Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\newcommand{\vv}{\vec{v}\,'}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Zusammenfassung vom Montag den 3.\ Januar 2000}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

\begin{flushleft}
{\bf 5.6) Schallfeld einer vibrierende Kugel}
\end{flushleft}

Im Abschnitt 5.2 wurde bereits das Schallfeld einer atmenden Kugel besprochen.
Im folgenden wird der etwas kompliziertere Fall der vibrierenden Kugel
vorgestellt. 
Mit dem Ausdruck ``vibrierende Kugel'' ist eine periodisch hin- und
herbewegte Kugel gemeint.
Das Problem ist nun nicht mehr kugelsymmetrisch, wie bei der atmenden Kugel.
Zur Vereinfachung werden einige Annahmen gemacht:
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Die Kugel ist starr und besitzt eine undurchlässige Oberfläche.
Ihr Radius wird mit $a$ bezeichnet.
\item[b)]%
Die Kugel bewegt sich in $x_1$-Richtung hin und her.
Die Bewegung ist harmonisch, d.h.\ sinusförmig.
Der Mittelpunkt der Kugel bewegt sich auf der $x_1$-Achse.
Die mittlere Position des Kugelmittelpunktes befindet sich im Ursprung bei
$\vec{x} = 0$ beziehungsweise $r = 0$.
\end{itemize}
%
Die geometrische Situation ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
Es ist ein Schnitt durch die Kugel dargestellt.
Die Kugel in der mittleren Position ist gestrichelt eingezeichnet.
Die Schnittebene ist die $x_1,x_2$-Ebene.
Das Problem ist rotationssymmetrisch im Bezug auf
die $x_1$-Achse.
Daß heißt, das gleiche Bild würde sich auch in der
$x_1,x_3$-Ebene ergeben.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.5,4.5) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=vibkug02.eps,width=5.0cm}}}
\put(1.6,1.45){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(1.5,4.2){\makebox(0,0)[rc]{\small $x_2$}}
\put(4.8,2.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(2.45,1.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $a$}}
\put(2.45,2.0){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso uK'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Die Geschwindigkeit der Kugel wird mit $\sdoso uK'$ bezeichnet.
Der Strich deutet an, daß es sich um eine kleine
Geschwindigkeit im akustischen Sinne handeln soll.
Das bedeutet, die Geschwindigkeit ist klein gegenüber der
Schallgeschwindigkeit.
Für die harmonische Bewegung gilt
%
\begin{equation}
\sdoso uK'(t) = \sdoso {\hat{u}}K \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
Dabei ist  $\sdoso {\hat{u}}K$ eine komplexe Konstante, die
Stärke und Phase der Bewegung festlegt.

