Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Freitag den 7.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf zu 5.6) Schallfeld einer vibrierende Kugel}
\end{flushleft}

Bisher wurde gezeigt, das die angegebene Lösung für das
akustische Potential
%
\begin{equation}
\phi = - \ff{A}{r} 
\, \cos \theta \, \left( \ff{1}{r} + i \ff{\omega}{c} \right) \,
e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
die Wellengleichung erfüllt.
Im folgenden muß noch überprüft werden, ob die angegebene Lösung
tatsächlich auch der Randbedingung für die harmonisch
hin- und herbewegte Kugel
entspricht.

Die Randbedingung ist eine Bedingung an das Schnellefeld.
Die Schnelle wird aus dem Potential $\phi$ durch
%
\begin{equation}
\vec{v}\,' = \hbox{grad}\, \phi
\end{equation}
%
bestimmt.
In dem vorliegenden Fall ist nur die radiale Schnelle
von Bedeutung, denn nur sie kommt in den Randbedingung
vor.
Für die radiale Schnelle ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = \vec{v}\,' \, \ff{\vec{x}}{r} =
\hbox{grad}\, \phi \, \ff{\vec{x}}{r} =
\pp{\phi}{r}
\end{equation}
%
Diese Beziehung gilt allgemein für die
Darstellung in Kugelkoordinaten und wurde auch schon
bei der Betrachtung der atmenden Kugel verwendet.
Dort ergab sich durch die Kugelsymmetrie eine von
der Richtung unabhängige Schnelle.
Hier erhält man jetzt aus (1) durch Differenzieren nach $r$
eine vom Winkel $\theta$ abhängige Schnelle mit
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\sdoso uR' (r, \theta, t) =\\
\quad A \, \cos \theta \,
\left(
\ff{2}{r^3} + i\, \ff{2 \omega}{c r^2} - \ff{\omega^2}{c^2 r}
\right)
\,
e^{i \omega(t - r/c)}
\end{array}
\end{equation}
%
Die Randbedingung wird an der mittleren Position
der Oberfläche bei $r = a$ vorgegeben. 
Dort soll
%
\begin{equation}
\sdoso uR' (a, \theta, t) = \sdoso {\hat{u}}K \, \cos \theta \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
gelten.
Es muß nun der komplexe Faktor $A$ so gewählt werden, damit
die durch (4) gegebene radiale Schnelle bei $r = a$ tatsächlich
die Form (5) besitzt.
Es bietet sich an den $e^{i \omega t}$-Faktor in (5) zu erweitern, so daß
sich
%
\begin{equation}
\sdoso uR' (a, \theta, t) =
\sdoso {\hat{u}}K \, \cos \theta \, e^{i \omega a/c} \, e^{i \omega (t - a/c)}
\end{equation}
%
ergibt.
Setzt man $r = a$ in (4) ein und vergleicht das Ergebnis mit (6), so
ergibt sich
%
\begin{equation}
A \,
\left(
\ff{2}{a^3} +
i\, \ff{2 \omega}{c a^2} -
\ff{\omega^2}{c^2 a}
\right)
=
\sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega a/c}
\end{equation}
%
Dies kann nach $A$ aufgelöst werden.
%
\begin{equation}
A = \ff{\sdoso {\hat{u}}K \, a^3 \, e^{i k a}}
{2 + 2 i \left( \ff{\omega a}{c} \right) - \left( \ff{\omega a}{c} \right)^2}
\end{equation}
%
Damit ist gezeigt, daß bei entsprechender Wahl von $A$ die Randbedingung
wirklich erfüllt wird.
Das Ergebnis zeigt auch, wie die Stärke des Schallfeldes von
dem Radius der Kugel $a$ abhängt.
Die Stärke ist durch $|A|$ bestimmt.
Durch den komplexen Faktor $\sdoso {\hat{u}}K$ ist die Bewegung der Kugel
vorgegeben.
Der Faktor
%
\begin{equation}
\ff{\omega a}{c} =  \ff{2 \pi a}{\lambda}
\end{equation}
%
bestimmt das Verhalten.
Der Ausdruck $e^{i k a}$ spielt für den Betrag von $A$ keine Rolle.
Er geht lediglich in die Phasen von $A$ ein.
Ebenso ist nur der Betrag von $\sdoso {\hat{u}}K$ wichtig.

