi}{r} = \vec{n} \; \hbox{grad} \phi
\end{equation}
%
Und mit dem Satz von Gauss ergibt sich die Umformung
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
\sdoso QM &= \rho_0 \displaystyle \int \limits_{\sdoso SK}   \vec{n} \; \hbox{grad} \phi
\, \hbox{d} \sdoso SK\\[20pt]
&=
\rho_0 \displaystyle \int \limits_{\sdoso VK} \hbox{div} \big( \hbox{grad} \phi \big)
\, \hbox{d} \sdoso VK
\end{array}
\end{equation}
%
Mit $\sdoso VK$ ist das Volumen der Kugel bezeichnet.

Zur Erinnerung sei hier nochmal der Satz von Gauss angegeben.
Für ein Vektorfeld $\vec{a}$ und ein Volumen $V$ mit Oberfläche $S$
gilt die Beziehung
%
\begin{equation}
\displaystyle \int \limits_{V} \hbox{div} \, \vec{a}
\; \hbox{d} V
=
\displaystyle \int \limits_{S}  (\vec{n} \cdot  \vec{a})
\, \hbox{d} S
\end{equation}
%
In unserem speziellen Fall entspricht $\hbox{grad} \phi$
dem Vektorfeld $\vec{a}$.

In (28) tritt die Kombination von div- und grad-Operator auf.
Dafür gilt allgemein
%
\begin{equation}
\hbox{div} \big( \hbox{grad} \phi \big) = \Delta \phi
\end{equation}
%
Damit ergibt sich aus (28) das Integral
%
\begin{equation}
\sdoso QM = \rho_0 \int \limits_{\sdoso VK}  \Delta \phi \, \hbox{d} \sdoso VK
\end{equation}
%
Für die Lösung (17) ist $\sdoso QM$ in (25) angegeben.
Setzt man dies in (31) ein und teilt durch $\rho_0$ erhält man
%
\begin{equation}
\int \limits_{\sdoso VK}  \Delta \phi \, \hbox{d} \sdoso VK = 
\int \limits_{\sdoso VK}  \Delta \left\{ \ff{A}{r} \right\} \, \hbox{d} \sdoso VK =
- 4 \pi A
\end{equation}
%
Interessanterweise gilt
%
\begin{equation}
\Delta \phi = 0 \qquad \hbox{für alle} \quad \vec{x} \neq 0
\end{equation}
%
Das bedeutet, der Integrand in (32) ist überall gleich Null außer im
Punkt $r = 0$ (beziehungsweise $\vec{x} = 0$).
Das Integral besitzt jedoch einen  Wert ungleich Null.
Dieser kann nur durch die Integration über die Stelle $r = 0$
herrühren.
Verschiebt man die gedachte Kugel, so daß ihr Mittelpunkt an
der Position $\vec{x}_0$ liegt, dann wird das Integral davon abhängig, ob
der Punkt $r = 0$ in der Kugel liegt.
Wird der Radius $a$ der verschobenen Kugel verkleinert bis $r = 0$
außerhalb ist, ergibt sich Null.
Es gilt daher
%
\begin{equation}
\lim_{a \rightarrow 0} 
\int \limits_{\sdoso VK (\vec{x}_0)}  \Delta \left\{ \ff{A}{r} \right\} \, \hbox{d} \sdoso VK =
0
\end{equation}
%
Dabei ist mit $\sdoso VK (\vec{x}_0)$ das Volumen der verschobenen Kugel
bezeichnet.
Nur für $\vec{x}_0 = 0$ ist der Limes ungleich Null.
Es gilt
%
\begin{equation}
\lim_{a \rightarrow 0} 
\int \limits_{\sdoso VK (0)}  \Delta \left\{ \ff{A}{r} \right\} \, \hbox{d} \sdoso VK =
-4 \pi A
\end{equation}
%
Anscheinend liefert nur die Stelle $\vec{x} = 0$ einen Beitrag zum Integral.
Dort ist jedoch eigentlich $\Delta \phi$ für die
Singuläre Lösung (17) gar nicht definiert.
Denn durch die Singularität der Lösung ist $\Delta \phi$ selbst singulär.
Diese Singularität kann jedoch durch ein Integral wie in (35)
quantifiziert werden.
Die Größe
%
\begin{equation}
\Delta \phi = \Delta \left\{ \ff{A}{r} \right\}
\end{equation}
%
verhält sich genau wie die Dirac'sche $\delta$-Funktion.
Sie ist auch überall gleich Null bis auf den Punkt $\vec{x} = 0$,
an dem sie singulär ist.
Das Integral über die $\delta$-Funktion ist ebenfalls endlich.
Es gilt
%
\begin{equation}
\int \limits_{V}  \delta (\vec{x}) \, \hbox{d} V =
\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad \hbox{falls} \quad \vec{x} = 0 \in V \\
0 \quad \hbox{sonst}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Das bedeutet, man kann $\Delta \phi$ für die Lösung (17) mit
einer $\delta$-Funktion beschreiben.
Dies kann als
%
\begin{equation}
\Delta \left\{ \ff{A}{r} \right\} = - 4 \pi A \, \delta (\vec{x})
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Die Gleichung (38) gilt in dem erweiterten Funktionenraum, in dem
die sogenannten Distributionen, wie die $\delta$-Funktion,
zugelassen sind.
Dort ist dann auch $\Delta \phi$ an den Stellen definiert,
am denen $\phi$ eine Singularität besitzt.