Für die Randbedingung an das Schnellefeld sind mehrere Punkte zu
beachten:
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Die Kugel ist undurchlässig.
Es darf kein Durchströmen der Kugeloberfläche geben.
Die Komponente der Schnelle senkrecht zur Oberfläche muß gleich Null sein.
\item[b)]%
Eine Bewegung des Fluids tangential zur Oberfläche ist erlaubt.
Es wird keine Haftbedingung erfüllt.
\item[c)]%
Es wird analog zu Abschnitt 3.1 eine vereinfachte Randbedingung
verwendet.
Die Schnelle wird nicht an der aktuellen Position der Kugeloberfläche
vorgegeben, sondern an der mittleren Position bei $r = a$.
Diese Näherung ist erlaubt, wenn die Auslenkung der Kugel klein
gegenüber der Wellenlänge ist.
Dies ist gleichbedeutend mit der Bedingung $|\sdoso uK'| \ll c$. 
\end{itemize}
%
Durch die Bewegung der Kugel mit $\sdoso uK'$ in $x_1$-Richtung wird an der
Oberfläche das Fluid mit einer bestimmten radialen Schnelle $\sdoso uR'$ nach
außen oder innen bewegt.
Das Verhältnis von $\sdoso uK'$ und $\sdoso uR'$ hängt von der
Position auf der Oberfläche ab, wie in der Abbildung veranschaulicht wird.
%
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{10.0mm}%
\begin{picture}(5.0,5.0) \thicklines
\put(0.0,0.0){\makebox(0,0)[lb]{\epsfig{file=viertelkreis01.eps,width=5.0cm}}}
\put(0.5,0.4){\makebox(0,0)[rc]{\small $0$}}
\put(0.5,4.65){\makebox(0,0)[rc]{\small $x_2$}}
\put(4.8,0.4){\makebox(0,0)[cc]{\small $x_1$}}
\put(0.3,3.55){\makebox(0,0)[rc]{\small $a$}}
\put(3.5,2.7){\makebox(0,0)[cc]{\small $\theta$}}
\put(4.0,2.25){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso uK'$}}
\put(3.4,3.3){\makebox(0,0)[cc]{\small $\sdoso uR'$}}
\end{picture}
\end{center}
%
Anders als im Fall der atmenden Kugel ist jetzt die
radiale Schnelle auch von dem Winkel $\theta$ abhängig.
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = \sdoso uR'(r, \theta, t)
\end{equation}
%
Das Problem ist nicht kugelsymmetrisch.
Dennoch bietet sich die Darstellung in Kugelkoordinaten an.
Zur Erinnerung sei an dieser Stelle nochmal die Definition der
radialen Schnelle gegeben:
%
\begin{equation}
\sdoso uR' = \vec{v}\,' \, \ff{\vec{x}}{r}
\end{equation}
%
Der Vektor
%
\begin{equation}
\ff{\vec{x}}{r} =
\ff{\vec{x}}{|\vec{x}|}
\end{equation}
%
ist dabei ein nach außen zeigender Einheitsvektor an der
Stelle $\vec{x}$.

Für die radiale Schnelle an der mittleren Position der
Kugeloberfläche soll
%
\begin{equation}
\sdoso uR'(a, \theta, t) =
\cos \theta \, \sdoso uK'(t) =
\sdoso {\hat{u}}K \, \cos \theta \, e^{i \omega t}
\end{equation}
%
erfüllt sein.
Es stellt sich die Frage welche Lösung der Wellengleichung eine solche
Randbedingung erfüllt.
Dazu sind einige Punkte zu bemerken:
%
\begin{itemize}
\item[a)]%
Zur Darstellung der Lösung wird der Formalismus mit 
dem akustischen Potential verwendet.
\item[b)]%
Es werden nur harmonische Lösungen betrachtet, da
die Randbedingung auch harmonisch ist.
Für die exakte Randbedingung, bei der die Schnelle an der aktuellen
Position vorgegeben wird, würde sich jedoch keine harmonische Lösung 
finden lassen.
Dies wurde schon in Abschnitt 3.1 für den Kolben diskutiert.
Bei der Vorgabe der Schnelle an der mittleren Position liefert eine
harmonische Randbedingung auch harmonische Lösungen.
\item[c)]%
Die Lösung soll die Ausstrahlbedingung von
Sommerfeld erfüllen.
Aus dem Unendlichen kommende Wellen, die ``zufällig'' die Randbedingung
an der Kugeloberfläche erfüllen, werden nicht berücksichtigt.
\end{itemize}
%
Die Lösung lautet
%
\begin{equation}
\phi =
A \, \cos \theta \;
\pp{}{r}
\left\{
\ff{e^{i \omega (t - r/c)}}{r}
\right\}
\end{equation}
%
Führt man die Differentation aus
ergibt sich
%
\begin{equation}
\phi =
- A \, \cos \theta \, 
\left(
\ff{1}{r} + i \, \ff{\omega}{c}
\right)
\, \ff{e^{i \omega (t - r/c)}}{r}
\end{equation}
%
Bevor überprüft wird, ob diese Lösung auch die Randbedingung (5) erfüllt,
soll gezeigt werden, daß (6) auch eine Lösung der Wellengleichung ist.
Dazu wird zunächst ein allgemeines Prinzip vorgestellt.