Ist der Kugelradius klein gegenüber der Wellenlänge $\lambda$, so ist der
Faktor (9) ebenfalls klein und der Nenner in (8) ist näherungsweise
gleich Zwei.
Daraus ergibt sich eine Abhängigkeit der Stärke
mit der dritten Potenz vom Kugelradius.
Das bedeutet, die Erzeugung von Schallfeldern mit einer
kleinen Kugel ist relativ ineffizient.
Ist dagegen der Radius der Kugel groß gegenüber der Wellenlänge, so
ist der Faktor in (9) groß.
In diesem Fall dominiert 
das Quadrat des Faktors den Nenner in (8).
Dann ist der Betrag von $A$ linear mit dem Kugelradius $a$ verknüpft.
Für relativ große Kugeln ergibt also eine Verdoppelung des Durchmessers
bei gleicher Bewegung ein doppelt so starkes Schallfeld.

Im folgenden soll die Form der Lösung (1) veranschaulicht werden.
Dargestellt wird $\phi$ in einer Kreisscheibe um die Kugel
in der $x_1,x_2$-Ebene.
Diese Ebene schneidet die Kugel in der Mitte.
Die Darstellung ist pseudo-dreidimensional.
Die Lage der $x_1$- und $x_2$-Achsen ist mit dunklen Linien
markiert.
Die Lösung wird zum Vergleich dem $\phi$-Feld einer atmenden Kugel
%
\begin{equation}
\phi = \ff{A}{r} \, e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
gegenübergestellt.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(6.15,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=e005.eps,width=6.15cm}}}
\put(6.525,1.9){\makebox(0,0)[rc]{\small $x_1$}}
\put(4.25,3.3){\makebox(0,0)[rc]{\small $x_2$}}
\put(3.075,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\small Atmende Kugel}}
\end{picture}
\end{center}
%
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(7.5,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=d005.eps,width=7.5cm}}}
\put(7.2,2.5){\makebox(0,0)[rc]{\small $x_1$}}
\put(5.1,3.8){\makebox(0,0)[rc]{\small $x_2$}}
\put(3.75,5.5){\makebox(0,0)[cc]{\small Vibrierende Kugel}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Lösung für die atmende Kugel ist kugelsymmetrisch.
Entsprechend ergibt sich in jeder Richtung die gleiche Welle.
Bei der vibrierenden Kugel ist das nicht der Fall.
In der Richtung senkrecht zur $x_1$-Achse -- also senkrecht zur
Bewegungsrichtung -- ist $\phi$ gleich Null, da $\cos \theta$ dort
verschwindet.
Dies wird in der Abbildung ebenfalls deutlich. 
In einer Richtung breiten sich Wellen aus und senkrecht dazu ist
keine Welle zu beobachten.
Auffällig ist auch, das die in entgegengesetzter Richtung laufenden
Wellen auch ein entgegengesetzte Phase besitzen.