Durch den Formalismus in (38) lassen sich ebenfalls Quellen an 
anderen Stellen ausdrücken.
Die Gleichung
%
\begin{equation}
\Delta \phi = - 4 \pi A \, \delta (\vec{x} - \vec{x}_0)
\end{equation}
%
wird durch das Potential
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A}{|\vec{x} - \vec{x}_0|}
\end{equation}
%
gelöst.
Diese Lösung beschreibt eine Quelle an der Stelle $\vec{x}_0$.
Gleichung (39) kann als Bestimmungsgleichung für diese
Quellströmung angesehen werden.
Im Gegensatz zu Gleichung (18) gilt (39) im gesamten Raum, auch 
in dem singulären Punkt.
Gleichung (39) stellt damit eine Erweiterung von (18) dar.
Die Eigenschaften der Quelle sind mit enthalten.

Im folgenden sollen die obigen Überlegungen zur Potentialströmung
auf die Akustik übertragen werden.
Betrachtet wird die Lösung für eine atmende Kugel.
Das akustische Potential hat die Form
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A}{r} \, e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
Es löst die Wellengleichung
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \pp{^2}{t^2} \phi - \Delta \phi = 0
\end{equation}
%
Wie oben gilt diese Gleichung nicht im Punkt $\vec{x} = 0$.
Beides, die Lösung (41) und die Bestimmungsgleichung (42) besitzen jetzt
eine kompliziertere Form als im Fall der Quellströmung.
Dennoch kann der gleiche formale Weg beschritten werden.
Analog zu (32) wird das Integral der linken Seite von (42) 
über eine gedachte Kugel $\sdoso VK$ um $\vec{x} = 0$ gebildet.
Das heißt auch über die Stelle, an der die linke Seite zunächst nicht
definiert ist, wird wieder integriert.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VK}
\left[ \ff{1}{c^2} \pp{^2}{t^2} \phi - \Delta \phi \right]
\, \hbox{d} \sdoso VK\\
\quad =
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VK} \ff{1}{c^2} \pp{^2}{t^2} \, \phi \; \hbox{d} \sdoso VK
-
\int \limits_{\sdoso SK} \vec{n} \, \hbox{grad} \phi \; \hbox{d} \sdoso SK
\end{array}
\end{equation}
%
Dabei wurde das Integral aufgeteilt.
Der $\Delta \phi$-Term wurde analog zu oben mit dem Satz von Gauss
in ein Oberflächenintegral umgewandelt.
Neu ist das Integral über den Term mit der Zeitableitung.
Dies wird zunächst getrennt betrachtet.
Setzt man die Lösung (41) ein, ergibt sich für den
Zeitableitungsterm
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \pp{^2}{t^2} 
\left\{ \ff{A}{r} \, e^{i \omega (t - r/c)} \right\} = - k^2 \, \ff{A}{r}\, e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
Damit folgt für das erste Integral auf der rechten Seite von (43)
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int \limits_{\sdoso VK}
\ff{1}{c^2} \pp{^2}{t^2} 
\left\{ \ff{A}{r} \, e^{i \omega (t - r/c)} \right\}
\, \hbox{d} \sdoso VK
\\
\displaystyle
\quad
=
\int \limits_0^a \,
4 \pi r^2 \;
\left( - k^2 \, \ff{A}{r}\, e^{i \omega (t - r/c)} \right)
\; \hbox{d} r
\\
\displaystyle
\quad
=
- 4 \pi k^2 A \,
\int \limits_0^a \, r \,  e^{i \omega (t - r/c)} \; \hbox{d} r
\end{array}
\end{equation}
%
Die Umformung in (45) ergibt sich dadurch, daß
der Integrand nur von $r$ abhängt.
Innerhalb einer infinitesimalen Kugelschale mit dem Radius $r$ und der
Dicke $\hbox{d} r$ ist der Integrand konstant.
Man braucht daher nur mit dem Volumen der Kugelschale $4 \pi r^2 \, \hbox{d} r$
zu multiplizieren und das Ergebnis über $r$ zu integrieren.

Von Interesse ist der Wert des Integrales für unendliche kleine Kugelvolumen,
die nur die singuläre Stelle umfassen.
Analog zu (35) wird daher der Limes gebildet.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\lim_{a \rightarrow 0} \;
\int \limits_0^a \, r \,  e^{i \omega (t - r/c)} \; \hbox{d} r
=
0
\end{equation}
%
Oder anders ausgedrückt, es gilt
%
\begin{equation}
\lim_{a \rightarrow 0} \;
\int \limits_{\sdoso VK}
\ff{1}{c^2} \pp{^2}{t^2} 
\left\{ \ff{A}{r} \, e^{i \omega (t - r/c)} \right\}
\;
\hbox{d} \sdoso VK =
0
\end{equation}
%
Der Zeitableitungsterm besitzt zwar eine Singularität an der
Stelle $\vec{x} = 0$, jedoch ist diese Singularität zu schwach
um einen endlichen Wert für das Integral über ein unendlich kleines
Kugelvolumen zu ergeben.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------