Ist $\phi_\ast$ eine Lösung der Wellengleichung, die
%
\begin{equation}
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} \, \phi_\ast - \Delta  \phi_\ast = 0
\end{equation}
%
erfüllt, so ist auch
%
\begin{equation}
\phi = \pp{\phi_\ast}{x_1}
\end{equation}
%
eine Lösung der Wellengleichung.
Dies läßt sich leicht durch die Umformung
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.75}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\,}l}
0 &= \pp{}{x_1} \,
\left[ \ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} \, \phi_\ast - \Delta  \phi_\ast
\right]
\\
&=
\ff{1}{c^2} \, \pp{^2}{t^2} \,
\left\{ \pp{\phi_\ast}{x_1} \right\}
- \Delta
\left\{ \pp{\phi_\ast}{x_1} \right\}
\end{array}
\end{equation}
%
beweisen.
Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist Null, da $\phi_\ast$ die
Wellengleichung erfüllt.
Damit ist auch die Ableitung des Ausdrucks nach $x_1$ gleich Null.
Durch Vertauschen der Differentationen läßt sich der gesamte Ausdruck
auf die Form einer Wellengleichung für
%
\begin{equation}
\left\{ \pp{\phi_\ast}{x_1} \right\}
\nonumber
\end{equation}
%
bringen.
Das bedeutet, auch der Ausdruck in den geschweiften Klammern erfüllt
die Wellengleichung.
Diese Überlegung gilt übrigens für alle Ableitungen der Lösung $\phi_\ast$
sowohl nach einer Raumrichtung $x_j$ als auch nach der Zeit $t$.
Es ergibt sich eine allgemeine Regel:

\vspace{5pt}
\vrule width 1pt
\hfill
\begin{minipage}[c]{7.8cm}
Durch Differenzieren nach $x_j$ oder $t$ ergibt
sich aus einer Lösung der Wellengleichung immer eine neue Lösung.
\end{minipage}
\vspace{5pt}

Hier geht es speziell um die Lösung (6).
Dazu wählen wird die Lösung für die atmende Kugel als $\phi_\ast$, wie
sie in Abschnitt 5.2 vorgestellt wurde.
Damit wird
%
\begin{equation}
\phi_\ast =
A \, \ff{e^{i \omega (t - r/c)}}{r}
\end{equation}
%
Diese Lösung ist kugelsymmetrisch, das heißt
%
\begin{equation}
\phi_\ast = \phi_\ast(r,t)
\end{equation}
%
Für die Ableitung nach $x_1$ folgt damit
%
\begin{equation}
\pp{\phi_\ast}{x_1} = \pp{\phi_\ast}{r} \, \pp{r}{x_1}
\end{equation}
%
Dies würde deutlich komplizierter werden, wenn
$\phi_\ast$ auch noch von $\theta$ abhängen würde.
Der Abstand $r$ ist mit
%
\begin{equation}
r = \left( x_1^2 + x_2^2 + x_3^3 \right)^{1/2}
\end{equation}
%
gegeben.
Für die Ableitung von $r$ ergibt sich
%
\begin{equation}
\pp{r}{x_1} = \ff{x_1}{r}
\end{equation}
%
Die Koordinate $x_1$ kann durch Kugelkoordinaten
ausgedrückt werden.
Es gilt
%
\begin{equation}
x_1 = r \, \cos \theta
\end{equation}
%
Damit läßt sich die Ableitung auch als
%
\begin{equation}
\pp{r}{x_1} = \cos \theta
\end{equation}
%
darstellen.
Setzt man (11) und (17) in (13) ein, folgt
%
\begin{equation}
\phi =
\cos \theta \;
\pp{}{r}
\left\{
A \, \ff{e^{i \omega (t - r/c)}}{r}
\right\}
\end{equation}
%
Jetzt braucht man nur noch die Konstante $A$ vorziehen, und man erhält
die angegebene Lösung (6).
Das bedeutet die Lösung für die hin- und herbewegte Kugel ergibt
sich aus der Lösung für die atmende Kugel
durch Differenzieren in der Bewegungsrichtung.
Das die Lösung (6) die geforderte Randbedingung (5) tatsächlich erfüllt,
muß im weiteren noch gezeigt werden.

\end{multicols}

\end{document}

% -------- FIN ----------------