Bisher wurde lediglich das Potential $\phi$ und die radiale Schnelle
$\sdoso uR'$ betrachtet.
Daher soll nun auch noch das Druckfeld untersucht werden.
Dies ist wie die radiale Schelle auch richtungsabhängig.
Das Druckfeld berechnet sich allgemein mit
%
\begin{equation}
p' (r, \theta, r) = - \rho_0 \pp{\phi}{t}
\end{equation}
%
aus dem Potential.
Für die Lösung (1) ergibt sich speziell
%
\begin{equation}
p' (r, \theta, r) =
i \omega \rho_0 A \, \cos \theta
\,
\left(
\ff{1}{r^2} + i \, \ff{\omega}{r c}
\right)
\,
e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
Sowohl für die radiale Schnelle als auch für
den Druck lassen sich komplexe Amplituden
$\sdoso {\hat{u}}R$ beziehungsweise $\hat{p}$ einführen.
Damit kann das Schnellefeld mit
%
\begin{equation}
\sdoso uR' (r, \theta, r) = \sdoso {\hat{u}}R (r, \theta) \, e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
und das Druckfeld mit
%
\begin{equation}
p' (r, \theta, t) = \hat{p} (r, \theta) \, e^{i \omega (t - r/c)}
\end{equation}
%
dargestellt werden.
Die komplexen Amplituden hängen vom Abstand $r$ und vom
Winkel $\theta$ ab.
Durch Vergleich mit (4) und (12) können
$\sdoso {\hat{u}}R$ und $\hat{p}$ einfach ermittelt werden.
Analog zur atmenden Kugel kann dann eine radiale
Impedanz berechnet werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR \equiv \ff{\hat{p}}{\sdoso {\hat{u}}R}
=
\ff{\rho_0 \left( i \ff{\omega}{r^2} - \ff{\omega^2}{r c} \right)}
{\ff{2}{r^3} + i\, \ff{2 \omega}{c r^2} - \ff{\omega^2}{c^2 r}}
\end{equation}
%
Zu bemerken ist, daß die radiale Impedanz $\sdoso ZR$ nicht
vom Winkel $\theta$ abhängt.
Es ist lediglich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR = \sdoso ZR (r, \omega)
\end{equation}
%
Die Impedanz ist komplex wie im Fall der atmenden Kugel.
Durch Erweitern mit $r c^2/\omega^2$ auf der rechten
Seite von (15) ergibt sich
%
\begin{equation}
\sdoso ZR
=
\rho_0 c \,
\ff{i \left( \ff{c}{\omega r} \right) - 1}
{2 \left( \ff{c}{\omega r} \right) + 2 i \,\left( \ff{c}{\omega r} \right) - 1}
\end{equation}
%
In dieser Form wird die Abhängigkeit der radialen Impedanz
vom Abstand $r$ etwas deutlicher.
Entscheidend ist der Faktor
%
\begin{equation}
\ff{c}{\omega r} = \ff{\lambda}{2 \pi r}
\end{equation}
%
Im Grenzfall für große Abstände $r$ geht der Faktor gegen Null.
Für den Limes der radiale Impedanz ergibt sich dann
%
\begin{equation}
\lim_{\left( \frac{c}{\omega r} \right) \rightarrow 0} \, \sdoso ZR= \rho_0 c
\end{equation}
%
Das bedeutet, für große Abstände im Sinne von
%
\begin{equation}
r \gg \lambda
\end{equation}
%
gilt näherungsweise
%
\begin{equation}
\sdoso ZR \approx \rho_0 c
\end{equation}
%
Dies ist genau wie im Fall der atmenden Kugel.
Im Fernfeld $r \gg \lambda$ ist die radiale Impedanz reell.
Damit sind radiale Schnelle und Schalldruck in Phase.
Die Situation entspricht näherungsweise der in einer ebenen Welle.
Dagegen wird für kleinere Abstände $r$, die nicht (20) erfüllen,
die radiale Impedanz komplex.
Das heißt, es gibt eine Phasenverschiebung zwischen Druck
und radialer Schnelle.

Die Phasenverschiebung zwischen Druck und Schnelle bewirkt eine
Blindleistung im Nahfeld, wie im Fall der atmenden Kugel.
In Abschnitt 5.4 wurde die Intensität in dem Schallfeld der
atmenden Kugel untersucht.
Hier soll dagegen die Kraft betrachtet werden, die notwendig ist,
die Kugel zu bewegen.
Dadurch kann auch auf die an dem Medium geleistete Arbeit
geschlossen werden.

Die Kraft auf die Kugel muß die momentane Druckkraft auf der
Kugeloberfläche kompensieren.
Der Druck auf der Oberfläche läßt sich formal mit
%
\begin{equation}
p' (a, \theta, t) = \hat{p} (a, \theta) \, e^{i \omega (t - a/c)}
\end{equation}
%
darstellen.
Für die Bewegung ist nur die Kraftkomponente in $x_1$-Richtung
wichtig.
Diese ergibt sich durch Integration des Drucks (22) über die Oberfläche $S$
der Kugel.
Dabei braucht nur der Schalldruck berücksichtigt werden.
Das Integral der Druckkraft durch den Gleichanteil $p_0$ über die Oberfläche 
ist sowieso gleich Null.
Die Druckkraft auf einem infinitesimalen Flächenelement $\hbox{d} S$
bewirkt eine Kraft in radialer Richtung.
Die $x_1$-Komponente dieser Kraft ist durch Multiplikation mit
$\cos \theta$ gegeben.
Es ergibt sich für die notwendige Gesamtkraft
%
\begin{equation}
F_1 (t) = \int \limits_{S} \cos \theta \; p'(a,\theta,t) \, \hbox{d} S
\end{equation}
%
Im folgenden werden die beiden Punkte,
an denen die $x_1$-Achse die Kugeloberfläche durchstößt, als Pole
bezeichnet.
Eine positive Druckstörung an dem Pol auf der positiven Halbachse bei
$\theta = 0$
bewirkt eine Kraft entgegen der $x_1$-Richtung -- also eine
negative Kraft auf die Kugel.
Diese muß durch eine positive Gegenkraft ausgeglichen werden.
Druckstörungen an dem Äquator der Kugel bei $\theta = \pi/2$ ergeben
überhaupt keinen Anteil in $x_1$-Richtung.

Mit Hilfe der radialen Impedanz läßt sich der
Druck auf der Oberfläche in die Form
%
\begin{equation}
p' (a, \theta, t) = \sdoso {\hat{u}}R (a, \theta) \, \sdoso ZR \,
e^{i \omega (t - a/c)}
\end{equation}
%
bringen.
Nach (6) gilt für die komplexe Amplitude $\sdoso {\hat{u}}R$
bei $r = a$ die Beziehung
%
\begin{equation}
\sdoso {\hat{u}}R (a,\theta) = 
\sdoso {\hat{u}}K \, \cos \theta \, e^{i \omega a/c}
\end{equation}
%
Damit folgt aus (24)
%
\begin{equation}
p' (a, \theta, t) = \sdoso {\hat{u}}K 
\, \cos \theta \,  \sdoso ZR (a, \omega) \, 
e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die Winkelabhängigkeit der Drucks $p' (a, \theta, t)$ steckt
sozusagen lediglich in dem $\cos \theta$-Term.
Hier sei angemerkt, daß dieser $\cos \theta$-Term und der aus (23)
nichts direkt miteinander zu tun haben.

Wird (26) in das Integral in (23) eingesetzt, können alle
Terme, die nicht von $\theta$ abhängen und damit überall auf der
Oberfläche $S$ konstant sind, aus dem Integral herausgezogen werden.
Es ergibt sich
%
\begin{equation}
F_1 (t) = \int \limits_{S} \cos^2 \theta \, \hbox{d} S \cdot
\sdoso {\hat{u}}K \, \sdoso ZR (a, \omega) \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Das verbleibende Integral läßt sich durch Parametrisierung der
Oberfläche mit den Kugelkoordinaten $\theta$ und $\varphi$ berechnen.
Man erhält
%
\begin{equation}
\int \limits_{S} \cos^2 \theta \, \hbox{d} S = \ff{4}{3} \pi a^2
\end{equation}
%
Insgesamt kann die Kraft $F_1$
auch in der Schreibweise mit komplexer Amplitude dargestellt werden
%
\begin{equation}
F_1 (t) = \hat{F}_1 \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Dies ist analog zu der Formulierung für die Kugelbewegung
%
\begin{equation}
\sdoso uK' (t) = \sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Die komplexe Amplitude $\hat{F}_1$ ist durch die
Vorfaktoren in (27) gegeben.
%
\begin{equation}
\hat{F}_1 = \ff{4}{3} \pi a^2 \, \sdoso {\hat{u}}K \, \sdoso ZR (a, \omega)
\end{equation}
%


Die an der Kugel vollbrachte Leistung 
berechnet sich nach
%
\begin{equation}
\hbox{Leistung} =
\ff{\hbox{Energie}}{\hbox{Zeit}} =
\ff{\hbox{Kraft} \times \hbox{Weg}}{\hbox{Zeit}}
\end{equation}
%
aus dem Produkt von Kraft und Geschwindigkeit.
Hierbei ist jedoch wieder die korrekte Realteilbildung zu
beachten.
Vereinbarungsgemäß ist implizit
in dem Gleichheitszeichen in (29) und (30)
die Realteilbildung enthalten.
Daher muß die Leistung, die mit $P$ bezeichnet wird,
nach
%
\begin{equation}
P(t) =
\Re \{ \hat{F}_1 \, e^{i \omega t} \} \cdot
\Re \{ \sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega t} \}
\end{equation}
%
berechnet werden.

Ist die Kugel groß gegenüber der Wellenlänge
%
\begin{equation}
a \gg \lambda
\end{equation}
%
gilt
%
\begin{equation}
\sdoso ZR(a, \omega) \approx \rho_0 c
\end{equation}
%
Das heißt, $\sdoso ZR(a, \omega)$ ist näherungsweise reell.
Damit sind $F_1(t)$ und $\sdoso uK' (t)$ in Phase.
Es wird ständig Arbeit an der Kugel geleistet, um die Druckkraft
auszugleichen.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------